Mobila si accesorii
Algoritm pentru trasarea unei funcții liniare cu modul. Grafice de funcții cu modul

Algoritm pentru trasarea unei funcții liniare cu modul. Grafice de funcții cu modul

Semnul modulului este poate unul dintre cele mai multe fenomene interesanteîn matematică. În acest sens, mulți școlari au o întrebare despre cum să construiască grafice ale funcțiilor care conțin un modul. Să ne uităm la această problemă în detaliu.

1. Trasarea graficelor de funcții care conțin un modul

Exemplul 1.

Reprezentați grafic funcția y = x 2 – 8|x| + 12.

Soluţie.

Să determinăm paritatea funcției. Valoarea pentru y(-x) este aceeași cu valoarea pentru y(x), deci această funcție este pară. Apoi graficul său este simetric față de axa Oy. Reprezentăm grafic funcția y = x 2 – 8x + 12 pentru x ≥ 0 și afișam simetric graficul față de Oy pentru x negativ (Fig. 1).

Exemplul 2.

Următorul grafic arată ca y = |x 2 – 8x + 12|.

– Care este intervalul de valori al funcției propuse? (y ≥ 0).

– Cum se află programul? (Deasupra sau atingând axa x).

Aceasta înseamnă că graficul funcției se obține după cum urmează: reprezentați graficul funcției y = x 2 – 8x + 12, lăsați neschimbată partea din grafic care se află deasupra axei Ox și partea din grafic care se află sub axa absciselor este afișată simetric față de axa Ox (Fig. 2).

Exemplul 3.

Pentru a reprezenta grafic funcția y = |x 2 – 8|x| + 12| efectuați o combinație de transformări:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|.

Răspuns: Figura 3.

Transformările luate în considerare sunt valabile pentru toate tipurile de funcții. Să facem un tabel:

2. Trasarea graficelor de funcții care conțin „module imbricate” în formulă

Am văzut deja exemple de funcție pătratică care conține un modul, precum și reguli generale construind grafice de funcții de forma y = f(|x|), y = |f(x)| și y = |f(|x|)|. Aceste transformări ne vor ajuta atunci când luăm în considerare următorul exemplu.

Exemplul 4.

Se consideră o funcție de forma y = |2 – |1 – |x|||. Expresia funcției conține „module imbricate”.

Soluţie.

Să folosim metoda transformărilor geometrice.

Să notăm un lanț de transformări secvențiale și să facem un desen corespunzător (Fig. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Să luăm în considerare cazurile în care transformările de simetrie și translație paralelă nu sunt tehnica principală atunci când construim grafice.

Exemplul 5.

Construiți un grafic al unei funcții de forma y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2.

Soluţie.

Înainte de a construi un grafic, transformăm formula care definește funcția și obținem o altă atribuire analitică a funcției (Fig. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Să extindem modulul la numitor:

Pentru x > -2, y = x – 2, iar pentru x< -2, y = -(x – 2).

Domeniul D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Interval de valori E(y) = (-4; +∞).

Punctele în care graficul intersectează axa de coordonate: (0; -2) și (2; 0).

Funcția scade pentru tot x din intervalul (-∞; -2), crește pentru x de la -2 la +∞.

Aici a trebuit să dezvăluim semnul modulului și să trasăm funcția pentru fiecare caz.

Exemplul 6.

Se consideră funcția y = |x + 1| – |x – 2|.

Soluţie.

Extinderea semnului unui modul, este necesar să se ia în considerare fiecare combinație posibilă de semne ale expresiilor submodulare.

Există patru cazuri posibile:

(x + 1 – x + 2 = 3, pentru x ≥ -1 și x ≥ 2;

(-x – 1 + x – 2 = -3, la x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, pentru x ≥ -1 și x< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, la x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Apoi funcția originală va arăta astfel:

(3, pentru x ≥ 2;

y = (-3, la x< -1;

(2x – 1, cu -1 ≤ x< 2.

Am obținut o funcție dată pe bucăți, al cărei grafic este prezentat în Figura 6.

3. Algoritm pentru construirea graficelor de funcții de forma

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + topor + b.

În exemplul anterior, a fost destul de ușor să dezvăluiți semnele de modul. Dacă există mai multe sume de module, atunci este problematic să luăm în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulare. Cum, în acest caz, să construim un grafic al funcției?

Rețineți că graficul este o linie întreruptă, cu vârfuri în puncte având abscisele -1 și 2. La x = -1 și x = 2, expresiile submodulare sunt egale cu zero. În practică, ne-am apropiat de regula pentru construirea unor astfel de grafice:

Un grafic al unei funcții de forma y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b este o linie întreruptă cu legături extreme infinite. Pentru a construi o astfel de linie întreruptă, este suficient să cunoașteți toate vârfurile acesteia (abscisele vârfurilor sunt zerourile expresiilor submodulare) și un punct de control pe legăturile infinite stânga și dreapta.

Sarcină.

Reprezentați grafic funcția y = |x| + |x – 1| + |x + 1| și găsiți-i cea mai mică valoare.

Soluţie:

Zerourile expresiilor submodulare: 0; -1; 1. Vârfurile liniei întrerupte (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Punct de control în dreapta (2; 6), în stânga (-2; 6). Construim un grafic (Fig. 7). min f(x) = 2.

Mai ai întrebări? Nu știți cum să reprezentați grafic o funcție cu un modul?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Introducere……………………………………………………………. 3

I. Graficul unei funcții pătratice care conține o variabilă
sub semnul valorii absolute
1.1. Definiții și proprietăți de bază………………………… 4
1.2. Trasarea unui grafic al unei funcții pătratice care conține
variabilă sub semnul modulului…………………………… 5
II. Trasarea unui grafic al unei funcții pătratice care conține
variabilă sub semnul modulului din program
Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Concluzie…………………………………………………. …. 15
Lista literaturii utilizate………………………………….. 16

Introducere

A trebuit să-mi împart timpul între politică și ecuații. Cu toate acestea, ecuațiile, după părerea mea, sunt mult mai importante, pentru că politica există doar pentru în acest moment, iar ecuațiile vor exista pentru totdeauna.

A. Einstein.

Când semnul modulului este inclus în ecuațiile „standard” de linii, parabole și hiperbole, graficele lor devin neobișnuite și chiar frumoase. Pentru a învăța cum să construiți astfel de grafice, trebuie să stăpâniți tehnicile de construire a figurilor de bază, precum și să cunoașteți și să înțelegeți cu fermitate definiția modulului unui număr. La cursul de matematică din școală, graficele cu modulul nu sunt discutate suficient de aprofundat, motiv pentru care mi-am dorit să-mi extind cunoștințele pe această temă și să-mi fac propriile cercetări.
Scopul lucrării este de a lua în considerare construcția unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului.
Obiect de studiu: graficul unei funcții pătratice.
Obiectul cercetării: modificări ale graficului unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute.
Sarcini:
1) Studiați literatura de specialitate privind proprietățile valorii absolute și ale funcției pătratice.
2) Investigați modificările graficului unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute.
3) Învățați să reprezentați grafic ecuații folosind diferite programe de graficare, inclusiv Microsoft Excel.
Metode de cercetare:
1) teoretic (stadiul logic al cunoașterii);
2) empiric (cercetare, experiment);
3) modelare.
Semnificația practică a muncii mele este:
1) în utilizarea cunoștințelor dobândite pe această temă, precum și în aprofundarea și aplicarea acestora la alte funcții și ecuații;
2) în utilizarea deprinderilor munca de cercetareîn viitor activități educaționale.

