numere întregi. Definiția numărului natural
În matematică, există mai multe seturi diferite de numere: reale, complexe, întregi, raționale, iraționale, ... Viata de zi cu zi Cel mai adesea folosim numere naturale, deoarece le întâlnim la numărare și la căutare, desemnând numărul de obiecte.
In contact cu
Ce numere se numesc numere naturale?
Din zece cifre puteți scrie absolut orice sumă existentă de clase și ranguri. Valorile naturale sunt considerate a fi acelea care sunt folosite:
- Când numărați orice obiecte (primul, al doilea, al treilea, ... al cincilea, ... al zecelea).
- La indicarea numărului de articole (unu, doi, trei...)
N valorile sunt întotdeauna întregi și pozitive. Nu există cel mai mare N deoarece setul de valori întregi este nelimitat.
Atenţie! Numerele naturale se obțin la numărarea obiectelor sau la indicarea cantității acestora.
Absolut orice număr poate fi descompus și prezentat sub formă de termeni de cifre, de exemplu: 8.346.809=8 milioane+346 mii+809 unități.
Set N
Mulțimea N este în mulțime reale, întregi și pozitive. Pe diagrama mulțimilor, acestea ar fi situate unele în altele, deoarece mulțimea celor naturale face parte din ele.
Mulțimea numerelor naturale se notează cu litera N. Această mulțime are un început, dar fără sfârșit.
Există, de asemenea, o mulțime extinsă N, unde este inclus zero.
Cel mai mic număr natural
În majoritatea școlilor de matematică, cea mai mică valoare a lui N este considerată o unitate, deoarece absența obiectelor este considerată gol.
Dar în străinătate scoli de matematica, de exemplu în franceză, este considerat natural. Prezența lui zero în serie face demonstrația mai ușoară unele teoreme.
O serie de valori N care include zero se numește extinsă și se notează prin simbolul N0 (indice zero).
Serii de numere naturale
Seria N este o succesiune a tuturor N seturi de cifre. Această secvență nu are sfârșit.
Particularitatea seriei naturale este că următorul număr va diferi cu unul de cel precedent, adică va crește. Dar semnificațiile nu poate fi negativ.
Atenţie! Pentru ușurința numărării, există clase și categorii:
- Unități (1, 2, 3),
- Zeci (10, 20, 30),
- Sute (100, 200, 300),
- Mii (1000, 2000, 3000),
- Zeci de mii (30.000),
- Sute de mii (800.000),
- Milioane (4000000), etc.
Toate N
Toți N sunt în mulțimea valorilor reale, întregi, nenegative. Sunt ai lor parte integrantă.
Aceste valori merg la infinit, pot aparține claselor de milioane, miliarde, chintilioane etc.
De exemplu:
- Cinci mere, trei pisoi,
- Zece ruble, treizeci de creioane,
- O sută de kilograme, trei sute de cărți,
- Un milion de stele, trei milioane de oameni etc.
Secvența în N
În diferite școli de matematică puteți găsi două intervale cărora le aparține șirul N:
de la zero la plus infinit, inclusiv capete, și de la unu la plus infinit, inclusiv capete, adică totul răspunsuri întregi pozitive.
N seturi de cifre pot fi fie pare, fie impare. Să luăm în considerare conceptul de ciudățenie.
Impar (orice număr impar se termină cu numerele 1, 3, 5, 7, 9.) cu doi au un rest. De exemplu, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.
Ce înseamnă chiar și N?
Orice sume pare ale claselor se termină în numere: 0, 2, 4, 6, 8. Când chiar N este împărțit la 2, nu va mai rămâne niciun rest, adică rezultatul este întregul răspuns. De exemplu, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.
Important! O serie de numere de N nu poate consta doar din valori pare sau impare, deoarece acestea trebuie să alterneze: par este întotdeauna urmat de impar, urmat din nou de par etc.
