Reparație
Suprafața exterioară a cilindrului. Cum să găsiți aria unui cilindru

Suprafața exterioară a cilindrului. Cum să găsiți aria unui cilindru

Cilindrul este corp geometric, delimitat de două plane paralele și o suprafață cilindrică. În articol vom vorbi despre cum să găsim aria unui cilindru și, folosind formula, vom rezolva mai multe probleme ca exemplu.

Un cilindru are trei suprafețe: un vârf, o bază și o suprafață laterală.

Partea superioară și baza unui cilindru sunt cercuri și sunt ușor de identificat.

Se știe că aria unui cerc este egală cu πr 2. Prin urmare, formula pentru aria a două cercuri (partea de sus și baza cilindrului) va fi πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

A treia suprafață laterală a cilindrului este peretele curbat al cilindrului. Pentru a ne imagina mai bine această suprafață, să încercăm să o transformăm pentru a obține o formă recunoscută. Imaginează-ți că cilindrul este obișnuit staniu, care nu are capac de sus sau de jos. Să facem o tăietură verticală pe peretele lateral de sus până jos al cutiei (Pasul 1 din figură) și să încercăm să deschidem (îndreptați) figura rezultată cât mai mult posibil (Pasul 2).

După ce borcanul rezultat este deschis complet, vom vedea o figură familiară (Pasul 3), acesta este un dreptunghi. Aria unui dreptunghi este ușor de calculat. Dar înainte de asta, să revenim pentru un moment la cilindrul original. Vârful cilindrului inițial este un cerc și știm că circumferința se calculează prin formula: L = 2πr. Este marcat cu roșu în figură.

Când perete lateral cilindrul este complet deschis, vedem că circumferința devine lungimea dreptunghiului rezultat. Laturile acestui dreptunghi vor fi circumferința (L = 2πr) și înălțimea cilindrului (h). Aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale - S = lungime x lățime = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ca rezultat, am primit o formulă pentru calcularea ariei suprafeței laterale a cilindrului.

Formula pentru suprafața laterală a unui cilindru
partea S = 2πrh

Suprafața totală a unui cilindru

În cele din urmă, dacă adăugăm aria tuturor celor trei suprafețe, obținem formula pentru suprafața totală a unui cilindru. Suprafața unui cilindru este egală cu aria vârfului cilindrului + aria bazei cilindrului + aria suprafeței laterale a cilindrului sau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Uneori, această expresie este scrisă identică cu formula 2πr (r + h).

Formula pentru suprafața totală a unui cilindru
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – raza cilindrului, h – înălțimea cilindrului

Exemple de calcul al suprafeței unui cilindru

Pentru a înțelege formulele de mai sus, să încercăm să calculăm aria suprafeței unui cilindru folosind exemple.

1. Raza bazei cilindrului este 2, înălțimea este 3. Determinați aria suprafeței laterale a cilindrului.

Suprafața totală se calculează folosind formula: partea S. = 2πrh

partea S = 2 * 3,14 * 2 * 3

partea S = 6,28 * 6

partea S = 37,68

Suprafața laterală a cilindrului este de 37,68.

2. Cum să găsiți suprafața unui cilindru dacă înălțimea este 4 și raza este 6?

Suprafața totală se calculează folosind formula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Aria fiecărei baze a cilindrului este π r 2, aria ambelor baze va fi 2π r 2 (fig.).

Aria suprafeței laterale a unui cilindru este egală cu aria unui dreptunghi a cărui bază este 2π r, iar înălțimea este egală cu înălțimea cilindrului h, adică 2π rh.

Suprafața totală a cilindrului va fi: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

Zona suprafeței laterale a cilindrului este considerată a fi zona de măturare suprafața sa laterală.

Prin urmare, aria suprafeței laterale a unui cilindru circular drept este egală cu aria dreptunghiului corespunzător (Fig.) și este calculată prin formula

S b.c. = 2πRH, (1)

Dacă adăugăm aria celor două baze ale sale la aria suprafeței laterale a cilindrului, obținem suprafața totală a cilindrului

S plin =2πRH + 2πR2 = 2πR (H + R).

Volumul unui cilindru drept

Teorema. Volumul unui cilindru drept este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea acestuia , adică

unde Q este aria bazei și H este înălțimea cilindrului.

Deoarece aria bazei cilindrului este Q, atunci există secvențe de poligoane circumscrise și înscrise cu zone Q nși Q' n astfel încât

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Î n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n= Q.

