L'uso di l.a.ch.h. e le caratteristiche della frequenza di fase per l'analisi della stabilità del sistema

Il criterio di stabilità di Nyquist è stato formulato e motivato nel 1932 dal fisico americano H. Nyquist. Il criterio di stabilità di Nyquist è ampiamente utilizzato nella pratica ingegneristica per i seguenti motivi:

- la stabilità del sistema allo stato chiuso è studiata dalla funzione di trasferimento di frequenza della sua parte aperta W p (jw), e questa funzione, il più delle volte, è costituita da semplici fattori. I coefficienti sono i veri parametri del sistema, che permette di sceglierli tra le condizioni di stabilità;

- per lo studio della stabilità è possibile utilizzare le caratteristiche di frequenza ottenute sperimentalmente degli elementi più complessi del sistema (oggetto di controllo, organi esecutivi), che aumentano la precisione dei risultati ottenuti;

- la stabilità del sistema può essere studiata mediante caratteristiche di frequenza logaritmiche, la cui costruzione non è difficoltosa;

- i margini di stabilità del sistema sono determinati in modo molto semplice;

- è conveniente da usare per valutare la stabilità dell'ACS con un ritardo.

Il criterio di stabilità di Nyquist consente di valutare la stabilità dell'ACS mediante l'AFC della sua parte ad anello aperto. Esistono tre casi di applicazione del criterio di Nyquist.

1. La parte aperta dell'ACS è stabile.Per la stabilità di un sistema chiuso è necessario e sufficiente che l'AFC della parte aperta del sistema (l'odografo di Nyquist) quando si cambia frequenze w da 0 a +¥ non copriva il punto con coordinate [-1, j 0]. Sulla fig. 4.6 mostra le principali situazioni possibili:

1. - un sistema chiuso è assolutamente stabile;

2. - ATS è condizionatamente stabile, cioè stabile solo in un certo intervallo di variazione del coefficiente di trasmissione K;

3. - ATS è al limite della sostenibilità;

4. - L'ATS è instabile.

Riso. 4.6. Nyquist odografi quando la parte aperta dell'ACS è stabile

2. La parte aperta dell'ACS è al confine della stabilità.In questo caso, l'equazione caratteristica ha zero o radici puramente immaginarie, mentre le altre radici hanno parti reali negative.

Per la stabilità di un sistema chiuso, se la parte aperta del sistema si trova sul limite di stabilità, è necessario e sufficiente che l'AFC della parte aperta del sistema durante il cambio w da 0 a +¥, integrato da un arco di raggio infinitamente grande nella sezione della discontinuità, non copriva il punto di coordinate [-1, j 0]. In presenza di ν zero radici dell'AFC della parte ad anello aperto del sistema a w=0 di un arco di raggio infinitamente grande si sposta dal semiasse reale positivo di un angolo di gradi in senso orario, come mostrato in Fig. 4.7.

Riso. 4.7. Odografi di Nyquist con radici zero

Se c'è una coppia di radici puramente immaginarie w io =, quindi l'AFC ad una frequenza w io un arco di raggio infinitamente grande si muove in senso orario di un angolo di 180°, come mostrato in Fig. 4.8.

Riso. 4.8. Odografo di Nyquist in presenza di una coppia di radici puramente immaginarie

3. La parte aperta del sistema è instabile, cioè. equazione caratteristica ha l radici con una parte reale positiva. In questo caso, per la stabilità di un sistema chiuso, è necessario e sufficiente che al variare della frequenza w da 0 a +¥ AFC della parte aperta dell'ACS ha coperto il punto

[-1, j 0) l/2 volte in direzione positiva (in senso antiorario).

Con una forma complessa dell'odografo di Nyquist, è più conveniente utilizzare un'altra formulazione del criterio di Nyquist, proposta da Ya.Z. Tsypkin usando le regole di transizione. La transizione dell'AFC della parte ad anello aperto del sistema con l'aumento w il segmento dell'asse reale da -1 a -¥ dall'alto verso il basso è considerato positivo (Fig. 4.9), e dal basso verso l'alto negativo. Se l'AFC inizia su questo segmento alle w=0 o termina alle w=¥ , allora si considera che l'AFC effettua la metà di transizione.

