A derivada da raiz de x é igual a. Derivada de uma função de potência (potências e raízes)

A operação de encontrar a derivada é chamada de diferenciação.

Como resultado da resolução de problemas para encontrar derivadas das funções mais simples (e não muito simples), definindo a derivada como o limite da razão entre o incremento e o incremento do argumento, surgiu uma tabela de derivadas e regras de diferenciação definidas com precisão. . Os primeiros a trabalhar na área de determinação de derivadas foram Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Portanto, em nosso tempo, para encontrar a derivada de qualquer função, não é necessário calcular o limite acima mencionado da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento, mas você só precisa usar a tabela de derivadas e as regras de diferenciação. O algoritmo a seguir é adequado para encontrar a derivada.

Para encontrar a derivada, você precisa de uma expressão sob o sinal principal dividir funções simples em componentes e determinar quais ações (produto, soma, quociente) essas funções estão relacionadas. A seguir, encontramos as derivadas das funções elementares na tabela de derivadas, e as fórmulas para as derivadas do produto, soma e quociente - nas regras de diferenciação. A tabela de derivadas e as regras de diferenciação são fornecidas após os dois primeiros exemplos.

Exemplo 1. Encontre a derivada de uma função

Solução. A partir das regras de diferenciação descobrimos que a derivada de uma soma de funções é a soma das funções derivadas, ou seja,

Na tabela de derivadas descobrimos que a derivada de “x” é igual a um, e a derivada do seno é igual ao cosseno. Substituímos esses valores na soma das derivadas e encontramos a derivada exigida pela condição do problema:

Exemplo 2. Encontre a derivada de uma função

Solução. Diferenciamos como derivada de uma soma em que o segundo termo tem um fator constante pode ser retirado do sinal da derivada:

Se ainda surgirem dúvidas sobre a origem de algo, elas geralmente serão esclarecidas depois de se familiarizar com a tabela de derivadas e as regras mais simples de diferenciação. Estamos passando para eles agora.

Tabela de derivadas de funções simples

1. Derivada de uma constante (número). Qualquer número (1, 2, 5, 200...) que esteja na expressão da função. Sempre igual a zero. É muito importante lembrar disso, pois muitas vezes é necessário
2. Derivada da variável independente. Na maioria das vezes "X". Sempre igual a um. Isso também é importante lembrar por muito tempo
3. Derivada de grau. Ao resolver problemas, você precisa converter raízes não quadradas em potências.
4. Derivada de uma variável elevada à potência -1
5. Derivada raiz quadrada
6. Derivada do seno
7. Derivada do cosseno
8. Derivada da tangente
9. Derivada da cotangente
10. Derivada do arco seno
11. Derivada do arco cosseno
12. Derivada do arco tangente
13. Derivada do arco cotangente
14. Derivada do logaritmo natural
15. Derivada de uma função logarítmica
16. Derivada do expoente
17. Derivada de uma função exponencial

Regras de diferenciação

1. Derivada de uma soma ou diferença
2. Derivada do produto
2a. Derivada de uma expressão multiplicada por um fator constante
3. Derivada do quociente
4. Derivada de uma função complexa

Regra 1.Se as funções

são diferenciáveis ​​em algum ponto, então as funções são diferenciáveis ​​no mesmo ponto

e

aqueles. a derivada de uma soma algébrica de funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções.

Consequência. Se duas funções diferenciáveis ​​diferem por um termo constante, então suas derivadas são iguais, ou seja

Regra 2.Se as funções

são diferenciáveis ​​em algum ponto, então seu produto é diferenciável no mesmo ponto

e

aqueles. A derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções e a derivada da outra.

Corolário 1. O fator constante pode ser retirado do sinal da derivada:

Corolário 2. A derivada do produto de várias funções diferenciáveis ​​é igual à soma dos produtos da derivada de cada fator e de todos os outros.

