Sistem de inegalități liniare cu modul. Ecuații și inegalități cu modul

Metodele (regulile) de dezvăluire a inegalităților cu module constau în dezvăluirea secvențială a modulelor, folosind intervale de semn constant al funcțiilor submodulare. În varianta finală se obţin mai multe inegalităţi din care se găsesc intervale sau intervale care satisfac condiţiile problemei.

Să trecem la rezolvarea exemplelor comune în practică.

Inegalități liniare cu module

Prin liniară înțelegem ecuații în care o variabilă intră liniar în ecuație.

Exemplul 1. Găsiți o soluție a inegalității

Soluţie:
Din condițiile problemei rezultă că modulele se întorc la zero la x=-1 și x=-2. Aceste puncte împart linia numerică în intervale

În fiecare dintre aceste intervale rezolvăm inegalitatea dată. Pentru a face acest lucru, în primul rând, întocmim desene grafice ale zonelor cu semn constant al funcțiilor submodulare. Ele sunt descrise ca zone cu semne ale fiecărei funcții

sau intervale cu semne ale tuturor funcţiilor.

La primul interval extindem modulele

Înmulțim ambele părți cu minus unu, iar semnul din inegalitate se va schimba la opus. Dacă vă este dificil să vă obișnuiți cu această regulă, puteți muta fiecare dintre părțile din spatele semnului pentru a scăpa de minus. La final vei primi

Intersectia multimii x>-3 cu aria pe care au fost rezolvate ecuatiile va fi intervalul (-3;-2). Pentru cei cărora le este mai ușor să găsească soluții, puteți desena grafic intersecția acestor zone

Intersecția comună a zonelor va fi soluția. Dacă sunt strict neuniforme, marginile nu sunt incluse. Dacă nu este strict, verificați prin înlocuire.

În al doilea interval obținem

Secțiunea transversală va fi intervalul (-2;-5/3). Grafic soluția va arăta ca

În al treilea interval obținem

Această condiție nu oferă soluții în regiunea dorită.

Deoarece cele două soluții găsite (-3;-2) și (-2;-5/3) mărginesc punctul x=-2, verificăm și noi.

Deci punctul x=-2 este o soluție. Decizie comunăținând cont de acest lucru va arăta ca (-3;5/3).

Exemplul 2. Găsiți o soluție la inegalitate
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Soluţie:
Zerourile funcțiilor submodulare vor fi punctele x=2, x=3, x=4. Pentru valorile argumentului mai mici decât aceste puncte, funcțiile submodulare sunt negative, iar pentru valori mai mari, sunt pozitive.

Punctele împart axa reală în patru intervale. Extindem modulele în funcție de intervalele de semn constant și rezolvăm inegalitățile.

1) În primul interval, toate funcțiile submodulare sunt negative, așa că la extinderea modulelor, schimbăm semnul cu cel opus.

Intersecția valorilor x găsite cu intervalul considerat va fi un set de puncte

2) Pe intervalul dintre punctele x=2 și x=3, prima funcție submodulară este pozitivă, a doua și a treia sunt negative. Extinderea modulelor, obținem

o inegalitate care, intersectată cu intervalul pe care rezolvăm, dă o soluție – x=3.

3) Pe intervalul dintre punctele x=3 și x=4, prima și a doua funcție submodulară sunt pozitive, iar a treia este negativă. Pe baza acestui lucru obținem

Această condiție arată că întregul interval va satisface inegalitatea cu module.

4) Pentru valorile x>4 toate funcțiile au semne pozitive. La extinderea modulelor, nu le schimbăm semnul.

Condiția găsită la intersecția cu intervalul oferă următorul set de soluții

Deoarece inegalitatea este rezolvată pe toate intervalele, rămâne de găsit valoarea comună a tuturor valorilor găsite ale lui x. Soluția va fi în două intervale

Aceasta încheie exemplul.

Exemplul 3. Găsiți o soluție la inegalitate
||x-1|-5|>3-2x

Soluţie:
Avem o inegalitate cu modul de la modul. Astfel de inegalități sunt relevate pe măsură ce modulele sunt imbricate, începând cu cele care sunt situate mai adânc.