Să construim o succesiune de prisme ale căror baze sunt poligoanele descrise și înscrise discutate mai sus și ale căror margini laterale sunt paralele cu generatoarea cilindrului dat și au lungimea H. Aceste prisme sunt circumscrise și înscrise pentru cilindrul dat. Volumele lor se găsesc după formule

V n=Q n H și V' n= Q' n H.

Prin urmare,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ n H = QH.

Consecinţă.
Volumul unui cilindru circular drept este calculat prin formula

V = π R 2 H

unde R este raza bazei și H este înălțimea cilindrului.

Deoarece baza unui cilindru circular este un cerc cu raza R, atunci Q = π R 2 și, prin urmare

Formula razei cilindrului:
unde V este volumul cilindrului, h este înălțimea

Un cilindru este un corp geometric care se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul laturii sale. De asemenea, un cilindru este un corp delimitat de o suprafață cilindrică și două plane paralele care o intersectează. Această suprafață se formează atunci când o linie dreaptă se mișcă paralelă cu ea însăși. În acest caz, punctul selectat al dreptei se deplasează de-a lungul unei anumite curbe plane (ghid). Această linie dreaptă se numește generatorul suprafeței cilindrice.
Formula razei cilindrului:
unde Sb este aria suprafeței laterale, h este înălțimea

Cum se calculează suprafața unui cilindru este subiectul acestui articol. În orice problemă matematică, trebuie să începeți prin a introduce date, să determinați ce se știe și cu ce să operați în viitor și abia apoi să treceți direct la calcul.

Acest corp volumetric este o figură geometrică cilindrică, delimitată în partea de sus și de jos de două plane paralele. Dacă aplici puțină imaginație, vei observa că un corp geometric se formează prin rotirea unui dreptunghi în jurul unei axe, una dintre laturile acesteia fiind axa.

Rezultă că curba descrisă mai sus și dedesubtul cilindrului va fi un cerc, al cărui indicator principal este raza sau diametrul.

Suprafața unui cilindru - calculator online

Această funcție simplifică în cele din urmă procesul de calcul și totul se reduce la înlocuirea automată a valorilor specificate pentru înălțimea și raza (diametrul) bazei figurii. Singurul lucru care este necesar este să determinați cu exactitate datele și să nu faceți greșeli la introducerea numerelor.

Suprafața laterală a cilindrului

Mai întâi trebuie să vă imaginați cum arată o scanare în spațiul bidimensional.

Acesta nu este altceva decât un dreptunghi, a cărui latură este egală cu circumferința. Formula sa este cunoscută din timpuri imemoriale - 2π *r, Unde r- raza cercului. Cealaltă parte a dreptunghiului este egală cu înălțimea h. Găsirea a ceea ce cauți nu va fi dificilă.

Slatură= 2π *r*h,

unde este numarul π = 3,14.

Suprafața totală a unui cilindru

Pentru a găsi suprafața totală a cilindrului, trebuie să utilizați rezultatul partea S adăugați zonele a două cercuri, partea de sus și de jos a cilindrului, care sunt calculate folosind formula S o =2π * r 2 .

Formula finală arată astfel:

Spodea= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Aria unui cilindru - formulă prin diametru

Pentru a facilita calculele, uneori este necesar să se efectueze calcule prin diametru. De exemplu, există o bucată de țeavă goală de diametru cunoscut.

Fără să ne deranjam cu calcule inutile, avem o formulă gata făcută. Algebra de clasa a 5-a vine în ajutor.

Sgen = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π * d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

În loc de r V formula completa trebuie să introduceți valoare r =d/2.

Exemple de calcul al ariei unui cilindru

Înarmați cu cunoștințe, să începem să exersăm.

Exemplul 1. Este necesar să se calculeze aria unei bucăți trunchiate de țeavă, adică un cilindru.

Avem r = 24 mm, h = 100 mm. Trebuie să utilizați formula prin rază:

S podea = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Convertim la m2 obișnuit și obținem 0,01868928, aproximativ 0,02 m2.

Exemplul 2. Este necesar să aflați zona suprafeței interioare a unei țevi de sobe de azbest, ai cărei pereți sunt căptușiți cu cărămizi refractare.

Datele sunt următoarele: diametru 0,2 m; înălțime 2 m Folosim formula în termeni de diametru:

S etaj = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Exemplul 3. Cum să aflați cât material este necesar pentru a coase o pungă, r = 1 m și 1 m înălțime.

Într-un moment, există o formulă:

Latura S = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Concluzie

La finalul articolului a apărut întrebarea: sunt cu adevărat necesare toate aceste calcule și conversii ale unei valori în alta? De ce sunt necesare toate acestea și, cel mai important, pentru cine? Dar nu neglija și uita formule simple din liceu.