Por exemplo, para três multiplicadores:

Regra 3.Se as funções

diferenciável em algum ponto E , então neste ponto seu quociente também é diferenciávelvocê/v e

aqueles. a derivada do quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado de o antigo numerador.

Onde procurar coisas em outras páginas

Ao encontrar a derivada de um produto e um quociente em problemas reais, é sempre necessário aplicar várias regras de diferenciação ao mesmo tempo, por isso há mais exemplos sobre essas derivadas no artigo"Derivada do produto e quociente de funções".

Comente. Você não deve confundir uma constante (isto é, um número) como um termo em uma soma e como um fator constante! No caso de um termo, sua derivada é igual a zero e, no caso de um fator constante, é retirada do sinal das derivadas. Esse erro típico, que ocorre em Estado inicial estudando derivadas, mas como eles resolvem vários exemplos de uma e duas partes, o aluno médio não comete mais esse erro.

E se, ao diferenciar um produto ou quociente, você tiver um termo você"v, no qual você- um número, por exemplo, 2 ou 5, ou seja, uma constante, então a derivada desse número será igual a zero e, portanto, todo o termo será igual a zero (este caso é discutido no exemplo 10).

Outro erro comum- solução mecânica da derivada de uma função complexa como derivada de uma função simples. É por isso derivada de uma função complexa um artigo separado é dedicado. Mas primeiro aprenderemos a encontrar derivadas funções simples.

Ao longo do caminho, você não pode prescindir da transformação de expressões. Para fazer isso, pode ser necessário abrir o manual em novas janelas. Ações com poderes e raízes E Operações com frações .

Se você está procurando soluções para derivadas de frações com potências e raízes, ou seja, quando a função se parece com , depois siga a lição “Derivada de somas de frações com potências e raízes”.

Se você tem uma tarefa como , então você fará a lição “Derivadas de funções trigonométricas simples”.

Exemplos passo a passo - como encontrar a derivada

Exemplo 3. Encontre a derivada de uma função

Solução. Definimos as partes da expressão da função: toda a expressão representa um produto, e seus fatores são somas, na segunda das quais um dos termos contém um fator constante. Aplicamos a regra de diferenciação do produto: a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções pela derivada da outra:

A seguir, aplicamos a regra de diferenciação da soma: a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções. No nosso caso, em cada soma o segundo termo possui um sinal negativo. Em cada soma vemos tanto uma variável independente, cuja derivada é igual a um, quanto uma constante (número), cuja derivada é igual a zero. Então, “X” se transforma em um e menos 5 se transforma em zero. Na segunda expressão, “x” é multiplicado por 2, então multiplicamos dois pela mesma unidade que a derivada de “x”. Obtemos os seguintes valores derivados:

Substituímos as derivadas encontradas na soma dos produtos e obtemos a derivada de toda a função exigida pela condição do problema:

Exemplo 4. Encontre a derivada de uma função

Solução. Somos obrigados a encontrar a derivada do quociente. Aplicamos a fórmula para diferenciar o quociente: a derivada do quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado do antigo numerador. Nós temos:

Já encontramos a derivada dos fatores no numerador no exemplo 2. Não esqueçamos também que o produto, que é o segundo fator no numerador no exemplo atual, é considerado com sinal de menos:

Se você está procurando soluções para problemas em que precisa encontrar a derivada de uma função, onde existe uma pilha contínua de raízes e potências, como, por exemplo, , então seja bem-vindo à aula "Derivada de somas de frações com potências e raízes" .

Se você precisar aprender mais sobre derivadas de senos, cossenos, tangentes e outras funções trigonométricas, ou seja, quando a função se parece com , então uma lição para você "Derivadas de funções trigonométricas simples" .