Funcția submodulară x-1 este convertită la zero la x=1 . Pentru valori mai mici dincolo de 1, este negativ și pozitiv pentru x>1. Pe baza acestui lucru, extindem modulul intern și luăm în considerare inegalitatea pe fiecare dintre intervale.

Mai întâi, luați în considerare intervalul de la minus infinit la unu

Funcția submodulară este zero la x=-4 . La valori mai mici este pozitiv, la valori mai mari este negativ. Să extindem modulul pentru x<-4:

La intersecția cu zona în care luăm în considerare, obținem un set de soluții

Următorul pas este extinderea modulului pe intervalul (-4;1)

Ținând cont de zona de extindere a modulului, obținem intervalul de soluție

REȚINEȚI: dacă în astfel de nereguli cu module obțineți două intervale care mărginesc un punct comun, atunci, de regulă, aceasta este și o soluție.

Pentru a face acest lucru, trebuie doar să verificați.

În acest caz, înlocuim punctul x=-4.

Deci x=-4 este soluția.
Să extindem modulul intern pentru x>1

Funcția submodulară negativă pentru x<6.
Extindem modulul pe care îl obținem

Această condiție din secțiunea cu intervalul (1;6) dă un set gol de soluții.

Pentru x>6 obținem inegalitatea

De asemenea, rezolvând avem un set gol.
Luând în considerare toate cele de mai sus, singura soluție la inegalitatea cu module va fi următorul interval.

Inegalități cu module care conțin ecuații patratice

Exemplul 4. Găsiți o soluție a inegalității
|x^2+3x|>=2-x^2

Soluţie:
Funcția submodulară dispare în punctele x=0, x=-3. Simplă înlocuire a minus unu

stabilim ca este mai mica decat zero in intervalul (-3;0) si pozitiva dincolo de acesta.
Să extindem modulul în zonele în care funcția submodulară este pozitivă

Rămâne de determinat regiunile în care funcția pătratului este pozitivă. Pentru a face acest lucru, determinăm rădăcinile ecuației pătratice

Pentru comoditate, înlocuim punctul x=0, care aparține intervalului (-2;1/2). Funcția este negativă în acest interval, ceea ce înseamnă că soluția va fi următoarele mulțimi x

Aici marginile zonelor cu soluții sunt indicate prin paranteze acest lucru a fost făcut în mod deliberat, ținând cont de următoarea regulă.

REȚINEȚI: Dacă o inegalitate cu module, sau o inegalitate simplă este strictă, atunci muchiile zonelor găsite nu sunt soluții, dar dacă inegalitățile nu sunt stricte (), atunci muchiile sunt soluții (notate prin paranteze drepte).

Această regulă este folosită de mulți profesori: dacă este dată o inegalitate strictă, iar în timpul calculelor scrieți o paranteză pătrată ([,]) în soluție, ei vor considera automat că acesta este un răspuns incorect. De asemenea, la testare, dacă se dă o inegalitate nestrictă cu module, atunci căutați zone cu paranteze drepte printre soluții.

Pe intervalul (-3;0), extinzând modulul, schimbăm semnul funcției în cel opus

Ținând cont de zona dezvăluirii inegalității, soluția va avea forma

Împreună cu zona anterioară, aceasta va da două jumătăți de intervale

Exemplul 5. Găsiți o soluție a inegalității
9x^2-|x-3|>=9x-2

Soluţie:
Este dată o inegalitate nestrictă a cărei funcție submodulară este egală cu zero în punctul x=3. Pentru valori mai mici este negativ, pentru valori mai mari este pozitiv. Extindeți modulul pe intervalul x<3.

Găsirea discriminantului ecuației

și rădăcini

Înlocuind punctul zero, aflăm că pe intervalul [-1/9;1] funcția pătratică este negativă, deci intervalul este o soluție. Apoi extindem modulul la x>3

Astăzi, prieteni, nu va mai exista nici un muci sau sentimentalism. În schimb, te voi trimite, fără întrebări, în luptă cu unul dintre cei mai formidabili adversari de la cursul de algebră de clasa a VIII-a-9.