Riso. 4.9. Le transizioni dell'odografo di Nyquist attraverso il segmento P( w) da -¥ a -1

Il sistema chiuso è stabile, se la differenza tra il numero di transizioni positive e negative dell'odografo di Nyquist attraverso il segmento dell'asse reale da -1 a -¥ è uguale a l/2, dove l è il numero di radici dell'equazione caratteristica con un positivo parte reale.

Questo è il luogo dei punti che descrive la fine del vettore della funzione di trasferimento di frequenza quando la frequenza cambia da -∞ a +∞. Il valore del segmento dall'origine a ciascun punto dell'odografo mostra quante volte a una data frequenza il segnale di uscita è maggiore dell'ingresso e lo sfasamento tra i segnali è determinato dall'angolo rispetto al segmento menzionato.

Tutte le altre dipendenze di frequenza sono generate dall'AFC:

• u(w) - pari (per ACS chiusi P(w));
• V(w) - dispari;
• UN(w) - pari (risposta in frequenza);
• j(w) - dispari (PFC);
• LACHH e LPCHH - sono usati più spesso.

Caratteristiche di frequenza logaritmiche.

Le risposte in frequenza logaritmiche (LFC) includono la risposta di ampiezza logaritmica (LAFC) e la risposta di fase logaritmica (LPCH) costruite separatamente sullo stesso piano. La costruzione di LAFC & LPFC è realizzata secondo le espressioni:

l(w) = 20 lg | w(j w)| = 20 g UN(w), [dB];

j(w) = arg( w(j w)), [rad].

Valore l(w) è espresso in decibel . Belè un'unità logaritmica corrispondente a un aumento di dieci volte di potenza. Un Bel corrisponde a un aumento della potenza di 10 volte, 2 Bels - di 100 volte, 3 Bels - di 1000 volte, ecc. Un decibel è uguale a un decimo di Bel.

Esempi di AFC, AFC, PFC, LAFC e LPFC per collegamenti dinamici tipici sono mostrati nella Tabella 2.

Tavolo 2. Caratteristiche di frequenza dei tipici collegamenti dinamici.

Principi di controllo automatico

Secondo il principio del controllo, ACS può essere suddiviso in tre gruppi:

1. Con regolazione per influenza esterna: il principio Poncelet (utilizzato in ACS aperto).
2. Con regolazione per deviazione: il principio Polzunov-Watt (utilizzato in ACS chiuso).
3. Con regolazione combinata. In questo caso, l'ACS contiene circuiti di controllo chiusi e aperti.

Il principio del controllo per disturbo esterno

Nella struttura sono richiesti sensori di disturbo. Il sistema è descritto dalla funzione di trasferimento di un sistema aperto: X(t) = g(t) - f(t).

vantaggi:

• È possibile ottenere l'invarianza completa a determinate perturbazioni.
• Il problema della stabilità del sistema non si pone, poiché nessun sistema operativo.

Screpolatura:

• Un gran numero di disturbi richiede un numero adeguato di canali di compensazione.
• Le modifiche ai parametri dell'oggetto regolato portano a errori nel controllo.
• Può essere applicato solo ad oggetti le cui caratteristiche siano chiaramente note.

Principio di controllo della deviazione

Il sistema è descritto dalla funzione di trasferimento di un sistema aperto e dall'equazione di chiusura: X(t) = g(t) - y(t) w oc ( t). L'algoritmo del sistema è concluso nel tentativo di ridurre l'errore X(t) a zero.

vantaggi:

• La protezione dell'ambiente porta a una diminuzione dell'errore, indipendentemente dai fattori che lo hanno causato (cambiamenti nei parametri dell'oggetto regolamentato o condizioni esterne).

Screpolatura:

• I sistemi operativi hanno un problema di stabilità.
• È fondamentalmente impossibile ottenere l'invarianza assoluta delle perturbazioni nei sistemi. Il desiderio di ottenere un'invarianza parziale (non il primo OS) porta alla complicazione del sistema e al deterioramento della stabilità.