Exemplo 5. Encontre a derivada de uma função

Solução. Nesta função vemos um produto, um dos fatores do qual é a raiz quadrada da variável independente, cuja derivada conhecemos na tabela de derivadas. Usando a regra de diferenciação do produto e o valor tabular da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Exemplo 6. Encontre a derivada de uma função

Solução. Nesta função vemos um quociente cujo dividendo é a raiz quadrada da variável independente. Utilizando a regra de diferenciação de quocientes, que repetimos e aplicamos no exemplo 4, e o valor tabulado da derivada da raiz quadrada, obtemos:

Para eliminar uma fração no numerador, multiplique o numerador e o denominador por .

Derivação da fórmula derivada Função liga-desliga(x elevado à potência de a). São consideradas derivadas de raízes de x. Fórmula para a derivada de uma função de potência de ordem superior. Exemplos de cálculo de derivadas.

A derivada de x elevado a a é igual a a vezes x elevado a a menos um:
(1) .

A derivada da enésima raiz de x elevada à mésima potência é:
(2) .

Derivação da fórmula para a derivada de uma função de potência

Caso x > 0

Considere uma função potência da variável x com expoente a:
(3) .
Aqui a é um número real arbitrário. Vamos primeiro considerar o caso.

Para encontrar a derivada da função (3), usamos propriedades de uma função de potência e transforme-o no seguinte formato:
.

Agora encontramos a derivada usando:
;
.
Aqui .

A fórmula (1) foi comprovada.

Derivação da fórmula para a derivada de uma raiz de grau n de x ao grau de m

Agora considere uma função que é a raiz da seguinte forma:
(4) .

Para encontrar a derivada, transformamos a raiz em uma função potência:
.
Comparando com a fórmula (3) vemos que
.
Então
.

Usando a fórmula (1) encontramos a derivada:
(1) ;
;
(2) .

Na prática, não há necessidade de memorizar a fórmula (2). É muito mais conveniente primeiro transformar as raízes em funções de potência e depois encontrar suas derivadas usando a fórmula (1) (veja exemplos no final da página).

Caso x = 0

Se , então a função potência é definida para o valor da variável x = 0 . Vamos encontrar a derivada da função (3) em x = 0 . Para fazer isso, usamos a definição de derivada:
.

Vamos substituir x = 0 :
.
Neste caso, por derivada entendemos o limite à direita para o qual .

Então encontramos:
.
A partir disso, fica claro que para,.
No , .
No , .
Este resultado também é obtido a partir da fórmula (1):
(1) .
Portanto, a fórmula (1) também é válida para x = 0 .

Caso x< 0

Considere a função (3) novamente:
(3) .
Para certos valores da constante a, também é definido para valores negativos variável x. Ou seja, seja a um número racional. Então pode ser representado como uma fração irredutível:
,
onde m e n são inteiros sem divisor comum.

Se n for ímpar, então a função potência também é definida para valores negativos da variável x. Por exemplo, quando n = 3 e m = 1 temos a raiz cúbica de x:
.
Também é definido para valores negativos da variável x.

Vamos encontrar a derivada da função potência (3) para e para os valores racionais da constante a para a qual ela está definida. Para fazer isso, imagine x na seguinte forma:
.
Então ,
.
Encontramos a derivada tomando a constante fora do sinal da derivada e usando regra para diferenciar uma função complexa :

.
Aqui . Mas
.
Desde então
.
Então
.
Ou seja, a fórmula (1) também é válida para:
(1) .

Derivadas de ordem superior

Agora vamos encontrar derivadas de ordem superior da função potência
(3) .
Já encontramos a derivada de primeira ordem:
.

Tomando a constante a fora do sinal da derivada, encontramos a derivada de segunda ordem:
.
Da mesma forma, encontramos derivadas de terceira e quarta ordens:
;

.

A partir disso fica claro que derivada de enésima ordem arbitrária tem o seguinte formato:
.

notar que se um é número natural , então a enésima derivada é constante:
.
Então todas as derivadas subsequentes são iguais a zero:
,
no .

Exemplos de cálculo de derivadas

Exemplo

Encontre a derivada da função:
.

