Mínimo múltiplo comum de 4 números. Aceno e aceno de dois números, algoritmo euclidiano
Maior divisor comum
Definição 2
Se um número natural a é divisível por um número natural $b$, então $b$ é chamado de divisor de $a$, e $a$ é chamado de múltiplo de $b$.
Sejam $a$ e $b$ números naturais. O número $c$ é chamado divisor comum para $a$ e $b$.
O conjunto de divisores comuns dos números $a$ e $b$ é finito, pois nenhum desses divisores pode ser maior que $a$. Isso significa que entre esses divisores existe um maior, que é chamado de máximo divisor comum dos números $a$ e $b$ e é denotado pela seguinte notação:
$MDC\(a;b)\ ou \D\(a;b)$
Para encontrar o máximo divisor comum de dois números você precisa:
- Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.
Exemplo 1
Encontre o mdc dos números $121$ e $132.$
$242=2\cponto 11\cponto 11$
$132=2\cponto 2\cponto 3\cponto 11$
Escolha os números incluídos na expansão desses números
$242=2\cponto 11\cponto 11$
$132=2\cponto 2\cponto 3\cponto 11$
Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.
$MDC=2\cponto 11=22$
Exemplo 2
Encontre o mdc dos monômios $63$ e $81$.
Encontraremos de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta:
Vamos decompor os números em fatores primos
$63=3\cponto 3\cponto 7$
$81=3\cponto 3\cponto 3\cponto 3$
Selecionamos os números que estão incluídos na expansão desses números
$63=3\cponto 3\cponto 7$
$81=3\cponto 3\cponto 3\cponto 3$
Vamos encontrar o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o máximo divisor comum desejado.
$MDC=3\cponto 3=9$
Você pode encontrar o MDC de dois números de outra maneira, usando um conjunto de divisores de números.
Exemplo 3
Encontre o mdc dos números $48$ e $60$.
Solução:
Vamos encontrar o conjunto de divisores do número $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Agora vamos encontrar o conjunto de divisores do número $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Vamos encontrar a interseção desses conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - este conjunto determinará o conjunto de divisores comuns dos números $48$ e $60 $. O maior elemento deste conjunto será o número $12$. Isso significa que o máximo divisor comum dos números $48$ e $60$ é $12$.
Definição de NPL
Definição 3
Múltiplos comuns números naturais $a$ e $b$ são números naturais múltiplos de $a$ e $b$.
Múltiplos comuns de números são números que são divisíveis pelos números originais sem resto. Por exemplo, para os números $25$ e $50$, os múltiplos comuns serão os números $50.100.150.200$, etc.
O menor múltiplo comum será chamado de mínimo múltiplo comum e será denotado LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$
Para encontrar o MMC de dois números, você precisa:
- Fatore números em fatores primos
- Anote os fatores que fazem parte do primeiro número e some a eles os fatores que fazem parte do segundo e não fazem parte do primeiro
Exemplo 4
Encontre o MMC dos números $99$ e $77$.
Encontraremos de acordo com o algoritmo apresentado. Por esta
Fatore números em fatores primos
$99=3\cponto 3\cponto 11$
Anote os fatores incluídos no primeiro
adicione a eles multiplicadores que fazem parte do segundo e não fazem parte do primeiro
Encontre o produto dos números encontrados na etapa 2. O número resultante será o mínimo múltiplo comum desejado
$NOK=3\cponto 3\cponto 11\cponto 7=693$
Compilar listas de divisores de números costuma ser uma tarefa muito trabalhosa. Existe uma maneira de encontrar o GCD chamada algoritmo euclidiano.
Declarações nas quais o algoritmo euclidiano se baseia:
Se $a$ e $b$ são números naturais, e $a\vdots b$, então $D(a;b)=b$
Se $a$ e $b$ são números naturais tais que $b
Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos reduzir sucessivamente os números em consideração até chegarmos a um par de números tal que um deles seja divisível pelo outro. Então o menor desses números será o máximo divisor comum desejado para os números $a$ e $b$.