I. Graficul unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul valorii absolute

1.1. Definiții și proprietăți de bază.

Funcția este unul dintre cele mai importante concepte matematice. O funcție este o astfel de dependență a variabilei y de variabila x, în care fiecare valoare a variabilei x corespunde sens unic variabila y.
Metode pentru specificarea unei funcții:
1) metoda analitică (funcția este specificată folosind formula matematica);
2) metoda tabulară (funcția este specificată folosind un tabel);
3) metoda descriptivă (funcția este specificată prin descriere verbală);
4) metoda grafică (funcția este specificată folosind un grafic).
Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valoarea argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.
Funcția definită prin formula y=ax2+inx+c, unde x și y sunt variabile, iar parametrii a, b și c sunt orice numere reale, cu 0, se numește pătratică.
Graficul funcției y=ax2+inx+c este o parabolă; axa de simetrie a parabolei y=ax2+inx+c este o linie dreaptă, pentru a>0 „ramurile” parabolei sunt îndreptate în sus, pentru o<0 – вниз.
Pentru a reprezenta grafic o funcție pătratică, aveți nevoie de:
1) găsiți coordonatele vârfului parabolei și marcați-l în planul de coordonate;
2) construiți mai multe puncte aparținând parabolei;
3) conectați punctele marcate cu o linie netedă.
Coordonatele vârfului parabolei sunt determinate de formulele:
, .

Valoarea absolută a unui număr pozitiv este numărul pozitiv în sine; valoarea absolută a unui număr negativ este numărul pozitiv opus. Se presupune că valoarea absolută a lui zero este zero, adică.

.
Proprietăți:
1) Valoarea absolută a sumei numerelor nu este mai mare decât suma valorilor absolute ale termenilor săi, adică.
|a+b| |a|+|b|
2) Valoarea absolută a diferenței dintre două numere nu este mai mică decât diferența dintre valorile absolute ale acestor numere, adică.
|a-c| |a|-|b| sau |a-c| |v|-|a|
3) Valoarea absolută a produsului este egală cu produsul valorilor absolute ale factorilor, adică.
|a în|=|a| |in|
4) Valoarea absolută a coeficientului este egală cu câtul de împărțire a valorilor absolute ale dividendului și divizorului, adică.

5) Valoarea absolută a unui grad cu un exponent întreg pozitiv este egală cu același grad al valorii absolute a bazei, i.e.
|аn|=|a|n.

1.2. Trasarea unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului.

…Informațiile matematice pot fi folosite cu pricepere și util doar dacă sunt stăpânite în mod creativ, astfel încât elevul să vadă singur cum ar putea ajunge singur la ele.
UN. Kolmogorov.

Pentru a construi grafice ale funcțiilor care conțin semnul modulului, ca în rezolvarea ecuațiilor, mai întâi găsiți rădăcinile expresiilor sub semnul modulului. Ca urmare, axa Ox este împărțită în intervale. Îndepărtăm semnele de modul luând fiecare expresie din fiecare interval cu un anumit semn, pe care îl găsim folosind metoda intervalului.
În fiecare interval se obține o funcție fără semn de modul. Construim un grafic al fiecărei funcție în fiecare interval.

În cel mai simplu caz, când o singură expresie se află sub semnul modulului și nu există alți termeni fără semnul modulului, puteți reprezenta graficul funcției omițând semnul modulului și apoi afișați partea din grafic situată în regiunea lui valori y negative în raport cu axa Ox.

Să arătăm cu exemple câteva tehnici de construire a graficelor de funcții cu module.

Exemplul 1.
Mai întâi, să construim o parabolă y = x2 – 6x +5. Pentru a obține din acesta graficul funcției y = |x2 - 6x + 5|, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa Ox (Fig. 1).

Exemplul 2.
Se consideră graficul funcției y = |x|2– 6x +5.
Pentru că |x| este la pătrat, atunci indiferent de semnul numărului x după pătrat va fi pozitiv. Rezultă că graficul funcției y =|x|2 - 6x +5 va fi identic cu graficul funcției y = x2 - 6x +5, adică. graficul unei funcții care nu conține un semn de valoare absolută (Fig. 2).

Fig.2
Exemplul 3.
Se consideră graficul funcției y = x2 – 6|x| +5.
Folosind definiția modulului unui număr, înlocuim formula
y = x2 – 6|x| +5
Acum avem de-a face cu alocarea familiară a dependenței pe bucăți. Vom construi graficul astfel:
1) construiți o parabolă y = x2 - 6x +5 și încercuiți acea parte a acesteia care corespunde valorilor nenegative ale lui x, adică. partea situată în dreapta axei Oy.
2) în același plan de coordonate, construiți o parabolă y = x2 +6x +5 și încercuiți acea parte a acesteia care corespunde valorilor negative ale lui x, adică. partea situată în stânga axei Oy. Părțile încercuite ale parabolelor formează împreună graficul funcției y = x2 - 6|x| +5 (Fig. 3).

Exemplul 4.
Se consideră graficul funcției y = |x|2 - 6|x|+5.
Deoarece graficul ecuației y = |x|2 – 6x +5 este același cu graficul funcției fără semnul modulului (considerat în exemplul 2), rezultă că graficul funcției y = |x|2 – 6|x| +5 este identic cu graficul funcției y = x2 – 6|x| +5, considerat în exemplul 3 (Fig. 3).

Exemplul 5.
Pentru a face acest lucru, să construim un grafic al funcției y = x2 - 6x. Pentru a obține un grafic al funcției y = |x2 - 6x| din aceasta, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea parabolei situată sub axa x trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa x. Deoarece trebuie să trasăm funcția y = |x2 - 6x| +5, atunci graficul funcției considerate y = |x2 - 6x| trebuie doar să-l mutați în sus de-a lungul axei y cu 5 unități (Fig. 4).

Exemplul 6.

Să construim un grafic al funcției y = x2 - |6x+5|. Pentru a face acest lucru, vom folosi binecunoscuta funcție pe bucăți. Să găsim zerourile funcției

y = 6x +5
6x + 5 = 0 la.
Să luăm în considerare două cazuri:
1) Dacă, atunci ecuația va lua forma y = x2 – 6x -5. Să construim această parabolă și să încercuim partea în care.
2) Dacă, atunci ecuația ia forma y = x2+ 6x +5. Să stăm această parabolă și să încercuim acea parte a ei care este situată în stânga punctului cu coordonate (Fig. 5).

Exemplul 7 .
Pentru a face acest lucru, vom reprezenta grafic funcția y =x2- 6|x| +5. Am construit acest grafic în Exemplul 3. Deoarece funcția noastră este complet sub semnul modulului, pentru a construi un grafic al funcției y = |x2 – 6|x| +5|, trebuie să înlocuiți fiecare punct de pe graficul funcției y = x2 – 6|x|+5 cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă), adică. partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa Ox (Fig. 6).

