Pentru a scădea două numere cu semne diferite. Adunarea numerelor întregi: prezentare generală, reguli, exemple

Înțelegerea adunării numerelor întregi

Adunarea unui număr întreg arbitrar și zero

Verificarea rezultatului adunării

Adăugarea a trei sau mai multe numere întregi

Ordinea operației de înmulțire

Rezolvarea exemplelor de multiplicare

Operația de înmulțire a numărului

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de înmulțire

Tabelul înmulțirii

Exemple de adunare și scădere de numere întregi

Reguli pentru adunarea și scăderea numerelor întregi

Regula de adunare a numerelor cu semne diferite

Exemple de adunare de numere cu semne diferite

Sfaturi utile
Pentru a scădea două numere cu semne diferite. Adunarea numerelor întregi: prezentare generală, reguli, exemple

În acest articol ne vom uita în detaliu cum se face adunarea numerelor întregi. Mai întâi ne vom forma ideea generala despre adăugarea numerelor întregi și să vedem care este adăugarea numerelor întregi pe o linie de coordonate. Aceste cunoștințe ne vor ajuta să formulăm reguli pentru a adăuga numere pozitive, negative și întregi cu semne diferite. Aici vom examina în detaliu aplicarea regulilor de adunare la rezolvarea exemplelor și vom învăța cum să verificăm rezultatele obținute. La sfârșitul articolului vom vorbi despre adăugarea a trei și Mai mult numere întregi.

Navigare în pagină.

Iată exemple de adăugare a numerelor întregi opuse. Suma numerelor −5 și 5 este zero, suma 901+(−901) este zero și rezultatul adunării numerelor întregi opuse 1.567.893 și −1.567.893 este, de asemenea, zero.

Să folosim linia de coordonate pentru a înțelege care este rezultatul adunării a două numere întregi, dintre care unul este zero.

Adăugarea unui număr întreg arbitrar a la zero înseamnă mutarea segmentelor de unitate de la origine la o distanță a. Astfel, ne aflăm în punctul cu coordonata a. Prin urmare, rezultatul adunării zero și a unui număr întreg arbitrar este numărul întreg adăugat.

Pe de altă parte, adăugarea zero la un număr întreg arbitrar înseamnă deplasarea de la punctul a cărui coordonată este specificată de un întreg dat la o distanță de zero. Cu alte cuvinte, vom rămâne la punctul de plecare. Prin urmare, rezultatul adunării unui număr întreg arbitrar și zero este numărul întreg dat.

Asa de, suma a două numere întregi, dintre care unul este zero, este egală cu celălalt număr întreg. În special, zero plus zero este zero.

Să dăm câteva exemple. Suma numerelor întregi 78 și 0 este 78; rezultatul adunării zero și −903 este −903 ; de asemenea 0+0=0 .

După adăugarea a două numere întregi, este util să verificați rezultatul. Știm deja că pentru a verifica rezultatul adunării a două numere naturale, trebuie să scădem oricare dintre termeni din suma rezultată, iar acest lucru ar trebui să rezulte într-un alt termen. Verificarea rezultatului adunării numerelor întregi efectuat în mod similar. Dar scăderea numerelor întregi se reduce la adăugarea la minuend a numărului opus celui care se scade. Astfel, pentru a verifica rezultatul adunării a două numere întregi, trebuie să adăugați la suma rezultată numărul opus oricăruia dintre termeni, care ar trebui să rezulte într-un alt termen.

Să ne uităm la exemple de verificare a rezultatului adunării a două numere întregi.

Exemplu.

La adăugarea a două numere întregi 13 și −9, s-a obținut numărul 4, verificați rezultatul.

Soluţie.

Să adăugăm la suma rezultată 4 numărul −13, opus termenului 13, și să vedem dacă obținem un alt termen −9.

Deci, să calculăm suma 4+(−13) . Aceasta este suma numerelor întregi cu semne opuse. Modulele termenilor sunt 4 și, respectiv, 13. Termenul al cărui modul este mai mare are semnul minus, pe care îl amintim. Acum scade din modulul mai mare și scade pe cel mai mic: 13−4=9. Tot ce rămâne este să punem semnul minus amintit în fața numărului rezultat, avem −9.

La verificare, am primit un număr egal cu un alt termen, prin urmare, suma inițială a fost calculată corect.−19. Deoarece am primit un număr egal cu un alt termen, adunarea numerelor -35 și -19 a fost efectuată corect.

Până în acest moment am vorbit despre adăugarea a două numere întregi. Cu alte cuvinte, am considerat sume formate din doi termeni. Cu toate acestea, proprietatea combinativă de a adăuga numere întregi ne permite să determinăm în mod unic suma a trei, patru sau mai multe numere întregi.

Pe baza proprietăților de adunare a numerelor întregi, putem afirma că suma a trei, patru și așa mai departe nu depinde de modul în care sunt plasate parantezele indicând ordinea în care sunt efectuate acțiunile, precum și de ordinea termenii din suma. Am fundamentat aceste afirmații când am vorbit despre adunarea a trei sau mai multe numere naturale. Pentru numere întregi, toate raționamentele sunt complet aceleași și nu ne vom repeta.0+(−101) +(−17)+5 . După aceasta, plasând parantezele în orice mod acceptabil, vom obține în continuare numărul -113.

