Sim, sim: a progressão aritmética não é um brinquedo para você :)

Bem, amigos, se vocês estão lendo este texto, então a evidência interna me diz que vocês ainda não sabem o que é uma progressão aritmética, mas vocês realmente (não, assim: MUUUUITO!) querem saber. Portanto, não vou atormentá-lo com longas apresentações e irei direto ao ponto.

Primeiro, alguns exemplos. Vejamos vários conjuntos de números:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

O que todos esses conjuntos têm em comum? À primeira vista, nada. Mas na verdade há algo. Nomeadamente: cada próximo elemento difere do anterior pelo mesmo número.

Julgue por si mesmo. O primeiro conjunto consiste simplesmente em números consecutivos, cada um deles sendo um a mais que o anterior. No segundo caso, a diferença entre os números adjacentes já é cinco, mas essa diferença ainda é constante. No terceiro caso, existem raízes completamente. No entanto, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, e $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ou seja, e neste caso, cada elemento seguinte simplesmente aumenta em $\sqrt(2)$ (e não tenha medo de que este número seja irracional).

Então: todas essas sequências são chamadas de progressões aritméticas. Vamos dar uma definição estrita:

Definição. Uma sequência de números em que cada um deles difere do anterior exatamente na mesma quantidade é chamada de progressão aritmética. O próprio valor pelo qual os números diferem é chamado de diferença de progressão e é mais frequentemente denotado pela letra $d$.

Notação: $\left(((a)_(n)) \right)$ é a progressão em si, $d$ é sua diferença.

E um casal de uma vez comentários importantes. Em primeiro lugar, a progressão só é considerada encomendado sequência de números: podem ser lidos estritamente na ordem em que são escritos - e nada mais. Os números não podem ser reorganizados ou trocados.

Em segundo lugar, a própria sequência pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o conjunto (1; 2; 3) é obviamente uma progressão aritmética finita. Mas se você escrever algo no espírito (1; 2; 3; 4; ...) - isso já é uma progressão infinita. As reticências após os quatro parecem sugerir que ainda há mais alguns números por vir. Infinitamente muitos, por exemplo :)

Gostaria também de observar que as progressões podem ser crescentes ou decrescentes. Já vimos os crescentes - o mesmo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Aqui estão alguns exemplos de progressões decrescentes:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Ok, ok: o último exemplo pode parecer muito complicado. Mas o resto, eu acho, você entende. Portanto, introduzimos novas definições:

Definição. Uma progressão aritmética é chamada:

1. aumentando se cada elemento seguinte for maior que o anterior;
2. diminuindo se, pelo contrário, cada elemento subsequente for menor que o anterior.

Além disso, existem as chamadas sequências “estacionárias” - elas consistem no mesmo número repetido. Por exemplo, (3; 3; 3; ...).

Resta apenas uma questão: como distinguir uma progressão crescente de uma decrescente? Felizmente, tudo aqui depende apenas do sinal do número $d$, ou seja, diferenças de progressão:

1. Se $d \gt 0$, então a progressão aumenta;
2. Se $d \lt 0$, então a progressão é obviamente decrescente;
3. Finalmente, há o caso $d=0$ - neste caso toda a progressão é reduzida a uma sequência estacionária de números idênticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Vamos tentar calcular a diferença $d$ para as três progressões decrescentes fornecidas acima. Para fazer isso, basta pegar dois elementos adjacentes quaisquer (por exemplo, o primeiro e o segundo) e subtrair o número da esquerda do número da direita. Será assim:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Como vemos, em todos três casos a diferença acabou sendo negativa. E agora que descobrimos mais ou menos as definições, é hora de descobrir como as progressões são descritas e quais propriedades elas possuem.

Termos de progressão e fórmula de recorrência

Como os elementos das nossas sequências não podem ser trocados, eles podem ser numerados:

\[\esquerda(((a)_(n)) \direita)=\esquerda\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \certo\)\]

Os elementos individuais deste conjunto são chamados de membros de uma progressão. Eles são indicados por um número: primeiro membro, segundo membro, etc.

Além disso, como já sabemos, os termos vizinhos da progressão estão relacionados pela fórmula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Resumindo, para encontrar o $n$ésimo termo de uma progressão, você precisa saber o $n-1$ésimo termo e a diferença $d$. Esta fórmula é chamada de recorrente, porque com sua ajuda você só pode encontrar qualquer número conhecendo o anterior (e de fato, todos os anteriores). Isso é muito inconveniente, então existe uma fórmula mais complicada que reduz quaisquer cálculos ao primeiro termo e à diferença:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\esquerda(n-1 \direita)d\]

Você provavelmente já se deparou com esta fórmula. Eles gostam de fornecê-lo em todos os tipos de livros de referência e livros de soluções. E em qualquer livro didático de matemática sensato, é um dos primeiros.

No entanto, sugiro que você pratique um pouco.

Tarefa nº 1. Escreva os três primeiros termos da progressão aritmética $\left(((a)_(n)) \right)$ se $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solução. Portanto, conhecemos o primeiro termo $((a)_(1))=8$ e a diferença da progressão $d=-5$. Vamos usar a fórmula fornecida e substituir $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\esquerda(2-1 \direita)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\esquerda(3-1 \direita)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fim(alinhar)\]

Resposta: (8; 3; −2)

É isso! Atenção: nossa progressão está diminuindo.

É claro que $n=1$ não poderia ser substituído - o primeiro termo já é conhecido por nós. No entanto, ao substituir a unidade, ficámos convencidos de que mesmo para o primeiro termo a nossa fórmula funciona. Em outros casos, tudo se resumia à aritmética banal.

Tarefa nº 2. Escreva os três primeiros termos de uma progressão aritmética se o seu sétimo termo for igual a −40 e o seu décimo sétimo termo for igual a −50.

Solução. Vamos escrever a condição do problema em termos familiares:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \certo.\]

Coloquei o sinal do sistema porque esses requisitos devem ser atendidos simultaneamente. Agora observemos que se subtrairmos a primeira da segunda equação (temos o direito de fazer isso, já que temos um sistema), obtemos isto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \fim(alinhar)\]

É tão fácil encontrar a diferença de progressão! Resta substituir o número encontrado em qualquer uma das equações do sistema. Por exemplo, no primeiro:

\[\begin(matriz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fim(matriz)\]

Agora, conhecendo o primeiro termo e a diferença, resta encontrar o segundo e o terceiro termos:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fim(alinhar)\]

Preparar! O problema está resolvido.

Resposta: (−34; −35; −36)

Observe a propriedade interessante da progressão que descobrimos: se pegarmos os $n$ésimo e $m$ésimo termos e subtraí-los um do outro, obteremos a diferença da progressão multiplicada pelo número $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simples, mas muito propriedade útil, que você definitivamente precisa saber - com sua ajuda você pode acelerar significativamente a solução de muitos problemas de progressão. Aqui está um exemplo claro disso:

Tarefa nº 3. O quinto termo de uma progressão aritmética é 8,4 e seu décimo termo é 14,4. Encontre o décimo quinto termo desta progressão.

Solução. Como $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, e precisamos encontrar $((a)_(15))$, notamos o seguinte:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fim(alinhar)\]

Mas pela condição $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, portanto $5d=6$, da qual temos:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fim(alinhar)\]

Resposta: 20,4

É isso! Não precisamos criar nenhum sistema de equações e calcular o primeiro termo e a diferença - tudo foi resolvido em apenas algumas linhas.