Fig.6
Exemplul 8.
Să considerăm construirea de grafice de forma = f (x).
Având în vedere că în formula = f (x), f (x) , și pe baza definiției modulului =
Să rescriem formula = f (x) sub forma y = f (x), unde f (x).
Pe baza acesteia, formulăm un algoritm-regula.
Pentru a construi grafice de forma = f (x), este suficient să construiți un grafic al funcției y = f (x) pentru acele x din domeniul de definiție pentru care f (x) și să reflectați partea rezultată a grafic simetric fata de axa absciselor.
Astfel, graficul de dependență = f (x) este format din grafice a două funcții: y = f (x) și y = - f (x).
Să construim un grafic al funcției.

Inserarea ulterioară a imaginilor și formulelor este imposibilă din punct de vedere tehnic
Fig.7

Exemplul 9.
Să luăm în considerare construirea de grafice de formă
Efectuând transformări deja cunoscute ale graficelor, vom construi mai întâi un grafic y = │f (x)│, iar apoi o mulțime de puncte ale căror coordonate satisfac condiția
Algoritm de construcție:
1) Construim un grafic al funcției.
2) Afișăm o parte a graficului simetric față de axa Ox.
3) Graficul rezultat este afișat simetric față de axa Ox (Fig. 8).
Fig.8

Concluzii:
1. Graficul funcției y = │f (x)│ poate fi obținut din graficul y = f (x), lăsând pe loc partea în care f (x) și reflectând simetric cealaltă parte în raport cu axa Ox, unde f (x)< 0. Это следует из равенства │ f (x)│=
2. Graficul funcției y = f (│x│) coincide cu graficul funcției y = f (x) pe mulțimea valorilor nenegative ale argumentului și este simetric față de acesta în raport cu Axa Oy pe setul de valori negative ale argumentului.
3. Graficul funcției = f (x) poate fi obținut prin construirea unui grafic al funcției y = f (x) pentru cei x din domeniul de definiție pentru care f (x) și reflectând partea rezultată a grafic simetric fata de axa x.
4. Graficul unei funcții poate fi obținut prin reprezentarea graficului funcției
y = f (x) și afișarea simetrică a unei părți a graficului în raport cu axa Ox. Graficul rezultat este afișat simetric față de axa Ox.

II. Trasarea unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul modulului, in programul Microsoft Excela.

Exemplul 1.
Să construim un grafic al funcției y = |x2 – 6x +5|.

Exemplul 2.
Să construim un grafic al funcției y = x2 – 6|x| +5.

Exemplul 3.
Să construim un grafic al funcției y = |x2 – 6x| +5.

Exemplul 4.
Să construim un grafic al funcției y = x2 - |6x+5|.

Exemplul 5.
Să reprezentăm grafic funcția y = |x2 – 6|x| +5|.

Exemplul 6.
Să construim un grafic al funcției.

Exemplul 7.
Să construim un grafic al funcției.

Concluzie

Cunoașterea este cunoaștere numai atunci când este dobândită prin eforturile gândurilor proprii și nu prin memorie.
L. N. Tolstoi.

Credem că în această lucrare de cercetare scopul a fost atins, întrucât toate sarcinile au fost rezolvate.
Am examinat construcția unui grafic al unei funcții pătratice care conține o variabilă sub semnul valorii absolute și am investigat modificările din graficul funcției pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute. Am stăpânit tehnicile de construire a graficelor de funcții de forma: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,
Pentru a scrie această lucrare de cercetare
1) a fost studiată literatura privind proprietățile valorii absolute și ale funcției pătratice;
2) modificările au fost studiate și analizate la construirea unui grafic al unei funcții pătratice în care semnul modulului conține diverse variabile;
3) graficele ecuațiilor au fost construite folosind programele de graficare Graph Master v 1.1, Microsoft Excel și altele;
Când am scris lucrarea, am folosit literatură educațională, resurse de pe Internet și am lucrat în programe precum Microsoft Word, Paint, Formula Editor, Microsoft Excel.
Tema de cercetare s-a dovedit a fi foarte multifațetă, necesitând abilități complet noi atât la etapa de cercetare, cât și la redactarea și proiectarea lucrării.
Această experiență practică în lucrul cu programe pentru construirea de grafice, pentru scrierea formulelor matematice, precum și abilitățile de cercetare dobândite vor fi folosite de noi în activități educaționale ulterioare, inclusiv atunci când studiem alte funcții și ecuații cu modulul, când construim grafice ale acestor funcții .

Lista literaturii folosite

1.Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor. Clasa a IX-a: M.: Manual. pentru invatamantul general instituții / G.V Dorofeev, S.B Suvorova, E.A. Kuznetsova; Ed. G. V. Dorofeeva. – Ed. a 5-a, stereotip. – M.: Butarda, 2004. – 352 p.: ill.
2. Curs de matematică superioară pentru școlile tehnice. I. F. Suvorov, Moscova - 1967.
3. Matematică. Algebră și funcții elementare. M. I. Abramovici, M. T. Starodubtsev.
4. A.G. Carte Mordkovich pentru profesori. Convorbiri cu profesorii. Moscova - „Onyx secolul 21”, „Pace și educație”, 2005
5.Curs opțional. Faceți cunoștință cu modulul! Algebră. 8-9 clase./ Comp. Baukova T.T. - Volgograd: ITD „Corypheus - 96 p.

Resurse de internet

http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0 %BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Exemple comune cu module sunt modul de tip ecuație în cadrul unui modul. Modulul dublu poate fi scris ca formulă
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Dacă k=0 atunci o astfel de ecuație cu modul este mai ușor de rezolvat metoda grafica. Extinderea clasică a modulelor în astfel de situații este greoaie și nu dă efectul dorit (economisire de timp) la chestionare și teste. Metoda grafică vă permite să construiți funcții modulare și să găsiți numărul de rădăcini ale ecuației într-un timp scurt.