Lumea a stat și va sta pe cunoștințe elementare, inclusiv pe matematică. Și, începând unele muncă importantă, nu este niciodată o idee rea să vă reîmprospătați memoria acestor calcule aplicându-le în practică cu mare efect. Acuratețea - politețea regilor.

Cilindru (provine de la limba greacă, de la cuvintele „roller”, „roller”) este un corp geometric care este limitat exterior de o suprafață numită cilindrică și două plane. Aceste planuri intersectează suprafața figurii și sunt paralele între ele.

O suprafață cilindrică este o suprafață care este formată dintr-o linie dreaptă în spațiu. Aceste mișcări sunt astfel încât punctul selectat al acestei linii drepte se deplasează de-a lungul curbei tip plat. O astfel de linie dreaptă se numește generatrix, iar o linie curbă se numește ghidaj.

Cilindrul este format dintr-o pereche de baze și o suprafață cilindrică laterală. Există mai multe tipuri de cilindri:

1. Cilindru circular, drept. Un astfel de cilindru are o bază și un ghidaj perpendicular pe linia generatoare și există

2. Cilindru înclinat. Unghiul său dintre linia generatoare și bază nu este drept.

3. Un cilindru de altă formă. Hiperbolice, eliptice, parabolice și altele.

Aria unui cilindru, precum și suprafața totală a oricărui cilindru, se găsesc prin adăugarea zonelor bazelor acestei figuri și a suprafeței laterale.

Formula pentru calcularea ariei totale a cilindrului pentru un cilindru circular, drept:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Aria suprafeței laterale este puțin mai complicată decât aria întregului cilindr, se calculează prin înmulțirea lungimii liniei generatrice cu perimetrul secțiunii formate de un plan perpendicular; la linia generatrice.

Cilindru dat pentru un cilindru circular, drept este recunoscut prin dezvoltarea acestui obiect.

O dezvoltare este un dreptunghi care are o înălțime h și o lungime P, care este egală cu perimetrul bazei.

Rezultă că zona laterala cilindrul este egal cu aria de măturare și poate fi calculat folosind această formulă:

Dacă luăm un cilindru circular, drept, atunci pentru el:

P = 2p R și Sb = 2p Rh.

Dacă cilindrul este înclinat, atunci aria suprafeței laterale trebuie să fie egală cu produsul dintre lungimea liniei sale generatoare și perimetrul secțiunii, care este perpendicular pe această linie generatoare.

Din păcate, nu există o formulă simplă pentru a exprima suprafața laterală a unui cilindru înclinat în ceea ce privește înălțimea și parametrii bazei sale.

Pentru a calcula un cilindru, trebuie să cunoașteți câteva fapte. Dacă o secțiune cu planul său intersectează bazele, atunci o astfel de secțiune este întotdeauna un dreptunghi. Dar aceste dreptunghiuri vor fi diferite, în funcție de poziția secțiunii. Una dintre laturile secțiunii axiale a figurii, care este perpendiculară pe baze, este egală cu înălțimea, iar cealaltă este egală cu diametrul bazei cilindrului. Și aria unei astfel de secțiuni, în consecință, este egală cu produsul unei laturi a dreptunghiului de cealaltă, perpendicular pe prima, sau produsul dintre înălțimea unei figuri date și diametrul bazei sale.

Dacă secțiunea este perpendiculară pe bazele figurii, dar nu trece prin axa de rotație, atunci aria acestei secțiuni va fi egală cu produsul dintre înălțimea acestui cilindru și o anumită coardă. Pentru a obține o coardă, trebuie să construiți un cerc la baza cilindrului, să desenați o rază și să trasați pe ea distanța la care se află secțiunea. Și din acest punct trebuie să desenați perpendiculare pe raza de la intersecția cu cercul. Punctele de intersecție sunt legate de centru. Iar baza triunghiului este cea dorită, care este căutată prin sunete de genul acesta: „Suma pătratelor a două catete este egală cu ipotenuza la pătrat”:

C2 = A2 + B2.

Dacă secțiunea nu afectează baza cilindrului, iar cilindrul în sine este circular și drept, atunci aria acestei secțiuni se găsește ca zona cercului.

Aria cercului este:

S env. = 2p R2.

Pentru a găsi R, trebuie să împărțiți lungimea lui C la 2n:

R = C\2n, unde n este pi, o constantă matematică calculată pentru a funcționa cu datele cercului și egală cu 3,14.