استخدام l.a.ch.h. وخصائص تردد الطور لتحليل استقرار النظام

تمت صياغة معيار الاستقرار Nyquist وإثباته في عام 1932 من قبل الفيزيائي الأمريكي H. Nyquist. يستخدم معيار Nyquist للاستقرار على نطاق واسع في الممارسة الهندسية للأسباب التالية:

- تتم دراسة استقرار النظام في الحالة المغلقة من خلال وظيفة نقل التردد للجزء المفتوح W p (jw) ، وتتكون هذه الوظيفة في أغلب الأحيان من عوامل بسيطة. المعاملات هي المعلمات الحقيقية للنظام ، والتي تسمح لك باختيارها من شروط الاستقرار ؛

- لدراسة الاستقرار ، من الممكن استخدام خصائص التردد التي تم الحصول عليها تجريبياً للعناصر الأكثر تعقيداً في النظام (عنصر التحكم ، الهيئات التنفيذية) ، مما يزيد من دقة النتائج التي تم الحصول عليها ؛

- يمكن التحقق من استقرار النظام من خلال خصائص التردد اللوغاريتمي ، والتي ليس من الصعب بناءها ؛

- يتم تحديد هوامش استقرار النظام بكل بساطة ؛

- من الملائم استخدامه لتقييم استقرار البنادق ذاتية الدفع مع تأخير.

يتيح معيار استقرار Nyquist تقييم استقرار البنادق ذاتية الدفع بواسطة AFC لجزء الحلقة المفتوحة. هناك ثلاث حالات لتطبيق معيار نيكويست.

1. الجزء المفتوح من البنادق ذاتية الدفع مستقر.من أجل استقرار النظام المغلق ، من الضروري والكافي أن يكون AFC للجزء المفتوح من النظام (Nyquist hodograph) عند التغييرالترددات ثمن 0 إلى + ¥ لم تغطي النقطة بالإحداثيات [-1 ، ي 0]. على التين. يوضح الشكل 4.6 المواقف الرئيسية المحتملة:

1. - النظام المغلق مستقر تمامًا ؛

2. - ATS مستقرة بشكل مشروط ، أي مستقر فقط في نطاق معين من التغيير في معامل الإرسال ك;

3. - ATS على حدود الاستدامة ؛

4. - المنشطات الأمفيتامينية غير مستقرة.

أرز. 4.6 Nyquist hodographs عندما يكون الجزء المفتوح من البنادق ذاتية الدفع مستقرًا

2. الجزء المفتوح من البنادق ذاتية الدفع يقع على حدود الاستقرار.في هذه الحالة ، يكون للمعادلة المميزة صفر أو جذور خيالية بحتة ، بينما تحتوي الجذور الأخرى على أجزاء حقيقية سالبة.

من أجل استقرار النظام المغلق، إذا كان الجزء المفتوح من النظام على حدود الاستقرار ، فمن الضروري والكافي أن AFC للجزء المفتوح من النظام عند التغيير ثمن 0 إلى + ، مكملًا بقوس نصف قطر كبير بشكل لا نهائي في قسم الانقطاع ، لا يغطي النقطة بالإحداثيات [-1 ، ي 0]. في وجود جذور ν صفر من AFC لجزء الحلقة المفتوحة من النظام عند ث= 0 بواسطة قوس نصف قطر كبير بشكل لا نهائي يتحرك من نصف المحور الحقيقي الموجب بزاوية درجات في اتجاه عقارب الساعة ، كما هو موضح في الشكل. 4.7

أرز. 4.7 Nyquist hodographs ذات الجذور الصفرية

إذا كان هناك زوج من الجذور الوهمية البحتة ث أنا =، ثم الاتحاد الآسيوي لكرة القدم على تردد ث أنايتحرك قوس نصف قطر كبير بشكل لا نهائي في اتجاه عقارب الساعة بزاوية 180 درجة ، كما هو موضح في الشكل. 4.8

أرز. 4.8 Nyquist hodograph بحضور زوج من الجذور الوهمية البحتة

3. الجزء المفتوح من النظام غير مستقر، بمعنى آخر. المعادلة المميزة لها لالجذور مع جزء حقيقي إيجابي. في هذه الحالة ، من أجل استقرار نظام مغلق ، من الضروري والكافي عندما يتغير التردد ثمن 0 إلى + غطت AFC للجزء المفتوح من البنادق ذاتية الدفع النقطة

[-1, ي 0) ل/ مرتين في الاتجاه الإيجابي (عكس اتجاه عقارب الساعة).