Agora vamos examinar outro tipo de problema – a busca de termos negativos e positivos de uma progressão. Não é segredo que se uma progressão aumenta e seu primeiro termo é negativo, mais cedo ou mais tarde aparecerão nela termos positivos. E vice-versa: os termos de uma progressão decrescente tornar-se-ão, mais cedo ou mais tarde, negativos.

Ao mesmo tempo, nem sempre é possível encontrar esse momento “de frente” percorrendo sequencialmente os elementos. Muitas vezes, os problemas são escritos de tal forma que, sem conhecer as fórmulas, os cálculos levariam várias folhas de papel – simplesmente adormeceríamos enquanto encontrávamos a resposta. Portanto, vamos tentar resolver esses problemas de forma mais rápida.

Tarefa nº 4. Quantos termos negativos existem na progressão aritmética −38,5; −35,8; ...?

Solução. Então, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, de onde encontramos imediatamente a diferença:

Observe que a diferença é positiva, então a progressão aumenta. O primeiro termo é negativo, então, de fato, em algum momento nos depararemos com números positivos. A única questão é quando isso acontecerá.

Vamos tentar descobrir por quanto tempo (ou seja, até qual número natural $n$) a negatividade dos termos permanece:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\esquerda(n-1 \direita)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \esquerda| \cdot 10 \certo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fim(alinhar)\]

A última linha requer alguma explicação. Então sabemos que $n \lt 15\frac(7)(27)$. Por outro lado, estamos satisfeitos apenas com valores inteiros do número (além disso: $n\in \mathbb(N)$), então o maior número permitido é precisamente $n=15$, e em nenhum caso 16 .

Tarefa nº 5. Na progressão aritmética $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Encontre o número do primeiro termo positivo desta progressão.

Este seria exatamente o mesmo problema do anterior, mas não sabemos $((a)_(1))$. Mas os termos vizinhos são conhecidos: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, então podemos facilmente encontrar a diferença da progressão:

Além disso, tentaremos expressar o quinto termo através do primeiro e da diferença usando a fórmula padrão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cponto 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fim(alinhar)\]

Agora procedemos por analogia com a tarefa anterior. Vamos descobrir em que ponto da nossa sequência os números positivos aparecerão:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fim(alinhar)\]

A solução inteira mínima para esta desigualdade é o número 56.

Atenção: em última tarefa tudo se resumiu a uma desigualdade estrita, então a opção $n=55$ não nos servirá.

Agora que aprendemos como resolver problemas simples, vamos passar para os mais complexos. Mas primeiro, vamos estudar outra propriedade muito útil das progressões aritméticas, que nos poupará muito tempo e células desiguais no futuro :).

Média aritmética e recuos iguais

Vamos considerar vários termos consecutivos da progressão aritmética crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Vamos tentar marcá-los na reta numérica:

Termos de uma progressão aritmética na reta numérica

Marquei especificamente termos arbitrários $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e não alguns $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Porque a regra que vou falar agora funciona da mesma forma para qualquer “segmento”.

E a regra é muito simples. Vamos lembrar a fórmula recorrente e anotá-la para todos os termos marcados:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fim(alinhar)\]

No entanto, essas igualdades podem ser reescritas de forma diferente:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fim(alinhar)\]

E daí? E o fato de que os termos $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ estão à mesma distância de $((a)_(n)) $ . E essa distância é igual a $d$. O mesmo pode ser dito sobre os termos $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - eles também são removidos de $((a)_(n) )$ na mesma distância igual a $2d$. Podemos continuar ad infinitum, mas o significado é bem ilustrado pela imagem

Os termos da progressão estão à mesma distância do centro

O que isso significa para nós? Isso significa que $((a)_(n))$ pode ser encontrado se os números vizinhos forem conhecidos:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Derivamos uma excelente afirmação: cada termo de uma progressão aritmética é igual à média aritmética dos termos vizinhos! Além disso: podemos recuar de $((a)_(n))$ para a esquerda e para a direita não um passo, mas $k$ passos - e a fórmula ainda estará correta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Aqueles. podemos facilmente encontrar alguns $((a)_(150))$ se soubermos $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, porque $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À primeira vista, pode parecer que este facto não nos traz nada de útil. Entretanto, na prática, muitos problemas são especialmente adaptados para usar a média aritmética. Dê uma olhada:

Tarefa nº 6. Encontre todos os valores de $x$ para os quais os números $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ são termos consecutivos de uma progressão aritmética (na ordem indicada).

Solução. Como esses números são membros de uma progressão, a condição da média aritmética é satisfeita para eles: elemento central$x+1$ pode ser expresso em termos de elementos vizinhos:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fim(alinhar)\]

Acabou clássico equação quadrática. Suas raízes: $x=2$ e $x=-3$ são as respostas.

Resposta: −3; 2.

Tarefa nº 7. Encontre os valores de $$ para os quais os números $-1;4-3;(()^(2))+1$ formam uma progressão aritmética (nessa ordem).

Solução. Expressemos novamente o termo médio através da média aritmética dos termos vizinhos:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \certo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fim(alinhar)\]

Equação quadrática novamente. E novamente existem duas raízes: $x=6$ e $x=1$.

Resposta: 1; 6.

Se no processo de resolução de um problema você encontrar alguns números brutais ou não tiver certeza da exatidão das respostas encontradas, então existe uma técnica maravilhosa que permite verificar: resolvemos o problema corretamente?

Digamos que no problema nº 6 recebemos as respostas −3 e 2. Como podemos verificar se essas respostas estão corretas? Vamos apenas conectá-los à condição original e ver o que acontece. Deixe-me lembrá-lo de que temos três números ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), que devem formar uma progressão aritmética. Vamos substituir $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fim(alinhar)\]

Obtivemos os números −54; −2; 50 que diferem por 52 é sem dúvida uma progressão aritmética. A mesma coisa acontece para $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fim(alinhar)\]

Novamente uma progressão, mas com diferença de 27. Assim, o problema foi resolvido corretamente. Quem quiser pode verificar o segundo problema por conta própria, mas direi desde já: está tudo correto aí também.

Em geral, ao resolver os últimos problemas, nos deparamos com outro fato interessante, que também precisa ser lembrado:

Se três números são tais que o segundo é a média aritmética do primeiro e do último, então esses números formam uma progressão aritmética.

No futuro, a compreensão desta afirmação nos permitirá literalmente “construir” as progressões necessárias com base nas condições do problema. Mas antes de nos empenharmos em tal “construção”, devemos prestar atenção a mais um facto, que decorre directamente do que já foi discutido.

Agrupando e somando elementos

Voltemos ao eixo dos números novamente. Notemos aí vários membros da progressão, entre os quais, talvez. vale muitos outros membros:

Existem 6 elementos marcados na reta numérica

Vamos tentar expressar a “cauda esquerda” através de $((a)_(n))$ e $d$, e a “cauda direita” através de $((a)_(k))$ e $d$. É muito simples:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fim(alinhar)\]

Agora observe que os seguintes valores são iguais:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fim(alinhar)\]

Simplificando, se considerarmos como início dois elementos da progressão, que no total são iguais a algum número $S$, e então começarmos a dar um passo a partir desses elementos em direções opostas (um em direção ao outro ou vice-versa para se afastar), então as somas dos elementos que encontraremos também serão iguais$S$. Isso pode ser representado mais claramente graficamente:

Recuos iguais fornecem quantidades iguais

Compreender este facto permitir-nos-á resolver problemas de uma forma fundamentalmente mais alto nível dificuldades do que aquelas que consideramos acima. Por exemplo, estes:

Tarefa nº 8. Determine a diferença de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é 66 e o ​​produto do segundo e décimo segundo termos é o menor possível.