Algoritmul pentru construirea unui modul dublu, triplu este destul de simplu și multe dintre exemplele prezentate mai jos vor atrage mulți. Pentru a consolida metodologia, mai jos sunt date exemple pentru calcule independente.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația modulo ||x-3|-5|=3.
Rezolvare: Să rezolvăm ecuația cu module folosind metoda clasică și grafic. Să găsim zero al modulului intern
x-3=0 x=3.
În punctul x=3, ecuația cu modul se împarte la 2. În plus, zeroul modulului intern este punctul de simetrie al graficului modulelor și dacă partea dreaptă a ecuației este egală cu o constantă, atunci rădăcinile se află la aceeași distanță de acest punct. Adică, puteți rezolva o ecuație din două și puteți calcula rădăcinile rămase din această condiție.
Să extindem modulul intern pentru x>3
|x-3-5|=3; |x-8|=3 .
La extinderea modulului, ecuația rezultată este împărțită la 2
Sub funcția modulară >0
x-8=3; x=3+8=11;
si pentru valori< 0 получим
-(x-8)=3; x=8-3=5.
Ambele rădăcini ale ecuației îndeplinesc condiția x>3, adică sunt soluții.
Ținând cont de regula de simetrie a soluțiilor ecuațiilor cu module scrise mai sus, nu trebuie să căutăm rădăcinile ecuației pentru x< 3, которое имеет вид
|-(x-3)-5|=3; |-x-2|=3 ,
si calculeaza-le.
Valoarea este simetrică cu x=3 pentru x=11 este
x=3-(11-3)=6-11=-5.
Folosind aceeași formulă găsim a doua soluție
x=3-(5-3)=6-5=1.
O ecuație de modul dată dintr-un modul are 4 soluții
x=-5; x=1; x=5; x=11.
Acum să găsim soluții ecuatii cu module prin metoda grafica. Din modulul intern |x-3|
Rezultă că graficul modulului standard al funcției este deplasat de-a lungul axei Ox spre dreapta cu 3.
În continuare - scăderea 5 înseamnă că graficul trebuie coborât cu 5 celule de-a lungul axei Oy. Pentru a obține modulul funcției rezultate, reflectăm simetric tot ceea ce se află sub axa Ox.
Și în final, construim o dreaptă y=3 paralelă cu axa Ox. Cel mai bine este să folosiți grafic un caiet în carouri pentru a calcula ecuații cu module, deoarece este convenabil să construiți grafice în el.

Forma finală a graficului modulului arată ca

Punctele de intersecție ale modulului funcției și a dreptei y=3 sunt soluțiile necesare x=-5;x=1; x=5;x=11. Avantajul metodei grafice față de extinderea modulelor
pentru ecuații simple este evident. Cu toate acestea, este incomod din punct de vedere grafic să cauți rădăcini atunci când partea dreaptă are forma k*x+m, adică este o linie dreaptă înclinată în unghi față de axa absciselor.

Nu vom lua în considerare astfel de ecuații aici. Exemplul 2.
Câte rădăcini are ecuația ||2x-3|-2|=2?
Soluție: Partea dreaptă este egală cu o constantă, așa că puteți găsi rapid soluția folosind metoda grafică. Modulul intern dispare
|2x-3|=0 x=3/2=1,5
în punctul x=1,5. Aceasta înseamnă că deplasăm graficul funcției y=|2x| în acest punct. Pentru a-l construi, înlocuiți mai multe puncte și trageți linii drepte prin ele. Din funcția rezultată scadem 2, adică coborâm graficul cu doi și, pentru a obține modulul, transferăm< 0) симметрично относительно оси Ox .

valori negative

(y La ce valoare a parametrului a are 5 soluții ecuația cu modul |||x+1|-2|-5|=a?
Soluție: Avem o ecuație cu trei module imbricate. Să găsim răspunsul folosind analiza grafică. Să începem, ca întotdeauna, de la modulul intern. Se duce la zero
|x+1|=0 x=-1
în punctul x=-1.
Reprezentăm grafic modulul funcției în acest punct

Să deplasăm din nou graficul modulului funcției în jos cu 5 și să transferăm simetric valorile negative ale funcției. Ca rezultat, obținem partea stângă a ecuației cu module
y=|||x+1|-2|-5| .

Parametrul a corespunde valorii unei drepte paralele care trebuie să intersecteze graficul modulului funcției în 5 puncte. Mai întâi desenăm o astfel de linie dreaptă, apoi căutăm punctul de intersecție al acesteia cu axa Oy.
Aceasta este o linie dreaptă y=3, adică parametrul dorit este a=3.
Folosind metoda dezvăluirii modulelor, această problemă ar putea fi rezolvată pentru o întreagă lecție, dacă nu mai mult. Aici totul se reduce la câteva grafice.
Răspuns: a=3.

Exemplul 4. Câte soluții are ecuația |||3x-3|-2|-7|=x+5?
Soluție: Să extindem modulul intern al ecuației
|3x-3|=0<=>x=3/3=1.
Construim un grafic al funcției y=|3x-3|.

Pentru a face acest lucru, pentru o celulă de modificare în x din punctul găsit, adăugați 3 celule în y. Construiți rădăcinile ecuației într-un caiet pătrat și vă voi spune cum se poate face acest lucru în mediul Maple.

Restart;with(plots): Setați toate variabilele la zero și conectați modulul pentru lucrul cu grafica.

> plot(abs(3*x-3),x=-2..4):<0) .
Apoi, coborâți graficul cu 2 celule în jos și transferați valorile negative (y) simetric pe axa Ox
Obținem un grafic cu două module interne Coborâm graficul rezultat cu două și îl afișăm simetric. obținem un grafic
y=||3x-3|-2|. În pachetul de matematică arţar
acest lucru este echivalent cu scrierea unui alt modul

> plot(abs(abs(3*x-3)-2),x=-2..4):
Deplasăm din nou graficul în jos cu șapte unități și îl transferăm simetric. Obținem graficul funcției

y=|||3x-3|-2|-7|
În Maple, aceasta este echivalentă cu următoarea bandă de cod
> plot(abs(abs(abs(3*x-3)-2)-7),x=-5..7):

Construim o dreaptă y=x+5 folosind două puncte. Prima este intersecția dreptei cu axa x

09.07.2015 8999 0

Lecția 5. Conversia graficelor cu module (lecție opțională) Ţintă:

stăpânească abilitățile de bază de conversie a graficelor cu module.

I. Comunicarea temei și a scopului lecției II

. Repetarea și consolidarea materialului acoperit 1. Răspunsuri la întrebări despre teme pentru acasă

(analiza problemelor nerezolvate).

2. Monitorizarea asimilării materialului (sondaj scris).

Opțiunea 1 f(x), reprezentați grafic funcția y =

2. f(-x) + 2?

Reprezentați grafic funcția:

Opțiunea 2 Opțiunea 1 1. Cum, cunoscând graficul funcției y =(x), reprezentați grafic funcția y = -

2. f(-x) + 2?

III. Învățarea de materiale noi

Din materialul din lecția anterioară, este clar că metodele de transformare a graficelor sunt extrem de utile la construirea lor. Prin urmare, vom lua în considerare și principalele metode de conversie a graficelor care conțin module. Aceste metode sunt universale și potrivite pentru orice funcție. Pentru simplitatea construcției, vom lua în considerare funcția liniară pe bucăți Opțiunea 1 (x) cu domeniu D(f ), al cărui grafic este prezentat în figură. Să luăm în considerare trei transformări standard ale graficelor cu module.

1) Trasarea unui grafic al funcției y = | f(x)|

f /(x), dacă Dx)>0,

Prin definiția unui modul obținem:Aceasta înseamnă că pentru a reprezenta grafic funcția y = | f(x )| trebuie să salvăm o parte din graficul funcției y = f(x ), pentru care y ≥ 0. Acea parte a graficului funcției y = Opțiunea 1 (x), pentru care y< 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.

2) Trasarea unui grafic al funcției y = f(|x|)

G/O), dacă Dx)>0,

Să extindem modulul și să obținem:Prin urmare, pentru a reprezenta un grafic al funcției y = f(|x |) trebuie să salvăm o parte din graficul funcției y = Opțiunea 1 (x), pentru care x ≥ 0. În plus, această parte trebuie reflectată simetric la stânga față de ordonată.