Răspuns:

5+(−17)+0+(−101)=−113 .

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya. si altii. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.

Planul lecției:

I. Moment organizatoric

Verificare individuală teme pentru acasă.

II. Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor

1. Antrenamentul reciproc. Întrebări de control(baie de aburi forma organizatorica lucru – verificare reciprocă).
2. Lucrare orală cu comentarii (forma de lucru organizatorică de grup).
3. Muncă independentă(forma individuală de organizare a muncii, autotestare).

III. Mesaj cu subiectul lecției

Forma de organizare a muncii de grup, formularea unei ipoteze, formularea unei reguli.

1. Executarea sarcini de instruire conform manualului (forma organizatorică a muncii de grup).
2. Munca elevilor puternici folosind cartonașe (forma individuală de organizare a muncii).

VI. Pauza fizica

IX. Teme pentru acasă.

Ţintă: dezvoltarea deprinderii de a aduna numere cu semne diferite.

Sarcini:

Formulați o regulă pentru adunarea numerelor cu semne diferite.
Exersați adăugarea numerelor cu semne diferite.
Dezvoltați gândirea logică.
Dezvoltați capacitatea de a lucra în perechi și respectul reciproc.

Material pentru lecție: carduri pentru antrenament reciproc, tabele cu rezultatele muncii, carduri individuale pentru repetare și întărire a materialului, un motto pentru munca individuală, carduri cu o regulă.

ÎN CURILE CURĂRILOR

eu. Organizarea timpului

– Să începem lecția verificând temele individuale. Motto-ul lecției noastre vor fi cuvintele lui Jan Amos Kamensky. Acasă, trebuia să te gândești la cuvintele lui. Cum înțelegi? („Considerați nefericit acea zi sau acea oră în care nu ați învățat nimic nou și nu ați adăugat nimic la educația voastră”)
– Cum înțelegi cuvintele autorului? (Dacă nu învățăm nimic nou, nu dobândim cunoștințe noi, atunci această zi poate fi considerată pierdută sau nefericită. Trebuie să ne străduim să dobândim cunoștințe noi).
– Și astăzi nu va fi nefericit pentru că vom învăța din nou ceva nou.

II. Actualizarea cunoștințelor de bază ale elevilor

- Pentru a studia material nou, trebuie să repeți ceea ce ai învățat.
A fost o sarcină acasă - să repeți regulile și acum îți vei arăta cunoștințele lucrând cu întrebări de testare.

(Întrebări de testare pe tema „Numere pozitive și negative”)

Lucrați în perechi. Evaluare inter pares. Rezultatele lucrării sunt notate în tabel)

Cum se numesc numerele situate în dreapta originii?	Pozitiv
Ce numere se numesc opuse?	Două numere care diferă unul de celălalt doar prin semne sunt numite opuse
Care este modulul unui număr?	Distanța de la punct A(a)înainte de începerea numărătorii inverse, adică până la obiect O(0), numit modulul unui număr
Cum se notează modulul unui număr?	Paranteze drepte
Formulați regula de adunare a numerelor negative?	Pentru a adăuga două numere negative, trebuie să: adăugați modulele lor și puneți semnul minus
Cum se numesc numerele situate în stânga originii?	Negativ
Ce număr este opus zero?	0
Modulul oricărui număr poate fi un număr negativ?	Nu. Distanța nu este niciodată negativă
Precizați regula pentru compararea numerelor negative	Dintre două numere negative, cel al cărui modul este mai mic este mai mare și cel al cărui modul este mai mare este mai mic.
Care este suma numerelor opuse?	0

Răspunsurile la întrebările „+” sunt corecte, „–” sunt incorecte Criterii de evaluare: 5 – „5”; 4 – „4”;3 – „3”

– Care au fost cele mai dificile întrebări?
- La ce ai nevoie finalizarea cu succes Intrebari de securitate? (Cunoașteți regulile)

2. Lucrare orală cu comentarii

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– Ce cunoștințe ai avut nevoie pentru a rezolva 1-5 exemple?

3. Munca independentă

– 86, 52 + (– 6, 3) =	– 92,82
– 49/91 + (– 27/91) =	– 76/91
– 76 + (– 99) =	– 175
– 14 + (– 47) =	– 61
– 123,5 + (– 25, 18) =	– 148,68
6 + (– 10) =

(Autotest. Deschideți răspunsuri în timp ce verificați)

– De ce ți-a creat dificultăți ultimul exemplu?
– Suma a ce numere trebuie găsite și suma a ce numere știm să găsim?

III. Mesaj cu subiectul lecției

– Astăzi la clasă vom învăța regula de adunare a numerelor cu semne diferite. Vom învăța să adunăm numere cu semne diferite. Munca independentă de la sfârșitul lecției vă va arăta progresul.