Proprietăți N
Ca toate celelalte mulțimi, N are propriile sale, proprietăți speciale. Să luăm în considerare proprietățile seriei N (neextinsă).
- Valoarea care este cea mai mică și care nu urmează nici unei alte este una.
- N reprezintă o succesiune, adică una valoare naturală urmează altul(cu excepția unuia - este primul).
- Când efectuăm operații de calcul pe N sume de cifre și clase (adunare, înmulțire), atunci răspunsul se dovedește întotdeauna natural sens.
- Permutarea și combinația pot fi utilizate în calcule.
- Fiecare valoare ulterioară nu poate fi mai mică decât cea anterioară. Tot în seria N se va aplica următoarea lege: dacă numărul A este mai mic decât B, atunci în seria numerică va exista întotdeauna un C pentru care egalitatea este valabilă: A+C=B.
- Dacă luăm două expresii naturale, de exemplu A și B, atunci una dintre expresii va fi adevărată pentru ele: A = B, A este mai mare decât B, A este mai mică decât B.
- Dacă A este mai mic decât B și B este mai mic decât C, atunci rezultă că că A este mai mic decât C.
- Dacă A este mai mic decât B, atunci rezultă că: dacă le adăugăm aceeași expresie (C), atunci A + C este mai mic decât B + C. De asemenea, este adevărat că dacă aceste valori sunt înmulțite cu C, atunci AC este mai mic decât AB.
- Dacă B este mai mare decât A, dar mai mic decât C, atunci: B-A mai puțin S-A.
Atenţie! Toate inegalitățile de mai sus sunt valabile și în direcția opusă.
Cum se numesc componentele înmulțirii?
În multe probleme simple și chiar complexe, găsirea răspunsului depinde de abilitățile elevilor
Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă până în prezent comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună asupra esenței paradoxurilor ... analiza matematică, teoria seturilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.
Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la el punctîn momentul în care Ahile ajunge la ţestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca testoasă infinit de repede”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ce vreau să subliniez Atentie speciala, este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă posibilități diferite pentru cercetare.
miercuri, 4 iulie 2018
Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.
După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „amintește-mă, sunt în casă” sau, mai degrabă, „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le conectează inextricabil cu realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o așezăm pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru se poate aplica și altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: pe diferite monede există cantități diferite murdăria, structura cristalină și aranjamentul atomic al fiecărei monede sunt unice...
Și acum am cel mai mult interes Întreabă: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transforma in elemente ale unei multimi si invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor unui număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Tăiem o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” predate de șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme diferiteÎn calcul, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. CU un numar mare 12345 Nu vreau să-mi păcălesc capul, să ne uităm la numărul 26 din articolul despre . Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.
Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleaşi acţiuni cu unităţi de măsură diferite ale aceleiaşi mărimi conduc la rezultate diferite după ce le comparăm, înseamnă că nu are nicio legătură cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.
Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că această fată este o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.
Numerele naturale sunt unul dintre cele mai vechi concepte matematice.
În trecutul îndepărtat, oamenii nu știau numerele și atunci când aveau nevoie să numere obiecte (animale, pești etc.), o făceau altfel decât noi acum.
Numărul de obiecte a fost comparat cu părți ale corpului, de exemplu, cu degetele pe o mână, și au spus: „Am atâtea nuci câte degete sunt pe mâna mea”.
De-a lungul timpului, oamenii și-au dat seama că cinci nuci, cinci capre și cinci iepuri au proprietate comună- numărul lor este cinci.
Tine minte!
numere întregi- acestea sunt numere, incepand de la 1, obtinute prin numararea obiectelor.
1, 2, 3, 4, 5…
Cel mai mic număr natural — 1 .
Cel mai mare număr natural nu exista.
La numărare, numărul zero nu este folosit. Prin urmare, zero nu este considerat un număr natural.