Solução. Vamos anotar tudo o que sabemos:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fim(alinhar)\]

Portanto, não sabemos a diferença de progressão $d$. Na verdade, toda a solução será construída em torno da diferença, já que o produto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ pode ser reescrito da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fim(alinhar)\]

Para quem está no tanque: tirei o multiplicador geral de 11 da segunda chave. Assim, o produto desejado é uma função quadrática em relação à variável $d$. Portanto, considere a função $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - seu gráfico será uma parábola com ramificações para cima, porque se expandirmos os colchetes, obtemos:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Como você pode ver, o coeficiente do termo mais alto é 11 - este é um número positivo, então estamos realmente lidando com uma parábola com ramos ascendentes:

agendar função quadrática- parábola

Atenção: esta parábola assume seu valor mínimo em seu vértice com a abcissa $((d)_(0))$. Claro, podemos calcular esta abscissa por esquema padrão(existe a fórmula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mas seria muito mais razoável notar que o vértice desejado está no eixo de simetria do parábola, então o ponto $((d) _(0))$ é equidistante das raízes da equação $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fim(alinhar)\]

É por isso que não tive muita pressa em abrir os colchetes: em sua forma original, as raízes eram muito, muito fáceis de encontrar. Portanto, a abcissa é igual à média aritmética dos números −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

O que o número descoberto nos dá? Com ele, o produto requerido assume o menor valor (aliás, nunca calculamos $((y)_(\min ))$ - isso não é exigido de nós). Ao mesmo tempo, este número é a diferença da progressão original, ou seja, encontramos a resposta. :)

Resposta: −36

Tarefa nº 9. Entre os números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ insira três números para que juntos com esses números formem uma progressão aritmética.

Solução. Essencialmente, precisamos fazer uma sequência de cinco números, sendo o primeiro e o último número já conhecidos. Vamos denotar os números faltantes pelas variáveis ​​$x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Observe que o número $y$ é o “meio” da nossa sequência - é equidistante dos números $x$ e $z$, e dos números $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dos números $x$ e $z$ estivermos em no momento não conseguimos $y$, então a situação é diferente com os finais da progressão. Vamos lembrar a média aritmética:

Agora, conhecendo $y$, encontraremos os números restantes. Observe que $x$ está entre os números $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ que acabamos de encontrar. É por isso

Usando um raciocínio semelhante, encontramos o número restante:

Preparar! Encontramos todos os três números. Vamos escrevê-los na resposta na ordem em que devem ser inseridos entre os números originais.

Resposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tarefa nº 10. Entre os números 2 e 42, insira vários números que, junto com esses números, formem uma progressão aritmética, se você souber que a soma do primeiro, do segundo e do último dos números inseridos é 56.

Solução. Um problema ainda mais complexo, que, no entanto, se resolve segundo o mesmo esquema dos anteriores - através da média aritmética. O problema é que não sabemos exatamente quantos números precisam ser inseridos. Portanto, vamos supor para maior certeza que depois de inserir tudo haverá exatamente $n$ números, sendo o primeiro deles 2 e o último 42. Neste caso, a progressão aritmética necessária pode ser representada na forma:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \direita\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Observe, entretanto, que os números $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ são obtidos a partir dos números 2 e 42 nas bordas um passo em direção um ao outro, ou seja. para o centro da sequência. E isso significa que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mas então a expressão escrita acima pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fim(alinhar)\]

Conhecendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, podemos facilmente encontrar a diferença da progressão:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\esquerda(3-1 \direita)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fim(alinhar)\]

Resta apenas encontrar os termos restantes:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cponto 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cponto 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cponto 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cponto 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cponto 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cponto 5=42; \\ \fim(alinhar)\]

Assim, já no 9º passo chegaremos ao extremo esquerdo da sequência - o número 42. No total, foram necessários apenas 7 números: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Resposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Problemas de palavras com progressões

Para concluir, gostaria de considerar alguns problemas relativamente simples. Bom, simples assim: para a maioria dos alunos que estudam matemática na escola e não leram o que está escrito acima, esses problemas podem parecer difíceis. No entanto, estes são os tipos de problemas que aparecem no OGE e no Exame Estadual Unificado de matemática, por isso recomendo que você se familiarize com eles.

Tarefa nº 11. A equipe produziu 62 peças em janeiro e, em cada mês subsequente, produziu 14 peças a mais que no mês anterior. Quantas peças a equipe produziu em novembro?

Solução. Obviamente, o número de peças listadas por mês representará uma progressão aritmética crescente. Além disso:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembro é o 11º mês do ano, então precisamos encontrar $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cponto 14=202\]

Portanto, serão produzidas 202 peças em novembro.

Tarefa nº 12. A oficina de encadernação encadernou 216 livros em janeiro e em cada mês subsequente encadernou mais 4 livros do que no mês anterior. Quantos livros a oficina encadernou em dezembro?

Solução. Tudo é igual:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezembro é o último 12º mês do ano, então estamos procurando por $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cponto 4=260\]

Esta é a resposta: 260 livros serão encadernados em dezembro.

Bem, se você leu até aqui, apresso-me em parabenizá-lo: você concluiu com sucesso o “curso do jovem lutador” em progressões aritméticas. Você pode passar com segurança para a próxima lição, onde estudaremos a fórmula da soma da progressão, bem como suas consequências importantes e muito úteis.

Nível de entrada

Progressão aritmética. Teoria detalhada com exemplos (2019)

Sequência numérica

Então, vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:
Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser (no nosso caso, existem). Não importa quantos números escrevemos, sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo e assim sucessivamente até o último, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica:

Sequência numérica
Por exemplo, para nossa sequência:

O número atribuído é específico para apenas um número na sequência. Em outras palavras, não há três segundos números na sequência. O segundo número (como o décimo número) é sempre o mesmo.
O número com número é chamado de décimo termo da sequência.

Normalmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro desta sequência é a mesma letra com um índice igual ao número deste membro: .

No nosso caso:

Digamos que temos uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.
Por exemplo:

etc.
Essa sequência numérica é chamada de progressão aritmética.
O termo "progressão" foi introduzido pelo autor romano Boécio no século VI e foi entendido num sentido mais amplo como uma sequência numérica infinita. O nome "aritmética" foi transferido da teoria das proporções contínuas, que foi estudada pelos antigos gregos.

Esta é uma sequência numérica, cada membro da qual é igual ao anterior adicionado ao mesmo número. Este número é chamado de diferença de uma progressão aritmética e é designado.

Tente determinar quais sequências numéricas são uma progressão aritmética e quais não são:

um)
b)
c)
e)

Entendi? Vamos comparar nossas respostas:
É progressão aritmética - b, c.
Não é progressão aritmética - a, d.

Vamos voltar à progressão dada () e tentar encontrar o valor do seu décimo termo. Existe dois maneira de encontrá-lo.

1. Método

Podemos adicionar o número da progressão ao valor anterior até atingirmos o décimo termo da progressão. É bom que não tenhamos muito para resumir – apenas três valores:

Assim, o décimo termo da progressão aritmética descrita é igual a.

2. Método

E se precisássemos encontrar o valor do décimo termo da progressão? O somatório levaria mais de uma hora, e não é fato que não cometeríamos erros na soma dos números.
É claro que os matemáticos descobriram uma forma em que não é necessário adicionar a diferença de uma progressão aritmética ao valor anterior. Dê uma olhada mais de perto na imagem desenhada... Certamente você já notou um certo padrão, a saber:

Por exemplo, vamos ver em que consiste o valor do décimo termo desta progressão aritmética:


Em outras palavras:

Tente encontrar você mesmo o valor de um membro de uma determinada progressão aritmética dessa maneira.