IV. Învățarea de materiale noi

– Să deschidem caietele, să notăm data, munca la clasă, subiectul lecției „Adăugarea de numere cu semne diferite”.
– Ce se arată pe tablă? (linia de coordonate)

– Demonstrați că aceasta este o linie de coordonate? (Există un punct de referință, o direcție de referință, un segment de unitate)
– Acum vom învăța împreună să adunăm numere cu semne diferite folosind o linie de coordonate.

(Explicația elevilor sub îndrumarea profesorului.)

– Să găsim numărul 0 pe linia de coordonate Trebuie să adăugăm numărul 6 la 0. Facem 6 pași în partea dreaptă a originii numărul 6 este pozitiv (punem un magnet colorat pe numărul 6 rezultat). La 6 adăugăm numărul (– 10), facem 10 pași la stânga originii, deoarece (– 10) este un număr negativ (punem un magnet colorat pe numărul rezultat (– 4).)
– Ce răspuns ai primit? (- 4)
– Cum ai obținut numărul 4? (10 – 6)
Trageți o concluzie: dintr-un număr cu un modul mai mare, scădeți un număr cu un modul mai mic.
– Cum ai primit semnul minus în răspuns?
Trageți o concluzie: am luat semnul unui număr cu un modul mare.
– Să scriem un exemplu într-un caiet:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Rezolvați în mod similar)

Intrare acceptată:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Băieți, voi înșivă ați formulat acum regula pentru adăugarea numerelor cu semne diferite. Îți vom spune presupunerile tale ipoteză. Ai făcut o muncă intelectuală foarte importantă. La fel ca oamenii de știință, ei au prezentat o ipoteză și au descoperit o nouă regulă. Să comparăm ipoteza ta cu regula (o bucată de hârtie cu o regulă tipărită este pe birou). Să citim în cor regulă adunarea numerelor cu semne diferite

– Regula este foarte importantă! Vă permite să adăugați numere de semne diferite fără a utiliza o linie de coordonate.
- Ce nu e clar?
– Unde poți greși?
– Pentru a calcula sarcinile cu numere pozitive și negative corect și fără erori, trebuie să cunoașteți regulile.

V. Consolidarea materialului studiat

– Puteți găsi suma acestor numere pe linia de coordonate?
– Este dificil să rezolvi un astfel de exemplu folosind o linie de coordonate, așa că vom folosi regula pe care ai descoperit-o pentru a-l rezolva.
Sarcina este scrisă pe tablă:
Manual - p. 45; nr. 179 (c, d); nr. 180 (a, b); nr. 181 (b, c)
(Un student puternic lucrează pentru a consolida acest subiect cu un card suplimentar.)

VI. Pauza fizica(Execută în timp ce stai în picioare)

– O persoană are calități pozitive și negative. Distribuiți aceste calități pe linia de coordonate.
(Calitățile pozitive sunt la dreapta punctului de plecare, calitățile negative sunt la stânga punctului de plecare.)
– Dacă calitatea este negativă, bate din palme o dată, dacă este pozitivă, aplaudă de două ori. Atenție!
– Bunătate, mânie, lăcomie , asistenta reciproca, înţelegere, grosolănie și, bineînțeles, puterea voinţeiȘi dorinta de a castiga, de care veți avea nevoie acum, deoarece aveți o muncă independentă înainte)
VII. Munca individuala urmată de verificare reciprocă

Opțiunea 1	Opțiunea 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =

Munca individuală (pentru puternic elevi) urmată de verificare reciprocă

Opțiunea 1	Opțiunea 2
– 100 + (20) =	– 100 + (30) =
100 + (– 20) =	100 + (– 30) =
56 + (– 28) =	73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) =	5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 =	– 43 + 35 =
100 + (– 28) =	100 + (– 39) =
56 + (– 27) =	73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) =	– 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 =	– 43 + 39 =

VIII. Rezumând lecția. Reflecţie

– Cred că ați lucrat activ, cu sârguință, ați participat la descoperirea de noi cunoștințe, v-ați exprimat părerea, acum vă pot evalua munca.
– Spuneți-mi, băieți, ce este mai eficient: să primiți informații gata făcute sau să gândiți singuri?
– Ce nou am învățat la lecție? (Am învățat să adunăm numere cu semne diferite.)
– Numiți regula de adunare a numerelor cu semne diferite.
– Spune-mi, nu a fost lecția noastră de azi în zadar?
- De ce? (Am dobândit noi cunoștințe.)
- Să revenim la motto. Aceasta înseamnă că Jan Amos Kamensky a avut dreptate când a spus: „Gândiți-vă nefericit în ziua sau acea oră în care nu ați învățat nimic nou și nu ați adăugat nimic la educația voastră.”

IX. Teme pentru acasă

Învață regula (card), p. 45, nr. 184.
Sarcina individuală - după cum înțelegeți cuvintele lui Roger Bacon: „O persoană care nu știe matematică nu este capabilă de alte științe. Mai mult, nici măcar nu este capabil să aprecieze nivelul ignoranței sale?