Oamenii au învățat să scrie numere mult mai târziu decât să numere. În primul rând, au început să înfățișeze unul cu un bețișor, apoi cu două bețe - numărul 2, cu trei - numărul 3.
| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …
Apoi au apărut semne speciale pentru a desemna numere - predecesorii numerelor moderne. Cifrele pe care le folosim pentru a scrie numere au apărut în India cu aproximativ 1.500 de ani în urmă. Arabii i-au adus în Europa, motiv pentru care sunt numiti cifre arabe.
Sunt zece numere în total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Folosind aceste numere puteți scrie orice număr natural.
Tine minte!
Seria naturală este șirul tuturor numerelor naturale:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
În seria naturală, fiecare număr este mai mare decât precedentul cu 1.
Seria naturală este infinită, nu există cel mai mare număr natural în ea.
Sistemul de numărare pe care îl folosim se numește pozițional zecimal.
Decimală deoarece 10 unități din fiecare cifră formează 1 unitate din cifra cea mai semnificativă. Pozițional deoarece semnificația unei cifre depinde de locul ei în înregistrarea numărului, adică de cifra în care este scrisă.
Important!
Clasele care urmează miliardului sunt denumite după denumirile latine ale numerelor. Fiecare unitate ulterioară conține o mie de unități anterioare.
- 1.000 de miliarde = 1.000.000.000.000 = 1 trilion („trei” înseamnă în latină „trei”)
- 1.000 trilion = 1.000.000.000.000.000 = 1 cvadrilion („quadra” înseamnă „patru”)
- 1.000 de cvadrilion = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 chintilion („quinta” este latină pentru „cinci”)
Cu toate acestea, fizicienii au găsit un număr care depășește numărul tuturor atomilor (cele mai mici particule de materie) din întregul Univers.
Acest număr a primit un nume special - googol. Googol este un număr cu 100 de zerouri.
Numerele naturale și proprietățile lor
Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiectele din viață. Când scrieți orice număr natural, sunt folosite numerele $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.
O succesiune de numere naturale, fiecare număr următor în care este $1$ mai mare decât cel precedent, formează o serie naturală, care începe cu unu (deoarece unul este cel mai mic număr natural) și nu are cea mai mare valoare, adică infinit.
Zero nu este considerat un număr natural.
Proprietățile relației de succesiune
Toate proprietățile numerelor naturale și operațiile asupra lor decurg din patru proprietăți ale relațiilor de succesiune, care au fost formulate în 1891 de D. Peano:
Unul este un număr natural care nu urmează niciunui număr natural.
Fiecare număr natural este urmat de un singur număr
Fiecare număr natural, altul decât $1$, urmează unul și numai un număr natural
Submulțimea numerelor naturale care conține numărul $1$ și împreună cu fiecare număr numărul care îl urmează, conține toate numerele naturale.
Dacă introducerea unui număr natural constă dintr-o cifră, se numește o singură cifră (de exemplu, $2,6.9$ etc.), dacă intrarea este formată din două cifre, se numește două cifre (de exemplu, $12 ,18,45$), etc. În mod similar. Două cifre, trei cifre, patru cifre etc. În matematică, numerele sunt numite multivalorice.
Proprietatea adunării numerelor naturale
Proprietate comutativă: $a+b=b+a$
Suma nu se modifică atunci când termenii sunt rearanjați
Proprietate combinativă: $a+ (b+c) =(a+b) +c$
Pentru a adăuga suma a două numere la un număr, puteți adăuga mai întâi primul termen, iar apoi, la suma rezultată, adăugați al doilea termen
Adăugarea zero nu schimbă numărul, iar dacă adăugați orice număr la zero, obțineți numărul adăugat.
Proprietățile scăderii
Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr $a-(b+c) =a-b-c$ dacă $b+c ≤ a$
Pentru a scădea o sumă dintr-un număr, puteți scădea mai întâi primul termen din acest număr, iar apoi al doilea termen din diferența rezultată.