Propriedades de GCD e LCM
- Qualquer múltiplo comum de $a$ e $b$ é divisível por K$(a;b)$
- Se $a\vdots b$ , então К$(a;b)=a$
Se K$(a;b)=k$ e $m$ for um número natural, então K$(am;bm)=km$
Se $d$ é um divisor comum para $a$ e $b$, então K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Se $a\vdots c$ e $b\vdots c$ , então $\frac(ab)(c)$ é o múltiplo comum de $a$ e $b$
Para quaisquer números naturais $a$ e $b$ a igualdade é válida
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Qualquer divisor comum dos números $a$ e $b$ é um divisor do número $D(a;b)$
A calculadora online permite que você encontre rapidamente o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum para dois ou qualquer outro número de números.
Calculadora para encontrar GCD e LCM
Encontre GCD e LOC
GCD e LOC encontrados: 5806
Como usar a calculadora
- Insira números no campo de entrada
- Se você inserir caracteres incorretos, o campo de entrada será destacado em vermelho
- clique no botão "Encontrar GCD e LOC"
Como inserir números
- Os números são inseridos separados por espaço, ponto final ou vírgula
- O comprimento dos números inseridos não é limitado, portanto, encontrar GCD e LCM de números longos não é difícil
O que são GCD e NOC?
Maior divisor comum vários números é o maior inteiro natural pelo qual todos os números originais são divisíveis sem resto. O máximo divisor comum é abreviado como GCD.
Mínimo múltiplo comum vários números é menor número, que é divisível por cada um dos números originais sem resto. O mínimo múltiplo comum é abreviado como NOC.
Como verificar se um número é divisível por outro número sem resto?
Para descobrir se um número é divisível por outro sem resto, você pode usar algumas propriedades de divisibilidade dos números. Então, ao combiná-los, você pode verificar a divisibilidade de alguns deles e suas combinações.
Alguns sinais de divisibilidade de números
1. Teste de divisibilidade de um número por 2
Para determinar se um número é divisível por dois (se é par), basta olhar o último dígito desse número: se for igual a 0, 2, 4, 6 ou 8, então o número é par, o que significa que é divisível por 2.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 2.
Solução: Observamos o último dígito: 8 - isso significa que o número é divisível por dois.
2. Teste de divisibilidade de um número por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por três. Assim, para determinar se um número é divisível por 3, é necessário calcular a soma dos algarismos e verificar se ele é divisível por 3. Mesmo que a soma dos algarismos seja muito grande, você pode repetir o mesmo processo novamente.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 3.
Solução: Contamos a soma dos números: 3+4+9+3+8 = 27. 27 é divisível por 3, o que significa que o número é divisível por três.
3. Teste de divisibilidade de um número por 5
Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo é zero ou cinco.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 5.
Solução: observe o último dígito: 8 significa que o número NÃO é divisível por cinco.
4. Teste de divisibilidade de um número por 9
Este sinal é muito semelhante ao sinal de divisibilidade por três: um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 9.
Solução: Contamos a soma dos números: 3+4+9+3+8 = 27. 27 é divisível por 9, o que significa que o número é divisível por nove.
Como encontrar GCD e LCM de dois números
Como encontrar o MDC de dois números
Maioria de uma forma simples Calcular o máximo divisor comum de dois números é encontrar todos os divisores possíveis desses números e selecionar o maior deles.
Vamos considerar este método usando o exemplo de como encontrar o GCD(28, 36):
- Fatoramos os dois números: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Encontramos fatores comuns, ou seja, aqueles que ambos os números possuem: 1, 2 e 2.
- Calculamos o produto destes fatores: 1 2 2 = 4 - este é o máximo divisor comum dos números 28 e 36.
Como encontrar o MMC de dois números
Existem duas maneiras mais comuns de encontrar o mínimo múltiplo de dois números. O primeiro método é que você pode anotar os primeiros múltiplos de dois números e, em seguida, escolher entre eles um número que será comum a ambos os números e ao mesmo tempo o menor. E a segunda é encontrar o MDC desses números. Vamos considerar apenas isso.
Para calcular o MMC, você precisa calcular o produto dos números originais e depois dividi-lo pelo MDC encontrado anteriormente. Vamos encontrar o MMC para os mesmos números 28 e 36:
- Encontre o produto dos números 28 e 36: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), como já se sabe, é igual a 4
- MMC(28, 36) = 1008/4 = 252 .