3) Trasarea graficului ecuației |y| = f(x)

Prin definiția modulului avem că atunci când Opțiunea 1 (x) ≥ 0 este necesar să se construiască grafice a două funcții: y = f (x) și y = - f (X). Aceasta înseamnă că pentru a reprezenta grafic ecuația |y| = Opțiunea 1 (x) este necesar să se salveze o parte din graficul funcției y = Opțiunea 1 (x), pentru care y ≥ 0. În plus, această parte trebuie reflectată simetric în jos față de axa x.

Rețineți că dependența |y| = Opțiunea 1 (x) nu definește o funcție, adică la x∈ (-2,6; 1,4) fiecare valoare x corespunde la două valori y. Prin urmare, figura arată exact graficul ecuației |y| = f(x).

Folosim metodele considerate de conversie a graficelor cu module pentru a construi mai multe grafice funcții complexeși ecuații.

Exemplul 1

Să diagramăm funcția

Să evidențiem întreaga parte a acestei funcțiiUn astfel de grafic se obține prin deplasarea graficului funcției y = -1/ x 2 unități la dreapta și 1 unitate în jos. Graficul acestei funcții este o hiperbolă.

Exemplul 2

Să diagramăm funcția

În conformitate cu metoda 1, salvăm partea graficului din exemplul 1 pentru care y ≥ 0. Acea parte a graficului pentru care y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

Exemplul 3

Să diagramăm funcția

Folosind metoda 2, vom salva partea din graficul din exemplul 1, pentru care x ≥ 0. În plus, vom întoarce această parte salvată la stânga în raport cu axa y. Obținem un grafic al funcției care este simetric față de axa ordonatelor.

Exemplul 4

Să tragem ecuația

În conformitate cu metoda 3, vom salva partea din grafic din exemplul 1, pentru care y ≥ 0. În plus, vom reflecta simetric această parte salvată în jos față de axa x. Obținem un grafic al acestei ecuații.

Desigur, metodele luate în considerare pentru conversia graficelor pot fi utilizate și împreună.

Exemplul 5

Să diagramăm funcția

Folosim graficul funcțieiconstruit în exemplul 3. A construi acest program, să salvăm acele părți ale graficului 3 pentru care y ≥ 0. Acele părți ale graficului 3 pentru care y< 0, симметрично отразим вверх относительно оси абсцисс.

În cazurile în care modulele sunt dependente într-un mod diferit (decât în metodele 1-3), este necesară extinderea acestor module.

Exemplul 6

Să diagramăm funcția

Expresiile x - 1 și x + 2, incluse sub semnele modulelor, își schimbă semnele în punctele x = 1 și x = -2 respectiv. Să marchem aceste puncte pe linia de coordonate. Îl descompun în trei intervale. Folosind definițiile modulelor, extindem modulele în fiecare interval.

Primim:

1. Când

2. Când

3. Când

Să construim grafice ale acestor funcții, ținând cont de intervalele pentru variabila x în care au fost relevate semnele modulului. Primim o linie dreaptă întreruptă.

Destul de des, atunci când se construiesc grafice de ecuații cu module, se folosește un plan de coordonate pentru a le dezvălui. Să explicăm acest lucru cu următorul exemplu.

Exemplul 7

Să tragem ecuația

Expresia y - x își schimbă semnul pe linia dreaptă y = x. Să construim această linie dreaptă - bisectoarea primului și al treilea unghi de coordonate. Această dreaptă împarte punctele planului în două zone: 1 - puncte situate deasupra dreptei y – x; 2 - puncte situate sub această linie. Să extindem modulul în astfel de zone. În zona 1, luați, de exemplu, punctul de control (0; 5). Vedem că pentru acest punct expresia y - x > 0. Extinderea modulului, obținem: y - x + y + x = 4 sau y = 2. Construim o astfel de linie dreaptă în prima regiune. Evident, în regiunea 2 expresia y - x< 0. Раскрывая модуль, имеем: -(у - х) + у + х = 4 или х = 2. Строим эту прямую в пределах области 2. Получаем график данного уравнения.

3. Construiți un grafic fracționar funcţie liniară si ecuatii:

4. Trasează graficul unei funcții, ecuații, inegalități:

VIII. Rezumând lecția

Transcriere

1 Conferință științifică și practică regională a lucrărilor educaționale și de cercetare ale elevilor din clasele 6-11 „Aspecte aplicate și fundamentale ale matematicii” Aspecte metodologice ale studierii matematicii Construirea graficelor de funcții care conțin modulul Gabova Angela Yurievna, clasa a X-a, MOBU „Gimnaziul 3 ” Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, profesor de matematică al instituției de învățământ municipal „Gymnasium 3”, Kudymkar Perm, 2016

2 Cuprins: Introducere...3 p. I. Partea principală...6 p. 1.1 Context istoric.. 6 pagina 2.Definiții de bază și proprietăți ale funcțiilor pagina 2.1 Funcția pătratică..7 pagina 2.2 Funcția liniară...8 pagina 2.3 Funcția fracțională-rațională 8 pagina 3. Algoritmi pentru construirea graficelor cu un modul 9 pagini 3.1 Determinarea modulului.. 9 pagini 3.2 Algoritmul pentru construirea unui grafic al unei funcții liniare cu un modul.. .9 p. 3.3 Trasarea graficelor de funcţii care conţin „module imbricate” în formula funcţie pătratică cu modul.14 pag. 3.6 Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcţii raţionale fracţionale cu modul. 15 pp. 4. Modificări ale graficului unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute..17p. II. Concluzie...26 p. III. Lista referințelor și surselor...27 p. IV. Anexă....28pp. 2

3 Introducere Crearea grafică a funcțiilor este una dintre ele cele mai interesante subiecte la matematica scolara. Cel mai mare matematician al timpului nostru, Israel Moiseevich Gelfand, a scris: „Procesul de construire a graficelor este o modalitate de a transforma formulele și descrierile în imagini geometrice. Această reprezentare grafică este un mijloc de a vedea formule și funcții și de a vedea cum se schimbă acele funcții. De exemplu, dacă se scrie y =x 2, atunci vedeți imediat o parabolă; dacă y = x 2-4, vedeți o parabolă coborâtă cu patru unități; dacă y = -(x 2 4), atunci vedeți parabola anterioară respinsă. Această capacitate de a vedea imediat o formulă și interpretarea ei geometrică este importantă nu numai pentru studiul matematicii, ci și pentru alte materii. Este o abilitate care îți rămâne toată viața, cum ar fi mersul pe bicicletă, tastarea sau conducerea unei mașini.” Bazele rezolvării ecuațiilor cu module au fost obținute în clasele a VI-a-7. Am ales acest subiect special pentru că cred că necesită o cercetare mai profundă și mai amănunțită. Vreau să primesc mai mult cunoștințe largi despre modulul unui număr, în diverse moduri construirea de grafice care conțin semnul valorii absolute. Când semnul modulului este inclus în ecuațiile „standard” de linii, parabole și hiperbole, graficele lor devin neobișnuite și chiar frumoase. Pentru a învăța cum să construiți astfel de grafice, trebuie să stăpâniți tehnicile de construire a figurilor de bază, precum și să cunoașteți și să înțelegeți cu fermitate definiția modulului unui număr. La cursul de matematică din școală, graficele cu modulul nu sunt discutate suficient de aprofundat, motiv pentru care mi-am dorit să-mi extind cunoștințele pe această temă și să-mi fac propriile cercetări. Fără a cunoaște definiția unui modul, este imposibil să construim chiar și cel mai simplu grafic care conține o valoare absolută. Trăsătură caracteristică grafice ale funcțiilor care conțin expresii cu semnul modulului, 3