Da, ați înțeles totul corect: vorbim de inegalități cu modul. Vom analiza patru tehnici de bază cu care vei învăța să rezolvi aproximativ 90% din astfel de probleme. Dar restul de 10%? Ei bine, vom vorbi despre ele într-o lecție separată.

Cu toate acestea, înainte de a analiza oricare dintre tehnici, aș dori să vă reamintesc două fapte pe care trebuie să le cunoașteți deja. Altfel, riscați să nu înțelegeți deloc materialul lecției de astăzi.

Ce trebuie să știi deja

Captain Obviousness pare să sugereze că pentru a rezolva inegalitățile cu modul trebuie să știi două lucruri:

1. Cum sunt rezolvate inegalitățile;
2. Ce este un modul?

Să începem cu al doilea punct.

Definiția modulului

Totul este simplu aici. Există două definiții: algebrică și grafică. Pentru început - algebric:

Definiție. Modulul unui număr $x$ este fie numărul în sine, dacă este nenegativ, fie numărul opus acestuia, dacă $x$ original este încă negativ.

Este scris astfel:

\[\stanga| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Vorbitor într-un limbaj simplu, modulul este „un număr fără minus”. Și tocmai în această dualitate (în unele locuri nu trebuie să faci nimic cu numărul inițial, dar în altele trebuie să eliminați un fel de minus) acolo se află întreaga dificultate pentru studenții începători.

Există și o definiție geometrică. De asemenea, este util de știut, dar ne vom întoarce la el doar în cazuri complexe și unele speciale, în care abordarea geometrică este mai convenabilă decât cea algebrică (spoiler: nu astăzi).

Definiție. Punctul $a$ să fie marcat pe linia numerică. Apoi modulul $\left| x-a \right|$ este distanța de la punctul $x$ la punctul $a$ pe această linie.

Dacă desenați o imagine, veți obține ceva de genul acesta:

Definirea modulului grafic

Într-un fel sau altul, din definiția unui modul, proprietatea sa cheie urmează imediat: modulul unui număr este întotdeauna o mărime nenegativă. Acest fapt va fi un fir roșu care traversează întreaga noastră narațiune de astăzi.

Rezolvarea inegalităților. Metoda intervalului

Acum să ne uităm la inegalități. Sunt foarte multe dintre ele, dar sarcina noastră acum este să le putem rezolva cel puțin pe cele mai simple. Cele care se reduc la inegalități liniare, precum și la metoda intervalului.

Am două lecții mari pe această temă (apropo, foarte, FOARTE utile - recomand să le studiez):

1. Metoda intervalului pentru inegalități (în special urmăriți videoclipul);
2. Inegalitățile raționale fracționale sunt o lecție foarte extinsă, dar după aceasta nu veți avea deloc întrebări.

Dacă știi toate acestea, dacă expresia „să trecem de la inegalitate la ecuație” nu te face să ai o vagă dorință de a te lovi de perete, atunci ești gata: bine ai venit în iad la subiectul principal al lecției :)

1. Inegalități de formă „Modulul este mai mic decât funcția”

Aceasta este una dintre cele mai frecvente probleme cu modulele. Este necesar să se rezolve o inegalitate de forma:

\[\stanga| f\dreapta| \ltg\]

Funcțiile $f$ și $g$ pot fi orice, dar de obicei sunt polinoame. Exemple de astfel de inegalități:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \dreapta| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\stânga| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Toate acestea pot fi rezolvate literalmente într-o singură linie, conform următoarei scheme:

\[\stanga| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \corect corect)\]

Este ușor de observat că scăpăm de modul, dar în schimb obținem o inegalitate dublă (sau, ceea ce este același lucru, un sistem de două inegalități). Dar această tranziție ține cont de absolut totul posibile probleme: dacă numărul de sub modul este pozitiv, metoda funcționează; dacă este negativ, încă funcționează; și chiar și cu cea mai inadecvată funcție în locul $f$ sau $g$, metoda va funcționa în continuare.