Encontrando GCD e LCM para vários números
O máximo divisor comum pode ser encontrado para vários números, não apenas para dois. Para fazer isso, os números a serem encontrados para o máximo divisor comum são decompostos em fatores primos e, em seguida, é encontrado o produto dos fatores primos comuns desses números. Você também pode usar a seguinte relação para encontrar o MDC de vários números: MDC(a, b, c) = MDC(MDC(a, b), c).
Uma relação semelhante se aplica ao mínimo múltiplo comum: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Exemplo: encontre GCD e LCM para os números 12, 32 e 36.
- Primeiro, vamos fatorar os números: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Vamos encontrar os fatores comuns: 1, 2 e 2.
- O produto deles dará MDC: 1·2·2 = 4
- Agora vamos encontrar o MMC: para fazer isso, vamos primeiro encontrar o MMC(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Para encontrar o MMC de todos os três números, você precisa encontrar GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
- MMC(12, 32, 36) = 96·36/12 = 288.
Vejamos três maneiras de encontrar o mínimo múltiplo comum.
Encontrando por fatoração
O primeiro método é encontrar o mínimo múltiplo comum fatorando os números fornecidos em fatores primos.
Digamos que precisamos encontrar o MMC dos números: 99, 30 e 28. Para fazer isso, vamos fatorar cada um desses números em fatores primos:
Para que o número desejado seja divisível por 99, 30 e 28 é necessário e suficiente que inclua todos os fatores primos desses divisores. Para fazer isso, precisamos levar todos os fatores primos desses números à maior potência possível e multiplicá-los:
2 2 3 2 5 7 11 = 13.860
Assim, MMC (99, 30, 28) = 13.860 Nenhum outro número menor que 13.860 é divisível por 99, 30 ou 28.
Para encontrar o mínimo múltiplo comum de determinados números, você os fatora em seus fatores primos, depois pega cada fator primo com o maior expoente em que aparece e multiplica esses fatores.
Como os números relativamente primos não possuem fatores primos comuns, seu mínimo múltiplo comum é igual ao produto desses números. Por exemplo, três números: 20, 49 e 33 são relativamente primos. É por isso
MMC (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
O mesmo deve ser feito ao encontrar o mínimo múltiplo comum de vários números primos. Por exemplo, MMC (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Encontrar por seleção
O segundo método é encontrar o mínimo múltiplo comum por seleção.
Exemplo 1. Quando o maior dos números fornecidos é dividido por outro número fornecido, o MMC desses números é igual ao maior deles. Por exemplo, dados quatro números: 60, 30, 10 e 6. Cada um deles é divisível por 60, portanto:
MMC(60, 30, 10, 6) = 60
Em outros casos, para encontrar o mínimo múltiplo comum, utiliza-se o seguinte procedimento:
- Determine o maior número dos números fornecidos.
- A seguir, encontramos os números que são múltiplos do maior número multiplicando-o por números naturais em ordem crescente e verificando se o produto resultante é divisível pelos restantes números dados.
Exemplo 2. Dados três números 24, 3 e 18. Determinamos o maior deles - este é o número 24. A seguir, encontramos os números que são múltiplos de 24, verificando se cada um deles é divisível por 18 e 3:
24 · 1 = 24 - divisível por 3, mas não divisível por 18.
24 · 2 = 48 - divisível por 3, mas não divisível por 18.
24 · 3 = 72 - divisível por 3 e 18.
Assim, MMC (24, 3, 18) = 72.
Encontrar encontrando sequencialmente o LCM
O terceiro método é encontrar o mínimo múltiplo comum encontrando sequencialmente o MMC.
O MMC de dois números dados é igual ao produto desses números dividido pelo seu máximo divisor comum.
Exemplo 1. Encontre o MMC de dois números dados: 12 e 8. Determine seu máximo divisor comum: GCD (12, 8) = 4. Multiplique esses números:
Dividimos o produto pelo seu MDC:
Assim, MMC (12, 8) = 24.
Para encontrar o MMC de três ou mais números, use o seguinte procedimento:
- Primeiro, encontre o MMC de quaisquer dois desses números.