Controllo combinato

Il controllo combinato consiste in una combinazione di due principi di controllo per deviazione e disturbo esterno. Quelli. il segnale di controllo all'oggetto è formato da due canali. Il primo canale è sensibile alla deviazione del valore controllato dal riferimento. La seconda forma l'azione di controllo direttamente dal segnale di impostazione o disturbo.

X(t) = g(t) - f(t) - y(t)Woc(t)

vantaggi:

• La presenza della protezione ambientale rende il sistema meno sensibile alle variazioni dei parametri dell'oggetto regolato.
• L'aggiunta di uno o più canali di riferimento o sensibili alle perturbazioni non influisce sulla stabilità del circuito di retroazione.

Screpolatura:

• I canali sensibili a un'attività oa un disturbo di solito contengono collegamenti differenzianti. La loro attuazione pratica è difficile.
• Non tutti gli oggetti consentono la forzatura.

Analisi di sostenibilità ATS

Il concetto di stabilità del sistema regolatorio è associato alla sua capacità di tornare ad uno stato di equilibrio dopo la scomparsa delle forze esterne che lo hanno portato fuori da tale stato. La stabilità è uno dei requisiti principali per i sistemi automatici.

Il concetto di stabilità può essere esteso anche al caso di movimento ACS:

• movimento indisturbato,
• movimento indignato.

Il movimento di qualsiasi sistema di controllo è descritto utilizzando un'equazione differenziale, che descrive generalmente 2 modalità di funzionamento del sistema:

Modalità stato stazionario

Modalità di guida

In questo caso, la soluzione generale in qualsiasi sistema può essere scritta come:

costretto il componente è determinato dall'azione di input sull'input CS. Il sistema raggiunge questo stato al termine dei processi transitori.

di transizione la componente è determinata dalla soluzione di un'equazione differenziale omogenea della forma:

I coefficienti a 0 ,a 1 ,…an includono i parametri di sistema => la modifica di un qualsiasi coefficiente dell'equazione differenziale comporta la modifica di alcuni parametri di sistema.

Soluzione di un'equazione differenziale omogenea

dove sono le costanti di integrazione e sono le radici dell'equazione caratteristica della forma seguente:

L'equazione caratteristica è il denominatore della funzione di trasferimento a zero.

Le radici dell'equazione caratteristica possono essere reali, coniugate complesse e complesse, che sono determinate dai parametri del sistema.

Per valutare la stabilità dei sistemi, un certo numero di criteri di sostenibilità

Tutti i criteri di sostenibilità sono divisi in 3 gruppi:

radice

- algebrico

L'odografo di sinistra è l'odografo di un noto sistema stabile; non copre i punti, che è richiesto secondo il criterio di Nyquist per la stabilità di un sistema chiuso. Odografo destro - odografo tripolare, di un sistema ovviamente instabile aggira il punto tre volte in senso antiorario, che è richiesto secondo il criterio di Nyquist per la stabilità di un sistema chiuso.

Commento.

Le caratteristiche ampiezza-fase dei sistemi con parametri reali - e solo quelli che si incontrano nella pratica, sono simmetriche rispetto all'asse reale. Pertanto, viene solitamente considerata solo la metà della caratteristica ampiezza-fase corrispondente a frequenze positive. In questo caso si considerano i mezzi giri del punto. L'intersezione del segmento () con un aumento della frequenza dall'alto verso il basso (la fase cresce) è considerata un'intersezione e dal basso verso l'alto - un'intersezione. Se la caratteristica ampiezza-fase di un sistema ad anello aperto inizia sul segmento (), allora un'intersezione corrisponderà a questo, a seconda che la caratteristica scenda o salga con l'aumentare della frequenza.

Il calcolo del numero di intersezioni del segmento () può essere effettuato in base alle caratteristiche di frequenza logaritmiche. Per chiarire, queste sono le intersezioni a cui corrisponde la fase quando il modulo della caratteristica di ampiezza è maggiore di uno.

Determinazione della stabilità mediante caratteristiche di frequenza logaritmiche.

Per utilizzare il criterio di Mikhailov, è necessario costruire un odografo. Ecco il polinomio caratteristico del sistema chiuso.