Você calculou? Compare suas anotações com a resposta:

Observe que você obteve exatamente o mesmo número do método anterior, quando adicionamos sequencialmente os termos da progressão aritmética ao valor anterior.
Vamos tentar “despersonalizar” esta fórmula – vamos trazê-la para visão geral e obtemos:

Equação de progressão aritmética.

As progressões aritméticas podem ser crescentes ou decrescentes.

Aumentando- progressões em que cada valor subsequente dos termos é maior que o anterior.
Por exemplo:

Descendente- progressões em que cada valor subsequente dos termos é menor que o anterior.
Por exemplo:

A fórmula derivada é usada no cálculo de termos crescentes e decrescentes de uma progressão aritmética.
Vamos verificar isso na prática.
Recebemos uma progressão aritmética que consiste nos seguintes números: Vamos verificar qual será o décimo número desta progressão aritmética se usarmos nossa fórmula para calculá-la:

Desde então:

Assim, estamos convencidos de que a fórmula opera tanto na progressão aritmética decrescente quanto na crescente.
Tente encontrar você mesmo o décimo e o quinto termos dessa progressão aritmética.

Vamos comparar os resultados:

Propriedade de progressão aritmética

Vamos complicar o problema - derivaremos a propriedade da progressão aritmética.
Digamos que nos seja dada a seguinte condição:
- progressão aritmética, encontre o valor.
Calma, você diz e começa a contar de acordo com a fórmula que você já conhece:

Vamos, ah, então:

Absolutamente verdade. Acontece que primeiro encontramos, depois adicionamos ao primeiro número e obtemos o que procuramos. Se a progressão for representada por valores pequenos, então não há nada de complicado nisso, mas e se recebermos números na condição? Concordo, existe a possibilidade de cometer erros nos cálculos.
Agora pense se é possível resolver esse problema em uma etapa usando qualquer fórmula? Claro que sim, e é isso que tentaremos trazer agora.

Vamos denotar o termo requerido da progressão aritmética como, a fórmula para encontrá-lo é conhecida por nós - esta é a mesma fórmula que derivamos no início:
, Então:

• o termo anterior da progressão é:
• o próximo termo da progressão é:

Vamos resumir os termos anteriores e subsequentes da progressão:

Acontece que a soma dos termos anteriores e subsequentes da progressão é o dobro do valor do termo da progressão localizado entre eles. Em outras palavras, para encontrar o valor de um termo de progressão com valores anteriores e sucessivos conhecidos, é necessário adicioná-los e dividir por.

Isso mesmo, temos o mesmo número. Vamos garantir o material. Calcule você mesmo o valor da progressão, não é nada difícil.

Bom trabalho! Você sabe quase tudo sobre progressão! Resta descobrir apenas uma fórmula que, segundo a lenda, foi facilmente deduzida por si mesmo por um dos maiores matemáticos de todos os tempos, o “rei dos matemáticos” - Karl Gauss...

Quando Carl Gauss tinha 9 anos, um professor, ocupado verificando o trabalho dos alunos de outras turmas, atribuiu a seguinte tarefa em sala de aula: “Calcular a soma de todos os números naturais de até (de acordo com outras fontes até) inclusive”. Imagine a surpresa do professor quando um de seus alunos (era Karl Gauss) um minuto depois deu a resposta correta à tarefa, enquanto a maioria dos colegas do temerário, após longos cálculos, obtiveram o resultado errado...

O jovem Carl Gauss notou um certo padrão que você também pode notar facilmente.
Digamos que temos uma progressão aritmética que consiste em -ésimos termos: Precisamos encontrar a soma desses termos da progressão aritmética. Claro, podemos somar manualmente todos os valores, mas e se a tarefa exigir encontrar a soma dos seus termos, como Gauss estava procurando?

Vamos descrever a progressão que nos foi dada. Observe mais de perto os números destacados e tente realizar várias operações matemáticas com eles.


Você já experimentou? O que você percebeu? Certo! Suas somas são iguais

Agora diga-me, quantos pares existem no total na progressão que nos foi dada? Claro, exatamente metade de todos os números.
Com base no fato de que a soma de dois termos de uma progressão aritmética é igual e os pares semelhantes são iguais, obtemos que a soma total é igual a:
.
Assim, a fórmula para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Em alguns problemas não conhecemos o termo, mas sabemos a diferença da progressão. Tente substituir a fórmula do décimo termo na fórmula da soma.
O que você conseguiu?

Bom trabalho! Agora voltemos ao problema que foi proposto a Carl Gauss: calcule você mesmo a que é igual a soma dos números começando com o th e a soma dos números começando com o th.

Quanto você conseguiu?
Gauss descobriu que a soma dos termos é igual, e a soma dos termos. Foi isso que você decidiu?

Na verdade, a fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética foi comprovada pelo antigo cientista grego Diofanto no século III e, ao longo desse tempo, pessoas espirituosas fizeram pleno uso das propriedades da progressão aritmética.
Por exemplo, imagine Antigo Egito e o mais construção em grande escala daquela vez - a construção de uma pirâmide... A imagem mostra um lado dela.

Onde está a progressão aqui, você diz? Observe com atenção e encontre um padrão no número de blocos de areia em cada linha da parede da pirâmide.


Por que não uma progressão aritmética? Calcule quantos blocos são necessários para construir uma parede se a base for blocos de tijolos. Espero que você não conte enquanto move o dedo pelo monitor. Lembra-se da última fórmula e de tudo o que dissemos sobre progressão aritmética?

Neste caso, a progressão fica assim: .
Diferença de progressão aritmética.
O número de termos de uma progressão aritmética.
Vamos substituir nossos dados nas últimas fórmulas (calcular o número de blocos de 2 maneiras).

Método 1.

Método 2.

E agora você pode calcular no monitor: compare os valores obtidos com a quantidade de blocos que estão em nossa pirâmide. Entendi? Muito bem, você dominou a soma dos enésimos termos de uma progressão aritmética.
Claro, você não pode construir uma pirâmide com blocos na base, mas com? Tente calcular quantos tijolos de areia são necessários para construir uma parede com esta condição.
Você conseguiu?
A resposta correta é blocos:

Treinamento

Tarefas:

1. Masha está ficando em forma para o verão. Todos os dias ela aumenta o número de agachamentos. Quantas vezes Masha fará agachamentos em uma semana se ela fez agachamentos no primeiro treino?
2. Qual é a soma de todos os números ímpares contidos em.
3. Ao armazenar logs, os registradores os empilham de forma que cada camada superior contém um log a menos que o anterior. Quantas toras tem uma alvenaria, se a base da alvenaria são toras?

Respostas:

1. Vamos definir os parâmetros da progressão aritmética. Nesse caso
   (semanas = dias).

   Responder: Em duas semanas, Masha deverá fazer agachamentos uma vez por dia.

2. Primeiro número ímpar, último número.
   Diferença de progressão aritmética.
   O número de números ímpares é a metade, porém, vamos verificar esse fato usando a fórmula para encontrar o décimo termo de uma progressão aritmética:

   Os números contêm números ímpares.
   Vamos substituir os dados disponíveis na fórmula:

   Responder: A soma de todos os números ímpares contidos em é igual.

3. Vamos lembrar o problema das pirâmides. Para o nosso caso, a , como cada camada superior é reduzida em um log, então no total há um monte de camadas, isto é.
   Vamos substituir os dados na fórmula:

   Responder: Existem toras na alvenaria.