4 este prezența deformărilor în acele puncte în care expresia sub semnul modulului își schimbă semnul. Scopul lucrării: a lua în considerare construcția unui grafic de funcții liniare, pătratice și fracționale raționale care conțin o variabilă sub semnul modulului. Obiective: 1) Studierea literaturii de specialitate privind proprietățile valorii absolute ale funcțiilor raționale liniare, pătratice și fracționale. 2) Investigați modificările graficelor de funcții în funcție de locația semnului valorii absolute. 3) Învață să grafici ecuații. Obiectul de studiu: grafice ale funcțiilor liniare, pătratice și raționale fracționale. Obiectul cercetării: modificări ale graficului funcțiilor liniare, pătratice și raționale fracționale în funcție de locația semnului valorii absolute. Semnificația practică a lucrării mele constă în: 1) folosirea cunoștințelor dobândite pe această temă, precum și aprofundarea acesteia și aplicarea altor funcții și ecuații; 2) în utilizarea abilităților de cercetare în activități educaționale ulterioare. Relevanță: Sarcinile de reprezentare grafică sunt în mod tradițional unul dintre cele mai dificile subiecte din matematică. Absolvenții noștri se confruntă cu problema promovării cu succes a examenului de stat și a examenului unificat de stat. Problemă de cercetare: construirea graficelor de funcții care conțin semnul modulului din partea a doua a GIA. Ipoteza cercetării: aplicație dezvoltată pe baza metode comune construirea de grafice ale funcțiilor care conțin semnul modulului, metodele de rezolvare a sarcinilor din partea a doua a GIA vor permite elevilor să rezolve aceste sarcini 4

5 pe o bază conștientă, alegeți cel mai mult metoda rațională decizii, se aplică metode diferite decizie și promovează cu mai mult succes examenul de stat. Metode de cercetare utilizate în lucrare: 1. Analiza literaturii matematice și a resurselor de pe Internet pe această temă. 2. Reproducerea reproductivă a materialului studiat. 3. Activitate cognitivă și de căutare. 4.Analiza si compararea datelor in cautarea solutiilor la probleme. 5. Enunţarea ipotezelor şi verificarea acestora. 6. Compararea și generalizarea faptelor matematice. 7. Analiza rezultatelor obtinute. La redactarea acestei lucrări s-au folosit următoarele surse: resurse de internet, teste OGE, literatură matematică. 5

6 I. Partea principală 1.1 Context istoric. În prima jumătate a secolului al XVII-lea, a început să apară ideea funcției ca dependență a unei variabile de alta. Astfel, matematicienii francezi Pierre Fermat () și Rene Descartes () și-au imaginat o funcție ca dependența ordonatei unui punct de o curbă de pe abscisa acestuia. Și engleză savantul Isaac Newton () a înțeles o funcție ca fiind coordonatele unui punct în mișcare care se schimbă în funcție de timp. Termenul „funcție” (din latinescul execuție a funcției, realizare) a fost introdus pentru prima dată de matematicianul german Gottfried Leibniz(). El a asociat o funcție cu o imagine geometrică (graficul unei funcții). Ulterior, matematicianul elvețian Johann Bernoulli() și membru al Academiei de Științe din Sankt Petersburg, celebrul matematician din secolul al XVIII-lea Leonard Euler(), au considerat funcția ca o expresie analitică. Euler are, de asemenea, o înțelegere generală a unei funcții ca dependență a unei variabile de alta. Cuvântul „modul” provine din cuvântul latin „modulus”, care înseamnă „măsură”. Acesta este un cuvânt polisemantic (omonim), care are multe semnificații și este folosit nu numai în matematică, ci și în arhitectură, fizică, tehnologie, programare și alte științe exacte. În arhitectură, aceasta este unitatea originală de măsură stabilită pentru un anumit structura arhitecturalași servesc la exprimarea mai multor rapoarte ale elementelor sale constitutive. În tehnologie, acesta este un termen folosit în diverse domenii ale tehnologiei, care nu are un sens universal și servește la desemnarea coeficienți diferițiși cantități, de exemplu, modulul de angajare, modulul de elasticitate etc. 6

7 Modulul de volum (în fizică) este raportul dintre efortul normal dintr-un material și alungirea relativă. 2. Definiții de bază și proprietăți ale funcțiilor Funcția este unul dintre cele mai importante concepte matematice. O funcție este o dependență a variabilei y de variabila x, astfel încât fiecare valoare a variabilei x să corespundă unei singure valori a variabilei y. Metode de specificare a unei funcții: 1) metodă analitică (funcția este specificată folosind o formulă matematică); 2) metoda tabulară (funcția este specificată folosind un tabel); 3) metoda descriptivă (funcția este specificată prin descriere verbală); 4) metoda grafică (funcția este specificată folosind un grafic). Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valoarea argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. 2.1 Funcția pătratică Funcția definită prin formula y = ax 2 + in + c, unde x și y sunt variabile, iar parametrii a, b și c sunt orice numere reale, iar a = 0, se numește pătratică. Graficul funcției y=ax 2 +in+c este o parabolă; axa de simetrie a parabolei y=ax 2 +in+c este o linie dreaptă, pentru a>0 „ramurile” parabolei sunt îndreptate în sus, pentru o<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (pentru funcțiile unei variabile). Proprietatea principală a funcțiilor liniare: incrementul funcției este proporțional cu incrementul argumentului. Adică, funcția este o generalizare a proporționalității directe. Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă, de unde provine numele acesteia. Aceasta se referă la o funcție reală a unei variabile reale. 1) Când, linia dreaptă formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei absciselor. 2) Când, linia dreaptă formează un unghi obtuz cu direcția pozitivă a axei x. 3) este indicatorul de ordonate al punctului de intersecție a dreptei cu axa ordonatelor. 4) Când, linia dreaptă trece prin origine. , 2.3 O funcție fracționară-rațională este o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame. Are forma unde, polinoame în orice număr de variabile. Un caz special sunt funcțiile raționale ale unei variabile:, unde și sunt polinoame. 1) Orice expresie care poate fi obținută din variabile folosind patru operații aritmetice este o funcție rațională. 8