مع الشكل المعقد لـ Hodograph Nyquist ، يكون من الأنسب استخدام صيغة أخرى لمعيار Nyquist ، الذي اقترحه Ya.Z. Tsypkin باستخدام قواعد الانتقال. انتقال AFC لجزء الحلقة المفتوحة من النظام مع زيادة ثيعتبر جزء المحور الحقيقي من -1 إلى - من أعلى إلى أسفل موجبًا (الشكل 4.9) ، ومن أسفل إلى أعلى سلبي. إذا بدأ AFC في هذا الجزء عند ث= 0 أو ينتهي عند ث= ¥ ، إذن يعتبر أن الاتحاد الآسيوي لكرة القدم يقوم بنصف الانتقال.

أرز. 4.9 انتقالات Hodograph Nyquist عبر المقطع P ( ث) من - إلى -1

النظام المغلق مستقر، إذا كان الفرق بين عدد التحولات الموجبة والسالبة لـ Nyquist hodograph عبر مقطع من المحور الحقيقي من -1 إلى - يساوي l / 2 ، حيث l هو عدد جذور المعادلة المميزة مع موجب جزء حقيقي.

هذا هو موضع النقاط الذي يصف نهاية متجه دالة نقل التردد مع تغير التردد من-إلى +. توضح قيمة المقطع من الأصل إلى كل نقطة من hodograph عدد المرات عند تردد معين تكون إشارة الخرج أكبر من الإدخال ، ويتم تحديد تحول الطور بين الإشارات من خلال الزاوية إلى المقطع المذكور.

يتم إنشاء جميع تبعيات التردد الأخرى من AFC:

• يو(ث) - حتى (للبنادق ذاتية الدفع المغلقة ص(ث)) ؛
• الخامس(ث) - فردي ؛
• أ(ث) - حتى (استجابة التردد) ؛
• ي (ث) - فردي (PFC) ؛
• يتم استخدام LACHH و LPCHH في أغلب الأحيان.

خصائص التردد اللوغاريتمي.

تتضمن استجابات التردد اللوغاريتمي (LFC) استجابة السعة اللوغاريتمية (LAFC) واستجابة الطور اللوغاريتمي (LPCH) المبنية بشكل منفصل على نفس المستوى. يتم إنشاء LAFC و LPFC وفقًا للتعبيرات:

إل(ث) = 20 لتر | دبليو(يث) | = 20 لتر أ(ث) ، [ديسيبل] ؛

ي (ث) = أرج ( دبليو(يث)) ، [راد].

قيمة إل(ث) يتم التعبير عنها في ديسيبل . بيلهي وحدة لوغاريتمية تقابل زيادة الطاقة بمقدار عشرة أضعاف. يتوافق One Bel مع زيادة الطاقة بمقدار 10 مرات ، 2 بيل - بمقدار 100 مرة ، 3 بيل - بمقدار 1000 مرة ، إلخ. الديسيبل يساوي عُشر بيل.

أمثلة على AFC و AFC و PFC و LAFC و LPFC للوصلات الديناميكية النموذجية موضحة في الجدول 2.

الجدول 2.خصائص التردد للوصلات الديناميكية النموذجية.

مبادئ التحكم الآلي

وفقًا لمبدأ التحكم ، يمكن تقسيم ACS إلى ثلاث مجموعات:

1. مع التنظيم بالتأثير الخارجي - مبدأ Poncelet (المستخدم في ACS المفتوحة).
2. مع التنظيم عن طريق الانحراف - مبدأ Polzunov-Watt (المستخدم في البنادق ذاتية الدفع المغلقة).
3. مع التنظيم المشترك. في هذه الحالة ، تحتوي البنادق ذاتية الدفع على حلقات تحكم مغلقة ومفتوحة.