Vamos resumir

1. - uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual. Pode ser crescente ou decrescente.
2. Fórmula de descoberta O décimo termo de uma progressão aritmética é escrito pela fórmula - , onde é o número de números na progressão.
3. Propriedade dos membros de uma progressão aritmética- - onde está o número de números em progressão.
4. A soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser encontrado de duas maneiras:
   
   , onde está o número de valores.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. NÍVEL MÉDIO

Sequência numérica

Vamos sentar e começar a escrever alguns números. Por exemplo:

Você pode escrever qualquer número e pode haver quantos quiser. Mas sempre podemos dizer qual é o primeiro, qual é o segundo, e assim por diante, ou seja, podemos numerá-los. Este é um exemplo de sequência numérica.

Sequência numéricaé um conjunto de números, cada um dos quais pode receber um número exclusivo.

Em outras palavras, cada número pode estar associado a um determinado número natural e a um único. E não atribuiremos este número a nenhum outro número deste conjunto.

O número com número é chamado de décimo membro da sequência.

Normalmente chamamos a sequência inteira por alguma letra (por exemplo,), e cada membro desta sequência é a mesma letra com um índice igual ao número deste membro: .

É muito conveniente que o décimo termo da sequência possa ser especificado por alguma fórmula. Por exemplo, a fórmula

define a sequência:

E a fórmula é a seguinte sequência:

Por exemplo, uma progressão aritmética é uma sequência (o primeiro termo aqui é igual e a diferença é). Ou (, diferença).

fórmula do enésimo termo

Chamamos de recorrente uma fórmula em que, para descobrir o décimo termo, é necessário conhecer o anterior ou vários anteriores:

Para encontrar, por exemplo, o décimo termo da progressão utilizando esta fórmula, teremos que calcular os nove anteriores. Por exemplo, deixe. Então:

Bem, está claro agora qual é a fórmula?

Em cada linha adicionamos, multiplicado por algum número. Qual deles? Muito simples: este é o número do membro atual menos:

Muito mais conveniente agora, certo? Nós verificamos:

Decida por si mesmo:

Em uma progressão aritmética, encontre a fórmula para o enésimo termo e encontre o centésimo termo.

Solução:

O primeiro termo é igual. Qual é a diferença? Aqui está o que:

(É por isso que se chama diferença porque é igual à diferença dos termos sucessivos da progressão).

Então, a fórmula:

Então o centésimo termo é igual a:

Qual é a soma de todos os números naturais de até?

Segundo a lenda, o grande matemático Carl Gauss, aos 9 anos, calculou esse valor em poucos minutos. Ele percebeu que a soma do primeiro e do último número é igual, a soma do segundo e do penúltimo é a mesma, a soma do terceiro e do terceiro a partir do final é a mesma, e assim por diante. Quantos desses pares existem no total? Isso mesmo, exatamente metade do número de todos os números. Então,

A fórmula geral para a soma dos primeiros termos de qualquer progressão aritmética será:

Exemplo:
Encontre a soma de todos os múltiplos de dois dígitos.

Solução:

O primeiro desses números é este. Cada número subsequente é obtido somando-se ao número anterior. Assim, os números que nos interessam formam uma progressão aritmética com o primeiro termo e a diferença.

Fórmula do décimo termo para esta progressão:

Quantos termos existem na progressão se todos tiverem que ter dois dígitos?

Muito fácil: .

O último termo da progressão será igual. Então a soma:

Responder: .

Agora decida por si mesmo:

1. Todos os dias o atleta corre mais metros que no dia anterior. Quantos quilômetros no total ele correrá em uma semana, se no primeiro dia ele correu km m?
2. Um ciclista percorre mais quilômetros todos os dias do que no dia anterior. No primeiro dia ele percorreu km. Quantos dias ele precisa viajar para percorrer um quilômetro? Quantos quilômetros ele percorrerá no último dia de viagem?
3. O preço de uma geladeira em uma loja diminui na mesma proporção a cada ano. Determine quanto o preço de uma geladeira diminuiu a cada ano se, colocado à venda por rublos, seis anos depois foi vendido por rublos.

Respostas:

1. O mais importante aqui é reconhecer a progressão aritmética e determinar seus parâmetros. Neste caso, (semanas = dias). Você precisa determinar a soma dos primeiros termos desta progressão:
   .
   Responder:
2. Aqui é dado: , deve ser encontrado.
   Obviamente, você precisa usar a mesma fórmula de soma do problema anterior:
   .
   Substitua os valores:

   A raiz obviamente não cabe, então a resposta é.
   Vamos calcular o caminho percorrido no último dia usando a fórmula do décimo termo:
   (km).
   Responder:

3. Dado: . Encontrar: .
   Não poderia ser mais simples:
   (esfregar).
   Responder:

PROGRESSÃO ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Esta é uma sequência numérica em que a diferença entre números adjacentes é a mesma e igual.

A progressão aritmética pode ser crescente () e decrescente ().

Por exemplo:

Fórmula para encontrar o enésimo termo de uma progressão aritmética

é escrito pela fórmula, onde é o número de números em progressão.

Propriedade dos membros de uma progressão aritmética

Ele permite que você encontre facilmente o termo de uma progressão se seus termos vizinhos forem conhecidos - onde está o número de números na progressão.

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Existem duas maneiras de encontrar o valor:

Onde está o número de valores.

Onde está o número de valores.

Por exemplo, a sequência \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... é uma progressão aritmética, porque cada elemento subsequente difere do anterior por três (pode ser obtido do anterior adicionando três):

Nesta progressão, a diferença \(d\) é positiva (igual a \(3\)) e, portanto, cada termo seguinte é maior que o anterior. Tais progressões são chamadas aumentando.

No entanto, \(d\) também pode ser um número negativo. Por exemplo, em progressão aritmética \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... a diferença de progressão \(d\) é igual a menos seis.

E neste caso, cada elemento seguinte será menor que o anterior. Essas progressões são chamadas diminuindo.

Notação de progressão aritmética

A progressão é indicada por uma pequena letra latina.

Os números que formam uma progressão são chamados membros(ou elementos).

Eles são denotados pela mesma letra de uma progressão aritmética, mas com um índice numérico igual ao número do elemento em ordem.

Por exemplo, a progressão aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) consiste nos elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e assim por diante.

Em outras palavras, para a progressão \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Resolvendo problemas de progressão aritmética

Em princípio, as informações apresentadas acima já são suficientes para resolver quase todos os problemas de progressão aritmética (inclusive os oferecidos no OGE).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é especificada pelas condições \(b_1=7; d=4\). Encontre \(b_5\).
Solução:

Responder: \(b_5=23\)

Exemplo (OGE). Os três primeiros termos de uma progressão aritmética são dados: \(62; 49; 36…\) Encontre o valor do primeiro termo negativo desta progressão..
Solução:

	Recebemos os primeiros elementos da sequência e sabemos que se trata de uma progressão aritmética. Ou seja, cada elemento difere do seu vizinho pelo mesmo número. Vamos descobrir qual deles subtraindo o anterior do próximo elemento: \(d=49-62=-13\).
	Agora podemos restaurar a nossa progressão para o elemento (primeiro negativo) que precisamos.
	Preparar. Você pode escrever uma resposta.

Responder: \(-3\)

Exemplo (OGE). Dados vários elementos consecutivos de uma progressão aritmética: \(…5; x; 10; 12,5...\) Encontre o valor do elemento designado pela letra \(x\).
Solução:

	Para encontrar \(x\), precisamos saber o quanto o próximo elemento difere do anterior, ou seja, a diferença de progressão. Vamos encontrá-lo a partir de dois elementos vizinhos conhecidos: \(d=12,5-10=2,5\).
	E agora podemos encontrar facilmente o que procuramos: \(x=5+2,5=7,5\).
	Preparar. Você pode escrever uma resposta.