Instrucțiuni

Există patru tipuri de operații matematice: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. Prin urmare, vor exista patru tipuri de exemple. Numerele negative din exemplu sunt evidențiate pentru a nu încurca operația matematică. De exemplu, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) sau 34:(-17).

Plus. Această acțiune poate arăta astfel: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Acțiune de înlocuire: mai întâi se deschid parantezele, se schimbă semnul „+” la opus, apoi din numărul mai mare (modulo) „6” se scade cel mai mic, „3”, după care răspunsului i se atribuie semn mai mare, adică „-”.
2) -3+6=3. Aceasta poate fi scrisă după principiul („6-3”) sau după principiul „scădeți cel mai mic din cel mai mare și atribuiți răspunsului semnul celui mai mare”.
3) -3+(-6)=-3-6=-9. La deschidere, acțiunea de adunare este înlocuită cu scăderea, apoi modulele sunt însumate și rezultatul primește semnul minus.

Scăderea.1) 8-(-5)=8+5=13. Se deschid parantezele, se inversează semnul acțiunii și se obține un exemplu de adunare.
2) -9-3=-12. Elementele exemplului sunt adăugate și obținute semn general "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. La deschiderea parantezelor, semnul se schimbă din nou în „+”, apoi de la Mai mult numărul mai mic este scăzut și semnul numărului mai mare este eliminat din răspuns.

Înmulțirea și împărțirea: Când se efectuează înmulțirea sau împărțirea, semnul nu afectează operația în sine. La înmulțirea sau împărțirea numerelor cu răspunsul, se atribuie un semn „minus” dacă numerele au aceleași semne, rezultatul are întotdeauna semnul „plus” 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Surse:

masa cu cons

Cum să decizi exemple? Copiii apelează adesea la părinți cu această întrebare dacă temele trebuie făcute acasă. Cum să explici corect unui copil soluția la exemple de adunare și scădere a numerelor cu mai multe cifre? Să încercăm să ne dăm seama.

Vei avea nevoie

1. Manual de matematică.
2. Hârtie.
3. Mâner.

Instrucțiuni

Citiți exemplul. Pentru a face acest lucru, împărțiți fiecare multivaloare în clase. Începând de la sfârșitul numărului, numărați trei cifre o dată și puneți un punct (23.867.567). Să ne amintim că primele trei cifre de la sfârșitul numărului sunt la unități, următoarele trei sunt la clasă, apoi vin milioane. Citim numărul: douăzeci și trei opt sute șaizeci și șapte de mii șaizeci și șapte.

Scrieți un exemplu. Vă rugăm să rețineți că unitățile fiecărei cifre sunt scrise strict una sub cealaltă: unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute etc.

Efectuați adunarea sau scăderea. Începeți să efectuați acțiunea cu unități. Notați rezultatul în categoria cu care ați efectuat acțiunea. Dacă rezultatul este number(), atunci scriem unitățile în locul răspunsului și adăugăm numărul de zeci la unitățile cifrei. Dacă numărul de unități ale oricărei cifre din minuend este mai mic decât din subtraend, luăm 10 unități din următoarea cifră și executăm acțiunea.

Citiți răspunsul.

Video pe tema

Notă

Interziceți-i copilului să folosească un calculator chiar și pentru a verifica soluția unui exemplu. Adunarea este testată prin scădere, iar scăderea este testată prin adunare.

Sfaturi utile

Dacă un copil înțelege bine tehnicile de calcul scris în 1000, atunci operațiunile cu numere cu mai multe cifre, efectuate într-o manieră analogă, nu vor cauza dificultăți.
Oferă copilului tău un concurs pentru a vedea câte exemple poate rezolva în 10 minute. O astfel de instruire va ajuta la automatizarea tehnicilor de calcul.

Înmulțirea este una dintre cele patru operații matematice de bază care stau la baza multor mai multe funcții complexe. De fapt, înmulțirea se bazează pe operația de adunare: cunoașterea acesteia vă permite să rezolvați corect orice exemplu.

Pentru a înțelege esența operației de înmulțire, este necesar să țineți cont de faptul că sunt implicate trei componente principale în aceasta. Unul dintre ei se numește primul factor și este un număr care este supus operației de înmulțire. Din acest motiv, are un al doilea nume, ceva mai puțin comun - „multiplicabil”. A doua componentă a operației de înmulțire se numește de obicei al doilea factor: reprezintă numărul cu care se înmulțește multiplicatorul. Astfel, ambele componente sunt numite multiplicatori, ceea ce subliniază statutul lor egal, precum și faptul că pot fi schimbate: rezultatul înmulțirii nu se va schimba. În sfârșit, a treia componentă a operației de înmulțire, rezultată din rezultatul acesteia, se numește produs.

Esența operației de înmulțire se bazează pe o operație aritmetică mai simplă -. De fapt, înmulțirea este suma primului factor, sau multiplicand, de un număr de ori care corespunde celui de-al doilea factor. De exemplu, pentru a înmulți 8 cu 4, trebuie să adăugați numărul 8 de 4 ori, rezultând 32. Această metodă, pe lângă faptul că oferă o înțelegere a esenței operației de înmulțire, poate fi folosită pentru a verifica rezultatul obținut. la calcularea produsului dorit. Trebuie avut în vedere că verificarea presupune în mod necesar că termenii implicați în însumare sunt identici și corespund primului factor.