Desigur, se pune întrebarea: nu ar putea fi mai simplu? Din păcate, nu este posibil. Acesta este scopul modulului.

Cu toate acestea, destul cu filozofarea. Să rezolvăm câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 2x+3 \dreapta| \lt x+7\]

Soluţie. Deci, avem în fața noastră o inegalitate clasică de forma „modulul este mai mic” - nu există nici măcar nimic de transformat. Lucrăm conform algoritmului:

\[\begin(align) & \left| f\dreapta| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \dreapta| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Nu vă grăbiți să deschideți parantezele precedate de un „minus”: este foarte posibil ca din cauza grabei tale să faci o greșeală ofensivă.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Problema s-a redus la două inegalități elementare. Să notăm soluțiile lor pe drepte numerice paralele:

Intersectia multora

Intersecția acestor mulțimi va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Soluţie. Această sarcină este puțin mai dificilă. Mai întâi, să izolăm modulul mutând al doilea termen la dreapta:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Evident, avem din nou o inegalitate de forma „modulul este mai mic”, așa că scăpăm de modul folosind algoritmul deja cunoscut:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acum atenție: cineva va spune că sunt cam pervers cu toate aceste paranteze. Dar permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că scopul nostru cheie este rezolvați corect inegalitatea și obțineți răspunsul. Mai târziu, când ai stăpânit perfect tot ce este descris în această lecție, te poți perverti după cum vrei: deschide paranteze, adaugă minusuri etc.

Pentru început, pur și simplu vom scăpa de minusul dublu din stânga:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\stânga(x+1\dreapta)\]

Acum să deschidem toate parantezele din inegalitatea dublă:

Să trecem la dubla inegalitate. De data aceasta calculele vor fi mai serioase:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( aliniați)\dreapta.\]

Ambele inegalități sunt pătratice și pot fi rezolvate folosind metoda intervalului (de aceea spun: dacă nu știi ce este, mai bine nu te apuci încă de module). Să trecem la ecuația din prima inegalitate:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul este o ecuație pătratică incompletă, care poate fi rezolvată într-un mod elementar. Acum să ne uităm la a doua inegalitate a sistemului. Acolo va trebui să aplicați teorema lui Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Marcam numerele rezultate pe două drepte paralele (separate pentru prima inegalitate și separate pentru a doua):

Din nou, deoarece rezolvăm un sistem de inegalități, ne interesează intersecția mulțimilor umbrite: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Acesta este răspunsul.

Răspuns: $x\în \left(-5;-2 \right)$

Cred că după aceste exemple schema de soluție este extrem de clară:

1. Izolați modulul mutând toți ceilalți termeni în partea opusă a inegalității. Astfel obținem o inegalitate de forma $\left| f\dreapta| \ltg$.
2. Rezolvați această inegalitate eliminând modulul conform schemei descrise mai sus. La un moment dat, va fi necesar să trecem de la inegalitatea dublă la un sistem de două expresii independente, fiecare dintre acestea putând fi deja rezolvată separat.
3. În cele din urmă, tot ce rămâne este să intersectăm soluțiile acestor două expresii independente - și asta este, vom obține răspunsul final.

Un algoritm similar există pentru inegalitățile de tipul următor, când modulul mai multe trăsături. Cu toate acestea, există câteva „dar” serioase. Vom vorbi despre aceste „dar” acum.

2. Inegalități de formă „Modulul este mai mare decât funcția”

Arata asa:

\[\stanga| f\dreapta| \gtg\]

Similar cu precedentul? Se pare. Și totuși astfel de probleme sunt rezolvate într-un mod complet diferit. Formal, schema este următoarea:

\[\stanga| f\dreapta| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Cu alte cuvinte, luăm în considerare două cazuri:

1. În primul rând, ignorăm modulul și rezolvăm inegalitatea obișnuită;
2. Apoi, în esență, extindem modulul cu semnul minus și apoi înmulțim ambele părți ale inegalității cu −1, în timp ce am semnul.