Responder: \(7,5\).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é definida pelas seguintes condições: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encontre a soma dos primeiros seis termos desta progressão.
Solução:

Precisamos de determinar a soma dos primeiros seis termos da progressão. Mas não conhecemos o seu significado; nos é dado apenas o primeiro elemento. Portanto, primeiro calculamos os valores um por um, usando o que nos é dado: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) E tendo calculado os seis elementos que precisamos, encontramos a sua soma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

A quantidade necessária foi encontrada.

Responder: \(S_6=9\).

Exemplo (OGE). Na progressão aritmética \(a_(12)=23\); \(uma_(16)=51\). Encontre a diferença dessa progressão.
Solução:

Responder: \(d=7\).

Fórmulas importantes para progressão aritmética

Como você pode ver, muitos problemas de progressão aritmética podem ser resolvidos simplesmente entendendo o principal - que uma progressão aritmética é uma cadeia de números, e cada elemento subsequente nesta cadeia é obtido adicionando o mesmo número ao anterior (o diferença da progressão).

No entanto, às vezes há situações em que decidir “de frente” é muito inconveniente. Por exemplo, imagine que no primeiro exemplo precisamos encontrar não o quinto elemento \(b_5\), mas o trezentos e oitenta e seis \(b_(386)\). Deveríamos somar quatro \(385\) vezes? Ou imagine que no penúltimo exemplo você precise encontrar a soma dos primeiros setenta e três elementos. Você vai se cansar de contar...

Portanto, nesses casos eles não resolvem as coisas “de frente”, mas usam fórmulas especiais derivadas para progressão aritmética. E as principais são a fórmula do enésimo termo da progressão e a fórmula da soma dos \(n\) primeiros termos.

Fórmula do \(n\)-ésimo termo: \(a_n=a_1+(n-1)d\), onde \(a_1\) é o primeiro termo da progressão;
\(n\) – número do elemento requerido;
\(a_n\) – termo da progressão com número \(n\).

Esta fórmula permite-nos encontrar rapidamente até o tricentésimo ou o milionésimo elemento, conhecendo apenas o primeiro e a diferença da progressão.

Exemplo. A progressão aritmética é especificada pelas condições: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encontre \(b_(246)\).
Solução:

Responder: \(b_(246)=1850\).

Fórmula para a soma dos primeiros n termos: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), onde

\(a_n\) – o último termo somado;

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é especificada pelas condições \(a_n=3,4n-0,6\). Encontre a soma dos primeiros \(25\) termos desta progressão.
Solução:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Para calcular a soma dos primeiros vinte e cinco termos, precisamos de saber o valor do primeiro e do vigésimo quinto termos. Nossa progressão é dada pela fórmula do enésimo termo dependendo do seu número (para mais detalhes, veja). Vamos calcular o primeiro elemento substituindo \(n\) por um.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Agora vamos encontrar o vigésimo quinto termo substituindo vinte e cinco em vez de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Bem, agora podemos calcular facilmente a quantidade necessária.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A resposta está pronta.

Responder: \(S_(25)=1090\).

Para a soma \(n\) dos primeiros termos, você pode obter outra fórmula: você só precisa \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) em vez de \(a_n\) substitua a fórmula por \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nós obtemos:

Fórmula para a soma dos primeiros n termos: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), onde

\(S_n\) – a soma necessária dos \(n\) primeiros elementos;
\(a_1\) – o primeiro termo somado;
\(d\) – diferença de progressão;
\(n\) – número de elementos no total.

Exemplo. Encontre a soma dos primeiros termos \(33\)-ex da progressão aritmética: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solução:

Responder: \(S_(33)=-231\).

Problemas de progressão aritmética mais complexos

Agora você tem todas as informações necessárias para resolver quase todos os problemas de progressão aritmética. Vamos finalizar o tópico considerando problemas nos quais você não só precisa aplicar fórmulas, mas também pensar um pouco (em matemática isso pode ser útil ☺)

Exemplo (OGE). Encontre a soma de todos os termos negativos da progressão: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Solução:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A tarefa é muito semelhante à anterior. Começamos a resolver a mesma coisa: primeiro encontramos \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Agora gostaríamos de substituir \(d\) na fórmula da soma... e aqui surge uma pequena nuance - não sabemos \(n\). Em outras palavras, não sabemos quantos termos precisarão ser adicionados. Como descobrir? Vamos pensar. Pararemos de adicionar elementos quando chegarmos ao primeiro elemento positivo. Ou seja, você precisa descobrir o número desse elemento. Como? Vamos anotar a fórmula para calcular qualquer elemento de uma progressão aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para o nosso caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Precisamos que \(a_n\) se torne maior que zero. Vamos descobrir em que \(n\) isso vai acontecer.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Dividimos ambos os lados da desigualdade por \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Transferimos menos um, não esquecendo de mudar os sinais
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Vamos calcular...
\(n>65.333…\)		...e acontece que o primeiro elemento positivo terá o número \(66\). Assim, o último negativo tem \(n=65\). Por precaução, vamos verificar isso.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Portanto, precisamos adicionar os primeiros \(65\) elementos.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cponto 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cponto 65=-630,5\)		A resposta está pronta.

Responder: \(S_(65)=-630,5\).

Exemplo (OGE). A progressão aritmética é especificada pelas condições: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encontre a soma do \(26\)-ésimo ao \(42\) elemento inclusive.
Solução:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Neste problema você também precisa encontrar a soma dos elementos, mas começando não do primeiro, mas do \(26\)-ésimo. Para tal caso não temos uma fórmula. Como decidir? É fácil - para obter a soma do \(26\)-ésimo ao \(42\)-ésimo, você deve primeiro encontrar a soma do \(1\)-ésimo ao \(42\)-ésimo e depois subtrair dele a soma do primeiro ao \(25\)º (veja a imagem).
	Para a nossa progressão \(a_1=-33\), e a diferença \(d=4\) (afinal, são os quatro que adicionamos ao elemento anterior para encontrar o próximo). Sabendo disso, encontramos a soma dos primeiros elementos \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cponto 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Agora a soma dos primeiros \(25\) elementos.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cponto 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	E finalmente, calculamos a resposta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Responder: \(S=1683\).

Para progressão aritmética, existem várias outras fórmulas que não consideramos neste artigo devido à sua baixa utilidade prática. No entanto, você pode encontrá-los facilmente.

Ao estudar álgebra no ensino médio (9º ano), um dos tópicos importantes é o estudo das sequências numéricas, que incluem progressões - geométricas e aritméticas. Neste artigo veremos uma progressão aritmética e exemplos com soluções.

O que é uma progressão aritmética?

Para entender isso, é necessário definir a progressão em questão, bem como fornecer as fórmulas básicas que serão utilizadas posteriormente na resolução de problemas.

Aritmética ou é um conjunto de números racionais ordenados, cada membro difere do anterior por algum valor constante. Este valor é chamado de diferença. Ou seja, conhecendo qualquer membro de uma série ordenada de números e a diferença, você pode restaurar toda a progressão aritmética.

Vamos dar um exemplo. A seguinte sequência de números será uma progressão aritmética: 4, 8, 12, 16, ..., pois a diferença neste caso é 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mas o conjunto dos números 3, 5, 8, 12, 17 não pode mais ser atribuído ao tipo de progressão em consideração, pois a diferença para ele não é um valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fórmulas importantes

Apresentamos agora as fórmulas básicas que serão necessárias para resolver problemas usando progressão aritmética. Vamos denotar pelo símbolo a n enésimo termo sequências onde n é um número inteiro. Denotamos a diferença pela letra latina d. Então as seguintes expressões são válidas:

1. Para determinar o valor do enésimo termo, a seguinte fórmula é adequada: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Para determinar a soma dos primeiros n termos: S n = (a n +a 1)*n/2.