9 2) Mulțimea funcțiilor raționale este închisă sub operațiile aritmetice și operația de compunere. 3) Orice funcție rațională poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple - aceasta este folosită în integrarea analitică.. , 3. Algoritmi pentru construirea de grafice cu modul 3.1 Definiția modulului Modulul unui număr real a este numărul a însuși, dacă este nenegativ, iar numărul opus a, dacă a este negativ. a = 3.2 Algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții liniare cu modul Pentru a construi grafice ale funcțiilor y = x trebuie să știți că pentru x pozitiv avem x = x. Aceasta înseamnă că pentru valorile pozitive ale argumentului, graficul y= x coincide cu graficul y=x, adică această parte a graficului este o rază care iese de la origine la un unghi de 45 de grade față de axa absciselor. . La x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Pentru a construi, luăm punctele (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Acum să construim un grafic y= x-1 Dacă A este un punct pe graficul y= x cu coordonatele (a; a), atunci punctul de pe grafic y= x-1 cu aceeași valoare a ordonatei Y. fie punctul A1(a+1; a). Acest punct al celui de-al doilea grafic poate fi obținut din punctul A(a; a) al primului grafic prin deplasarea paralelă cu axa Ox la dreapta. Aceasta înseamnă că întregul grafic al funcției y= x-1 se obține din graficul funcției y= x prin deplasarea paralelă cu axa Ox la dreapta cu 1. Să construim graficele: y= x-1 Pentru a construi , luați punctele (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Construirea graficelor de funcții care conțin „module imbricate” în formulă Să luăm în considerare algoritmul de construcție folosind un exemplu specific. Construiți un grafic al unei funcții: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Construiți un grafic al funcției. 2. Afișăm graficul semiplanului inferior în sus simetric față de axa OX și obținem graficul funcției. 11

12 3. Afișăm graficul funcției în jos simetric față de axa OX și obținem graficul funcției. 4. Afișăm graficul funcției în jos simetric față de axa OX și obținem un grafic al funcției 5. Afișăm graficul funcției în raport cu axa OX și obținem un grafic. 12

13 6. Drept urmare, graficul funcției arată astfel 3.4. Algoritm pentru construirea graficelor de funcții de forma y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. În exemplul anterior, a fost destul de ușor să dezvăluiți semnele de modul. Dacă există mai multe sume de module, atunci este problematic să luăm în considerare toate combinațiile posibile de semne ale expresiilor submodulare. Cum, în acest caz, să construim un grafic al funcției? Rețineți că graficul este o linie întreruptă, cu vârfuri în puncte având abscisele -1 și 2. La x = -1 și x = 2, expresiile submodulare sunt egale cu zero. În practică, ne-am apropiat de regula pentru construirea unor astfel de grafice: Graficul unei funcții de forma y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b este o linie întreruptă cu legături extreme infinite. Pentru a construi o astfel de linie întreruptă, este suficient să cunoașteți toate vârfurile acesteia (abscisele vârfurilor sunt zerourile expresiilor submodulare) și un punct de control pe legăturile infinite stânga și dreapta. 13

14 Problemă. Reprezentați grafic funcția y = x + x 1 + x + 1 și găsiți cea mai mică valoare a acesteia. Rezolvare: 1. Zerourile expresiilor submodulare: 0; -1; Vârfurile poliliniei (0; 2); (-1; 3); (1; 3) (substituim zerourile expresiilor submodulare în ecuație) 3 Punct de control în dreapta (2; 6), în stânga (-2; 6). Construim un grafic (Fig. 7), cea mai mică valoare a funcției este Algoritmul pentru construirea unui grafic al unei funcții pătratice cu modulul Elaborarea algoritmilor de conversie a graficelor de funcții. 1. Trasarea unui grafic al funcției y= f(x). Prin definiția unui modul, această funcție este împărțită într-un set de două funcții. În consecință, graficul funcției y= f(x) este format din două grafice: y= f(x) în semiplanul drept, y= f(-x) în semiplanul stâng. Pe baza acesteia se poate formula o regulă (algoritm). Graficul funcției y= f(x) se obține din graficul funcției y= f(x) astfel: la x 0 se păstrează graficul, iar la x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Pentru a construi un grafic al funcției y= f(x), trebuie mai întâi să construiți un grafic al funcției y= f(x) pentru x> 0, apoi pentru x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Pentru a obține acest grafic, trebuie doar să mutați graficul obținut anterior cu trei unități la dreapta. Rețineți că dacă numitorul fracției conține expresia x + 3, atunci am deplasa graficul la stânga: Acum trebuie să înmulțim toate ordonatele cu două pentru a obține graficul funcției. În cele din urmă, deplasăm graficul în sus două unități: Ultimul lucru pe care trebuie să-l facem este , este să construim un grafic al unei funcții date dacă este închisă sub semnul modulului. Pentru a face acest lucru, reflectăm simetric în sus întreaga parte a graficului ale cărei ordonate sunt negative (acea parte care se află sub axa x): Fig. 4 16

17 4.Modificări în graficul unei funcții pătratice în funcție de locația semnului valorii absolute. Construiți un grafic al funcției y = x 2 - x -3 1) Deoarece x = x pentru x 0, graficul necesar coincide cu parabola y = 0,25 x 2 - x - 3. Dacă x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Prin urmare, completez construcția pentru x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Fig. 4 Graficul funcției y = f (x) coincide cu graficul funcției y = f (x) pe mulțimea valorilor nenegative ale argumentului și este simetric față de acesta față de axa OU pe setul de valori negative ale argumentului. Dovada: Dacă x 0, atunci f (x) = f (x), adică. pe setul de valori nenegative ale argumentului, graficele funcțiilor y = f (x) și y = f (x) coincid. Deoarece y = f (x) este o funcție pară, graficul său este simetric față de amplificatorul operațional. Astfel, graficul funcției y = f (x) poate fi obținut din graficul funcției y = f (x) astfel: 1. construiți un grafic al funcției y = f (x) pentru x>0; 2. Pentru x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Pentru x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Dacă x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 și partea reflectată simetric y = f(x) la y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, atunci f (x) = f (x), ceea ce înseamnă că în această parte graficul funcției y = f (x) coincide cu graficul funcției în sine y = f (x). Dacă f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Fig.5 Concluzie: Pentru a construi un grafic al funcției y= f(x) 1. Construiți un grafic al funcției y=f(x) ; 2. În zonele în care graficul este situat în semiplanul inferior, adică unde f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Lucrări de cercetare privind construirea de grafice ale funcției y = f (x) Folosind definiția valorii absolute și exemplele discutate anterior, vom construi grafice ale funcției: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 și trageți concluzii. Pentru a construi un grafic al funcției y = f (x) trebuie să: 1. Construiți un grafic al funcției y = f (x) pentru x>0. 2. Construiți a doua parte a graficului, adică reflectați graficul construit simetric față de amplificatorul operațional, deoarece Această funcție este uniformă. 3. Convertiți secțiunile graficului rezultat situat în semiplanul inferior în semiplanul superior simetric față de axa OX. Construiți un grafic al funcției y = 2 x - 3 (prima metodă de determinare a modulului) 1. Construiți y = 2 x - 3, pentru 2 x - 3 > 0, x >1,5 adică. X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, pentru x>0 b) pentru x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) pentru x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Construim o linie dreaptă, simetrică cu cea construită în raport cu axa op-amp-ului. 3) Afișez secțiuni ale graficului situate în semiplanul inferior simetric față de axa OX. Comparând ambele grafice, vedem că sunt aceleași. 21