Astfel, pentru a rezolva problema asociată cu necesitatea efectuării înmulțirii, poate fi suficient să adăugați numărul necesar de primii factori de un anumit număr de ori. Această metodă poate fi convenabilă pentru a efectua aproape orice calcule legate de această operație. În același timp, în matematică există destul de des numere standard care implică numere întregi standard dintr-o singură cifră. Pentru a le facilita calculul, a fost creat așa-numitul sistem de înmulțire, care include o listă completă de produse ale numerelor întregi pozitive dintr-o singură cifră, adică numere de la 1 la 9. Astfel, odată ce ai învățat, poți semnificativ facilitează procesul de rezolvare a exemplelor de înmulțire, pe baza utilizării unor astfel de numere. Cu toate acestea, pentru mai mult opțiuni complexe Va trebui să efectuați singur această operație matematică.

Video pe tema

Surse:

Înmulțirea în 2019

Înmulțirea este una dintre cele patru operații aritmetice de bază, care este adesea folosită atât la școală, cât și la școală Viata de zi cu zi. Cum poți înmulți rapid două numere?

La baza celor mai complexe calcule matematice se află cele patru operații aritmetice de bază: scăderea, adunarea, înmulțirea și împărțirea. Mai mult, în ciuda independenței lor, aceste operațiuni, la o examinare mai atentă, se dovedesc a fi interconectate. O astfel de legătură există, de exemplu, între adunare și înmulțire.

Există trei elemente principale implicate în operația de înmulțire. Primul dintre acestea, numit de obicei primul factor sau multiplicand, este numărul care va fi supus operației de înmulțire. Al doilea, numit al doilea factor, este numărul cu care primul factor va fi înmulțit. În fine, rezultatul operației de înmulțire efectuată se numește cel mai adesea produs.

Trebuie amintit că esența operației de înmulțire se bazează de fapt pe adunare: pentru a o realiza, este necesar să se adună un anumit număr de primii factori, iar numărul de termeni ai acestei sume trebuie să fie egal cu al doilea. factor. Pe lângă calcularea produsului dintre cei doi factori în cauză, acest algoritm poate fi folosit și pentru a verifica rezultatul rezultat.

Să ne uităm la soluțiile problemelor de înmulțire. Să presupunem că, în funcție de condițiile sarcinii, este necesar să se calculeze produsul a două numere, dintre care primul factor este 8, iar al doilea este 4. În conformitate cu definiția operației de înmulțire, aceasta înseamnă de fapt că trebuie să adăugați numărul 8 de 4 ori. Rezultatul este 32 - acesta este produsul numerelor în cauză, adică rezultatul înmulțirii lor.

În plus, trebuie amintit că așa-numita lege comutativă se aplică operației de înmulțire, care prevede că schimbarea locurilor factorilor din exemplul original nu va schimba rezultatul acestuia. Astfel, puteți adăuga numărul de 4 de 8 ori, rezultând același produs - 32.

Este clar că rezolvarea unui număr mare de exemple similare în acest fel este o sarcină destul de obositoare. Pentru a facilita această sarcină, a fost inventată așa-numita înmulțire. De fapt, este o listă de produse de numere întregi pozitive cu o singură cifră. Mai simplu spus, o tabelă de înmulțire este un set de rezultate ale înmulțirii între 1 și 9. Odată ce ai învățat această tabelă, nu mai poți recurge la înmulțire de fiecare dată când trebuie să rezolvi un exemplu pentru numere atât de simple, ci pur și simplu amintiți-vă rezultatul acesteia.

Video pe tema

În această lecție vom învăța adunarea și scăderea numerelor întregi, precum și reguli pentru adunarea și scăderea lor.

Amintiți-vă că numerele întregi sunt toate numere pozitive și negative, precum și numărul 0. De exemplu, următoarele numere sunt numere întregi:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Numerele pozitive sunt ușoare și. Din păcate, nu același lucru se poate spune despre numerele negative, care confundă mulți începători cu minusurile lor în fața fiecărui număr. După cum arată practica, greșelile făcute din cauza numerelor negative îi frustrează cel mai mult pe elevi.

Conținutul lecției

Primul lucru pe care ar trebui să-l învățați este să adăugați și să scădeți numere întregi folosind o linie de coordonate. Nu este deloc necesar să trasezi o linie de coordonate. Este suficient să-ți imaginezi în gândurile tale și să vezi unde se află numerele negative și unde sunt cele pozitive.

Să considerăm cea mai simplă expresie: 1 + 3. Valoarea acestei expresii este 4:

Acest exemplu poate fi înțeles folosind o linie de coordonate. Pentru a face acest lucru, din punctul în care se află numărul 1, trebuie să deplasați trei pași la dreapta. Drept urmare, ne vom găsi în punctul în care se află numărul 4. În figură puteți vedea cum se întâmplă acest lucru:

Semnul plus din expresia 1 + 3 ne spune că ar trebui să ne deplasăm la dreapta în direcția creșterii numerelor.