Para compreender quaisquer exemplos de progressão aritmética com soluções no 9º ano, basta lembrar estas duas fórmulas, uma vez que quaisquer problemas do tipo em consideração são baseados na sua utilização. Você também deve lembrar que a diferença de progressão é determinada pela fórmula: d = a n - a n-1.

Exemplo #1: encontrar um membro desconhecido

Vamos dar um exemplo simples de progressão aritmética e as fórmulas que precisam ser usadas para resolvê-la.

Seja dada a sequência 10, 8, 6, 4, ..., você precisa encontrar cinco termos nela.

Das condições do problema já se segue que os primeiros 4 termos são conhecidos. O quinto pode ser definido de duas maneiras:

1. Vamos primeiro calcular a diferença. Temos: d = 8 - 10 = -2. Da mesma forma, você pode colocar quaisquer outros dois membros próximos um do outro. Por exemplo, d = 4 - 6 = -2. Como se sabe que d = a n - a n-1, então d = a 5 - a 4, do qual obtemos: a 5 = a 4 + d. Vamos substituir valores conhecidos: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. O segundo método também requer conhecimento da diferença da progressão em questão, então primeiro você precisa determiná-la conforme mostrado acima (d = -2). Sabendo que o primeiro termo a 1 = 10, usamos a fórmula para o número n da sequência. Temos: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Substituindo n = 5 na última expressão, obtemos: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Como você pode ver, ambas as soluções levaram ao mesmo resultado. Observe que neste exemplo a diferença de progressão d é um valor negativo. Essas sequências são chamadas decrescentes, pois cada termo seguinte é menor que o anterior.

Exemplo #2: diferença de progressão

Agora vamos complicar um pouco a tarefa, dar um exemplo de como encontrar a diferença de uma progressão aritmética.

Sabe-se que em alguma progressão algébrica o 1º termo é igual a 6, e o 7º termo é igual a 18. É necessário encontrar a diferença e restaurar esta sequência ao 7º termo.

Vamos usar a fórmula para determinar o termo desconhecido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Vamos substituir nele os dados conhecidos da condição, ou seja, os números a 1 e a 7, temos: 18 = 6 + 6 * d. A partir desta expressão você pode calcular facilmente a diferença: d = (18 - 6) /6 = 2. Assim, respondemos à primeira parte do problema.

Para restaurar a sequência ao 7º termo, deve-se usar a definição de progressão algébrica, ou seja, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, e assim por diante. Como resultado, restauramos toda a sequência: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Exemplo nº 3: traçando uma progressão

Vamos complicar ainda mais condição mais forte tarefas. Agora precisamos responder à questão de como determinar uma progressão aritmética. O seguinte exemplo pode ser dado: são dados dois números, por exemplo - 4 e 5. É necessário criar uma progressão algébrica para que mais três termos sejam colocados entre eles.

Antes de começar a resolver este problema, você precisa entender que lugar os números fornecidos ocuparão na progressão futura. Como haverá mais três termos entre eles, então 1 = -4 e 5 = 5. Estabelecido isso, passamos ao problema, que é semelhante ao anterior. Novamente, para o enésimo termo usamos a fórmula, obtemos: a 5 = a 1 + 4 * d. De: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. O que obtivemos aqui não é um valor inteiro da diferença, mas é um número racional, portanto as fórmulas para a progressão algébrica permanecem as mesmas.

Agora vamos adicionar a diferença encontrada a 1 e restaurar os termos que faltam na progressão. Obtemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, que coincidiu com as condições do problema.

Exemplo nº 4: primeiro termo de progressão

Continuaremos a dar exemplos de progressão aritmética com soluções. Em todos os problemas anteriores, o primeiro número da progressão algébrica era conhecido. Agora vamos considerar um problema de um tipo diferente: sejam dados dois números, onde 15 = 50 e 43 = 37. É necessário descobrir com qual número essa sequência começa.

As fórmulas usadas até agora assumem o conhecimento de a 1 e d. Na definição do problema, nada se sabe sobre esses números. No entanto, escreveremos expressões para cada termo sobre o qual há informação disponível: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Recebemos duas equações nas quais existem 2 quantidades desconhecidas (a 1 ed). Isso significa que o problema se reduz a resolver um sistema de equações lineares.

A maneira mais fácil de resolver este sistema é expressar 1 em cada equação e depois comparar as expressões resultantes. Primeira equação: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda equação: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Equacionando essas expressões, obtemos: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, daí a diferença d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (apenas 3 casas decimais são fornecidas).

Conhecendo d, você pode usar qualquer uma das 2 expressões acima para 1. Por exemplo, primeiro: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Se tiver dúvidas sobre o resultado obtido, você pode verificá-lo, por exemplo, determinando o 43º termo da progressão, que está especificado na condição. Obtemos: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. O pequeno erro se deve ao fato de ter sido utilizado arredondamento para milésimos nos cálculos.

Exemplo nº 5: valor

Agora vejamos vários exemplos com soluções para a soma de uma progressão aritmética.

Seja dada uma progressão numérica da seguinte forma: 1, 2, 3, 4, ...,. Como calcular a soma de 100 desses números?

Graças ao desenvolvimento da tecnologia informática, é possível resolver este problema, ou seja, somar todos os números sequencialmente, o que o computador fará assim que uma pessoa pressionar a tecla Enter. Porém, o problema pode ser resolvido mentalmente se você prestar atenção ao fato de que a série de números apresentada é uma progressão algébrica, e sua diferença é igual a 1. Aplicando a fórmula da soma, obtemos: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

É interessante notar que este problema é denominado “Gaussiano” porque no início do século XVIII o famoso alemão, ainda com apenas 10 anos, conseguiu resolvê-lo de cabeça em poucos segundos. O menino não conhecia a fórmula da soma de uma progressão algébrica, mas percebeu que se você somar os números no final da sequência aos pares, sempre obtém o mesmo resultado, ou seja, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e como essas somas serão exatamente 50 (100/2), então para obter a resposta correta basta multiplicar 50 por 101.

Exemplo nº 6: soma dos termos de n a m

Mais um exemplo típico a soma de uma progressão aritmética é a seguinte: dada uma série de números: 3, 7, 11, 15, ..., você precisa descobrir a que será igual a soma de seus termos de 8 a 14.

O problema é resolvido de duas maneiras. O primeiro deles envolve encontrar termos desconhecidos de 8 a 14 e depois somá-los sequencialmente. Como existem poucos termos, esse método não exige muita mão-de-obra. No entanto, propõe-se resolver este problema através de um segundo método, mais universal.

A ideia é obter uma fórmula para a soma da progressão algébrica entre os termos m e n, onde n > m são inteiros. Para ambos os casos, escrevemos duas expressões para a soma:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Como n > m, é óbvio que a 2ª soma inclui a primeira. A última conclusão significa que se tomarmos a diferença entre essas somas e adicionarmos a ela o termo a m (no caso de tomar a diferença, ela é subtraída da soma S n), obteremos a resposta necessária ao problema. Temos: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1-m/2). É necessário substituir fórmulas para a n e a m nesta expressão. Então obtemos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

A fórmula resultante é um tanto complicada, entretanto, a soma S mn depende apenas de n, m, a 1 e d. No nosso caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substituindo esses números, obtemos: S mn = 301.