مبدأ السيطرة عن طريق الاضطراب الخارجي

أجهزة استشعار الاضطراب مطلوبة في الهيكل. يتم وصف النظام من خلال وظيفة النقل لنظام مفتوح: x(ر) = ز(ر) - F(ر).

مزايا:

• من الممكن تحقيق ثبات كامل لبعض الاضطرابات.
• مشكلة استقرار النظام لا تنشأ منذ ذلك الحين لا يوجد نظام تشغيل.

عيوب:

• يتطلب عدد كبير من الاضطرابات عددًا مناسبًا من قنوات التعويض.
• تؤدي التغييرات في معلمات الكائن المنظم إلى حدوث أخطاء في عنصر التحكم.
• لا يمكن تطبيقه إلا على الكائنات التي تُعرف خصائصها بوضوح.

مبدأ التحكم في الانحراف

يوصف النظام بوظيفة النقل لنظام مفتوح ومعادلة الإغلاق: x(ر) = ز(ر) - ذ(ر) دبليوأوك ( ر). تم الانتهاء من خوارزمية النظام في محاولة لتقليل الخطأ x(ر) إلى الصفر.

مزايا:

• تؤدي حماية البيئة إلى انخفاض في الخطأ ، بغض النظر عن العوامل التي تسببت فيه (تغييرات في معلمات الكائن المنظم أو الظروف الخارجية).

عيوب:

• أنظمة التشغيل لديها مشكلة استقرار.
• من المستحيل أساسًا تحقيق الثبات المطلق للاضطرابات في الأنظمة. تؤدي الرغبة في تحقيق الثبات الجزئي (وليس نظام التشغيل الأول) إلى تعقيد النظام وتدهور الاستقرار.

الجمع بين السيطرة

يتكون التحكم المشترك من مزيج من مبدأين للتحكم عن طريق الانحراف والاضطراب الخارجي. أولئك. تتكون إشارة التحكم إلى الكائن من قناتين. القناة الأولى حساسة لانحراف القيمة المضبوطة عن المرجع. الثاني يشكل إجراء التحكم مباشرة من الإعداد أو إشارة مزعجة.

x(ر) = ز(ر) - F(ر) - ذ(ر)ووك(ر)

مزايا:

• إن وجود حماية البيئة يجعل النظام أقل حساسية للتغييرات في معلمات الكائن الخاضع للتنظيم.
• لا تؤثر إضافة مرجع أو قناة (قنوات) حساسة للاضطراب على استقرار حلقة التغذية الراجعة.

عيوب:

• عادةً ما تحتوي القنوات الحساسة لمهمة أو اضطراب ما على روابط تمييزية. تنفيذها العملي صعب.
• ليست كل الكائنات تسمح بالقسر.

تحليل استدامة ATS

يرتبط مفهوم استقرار النظام التنظيمي بقدرته على العودة إلى حالة التوازن بعد اختفاء القوى الخارجية التي أخرجته من هذه الحالة. الاستقرار هو أحد المتطلبات الرئيسية للأنظمة الأوتوماتيكية.

يمكن أيضًا توسيع مفهوم الاستقرار ليشمل حالة حركة ACS:

• حركة غير مضطربة ،
• حركة غاضبة.

يتم وصف حركة أي نظام تحكم باستخدام معادلة تفاضلية ، والتي تصف عمومًا وضعي تشغيل للنظام:

وضع الحالة الثابتة

وضع القيادة

في هذه الحالة ، يمكن كتابة الحل العام في أي نظام على النحو التالي:

قسرييتم تحديد المكون من خلال إجراء الإدخال على مدخلات CS. يصل النظام إلى هذه الحالة في نهاية العمليات العابرة.