Exemplul 2. Să găsim valoarea expresiei 1 - 3.

Valoarea acestei expresii este −2

Acest exemplu poate fi din nou înțeles folosind o linie de coordonate. Pentru a face acest lucru, din punctul în care se află numărul 1, trebuie să vă deplasați la stânga trei pași. Ca urmare, ne vom afla în punctul în care se află numărul negativ −2. În imagine puteți vedea cum se întâmplă acest lucru:

Semnul minus din expresia 1 − 3 ne spune că ar trebui să ne deplasăm la stânga în direcția numerelor descrescătoare.

În general, trebuie să vă amintiți că, dacă se efectuează adăugarea, atunci trebuie să vă deplasați la dreapta în direcția creșterii. Dacă se efectuează scăderea, atunci trebuie să vă deplasați la stânga în direcția scăderii.

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei −2 + 4

Valoarea acestei expresii este 2

Acest exemplu poate fi din nou înțeles folosind o linie de coordonate. Pentru a face acest lucru, din punctul în care se află numărul negativ -2, trebuie să deplasați patru pași la dreapta. Ca urmare, ne vom găsi în punctul în care se află numărul pozitiv 2.

Se poate observa că ne-am mutat din punctul în care se află numărul negativ −2 în partea dreaptă cu patru pași și am ajuns în punctul în care se află numărul pozitiv 2.

Semnul plus din expresia −2 + 4 ne spune că ar trebui să ne deplasăm la dreapta în direcția creșterii numerelor.

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei −1 − 3

Valoarea acestei expresii este −4

Acest exemplu poate fi rezolvat din nou folosind o linie de coordonate. Pentru a face acest lucru, din punctul în care se află numărul negativ -1, trebuie să vă deplasați la stânga trei pași. Ca urmare, ne vom afla în punctul în care se află numărul negativ −4

Se poate observa că ne-am mutat din punctul în care se află numărul negativ −1 în partea stângă cu trei pași și am ajuns în punctul în care se află numărul negativ −4.

Semnul minus din expresia −1 − 3 ne spune că ar trebui să ne deplasăm la stânga în direcția numerelor descrescătoare.

Exemplul 5. Aflați valoarea expresiei −2 + 2

Valoarea acestei expresii este 0

Acest exemplu poate fi rezolvat folosind o linie de coordonate. Pentru a face acest lucru, din punctul în care se află numărul negativ -2, trebuie să deplasați doi pași la dreapta. Ca urmare, ne vom găsi în punctul în care se află numărul 0

Se poate observa că ne-am mutat din punctul în care numărul negativ −2 este situat în partea dreaptă cu doi pași și am ajuns în punctul în care se află numărul 0.

Semnul plus din expresia −2 + 2 ne spune că ar trebui să ne deplasăm la dreapta în direcția creșterii numerelor.

Pentru a adăuga sau scădea numere întregi, nu este deloc necesar să ne imaginăm o linie de coordonate de fiecare dată, cu atât mai puțin să o desenăm. Este mai convenabil să folosiți reguli gata făcute.

Atunci când aplicați regulile, trebuie să acordați atenție semnului operației și semnelor numerelor care trebuie adăugate sau scăzute. Aceasta va determina ce regulă să se aplice.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei −2 + 5

Aici se adaugă un număr pozitiv unui număr negativ. Cu alte cuvinte, se adaugă numere cu semne diferite. −2 este un număr negativ, iar 5 este un număr pozitiv. În astfel de cazuri, se aplică următoarea regulă:

Pentru a adăuga numere cu semne diferite, trebuie să scădeți modulul mai mic din modulul mai mare, iar înainte de răspunsul rezultat puneți semnul numărului al cărui modul este mai mare.

Deci, să vedem care modul este mai mare:

Modulul numărului 5 este mai mare decât modulul numărului −2. Regula impune scăderea celui mai mic din modulul mai mare. Prin urmare, trebuie să scădem 2 din 5, iar înainte de răspunsul rezultat punem semnul numărului al cărui modul este mai mare.

Numărul 5 are un modul mai mare, deci semnul acestui număr va fi în răspuns. Adică răspunsul va fi pozitiv:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

De obicei scris mai scurt: −2 + 5 = 3

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 3 + (−2)

Aici, ca și în exemplul precedent, se adaugă numere cu semne diferite. 3 este un număr pozitiv, iar −2 este un număr negativ. Rețineți că −2 este inclus în paranteze pentru a face expresia mai clară. Această expresie este mult mai ușor de înțeles decât expresia 3+−2.

Deci, să aplicăm regula pentru adunarea numerelor cu semne diferite. Ca și în exemplul anterior, scădem modulul mai mic din modulul mai mare și înainte de răspuns punem semnul numărului al cărui modul este mai mare:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Modulul numărului 3 este mai mare decât modulul numărului −2, deci am scăzut 2 din 3, iar înainte de răspunsul rezultat punem semnul numărului al cărui modul este mai mare. Numărul 3 are un modul mai mare, motiv pentru care semnul acestui număr este inclus în răspuns. Adică răspunsul este pozitiv.