Como pode ser visto nas soluções acima, todos os problemas são baseados no conhecimento da expressão do enésimo termo e da fórmula da soma do conjunto dos primeiros termos. Antes de começar a resolver qualquer um desses problemas, é recomendável que você leia atentamente a condição, entenda claramente o que precisa encontrar e só então prossiga com a solução.

Outra dica é buscar a simplicidade, ou seja, se você consegue responder uma pergunta sem usar cálculos matemáticos complexos, então é preciso fazer exatamente isso, pois nesse caso a probabilidade de errar é menor. Por exemplo, no exemplo de uma progressão aritmética com solução nº 6, pode-se parar na fórmula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e divida o problema geral em subtarefas separadas (neste caso, primeiro encontre os termos a n e a m).

Caso tenha dúvidas sobre o resultado obtido, recomenda-se verificá-lo, como foi feito em alguns dos exemplos dados. Descobrimos como determinar uma progressão aritmética. Se você descobrir, não é tão difícil.

O tema “progressão aritmética” é estudado no curso de álgebra geral nas escolas do 9º ano. Este tópico é importante para um estudo mais aprofundado da matemática das séries numéricas. Neste artigo conheceremos a progressão aritmética, sua diferença, bem como problemas típicos que os alunos podem encontrar.

O conceito de progressão algébrica

Uma progressão numérica é uma sequência de números em que cada elemento subsequente pode ser obtido do anterior se alguma lei matemática for aplicada. Existem dois conhecidos simples progressão: geométrica e aritmética, também chamada de algébrica. Vejamos isso com mais detalhes.

Vamos imaginar algum número racional, denotamos-o pelo símbolo a1, onde o índice indica seu número de série na série em consideração. Vamos adicionar algum outro número a a1 e chamá-lo de d. Então o segundo elemento da série pode ser refletido da seguinte forma: a2 = a1+d. Agora adicione d novamente, obtemos: a3 = a2+d. Continuando esta operação matemática, podemos obter uma série inteira números, que serão chamados de progressão aritmética.

Como pode ser entendido acima, para encontrar o enésimo elemento desta sequência, você precisa usar a fórmula: an = a1 + (n-1)*d. Na verdade, substituindo n=1 na expressão, obtemos a1 = a1, se n = 2, então a fórmula segue: a2 = a1 + 1*d, e assim por diante.

Por exemplo, se a diferença da progressão aritmética for 5 e a1 = 1, isso significa que a série numérica do tipo em consideração tem a forma: 1, 6, 11, 16, 21, ... Como você pode veja, cada um de seus membros é 5 a mais que o anterior.

Fórmulas de diferença de progressão aritmética

Da definição acima da série de números em consideração, segue-se que para defini-la é necessário conhecer dois números: a1 e d. Esta última é chamada de diferença desta progressão. Ele determina exclusivamente o comportamento de toda a série. Na verdade, se d for positivo, então a série numérica aumentará constantemente, pelo contrário, se d for negativo, os números da série aumentarão apenas em valor absoluto, enquanto seu valor absoluto diminuirá com o aumento do número n;

Qual é a diferença da progressão aritmética? Vamos considerar duas fórmulas básicas usadas para calcular esse valor:

d = an+1-an, esta fórmula decorre diretamente da definição da série de números em consideração.

d = (-a1+an)/(n-1), esta expressão é obtida se expressarmos d a partir da fórmula dada no parágrafo anterior do artigo. Observe que esta expressão se torna indefinida (0/0) se n=1. Isso se deve ao fato de que é necessário conhecer pelo menos 2 elementos da série para determinar sua diferença.

Estas duas fórmulas básicas são usadas para resolver quaisquer problemas que envolvam encontrar a diferença de uma progressão. No entanto, há outra fórmula que você também precisa conhecer.

Soma dos primeiros elementos

A fórmula com a qual você pode determinar a soma de qualquer número de termos de uma progressão algébrica, de acordo com evidências históricas, foi obtida pela primeira vez pelo “príncipe” da matemática no século XVIII, Carl Gauss. O cientista alemão, ainda menino em escola primária escola da aldeia, percebeu que para dobrar números naturais na linha de 1 a 100, você deve primeiro somar o primeiro elemento e o último (o valor resultante será igual à soma do penúltimo e do segundo, penúltimo e terceiro elementos, e assim por diante), e então este número deve ser multiplicado pelo número dessas somas, ou seja, por 50.

A fórmula, que reflete o resultado declarado num exemplo particular, pode ser generalizada para um caso arbitrário. Será parecido com: Sn = n/2*(an+a1). Observe que para encontrar o valor indicado não é necessário o conhecimento da diferença d se dois termos da progressão (an e a1) forem conhecidos.

Exemplo nº 1. Determine a diferença, conhecendo dois termos da série a1 e um

Mostraremos como aplicar as fórmulas mencionadas acima no artigo. Vamos dar um exemplo simples: a diferença da progressão aritmética é desconhecida, é necessário determinar a que será igual se a13 = -5,6 e a1 = -12,1.

Como conhecemos os valores de dois elementos de uma sequência numérica, e um deles é o primeiro número, podemos usar a fórmula nº 2 para determinar a diferença d. Temos: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. Na expressão utilizamos o valor n=13, pois o termo com este determinado número ordinal é conhecido.

A diferença resultante indica que a progressão está aumentando, apesar do fato de os elementos fornecidos na definição do problema terem valor negativo. É claro que a13>a1, embora |a13|<|a1|.

Exemplo nº 2. Termos positivos da progressão no exemplo nº 1

Vamos usar o resultado obtido no exemplo anterior para resolver um novo problema. É formulado da seguinte forma: a partir de qual número de série os elementos da progressão do exemplo nº 1 começarão a assumir valores positivos?

Como foi mostrado, a progressão em que a1 = -12,1 e d = 0,54167 é crescente, então a partir de um determinado número os números começarão a assumir apenas valores positivos. Para determinar este número n, é necessário resolver uma inequação simples, que se escreve matematicamente da seguinte forma: an>0 ou, usando a fórmula apropriada, reescrevemos a inequação: a1 + (n-1)*d>0. É necessário encontrar a incógnita n, vamos expressá-la: n>-1*a1/d + 1. Agora resta substituir os valores conhecidos da diferença e o primeiro termo da sequência. Obtemos: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 ou n>23,338. Como n só pode assumir valores inteiros, segue-se da desigualdade resultante que quaisquer termos da série que tenham um número maior que 23 serão positivos.

Vamos verificar a resposta que recebemos usando a fórmula acima para calcular o 23º e o 24º elementos desta progressão aritmética. Temos: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 ( número negativo); a24=-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 ( valor positivo). Assim, o resultado obtido está correto: a partir de n=24, todos os membros da série numérica serão maiores que zero.

Exemplo nº 3. Quantos logs cabem?

Apresentamos um problema interessante: durante a exploração madeireira, optou-se por empilhar as toras serradas umas sobre as outras, conforme mostrado na figura abaixo. Quantas toras podem ser empilhadas dessa maneira, sabendo que caberão um total de 10 linhas?

Neste método de dobrar toras você pode notar uma coisa: coisa interessante: cada linha subsequente conterá um log a menos que a anterior, ou seja, ocorre uma progressão algébrica cuja diferença é d=1. Supondo que o número de logs em cada linha seja membro desta progressão, e também levando em consideração que a1 = 1 (apenas um log caberá no topo), encontramos o número a10. Temos: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Ou seja, na 10ª linha, que fica no chão, estarão 10 toras.

A soma total desta estrutura “piramidal” pode ser obtida utilizando a fórmula de Gauss. Obtemos: S10 = 10/2*(10+1) = 55 logs.