22 Exemple de probleme Exemplul 1. Se consideră graficul funcției y = x 2 6x +5. Deoarece x este la pătrat, indiferent de semnul numărului x, după pătrat va fi pozitiv. Rezultă că graficul funcției y = x 2-6x +5 va fi identic cu graficul funcției y = x 2-6x +5, adică. graficul unei funcții care nu conține un semn de valoare absolută (Fig. 2). Fig.2 Exemplul 2. Se consideră graficul funcției y = x 2 6 x +5. Folosind definiția modulului unui număr, înlocuim formula y = x 2 6 x +5 Acum avem de-a face cu atribuirea de dependență pe bucăți care ne este familiară. Vom construi un grafic astfel: 1) construim o parabolă y = x 2-6x +5 și încercuim partea care are 22

23 corespunde valorilor nenegative ale lui x, adică. partea situată în dreapta axei Oy. 2) în același plan de coordonate, construiți o parabolă y = x 2 +6x +5 și încercuiți partea care corespunde valorilor negative ale lui x, adică. partea situată în stânga axei Oy. Părțile încercuite ale parabolelor formează împreună un grafic al funcției y = x 2-6 x +5 (Fig. 3). Fig.3 Exemplul 3. Se consideră graficul funcției y = x 2-6 x +5. Deoarece graficul ecuației y = x 2 6x +5 este același cu graficul funcției fără semnul modulului (discutat în exemplul 2), rezultă că graficul funcției y = x 2 6 x +5 este identic la graficul funcției y = x 2 6 x +5 , considerată în exemplul 2 (Fig. 3). Exemplul 4. Să construim un grafic al funcției y = x 2 6x +5. Pentru a face acest lucru, să construim un grafic al funcției y = x 2-6x. Pentru a obține un grafic al funcției y = x 2-6x din aceasta, trebuie să înlocuiți fiecare punct al parabolei cu o ordonată negativă cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă). Cu alte cuvinte, partea parabolei situată sub axa x trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa x. Deoarece trebuie să construim un grafic al funcției y = x 2-6x +5, apoi graficul funcției pe care am considerat-o y = x 2-6x trebuie doar să fie ridicat de-a lungul axei y cu 5 unități în sus (Fig. 4 ). 23

24 Fig.4 Exemplul 5. Să construim un grafic al funcției y = x 2-6x+5. Pentru a face acest lucru, vom folosi binecunoscuta funcție pe bucăți. Să găsim zerourile funcției y = 6x +5 6x + 5 = 0 la. Să luăm în considerare două cazuri: 1) Dacă, atunci ecuația va lua forma y = x 2 6x -5. Să construim această parabolă și să încercuim partea în care. 2) Dacă, atunci ecuația ia forma y = x 2 + 6x +5. Să stăm această parabolă și să încercuim acea parte a ei care este situată în stânga punctului cu coordonate (Fig. 5). 24

25 Fig.5 Exemplul6. Să construim un grafic al funcției y = x 2 6 x +5. Pentru a face acest lucru, vom construi un grafic al funcției y = x 2-6 x +5. Am construit acest grafic în Exemplul 3. Deoarece funcția noastră este complet sub semnul modulului, pentru a construi un grafic al funcției y = x 2 6 x +5, avem nevoie de fiecare punct al graficului funcției y = x 2 6 x + 5 cu ordonată negativă trebuie înlocuite cu un punct cu aceeași abscisă, dar cu ordonată opusă (pozitivă), adică. partea de parabolă situată sub axa Ox trebuie înlocuită cu o linie simetrică față de aceasta în raport cu axa Ox (Fig. 6). Fig.6 25

26 II. Concluzie „Informația matematică poate fi folosită cu pricepere și cu folos numai dacă este stăpânită în mod creativ, astfel încât elevul să vadă singur cum ar putea ajunge la ea singur.” UN. Kolmogorov. Aceste probleme sunt de mare interes pentru elevii de clasa a IX-a, deoarece sunt foarte frecvente la testele OGE. Abilitatea de a construi grafice de date ale funcțiilor vă va permite să promovați examenul cu mai mult succes. Matematicienii francezi Pierre Fermat () și Rene Descartes () au imaginat o funcție ca dependența ordonatei unui punct de o curbă de pe abscisa acestuia. Iar omul de știință englez Isaac Newton () a înțeles o funcție ca fiind coordonatele unui punct în mișcare care se schimbă în funcție de timp. 26

27 III. Lista referințelor și surselor 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Culegere de probleme de algebră pentru clasele 8-9: Manual. manual pentru elevii școlii. si clase avansate studiat Matematică ed. a II-a. M.: Iluminarea, Dorofeev G.V. Matematică. Algebră. Funcții. Analiza datelor. Clasa a IX-a: m34 Educativ. pentru studii de învăţământ general. stabilire ed. a 2-a, stereotip. M.: Bustard, Solomonik V.S. Culegere de întrebări și probleme de matematică M.: „Școala superioară”, Yashchenko I.V. GIA. Matematică: opțiuni standard de examen: Despre opțiuni.m.: „Educația Națională”, p. 5. Iascenko I.V. OGE. Matematică: opțiuni standard de examen: Despre opțiuni.m.: „Educația Națională”, p. 6. Iascenko I.V. OGE. Matematică: opțiuni standard de examen: Despre opțiuni.m.: „Educația Națională”, cu

28 Anexa 28

29 Exemplul 1. Reprezentați grafic funcția y = x 2 8 x Soluție. Să determinăm paritatea funcției. Valoarea pentru y(-x) este aceeași cu valoarea pentru y(x), deci această funcție este pară. Apoi graficul său este simetric față de axa Oy. Reprezentăm grafic funcția y = x 2 8x + 12 pentru x 0 și afișăm simetric graficul față de Oy pentru negativ x (Fig. 1). Exemplul 2. Următorul grafic de forma y = x 2 8x Aceasta înseamnă că graficul funcției se obține astfel: construiți un grafic al funcției y = x 2 8x + 12, lăsați partea din grafic care se află deasupra axa Ox neschimbată și partea graficului care se află sub axa absciselor și este afișată simetric față de axa Ox (Fig. 2). Exemplul 3. Pentru a reprezenta un grafic al funcției y = x 2 8 x + 12, efectuați o combinație de transformări: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Răspuns: Figura 3. Exemplul 4 Exprimarea sub semnul modulului, se schimbă semnul în punctul x=2/3. La x<2/3 функция запишется так: 29

30 Pentru x>2/3 funcția se va scrie astfel: Adică punctul x=2/3 împarte planul nostru de coordonate în două zone, în una dintre care (în dreapta) construim o funcție și în cealaltă (la stânga) construim un grafic al funcției: Exemplul 5 În continuare graficul este și el spart, dar are două puncte de întrerupere, deoarece conține două expresii sub semnele modulului: Să vedem în ce puncte expresiile submodulare își schimbă semnul: aranjați semnele pentru expresiile submodulare pe linia de coordonate: 30

31 Extindem modulele pe primul interval: Pe al doilea interval: Pe al treilea interval: Astfel, pe intervalul (- ; 1.5] avem un grafic scris de prima ecuație, pe interval un grafic scris de a doua ecuație , și pe interval)