De obicei scris mai scurt 3 + (−2) = 1

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 3 - 7

În această expresie, un număr mai mare este scăzut dintr-un număr mai mic. Într-un astfel de caz se aplică următoarea regulă:

Pentru a scădea un număr mai mare dintr-un număr mai mic, trebuie să scădeți numărul mai mic din numărul mai mare și să puneți un minus în fața răspunsului rezultat.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Există o ușoară captură în această expresie. Să ne amintim că semnul egal (=) este plasat între cantități și expresii atunci când acestea sunt egale între ele.

Valoarea expresiei 3 − 7, după cum am învățat, este −4. Aceasta înseamnă că orice transformări pe care le vom efectua în această expresie trebuie să fie egală cu −4

Dar vedem că la a doua etapă există o expresie 7 − 3, care nu este egală cu −4.

Pentru a corecta această situație, trebuie să puneți expresia 7 − 3 între paranteze și să puneți un minus în fața acestei paranteze:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

În acest caz, egalitatea va fi respectată în fiecare etapă:

După ce expresia a fost calculată, parantezele pot fi îndepărtate, ceea ce am făcut.

Deci, pentru a fi mai precis, soluția ar trebui să arate astfel:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Această regulă poate fi scrisă folosind variabile. Va arăta astfel:

a − b = − (b − a)

Un număr mare de paranteze și semne de operație pot complica rezolvarea unei probleme aparent simple, așa că este mai indicat să învățați cum să scrieți pe scurt astfel de exemple, de exemplu 3 − 7 = − 4.

De fapt, adunarea și scăderea numerelor întregi nu se rezumă la nimic mai mult decât adunare. Aceasta înseamnă că, dacă trebuie să scădeți numere, această operație poate fi înlocuită cu adunarea.

Deci, haideți să facem cunoștință cu noua regulă:

Scăderea unui număr dintr-altul înseamnă adăugarea la minuend a unui număr opus celui care se scade.

De exemplu, luați în considerare cea mai simplă expresie 5 − 3. On etapele inițiale studiind matematica, am pus un semn egal și am notat răspunsul:

Dar acum progresăm în studiul nostru, așa că trebuie să ne adaptăm la noile reguli. Noua regulă spune că scăderea unui număr dintr-altul înseamnă adăugarea la minuend a aceluiași număr ca și subtraend.

Să încercăm să înțelegem această regulă folosind exemplul expresiei 5 - 3. Minuendul din această expresie este 5, iar subtraendul este 3. Regula spune că, pentru a scădea 3 din 5, trebuie să adăugați la 5 un număr care este opusul lui 3. Opusul numărului 3 este -3 . Să scriem o nouă expresie:

Și știm deja cum să găsim semnificații pentru astfel de expresii. Aceasta este adăugarea numerelor cu semne diferite, la care ne-am uitat mai devreme. Pentru a adăuga numere cu semne diferite, scădem modulul mai mic din modulul mai mare, iar înainte de răspunsul rezultat punem semnul numărului al cărui modul este mai mare:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Modulul numărului 5 este mai mare decât modulul numărului −3. Prin urmare, am scăzut 3 din 5 și am obținut 2. Numărul 5 are un modul mai mare, așa că am pus semnul acestui număr în răspuns. Adică răspunsul este pozitiv.

La început, nu toată lumea este capabilă să înlocuiască rapid scăderea cu adunarea. Acest lucru se datorează faptului că numerele pozitive sunt scrise fără semnul plus.

De exemplu, în expresia 3 − 1, semnul minus care indică scăderea este un semn de operație și nu se referă la unul. Unul în acest caz este un număr pozitiv și are propriul său semn plus, dar nu îl vedem, deoarece un plus nu se scrie înaintea numerelor pozitive.

Prin urmare, pentru claritate, această expresie poate fi scrisă după cum urmează:

(+3) − (+1)

Pentru comoditate, numerele cu propriile lor semne sunt plasate între paranteze. În acest caz, înlocuirea scăderii cu adunarea este mult mai ușoară.

În expresia (+3) − (+1), numărul care se scade este (+1), iar numărul opus este (−1).

Să înlocuim scăderea cu adunarea și în loc de scădere (+1) scriem numărul opus (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Calculele ulterioare nu vor fi dificile.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

La prima vedere, s-ar putea părea că nu are rost în aceste mișcări suplimentare dacă puteți folosi metoda veche bună pentru a pune un semn egal și imediat scrieți răspunsul 2. De fapt, această regulă ne va ajuta de mai multe ori.

Să rezolvăm exemplul anterior 3 − 7 folosind regula scăderii. Mai întâi, să aducem expresia într-o formă clară, atribuind fiecărui număr propriile semne.