Nel caso del criterio di Nyquist è sufficiente conoscere la funzione di trasferimento di un sistema ad anello aperto. In questo caso, non è necessario costruire un odografo. Per determinare la stabilità di Nyquist, è sufficiente tracciare l'ampiezza logaritmica e le risposte in frequenza di fase di un sistema aperto.

La costruzione più semplice si ottiene quando la funzione di trasferimento di un sistema ad anello aperto può essere rappresentata come

, poi LAH ,

La figura seguente corrisponde alla funzione di trasferimento

.

Qui e costruito come funzioni.

Le risposte in frequenza logaritmiche mostrate di seguito corrispondono al sistema della funzione di trasferimento già menzionato sopra (sistema ad anello aperto)

.

A sinistra ci sono le risposte di ampiezza e frequenza di fase per la funzione di trasferimento, a destra - per la funzione di trasferimento, al centro - per la funzione di trasferimento originale (come ci ha calcolato il programma Les, il metodo "Integrazione").

Tre poli della funzione sono spostati a sinistra (sistema stabile). La risposta di fase, rispettivamente, ha 0 passaggi a livello. Tre poli della funzione sono spostati a destra (sistema instabile). La risposta di fase ha di conseguenza tre semitraversi di livello nelle regioni in cui il modulo della funzione di trasferimento è maggiore di uno.

In ogni caso, il sistema chiuso è stabile.

L'immagine centrale - il calcolo in assenza di movimenti della radice, è il limite per l'immagine di destra, l'avanzamento della fase nell'immagine di sinistra è radicalmente diverso. Dov'è la verità?

Esempi da .

Lascia che la funzione di trasferimento di un sistema aperto abbia la forma:

.

Un sistema aperto è stabile per qualsiasi positivo K e T. Il sistema è stabile e chiuso, come si può vedere dall'odografo a sinistra in figura.

Con negativo T un sistema aperto è instabile: ha un vantaggio nel semipiano destro. Il sistema chiuso è stabile a , come si può vedere dall'odografo al centro, e instabile a (odografo a destra).

Lascia che la funzione di trasferimento di un sistema aperto abbia la forma ():

.

Ha un polo sull'asse immaginario. Pertanto, per la stabilità di un sistema chiuso, è necessario che il numero di intersezioni del segmento () dell'asse reale per l'ampiezza-fase caratteristica di un sistema aperto sia uguale (se consideriamo l'odografo solo per frequenze positive) .

Costruzione di odografi di Nyquist dalla funzione di trasferimento di un sistema ad anello aperto dato come polinomio

Il criterio di frequenza di Nyquist nello studio della stabilità dei sistemi automatici si basa sulla risposta in frequenza ampiezza-fase di un sistema aperto e può essere formulato come segue:

se l'equazione caratteristica di un sistema ad anello aperto dell'n-esimo ordine ha k radici con parte reale positiva (k = 0, 1, ..... n) e n-k radici con parte reale negativa, allora per il stabilità del sistema chiuso è necessario e sufficiente che la risposta in frequenza dell'odografo in fase ampiezza di un sistema aperto (odografo di Nyquist) copra il punto (-1, j0) del piano complesso con un angolo k p, o, che è lo stesso , copriva il punto (-1, j0) in direzione positiva, cioè in senso antiorario, k volte.

Per un caso particolare, quando l'equazione caratteristica di un sistema aperto non ha radici con una parte reale positiva (k = 0), cioè quando è stabile allo stato aperto, il criterio di Nyquist è formulato come segue:

il sistema di controllo automatico è stabile nello stato chiuso, se la risposta in frequenza ampiezza-fase del sistema aperto quando la frequenza cambia da 0 a? non copre il punto del piano complesso con le coordinate (-1, j0).

Il criterio di stabilità di Nyquist è conveniente da applicare ai sistemi di feedback, in particolare ai sistemi di ordine superiore.

Per costruire l'odografo di Nyquist, utilizzeremo la funzione di trasferimento di un sistema ad anello aperto in forma simbolica dalla lezione pratica n. 5

Lo scriviamo in forma simbolico-digitale per i parametri dati di tutti gli elementi del sistema, ad eccezione del coefficiente di trasferimento dell'amplificatore magnetico:

Scriviamo l'equazione per la risposta in frequenza ampiezza-fase, selezioniamo la risposta in frequenza reale e immaginaria e costruiamo una famiglia di odografi di Nyquist in funzione della frequenza e del coefficiente di trasferimento dell'amplificatore magnetico.