În acest caz, opțiunile sunt combinate cu o paranteză pătrată, adică. Avem în fața noastră o combinație de două cerințe.

Vă rugăm să rețineți din nou: acesta nu este un sistem, ci o totalitate, așadar în răspuns, mulțimile sunt mai degrabă combinate decât să se intersecteze. Acest diferenta fundamentala de la punctul anterior!

În general, mulți studenți sunt complet confundați cu uniunile și intersecțiile, așa că haideți să rezolvăm această problemă odată pentru totdeauna:

• „∪” este un semn de uniune. În esență, aceasta este o litera stilizată „U” care ne-a venit de la în limba englezăși este o abreviere pentru „Unire”, adică "Asociațiile".
• „∩” este semnul de intersecție. Prostia asta nu a venit de nicăieri, ci pur și simplu a apărut ca un contrapunct la „∪”.

Pentru a fi și mai ușor de reținut, doar trageți picioarele la aceste semne pentru a face ochelari (numai acum nu mă acuza că promovez dependența de droguri și alcoolismul: dacă studiezi serios această lecție, atunci ești deja dependent de droguri):

Diferența dintre intersecția și unirea mulțimilor

Tradus în rusă, aceasta înseamnă următoarele: uniunea (totalitatea) include elemente din ambele seturi, prin urmare nu este în niciun fel mai mică decât fiecare dintre ele; dar intersecția (sistemul) include doar acele elemente care se află simultan atât în ​​primul set, cât și în al doilea. Prin urmare, intersecția mulțimilor nu este niciodată mai mare decât mulțimile sursă.

Deci a devenit mai clar? Asta e grozav. Să trecem la practică.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\]

Soluţie. Procedăm conform schemei:

\[\stanga| 3x+1 \dreapta| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ dreapta.\]

Rezolvăm fiecare inegalitate din populație:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcam fiecare set rezultat pe linia numerică și apoi le combinăm:

Unirea seturi

Este destul de evident că răspunsul va fi $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Răspuns: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Soluţie. Bine? Nimic - totul este la fel. Trecem de la o inegalitate cu un modul la o mulțime de două inegalități:

\[\stanga| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(aliniere) \dreapta.\]

Rezolvăm orice inegalitate. Din păcate, rădăcinile de acolo nu vor fi foarte bune:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

A doua inegalitate este, de asemenea, puțin sălbatică:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Acum trebuie să marcați aceste numere pe două axe - o axă pentru fiecare inegalitate. Cu toate acestea, trebuie să marcați punctele în ordinea corectă: decât număr mai mare, cu atât mai mult deplasăm punctul spre dreapta.

Și aici ne așteaptă o configurație. Dacă totul este clar cu numerele $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termenii din numărătorul primului fracție sunt mai mici decât termenii din numărătorul celui de-al doilea, deci și suma este mai mică), cu numerele $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ nu vor fi nici dificultăți (număr pozitiv evident mai negativ), apoi cu ultimul cuplu totul nu este atât de clar. Care este mai mare: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ sau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Amplasarea punctelor pe liniile numerice și, de fapt, răspunsul va depinde de răspunsul la această întrebare.

Deci haideți să comparăm:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrice)\]

Am izolat rădăcina, am obținut numere nenegative de ambele părți ale inegalității, deci avem dreptul de a pătra ambele părți:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrice)\]

Cred că nu este o idee că $4\sqrt(13) \gt 3$, deci $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, punctele finale pe axe vor fi plasate astfel:

Un caz de rădăcini urâte

Permiteți-mi să vă reamintesc că rezolvăm o mulțime, deci răspunsul va fi o unire, nu o intersecție de mulțimi umbrite.

Răspuns: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \dreapta)$

După cum puteți vedea, schema noastră funcționează excelent atât pentru probleme simple, cât și pentru probleme foarte dificile. Singurul lucru " slăbiciune„În această abordare, trebuie să comparați cu competență numerele iraționale (și credeți-mă: acestea nu sunt doar rădăcini). Dar o lecție separată (și foarte serioasă) va fi dedicată problemelor de comparație. Și mergem mai departe.