Proprietatea de a scădea un număr din suma $(a+b) -c=a+(b-c)$ dacă $c ≤ b$
Pentru a scădea un număr dintr-o sumă, îl puteți scădea dintr-un termen și adăuga un alt termen la diferența rezultată.
Dacă scadeți zero dintr-un număr, numărul nu se va schimba
Dacă îl scădeți din numărul în sine, obțineți zero
Proprietățile înmulțirii
Comunicativ $a\cdot b=b\cdot a$
Produsul a două numere nu se schimbă atunci când factorii sunt rearanjați
Conjunctiv $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl poți înmulți mai întâi cu primul factor și apoi să înmulți produsul rezultat cu al doilea factor
Când este înmulțit cu unu, produsul nu se modifică $m\cdot 1=m$
Când este înmulțit cu zero, produsul este zero
Când nu există paranteze în notația produsului, înmulțirea se face în ordine de la stânga la dreapta
Proprietățile înmulțirii relativ la adunare și scădere
Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea
$(a+b)\cdot c=ac+bc$
Pentru a înmulți o sumă cu un număr, puteți înmulți fiecare termen cu acest număr și adăugați produsele rezultate
De exemplu, $5(x+y)=5x+5y$
Proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu scăderea
$(a-b)\cdot c=ac-bc$
Pentru a înmulți diferența cu un număr, înmulțiți minuend și scădeți cu acest număr și scadeți al doilea din primul produs
De exemplu, $5(x-y)=5x-5y$
Comparația numerelor naturale
Pentru orice numere naturale $a$ și $b$, doar una dintre cele trei relații poate fi satisfăcută: $a=b$, $a
Numărul care apare mai devreme în seria naturală este considerat mai mic, iar numărul care apare mai târziu este considerat mai mare. Zero este mai mic decât orice număr natural.
Exemplul 1
Comparați numerele $a$ și $555$, dacă se știe că există un anumit număr $b$ și sunt valabile următoarele relații: $a
Soluţie: Pe baza proprietății specificate, deoarece prin conditia $a
în orice submulțime de numere naturale care conține cel puțin un număr există cel mai mic număr
În matematică, o submulțime este o parte a unei mulțimi. Se spune că o mulțime este o submulțime a alteia dacă fiecare element al submulțimii este și un element al mulțimii mai mari
Adesea, pentru a compara numerele, își găsesc diferența și o compară cu zero. Dacă diferența este mai mare de $0$, dar primul număr este mai mare decât al doilea, dacă diferența este mai mică de $0$, atunci primul număr este mai mic decât al doilea.
Rotunjirea numerelor naturale
Când nu este necesară precizia completă sau nu este posibilă, numerele sunt rotunjite, adică sunt înlocuite cu numere apropiate cu zerouri la sfârșit.
Numerele naturale sunt rotunjite la zeci, sute, mii etc.
Când se rotunjește un număr la zeci, acesta este înlocuit cu cel mai apropiat număr format din zeci întregi; un astfel de număr are cifra $0$ în locul unităților
Când se rotunjește un număr la cea mai apropiată sută, acesta este înlocuit cu cel mai apropiat număr format din sute întregi; un astfel de număr trebuie să aibă cifra $0$ în locul zecilor și unităților. etc
Numerele la care este rotunjit se numesc valoarea aproximativă a numărului cu o precizie a cifrelor indicate. De exemplu, dacă rotunjiți numărul $564$ la zeci, descoperim că îl puteți rotunji în jos și obțineți $560$ sau. cu un exces și obțineți 570$.
Regula pentru rotunjirea numerelor naturale
Dacă în dreapta cifrei la care este rotunjit numărul există o cifră $5$ sau o cifră mai mare de $5$, atunci la cifra acestei cifre se adaugă $1$; în caz contrar, această cifră rămâne neschimbată
Toate cifrele situate în dreapta cifrei la care este rotunjit numărul sunt înlocuite cu zerouri