Trei are semnul plus pentru că este un număr pozitiv. Semnul minus care indică scăderea nu se aplică la șapte. Șapte are un semn plus deoarece este un număr pozitiv:

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Calculul suplimentar nu este dificil:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Exemplul 7. Aflați valoarea expresiei −4 − 5

Din nou avem o operație de scădere. Această operațiune trebuie înlocuită cu adăugare. La minuend (−4) adăugăm numărul opus subtraendului (+5). Numărul opus pentru subtraend (+5) este numărul (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Am ajuns într-o situație în care trebuie să adunăm numere negative. În astfel de cazuri, se aplică următoarea regulă:

Pentru a adăuga numere negative, trebuie să adăugați modulele acestora și să puneți un minus în fața răspunsului rezultat.

Deci, să adunăm modulele de numere, așa cum ne cere regula, și să punem un minus în fața răspunsului rezultat:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Intrarea cu module trebuie să fie cuprinsă între paranteze și înaintea acestor paranteze trebuie plasat un semn minus. În acest fel, vom oferi un minus care ar trebui să apară înainte de răspuns:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Solutie pt acest exemplu se poate scrie pe scurt:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

sau chiar mai scurt:

−4 − 5 = −9

Exemplul 8. Aflați valoarea expresiei −3 − 5 − 7 − 9

Să aducem expresia într-o formă clară. Aici, toate numerele cu excepția −3 sunt pozitive, deci vor avea semne plus:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Să înlocuim scăderile cu adunări. Toate minusurile, cu excepția minusului din fața celor trei, se vor schimba în plusuri, iar toate numerele pozitive se vor schimba la opus:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Acum să aplicăm regula pentru adunarea numerelor negative. Pentru a adăuga numere negative, trebuie să adăugați modulele acestora și să puneți un minus în fața răspunsului rezultat:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Soluția acestui exemplu poate fi scrisă pe scurt:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

sau chiar mai scurt:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Exemplul 9. Aflați valoarea expresiei −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Să aducem expresia într-o formă clară:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Există două operații aici: adunarea și scăderea. Lăsăm adunarea neschimbată și înlocuim scăderea cu adunarea:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Observând, vom efectua fiecare acțiune pe rând, pe baza regulilor învățate anterior. Intrările cu module pot fi omise:

Prima acțiune:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

A doua acțiune:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

A treia acțiune:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

A patra acțiune:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Astfel, valoarea expresiei −10 + 6 − 15 + 11 − 7 este −15

Notă. Nu este deloc necesar să aducem expresia într-o formă ușor de înțeles prin includerea numerelor în paranteze. Când apare obișnuirea cu numerele negative, acest pas poate fi omis, deoarece consumă mult timp și poate fi confuz.

Deci, pentru a adăuga și scădea numere întregi, trebuie să vă amintiți următoarele reguli:

Alăturați-vă noului nostru grup VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

În acest articol ne vom ocupa adunarea numerelor cu semne diferite. Aici vom da o regulă pentru adăugarea numerelor pozitive și negative și vom lua în considerare exemple de aplicare a acestei reguli atunci când adunăm numere cu semne diferite.

Navigare în pagină.

Întrebări/întrebări

Sine/muncă

Ind/ lucru

Sa luam in considerare exemple de adunare de numere cu semne diferite conform regulii discutate la paragraful precedent. Să începem cu un exemplu simplu.

Exemplu.

Adăugați numerele -5 și 2.

Soluţie.

Trebuie să adăugăm numere cu semne diferite. Să urmăm toți pașii prescriși de regula pentru adăugarea numerelor pozitive și negative.

În primul rând, găsim modulele termenilor ei sunt egali cu 5, respectiv 2.

Modulul numărului −5 este mai mare decât modulul numărului 2, așa că rețineți semnul minus.

Rămâne să punem semnul minus amintit în fața numărului rezultat, obținem −3. Aceasta completează adăugarea numerelor cu semne diferite.

Răspuns:

(−5)+2=−3 .

Pentru a adăuga numere raționale cu semne diferite care nu sunt numere întregi, acestea ar trebui să fie reprezentate ca fracții obișnuite (puteți lucra și cu zecimale, dacă acest lucru este convenabil). Să ne uităm la acest punct când rezolvăm următorul exemplu.

Exemplu.

Adăugați un număr pozitiv și un număr negativ -1,25.

Soluţie.

Să reprezentăm numerele în formă fracții obișnuite, pentru a face acest lucru, vom efectua trecerea de la un număr mixt la o fracție improprie: , și vom converti fracția zecimală într-o fracție obișnuită: .

Acum puteți folosi regula pentru a adăuga numere cu semne diferite.

Modulele numerelor adăugate sunt 17/8 și 5/4. Pentru comoditatea acțiunilor ulterioare, aducem fracțiile la un numitor comun, ca rezultat avem 17/8 și 10/8.

Acum trebuie să comparăm fracțiile comune 17/8 și 10/8. Din 17>10, atunci . Astfel, termenul cu semnul plus are un modul mai mare, prin urmare, rețineți semnul plus.

Acum scădem pe cel mai mic din modulul mai mare, adică scădem fracții cu aceiași numitori: .

Tot ce rămâne este să punem semnul plus amintit în fața numărului rezultat, obținem , dar - acesta este numărul 7/8.