Solução

Vamos converter raízes em potências:
;
.
Então a função original assume a forma:
.

Encontrando derivadas de potências:
;
.
A derivada da constante é zero:
.

No qual examinamos as derivadas mais simples, e também nos familiarizamos com as regras de diferenciação e algumas técnicas técnicas para encontrar derivadas. Assim, se você não é muito bom com derivadas de funções ou se alguns pontos deste artigo não estão totalmente claros, leia primeiro a lição acima. Por favor, fique sério - o material não é simples, mas ainda tentarei apresentá-lo de forma simples e clara.

Na prática com a derivada função complexa você tem que enfrentar muitas vezes, eu diria, quase sempre, quando recebe tarefas para encontrar derivadas.

Vemos na tabela a regra (nº 5) para diferenciar uma função complexa:

Vamos descobrir. Em primeiro lugar, prestemos atenção à entrada. Aqui temos duas funções – e, e a função, falando figurativamente, está aninhada dentro da função. Uma função deste tipo (quando uma função está aninhada dentro de outra) é chamada de função complexa.

vou chamar a função função externa, e a função – função interna (ou aninhada).

! Estas definições não são teóricas e não devem constar na concepção final dos trabalhos. Eu uso expressões informais “função externa”, função “interna” apenas para facilitar a compreensão do material.

Para esclarecer a situação, considere:

Exemplo 1

Encontre a derivada de uma função

Sob o seno não temos apenas a letra “X”, mas uma expressão inteira, portanto, encontrar a derivada imediatamente na tabela não funcionará. Notamos também que aqui é impossível aplicar as quatro primeiras regras, parece haver uma diferença, mas o fato é que o seno não pode ser “despedaçado”:

EM neste exemplo já pelas minhas explicações fica intuitivamente claro que uma função é uma função complexa, e o polinômio é função interna(investimento), e – uma função externa.

Primeiro passo o que você precisa fazer ao encontrar a derivada de uma função complexa é entender qual função é interna e qual é externa.

Quando exemplos simples Parece claro que um polinômio está embutido no seno. Mas e se nem tudo for óbvio? Como determinar com precisão qual função é externa e qual é interna? Para isso sugiro usar próximo compromisso, o que pode ser feito mentalmente ou em forma de rascunho.

Vamos imaginar que precisamos calcular o valor da expressão em uma calculadora (em vez de um pode haver qualquer número).

O que vamos calcular primeiro? Em primeiro lugar você precisará realizar a seguinte ação: , portanto o polinômio será uma função interna:

Em segundo lugar precisará ser encontrado, então seno – será uma função externa:

Depois de nós VENDIDO com funções internas e externas, é hora de aplicar a regra de diferenciação de funções complexas .

Vamos começar a decidir. Da lição Como encontrar a derivada? lembramos que o desenho de uma solução para qualquer derivada sempre começa assim - colocamos a expressão entre colchetes e colocamos um traço no canto superior direito:

Inicialmente encontramos a derivada da função externa (seno), olhamos a tabela de derivadas de funções elementares e percebemos que . Todas as fórmulas de tabela também são aplicáveis ​​se “x” for substituído por uma expressão complexa, nesse caso:

Observe que a função interna não mudou, não tocamos nisso.

Bem, é bastante óbvio que

O resultado da aplicação da fórmula em sua forma final fica assim:

O fator constante geralmente é colocado no início da expressão:

Se houver algum mal-entendido, anote a solução no papel e leia novamente as explicações.