- Então, o MMC do mínimo múltiplo comum encontrado e o terceiro determinado número.
- Então, o MMC do mínimo múltiplo comum resultante e o quarto número, etc.
- Assim, a busca pelo LCM continua enquanto houver números.
Exemplo 2. Encontre o MMC três dados números: 12, 8 e 9. Já encontramos o MMC dos números 12 e 8 no exemplo anterior (este é o número 24). Resta encontrar o mínimo múltiplo comum do número 24 e o terceiro número dado - 9. Determine seu máximo divisor comum: GCD (24, 9) = 3. Multiplique o MMC pelo número 9:
Dividimos o produto pelo seu MDC:
Assim, MMC (12, 8, 9) = 72.
Definição. O maior número natural pelo qual os números aeb são divididos sem resto é chamado máximo divisor comum (MDC) esses números.
Vamos encontrar o máximo divisor comum dos números 24 e 35.
Os divisores de 24 são os números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, e os divisores de 35 são os números 1, 5, 7, 35.
Vemos que os números 24 e 35 têm apenas um divisor comum - o número 1. Esses números são chamados mutuamente primos.
Definição. Os números naturais são chamados mutuamente primos, se seu máximo divisor comum (GCD) for 1.
Maior Divisor Comum (MDC) pode ser encontrado sem escrever todos os divisores dos números fornecidos.
Fatorando os números 48 e 36, obtemos:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dos fatores incluídos na expansão do primeiro desses números, riscamos aqueles que não estão incluídos na expansão do segundo número (ou seja, dois dois).
Os fatores restantes são 2 * 2 * 3. Seu produto é igual a 12. Este número é o máximo divisor comum dos números 48 e 36. O máximo divisor comum de três ou mais números também é encontrado.
Encontrar máximo divisor comum
2) dos fatores incluídos na expansão de um desses números, riscar aqueles que não estão incluídos na expansão de outros números;
3) encontre o produto dos fatores restantes.
Se todos os números dados forem divisíveis por um deles, então esse número é máximo divisor comum dados números.
Por exemplo, o máximo divisor comum dos números 15, 45, 75 e 180 é o número 15, pois todos os outros números são divisíveis por ele: 45, 75 e 180.
Mínimo múltiplo comum (LCM)
Definição. Mínimo múltiplo comum (LCM) números naturais a e b é o menor número natural que é múltiplo de a e b. O mínimo múltiplo comum (MCM) dos números 75 e 60 pode ser encontrado sem anotar os múltiplos desses números em uma linha. Para fazer isso, vamos fatorar 75 e 60 em fatores primos: 75 = 3 * 5 * 5 e 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Vamos anotar os fatores incluídos na expansão do primeiro desses números e adicionar a eles os fatores que faltam 2 e 2 na expansão do segundo número (ou seja, combinamos os fatores).
Obtemos cinco fatores 2*2*3*5*5, cujo produto é 300. Este número é o mínimo múltiplo comum dos números 75 e 60.
Eles também encontram o mínimo múltiplo comum de três ou mais números.
Para encontrar o mínimo múltiplo comum vários números naturais, você precisa:
1) fatorá-los em fatores primos;
2) anote os fatores incluídos na expansão de um dos números;
3) somar a eles os fatores que faltam nas expansões dos números restantes;
4) encontre o produto dos fatores resultantes.
Observe que se um desses números for divisível por todos os outros números, então esse número será o mínimo múltiplo comum desses números.
Por exemplo, o mínimo múltiplo comum dos números 12, 15, 20 e 60 é 60 porque é divisível por todos esses números.
Pitágoras (século VI aC) e seus alunos estudaram a questão da divisibilidade dos números. Eles chamaram um número igual à soma de todos os seus divisores (sem o próprio número) de número perfeito. Por exemplo, os números 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) são perfeitos. Os próximos números perfeitos são 496, 8.128, 33.550.336. Os pitagóricos conheciam apenas os três primeiros números perfeitos. O quarto - 8.128 - tornou-se conhecido no século I. BC. n. e. O quinto – 33.550.336 – foi encontrado no século XV. Em 1983, já eram conhecidos 27 números perfeitos. Mas os cientistas ainda não sabem se existem números perfeitos ímpares ou se existe um número perfeito maior.