انتقاليةيتم تحديد المكون بواسطة حل المعادلة التفاضلية المتجانسة للشكل:

المعاملات a 0 ، a 1 ،… a n تتضمن معلمات النظام => تغيير أي معامل للمعادلة التفاضلية يؤدي إلى تغيير في عدد من معلمات النظام.

حل معادلة تفاضلية متجانسة

أين ثوابت التكامل ، وهي جذور المعادلة المميزة بالشكل التالي:

المعادلة المميزة هي مقام دالة النقل المضبوطة على الصفر.

يمكن أن تكون جذور المعادلة المميزة حقيقية ومعقدة ومترافقة ومعقدة ، والتي تحددها معلمات النظام.

لتقييم استقرار الأنظمة ، قام عدد من معايير الاستدامة

تنقسم جميع معايير الاستدامة إلى 3 مجموعات:

جذر

- جبري

hodograph الأيسر هو hodograph لنظام مستقر معروف ؛ لا يغطي النقاط المطلوبة وفقًا لمعيار Nyquist لاستقرار نظام مغلق. hodograph الأيمن - hodograph ثلاثي الأقطاب، من نظام غير مستقر بشكل واضح يتجاوز النقطة ثلاث مراتعكس اتجاه عقارب الساعة ، وهو مطلوب وفقًا لمعيار Nyquist لاستقرار نظام مغلق.

تعليق.

خصائص طور الاتساع للأنظمة ذات المعلمات الحقيقية - وهذه فقط تلك التي تمت مواجهتها في الممارسة العملية ، متناظرة حول المحور الحقيقي. لذلك ، عادة ما يتم النظر في نصف خصائص طور الاتساع المقابلة للترددات الإيجابية. في هذه الحالة ، يتم أخذ نصف جولات النقطة في الاعتبار. يعتبر تقاطع المقطع () مع زيادة التردد من أعلى إلى أسفل (تنمو المرحلة) تقاطعًا ، ومن أسفل إلى أعلى - تقاطع. إذا بدأت خاصية طور الاتساع لنظام الحلقة المفتوحة على المقطع () ، فإن التقاطع سيتوافق مع هذا ، اعتمادًا على ما إذا كانت الخاصية تنخفض أو ترتفع مع زيادة التردد.

يمكن حساب عدد تقاطعات المقطع () وفقًا لخصائص التردد اللوغاريتمي. للتوضيح ، هذه هي التقاطعات التي تقابلها المرحلة عندما يكون معامل خاصية السعة أكبر من واحد.

تحديد الثبات بخصائص التردد اللوغاريتمي.

لاستخدام معيار ميخائيلوف ، من الضروري بناء هودوجراف. هنا ، هي كثيرة الحدود المميزة للنظام المغلق.

في حالة معيار Nyquist ، يكفي معرفة وظيفة النقل لنظام الحلقة المفتوحة. في هذه الحالة ، ليست هناك حاجة لبناء هودوجراف. لتحديد استقرار Nyquist ، يكفي رسم استجابات السعة اللوغاريتمية وتردد الطور لنظام مفتوح.

يتم الحصول على أبسط بناء عندما يمكن تمثيل وظيفة النقل لنظام الحلقة المفتوحة على أنها

، ثم LAH ,

الشكل أدناه يتوافق مع وظيفة النقل

.

هنا و بنيت كوظائف.

تتوافق استجابات التردد اللوغاريتمية الموضحة أدناه مع نظام وظيفة النقل المذكور أعلاه (نظام الحلقة المفتوحة)

.

على اليسار توجد استجابات السعة وتردد الطور لوظيفة النقل ، على اليمين - لوظيفة النقل ، في الوسط - لوظيفة النقل الأصلية (كما حسب برنامج Les بالنسبة لنا ، طريقة "التكامل").

تم إزاحة ثلاثة أقطاب للوظيفة إلى اليسار (نظام ثابت). استجابة المرحلة ، على التوالي ، لديها 0 تقاطعات المستوى. يتم إزاحة ثلاثة أقطاب للوظيفة إلى اليمين (نظام غير مستقر). وفقًا لذلك ، تشتمل استجابة المرحلة على ثلاثة تقاطعات نصف مستوى في المناطق التي يكون فيها معامل وظيفة النقل أكبر من واحد.