Costruire un grafico della risposta in frequenza ampiezza-fase in MathСad

Fig.3. Una famiglia di curve odografiche di Nyquist costruite per una funzione di trasferimento ad anello aperto in funzione di K mu .

La figura 3 mostra che uno degli odografi Nyquist passa per un punto con coordinate (j0, -1) . Di conseguenza, in un dato intervallo di variazione del coefficiente di trasferimento dell'amplificatore magnetico, c'è anche il suo valore critico. Per determinarlo utilizziamo le seguenti relazioni:

Pertanto, il guadagno critico dell'amplificatore magnetico è:

K mukr =11.186981170416560078

Assicuriamoci che sia vero. Per fare ciò, costruiamo le curve dell'odografo di Nyquist per tre valori del coefficiente di trasferimento dell'amplificatore magnetico: K mu = 0,6k mukr ; K mu = k mukr ; K mu =1,2k mukr

Fig.4.

k mu = 0,6 k mucr; k mu = k mukr; k mu = 1,2 k mucr

Le curve di Fig. 4 confermano che il coefficiente di trasferimento critico dell'amplificatore magnetico è stato trovato correttamente.

L'uso di l.a.ch.h. e le caratteristiche della frequenza di fase per l'analisi della stabilità del sistema

Il criterio di stabilità del sistema in termini di risposta in frequenza in ampiezza logaritmica (l.a.h..x) e risposta in frequenza di fase può essere formulato come segue:

Il sistema di controllo automatico, instabile nello stato aperto, è stabile nello stato chiuso, se la differenza tra i numeri delle transizioni positive (transizione della risposta in frequenza di fase dal basso verso l'alto attraverso la linea u(u) = -180 ° ) e il numero di transizioni negative (transizione della risposta in frequenza di fase dall'alto verso il basso attraverso la linea u(u) = -180 ° ) risposta in frequenza di fase u(u) attraverso la linea u(u) = -180 ° è uguale a zero nell'intervallo di frequenza in cui L.a.h..x (L(u)> 0) .

Per costruire una risposta in frequenza di fase, è desiderabile rappresentare la funzione di trasferimento sotto forma di tipici collegamenti dinamici.

e costruire una caratteristica di fase usando l'espressione:

«+» - corrisponde ai collegamenti dinamici tipici del numeratore della funzione di trasferimento;

«-« - corrisponde ai legami dinamici tipici del denominatore della funzione di trasferimento.

Per costruire un l.a.ch.ch asintotico. utilizziamo la funzione di trasferimento di un sistema aperto, presentata sotto forma di tipici collegamenti dinamici:

Per fare ciò, utilizziamo una funzione di trasferimento del modulo:

Rappresentiamo questa funzione di trasferimento sotto forma di tipici collegamenti dinamici:

I parametri dei collegamenti dinamici tipici sono definiti come mostrato di seguito:

L'equazione caratteristica di fase sarà simile a:

Determiniamo la frequenza alla quale la risposta in frequenza di fase interseca l'asse c(u) = -180 °

Per costruire un L.A.Ch. usiamo l'espressione:

La figura 5 mostra i grafici del L.A.Ch. per due valori del coefficiente di trasferimento dell'amplificatore magnetico K mu = 10 e k mu = 80 .

Fig.5.

Analisi di l.a.h.h. e la risposta in frequenza di fase lo mostrano con un aumento del coefficiente di trasferimento dell'amplificatore magnetico da 8 a 80 il sistema passa da stabile a instabile. Determiniamo il coefficiente di trasferimento critico dell'amplificatore magnetico.

Se non ci sono requisiti aggiuntivi per i margini di stabilità del sistema, si consiglia di considerarli uguali:

DL(u) = -12db Dc(u) = 35°h 45

Determiniamo a quale coefficiente di trasferimento dell'amplificatore magnetico questa condizione è soddisfatta.

Ciò è confermato anche dai grafici mostrati in Figura 6.