O interesse dos matemáticos antigos pelos números primos se deve ao fato de que qualquer número é primo ou pode ser representado como um produto de números primos, ou seja, os números primos são como tijolos a partir dos quais o resto dos números naturais são construídos.
Você provavelmente notou que os números primos na série de números naturais ocorrem de forma desigual - em algumas partes da série há mais deles, em outras - menos. Mas quanto mais avançamos na série numérica, menos comuns são os números primos. Surge a pergunta: existe um último (maior) número primo? Matemático grego antigo Euclides (século III a.C.), em seu livro “Elementos”, que foi o principal livro didático de matemática durante dois mil anos, provou que existem infinitos números primos, ou seja, atrás de cada número primo existe um número primo ainda maior.
Para encontrar os números primos, outro matemático grego da mesma época, Eratóstenes, criou esse método. Ele escreveu todos os números de 1 até algum número e, em seguida, riscou um, que não é primo nem composto, e depois riscou todos os números que vinham depois de 2 (números que são múltiplos de 2, ou seja, 4, 6, 8, etc.). O primeiro número restante após 2 foi 3. Então, depois de dois, todos os números posteriores a 3 (números que eram múltiplos de 3, ou seja, 6, 9, 12, etc.) foram riscados. no final, apenas os números primos permaneceram descruzados.
Para entender como calcular o MMC, você deve primeiro determinar o significado do termo “múltiplo”.
Um múltiplo de A é um número natural divisível por A sem resto. Assim, números múltiplos de 5 podem ser considerados 15, 20, 25 e assim por diante.
Pode haver um número limitado de divisores de um número específico, mas há um número infinito de múltiplos.
Um múltiplo comum de números naturais é um número que é divisível por eles sem deixar resto.
Como encontrar o mínimo múltiplo comum de números
O mínimo múltiplo comum (MCM) de números (dois, três ou mais) é o menor número natural divisível por todos esses números.
Para encontrar o LOC, você pode usar vários métodos.
Para números pequenos, é conveniente anotar todos os múltiplos desses números em uma linha até encontrar algo comum entre eles. Os múltiplos são indicados pela letra K maiúscula.
Por exemplo, múltiplos de 4 podem ser escritos assim:
K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Assim, você pode ver que o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é o número 24. Esta notação é feita da seguinte forma:
MMC(4, 6) = 24
Se os números forem grandes, encontre o múltiplo comum de três ou mais números, então é melhor usar outro método para calcular o MMC.
Para completar a tarefa, você precisa fatorar os números fornecidos em fatores primos.
Primeiro você precisa anotar a decomposição do maior número em uma linha e abaixo dele - o resto.
Na expansão de cada número pode haver quantidade diferente multiplicadores.
Por exemplo, vamos fatorar os números 50 e 20 em fatores primos.
Na expansão do número menor, você deve destacar os fatores que faltam na expansão do primeiro número maior e depois adicioná-los a ele. No exemplo apresentado falta um dois.
Agora você pode calcular o mínimo múltiplo comum de 20 e 50.
MMC(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Então, o produto dos fatores primos mais e os fatores do segundo número que não foram incluídos na expansão do número maior serão o mínimo múltiplo comum.
Para encontrar o MMC de três ou mais números, você deve fatorá-los todos em fatores primos, como no caso anterior.
Por exemplo, você pode encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Assim, apenas dois dois da expansão de dezesseis não foram incluídos na fatoração de um número maior (um está na expansão de vinte e quatro).
Assim, eles precisam ser somados à expansão de um número maior.
MMC(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Existem casos especiais de determinação do mínimo múltiplo comum. Portanto, se um dos números puder ser dividido sem resto por outro, o maior desses números será o mínimo múltiplo comum.
Por exemplo, o MMC de doze e vinte e quatro é vinte e quatro.
Se for necessário encontrar o mínimo múltiplo comum de números primos que não possuem divisores idênticos, então seu MMC será igual ao seu produto.
Por exemplo, MMC (10, 11) = 110.