3. Inegalități cu „cozi” nenegative

Acum ajungem la partea cea mai interesantă. Acestea sunt inegalități de formă:

\[\stanga| f\dreapta| \gt\left| g\dreapta|\]

În general, algoritmul despre care vom vorbi acum este corect doar pentru modul. Funcționează în toate inegalitățile în care există expresii nenegative garantate în stânga și dreapta:

Ce să faci cu aceste sarcini? Doar aminteste-ti:

În inegalitățile cu „cozi” nenegative, ambele părți pot fi ridicate la orice putere naturală. Nu vor exista restricții suplimentare.

În primul rând, ne va interesa pătrarea - arde module și rădăcini:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Doar nu confundați acest lucru cu luarea rădăcinii unui pătrat:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \dreapta|\ne f\]

S-au făcut nenumărate greșeli atunci când un student a uitat să instaleze un modul! Dar asta este o cu totul altă poveste (este ca și cum ecuații iraționale), așa că nu vom intra în asta acum. Să rezolvăm mai bine câteva probleme:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \dreapta|\]

Soluţie. Să observăm imediat două lucruri:

1. Aceasta nu este o inegalitate strictă. Punctele de pe linia numerică vor fi perforate.
2. Ambele părți ale inegalității sunt în mod evident nenegative (aceasta este o proprietate a modulului: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Prin urmare, putem pătra ambele părți ale inegalității pentru a scăpa de modul și a rezolva problema folosind metoda obișnuită a intervalului:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Pe ultimul pas Am trișat puțin: am schimbat succesiunea termenilor, profitând de uniformitatea modulului (de fapt, am înmulțit expresia $1-2x$ cu −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dreapta)\dreapta)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Rezolvăm folosind metoda intervalului. Să trecem de la inegalitate la ecuație:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Marcam rădăcinile găsite pe linia numerică. Încă o dată: toate punctele sunt umbrite pentru că inegalitatea originală nu este strictă!

A scăpa de semnul modulului

Permiteți-mi să vă reamintesc pentru cei care sunt deosebit de încăpățânați: luăm semnele din ultima inegalitate, care a fost notă înainte de a trece la ecuație. Și pictăm peste zonele necesare în aceeași inegalitate. În cazul nostru, este $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, totul sa terminat acum. Problema este rezolvată.

Răspuns: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \dreapta|\]

Soluţie. Facem totul la fel. Nu voi comenta - doar uitați-vă la succesiunea acțiunilor.

Square it:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dreapta))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dreapta))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metoda intervalului:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Săgeată dreapta x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Există o singură rădăcină pe linia numerică:

Răspunsul este un întreg interval

Răspuns: $x\în \left[ -1,5;+\infty \right)$.

O mică notă despre ultima sarcină. După cum a remarcat cu exactitate unul dintre studenții mei, ambele expresii submodulare din această inegalitate sunt în mod evident pozitive, astfel încât semnul modulului poate fi omis fără a dăuna sănătății.

Dar acesta este un nivel complet diferit de gândire și o abordare diferită - poate fi numit în mod condiționat metoda consecințelor. Despre asta - într-o lecție separată. Acum să trecem la ultima parte a lecției de astăzi și să ne uităm la un algoritm universal care funcționează întotdeauna. Chiar și atunci când toate abordările anterioare au fost neputincioase.

4. Metoda de enumerare a opțiunilor

Ce se întâmplă dacă toate aceste tehnici nu ajută? Dacă inegalitatea nu poate fi redusă la cozi nenegative, dacă este imposibil să izolați modulul, dacă în general există durere, tristețe, melancolie?

Apoi, „artileria grea” a tuturor matematicii intră în scenă – metoda forței brute. În raport cu inegalitățile cu modul, arată astfel:

1. Scrieți toate expresiile submodulare și setați-le egale cu zero;
2. Rezolvați ecuațiile rezultate și marcați rădăcinile găsite pe o dreaptă numerică;
3. Linia dreaptă va fi împărțită în mai multe secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul are un semn fix și, prin urmare, este dezvăluit în mod unic;
4. Rezolvați inegalitatea pe fiecare astfel de secțiune (puteți lua în considerare separat limitele rădăcinilor obținute la pasul 2 - pentru fiabilitate). Combină rezultatele - acesta va fi răspunsul.