Exemplo 2

Encontre a derivada de uma função

Exemplo 3

Encontre a derivada de uma função

Como sempre, anotamos:

Vamos descobrir onde temos uma função externa e onde temos uma função interna. Para fazer isso, tentamos (mentalmente ou em rascunho) calcular o valor da expressão em . O que você deve fazer primeiro? Primeiro de tudo, você precisa calcular a que a base é igual: portanto, o polinômio é uma função interna:

E só então é realizada a exponenciação, portanto, a função potência é uma função externa:

De acordo com a fórmula , primeiro você precisa encontrar a derivada da função externa, neste caso, o grau. Procuramos a fórmula necessária na tabela: . Repetimos novamente: qualquer fórmula tabular é válida não apenas para “X”, mas também para uma expressão complexa. Assim, o resultado da aplicação da regra para diferenciar uma função complexa próximo:

Enfatizo novamente que quando derivamos a função externa, nossa função interna não muda:

Agora só falta encontrar uma derivada muito simples da função interna e ajustar um pouco o resultado:

Exemplo 4

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo para decisão independente(resposta no final da aula).

Para consolidar sua compreensão da derivada de uma função complexa, darei um exemplo sem comentários, tente descobrir por si mesmo, por que está a função externa e onde está a função interna, por que as tarefas são resolvidas dessa forma?

Exemplo 5

a) Encontre a derivada da função

b) Encontre a derivada da função

Exemplo 6

Encontre a derivada de uma função

Aqui temos uma raiz, e para diferenciar a raiz ela deve ser representada como uma potência. Assim, primeiro trazemos a função para a forma apropriada para diferenciação:

Analisando a função, chegamos à conclusão que a soma dos três termos é uma função interna, e elevar a uma potência é uma função externa. Aplicamos a regra de diferenciação de funções complexas :

Novamente representamos o grau como um radical (raiz), e para a derivada da função interna aplicamos uma regra simples para diferenciar a soma:

Preparar. Você também pode reduzir a expressão a um denominador comum entre colchetes e escrever tudo como uma fração. É lindo, claro, mas quando você obtém derivadas longas e complicadas, é melhor não fazer isso (é fácil ficar confuso, cometer erros desnecessários e será inconveniente para o professor verificar).

Exemplo 7

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo para você resolver sozinho (resposta no final da lição).

É interessante notar que às vezes, em vez da regra para diferenciar uma função complexa, você pode usar a regra para diferenciar um quociente , mas tal solução parecerá uma perversão incomum. Aqui está um exemplo típico:

Exemplo 8

Encontre a derivada de uma função

Aqui você pode usar a regra de diferenciação do quociente , mas é muito mais lucrativo encontrar a derivada através da regra de diferenciação de uma função complexa:

Preparamos a função para diferenciação - movemos o menos do sinal de derivada e elevamos o cosseno ao numerador:

O cosseno é uma função interna, a exponenciação é uma função externa.
Vamos usar nossa regra :

Encontramos a derivada da função interna e redefinimos o cosseno:

Preparar. No exemplo considerado, é importante não se confundir nos sinais. A propósito, tente resolver usando a regra , as respostas devem corresponder.

Exemplo 9

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo para você resolver sozinho (resposta no final da lição).

Até agora vimos casos em que tínhamos apenas um aninhamento em uma função complexa. Em tarefas práticas, muitas vezes você pode encontrar derivadas, onde, como bonecos de nidificação, uma dentro da outra, 3 ou até 4-5 funções são aninhadas ao mesmo tempo.

Exemplo 10

Encontre a derivada de uma função

Vamos entender os anexos desta função. Vamos tentar calcular a expressão usando o valor experimental. Como contaríamos com uma calculadora?

Primeiro você precisa encontrar , o que significa que o arco seno é a incorporação mais profunda:

Este arco seno de um deve então ser elevado ao quadrado:

E finalmente, elevamos sete a uma potência:

Ou seja, neste exemplo temos três funções diferentes e dois embeddings, enquanto a função mais interna é o arco seno e a função mais externa é a função exponencial.

Vamos começar a decidir

De acordo com a regra Primeiro você precisa derivar a função externa. Olhamos a tabela de derivadas e encontramos a derivada da função exponencial: A única diferença é que em vez de “x” temos uma expressão complexa, o que não nega a validade desta fórmula. Então, o resultado da aplicação da regra para diferenciar uma função complexa próximo.