على أي حال ، فإن النظام المغلق مستقر.

الصورة المركزية - الحساب في حالة عدم وجود حركات الجذر ، هو الحد الأقصى للصورة اليمنى ، يختلف تقدم المرحلة في الصورة اليسرى اختلافًا جذريًا. اين هي الحقيقة؟

أمثلة من.

دع وظيفة النقل لنظام مفتوح لها الشكل:

.

النظام المفتوح مستقر لأي إيجابية كو تي. النظام مستقر ومغلق ، كما يتضح من hodograph على اليسار في الشكل.

مع السلبية تيالنظام المفتوح غير مستقر - لديه علامة زائد في نصف المستوى الأيمن. النظام المغلق مستقر عند ، كما يتضح من hodograph في المركز ، وغير مستقر عند (hodograph على اليمين).

دع وظيفة النقل لنظام مفتوح لها النموذج ():

.

لها قطب واحد على المحور التخيلي. لذلك ، من أجل استقرار النظام المغلق ، من الضروري أن يكون عدد تقاطعات المقطع () من المحور الحقيقي من خلال خاصية السعة-المرحلة المميزة لنظام مفتوح متساويًا (إذا أخذنا في الاعتبار hodograph فقط للترددات الإيجابية) .

بناء Hodographs Nyquist من وظيفة النقل لنظام الحلقة المفتوحة المعطى باعتباره متعدد الحدود

يعتمد معيار Nyquist للتردد في دراسة استقرار الأنظمة الأوتوماتيكية على استجابة تردد طور الاتساع لنظام مفتوح ويمكن صياغته على النحو التالي:

إذا كانت المعادلة المميزة لنظام الحلقة المفتوحة بالترتيب n لها جذور k مع جزء حقيقي إيجابي (k = 0 ، 1 ، ..... n) وجذور n-k ذات جزء حقيقي سلبي ، إذن بالنسبة لـ استقرار النظام المغلق من الضروري والكافي أن تغطي استجابة تردد hodograph لطور السعة لنظام مفتوح (Nyquist hodograph) النقطة (-1 ، j0) من المستوى المعقد بزاوية k p ، أو ، والتي هي نفسها ، غطت النقطة (-1 ، j0) في الاتجاه الإيجابي ، أي عكس اتجاه عقارب الساعة ، مرات ك.

بالنسبة لحالة معينة ، عندما لا تحتوي المعادلة المميزة لنظام مفتوح على جذور ذات جزء حقيقي إيجابي (ك = 0) ، أي عندما يكون مستقرًا في الحالة المفتوحة ، تتم صياغة معيار Nyquist على النحو التالي:

نظام التحكم الأوتوماتيكي مستقر في الحالة المغلقة ، إذا كانت استجابة تردد طور الاتساع للنظام المفتوح عندما يتغير التردد من 0 إلى؟ لا يغطي نقطة المستوى المركب بالإحداثيات (-1 ، j0).

يعد معيار استقرار Nyquist مناسبًا للتطبيق على أنظمة التغذية الراجعة ، وخاصة الأنظمة عالية الترتيب.

لبناء Hodograph Nyquist ، سوف نستخدم وظيفة النقل لنظام الحلقة المفتوحة في شكل رمزي من الدرس العملي رقم 5

نكتبها في شكل رمزي رقمي للمعلمات المعطاة لجميع عناصر النظام ، باستثناء معامل النقل للمضخم المغناطيسي:

دعونا نكتب معادلة استجابة تردد طور السعة ، ونحدد استجابات التردد الحقيقية والخيالية ، ونبني عائلة من hodographs Nyquist كدالة للتردد ومعامل النقل للمضخم المغناطيسي.

بناء رسم بياني لاستجابة تردد الطور السعة في MathСad

تين. 3. مجموعة من منحنيات Nyquist hodograph المصممة لوظيفة نقل الحلقة المفتوحة كدالة لـ ك مو .

يوضح الشكل 3 أن أحد مخطوطات نيكويست يمر عبر نقطة ذات إحداثيات (ي 0، -1) . وبالتالي ، في نطاق معين من التغيير في معامل النقل للمضخم المغناطيسي ، هناك أيضًا قيمته الحرجة. لتحديد ذلك ، نستخدم العلاقات التالية:

لذلك ، فإن المكسب الحرج للمضخم المغناطيسي هو:

ك مكر =11.186981170416560078

دعونا نتأكد من صحة هذا. للقيام بذلك ، قمنا ببناء منحنيات Nyquist hodograph لثلاث قيم لمعامل نقل مكبر الصوت المغناطيسي: ك مو = 0.6 ك مكر ؛ ك مو = ك مكر ؛ ك مو = 1.2 كيلو مكر

الشكل 4.

ك مو = 0.6 ك ميكر ؛ ك مو = ك موكر ؛ ك مو = 1.2 ك ميكر

تؤكد المنحنيات في الشكل 4 أنه تم العثور على معامل النقل الحرج للمضخم المغناطيسي بشكل صحيح.

استخدام l.a.ch.h. وخصائص تردد الطور لتحليل استقرار النظام

يمكن صياغة معيار الاستقرار للنظام من حيث استجابة تردد السعة اللوغاريتمية (l.a.h..x) واستجابة تردد الطور على النحو التالي:

نظام التحكم الأوتوماتيكي ، غير المستقر في الحالة المفتوحة ، مستقر في الحالة المغلقة ، إذا كان الفرق بين عدد الانتقالات الإيجابية (انتقال استجابة تردد الطور من أسفل إلى أعلى عبر السطر u (u) = -180 ° ) وأعداد الانتقالات السلبية (انتقال استجابة تردد الطور من أعلى إلى أسفل عبر السطر u (u) = -180 ° ) استجابة تردد الطور u (u) عبر الخط u (u) = -180 ° تساوي الصفر في مدى التردد الذي عنده L.a.h..x (L (u)> 0).

لبناء استجابة تردد الطور ، من المستحسن تمثيل وظيفة النقل في شكل وصلات ديناميكية نموذجية.

وبناء خاصية المرحلة باستخدام التعبير:

«+» - يتوافق مع الروابط الديناميكية النموذجية لبسط وظيفة النقل ؛

«-« - يتوافق مع الروابط الديناميكية النموذجية لمقام وظيفة النقل.

لإنشاء ملف l.a.ch.ch مقارب. نستخدم وظيفة النقل لنظام مفتوح ، مقدمة في شكل روابط ديناميكية نموذجية:

للقيام بذلك ، نستخدم وظيفة نقل للنموذج:

نحن نمثل وظيفة النقل هذه في شكل روابط ديناميكية نموذجية:

يتم تحديد معلمات الروابط الديناميكية النموذجية كما هو موضح أدناه:

ستبدو معادلة خصائص المرحلة كما يلي:

دعونا نحدد التردد الذي تتقاطع فيه استجابة تردد الطور مع المحور ج (ش) = -180 °

لبناء L.A.Ch. دعنا نستخدم التعبير:

يوضح الشكل 5 الرسوم البيانية لـ LACH لقيمتين لمعامل النقل للمضخم المغناطيسي ك مو = 10 و ك مو = 80 .

الشكل 5.

تحليل l.a.h.h. وتظهر استجابة تردد الطور أنه مع زيادة معامل النقل للمضخم المغناطيسي من 8 إلى 80 ينتقل النظام من مستقر إلى غير مستقر. دعونا نحدد معامل النقل الحرج للمضخم المغناطيسي.

إذا لم تكن هناك متطلبات إضافية لهوامش الاستقرار في النظام ، فمن المستحسن أن تكون متساوية:

DL (u) = -12db Dc (u) = 35 درجة س 45

دعونا نحدد في أي معامل نقل للمضخم المغناطيسي يتم استيفاء هذا الشرط.

يتم تأكيد ذلك أيضًا من خلال الرسوم البيانية الموضحة في الشكل 6.