Așa cum? Slab? Uşor! Doar pentru mult timp. Să vedem în practică:

Sarcină. Rezolvați inegalitatea:

\[\stanga| x+2 \dreapta| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Soluţie. Prostia asta nu se rezumă la inegalități precum $\left| f\dreapta| \lt g$, $\left| f\dreapta| \gt g$ sau $\left| f\dreapta| \lt \left| g \right|$, așa că acționăm înainte.

Scriem expresii submodulare, le echivalăm cu zero și găsim rădăcinile:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Săgeată la dreapta x=1. \\\end(align)\]

În total, avem două rădăcini care împart linia numerică în trei secțiuni, în cadrul cărora fiecare modul este dezvăluit în mod unic:

Partiționarea dreptei numerice prin zerouri a funcțiilor submodulare

Să ne uităm la fiecare secțiune separat.

1. Fie $x \lt -2$. Atunci ambele expresii submodulare sunt negative, iar inegalitatea originală va fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Avem o limitare destul de simplă. Să-l intersectăm cu ipoteza inițială că $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

În mod evident, variabila $x$ nu poate fi simultan mai mică de −2 și mai mare de 1,5. Nu există soluții în acest domeniu.

1.1. Să luăm în considerare separat cazul limită: $x=-2$. Să înlocuim acest număr în inegalitatea originală și să verificăm: este adevărat?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Este evident că lanțul de calcule ne-a condus la o inegalitate incorectă. Prin urmare, inegalitatea inițială este, de asemenea, falsă, iar $x=-2$ nu este inclus în răspuns.

2. Fie acum $-2 \lt x \lt 1$. Modulul din stânga se va deschide deja cu un „plus”, dar cel din dreapta se va deschide în continuare cu un „minus”. Avem:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Din nou ne intersectăm cu cerința inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Și din nou, mulțimea de soluții este goală, deoarece nu există numere care să fie atât mai mici decât −2,5, cât și mai mari decât −2.

2.1. Și din nou un caz special: $x=1$. Înlocuim în inegalitatea originală:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \stânga| 3\dreapta| \lt \left| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Similar cu „cazul special” anterior, numărul $x=1$ nu este în mod clar inclus în răspuns.

3. Ultima bucată a liniei: $x \gt 1$. Aici toate modulele sunt deschise cu semnul plus:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Și din nou intersectăm mulțimea găsită cu constrângerea inițială:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

In cele din urma! Am găsit un interval care va fi răspunsul.

Răspuns: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

În sfârșit, o remarcă care te poate scuti de greșeli stupide atunci când rezolvi probleme reale:

Soluțiile inegalităților cu module reprezintă de obicei mulțimi continue pe linia numerică - intervale și segmente. Punctele izolate sunt mult mai puțin frecvente. Și chiar mai rar, se întâmplă ca limita soluției (sfârșitul segmentului) să coincidă cu limita intervalului luat în considerare.

În consecință, dacă granițele (aceleași „cazuri speciale”) nu sunt incluse în răspuns, atunci zonele din stânga și din dreapta acestor limite nu vor fi aproape sigur incluse în răspuns. Și invers: granița a intrat în răspuns, ceea ce înseamnă că unele zone din jurul lui vor fi și răspunsuri.

Țineți cont de acest lucru atunci când examinați soluțiile dvs.

Modulul numerelor acest număr în sine se numește dacă este nenegativ, sau același număr cu semnul opus dacă este negativ.

De exemplu, modulul numărului 6 este 6, iar modulul numărului -6 este, de asemenea, 6.

Adică modulul unui număr este înțeles ca valoare absolută, valoarea absolută a acestui număr fără a lua în considerare semnul său.

Se desemnează după cum urmează: |6|, | X|, |A| etc.

(Mai multe detalii în secțiunea „Modul de număr”).

Ecuații cu modul.

Exemplul 1 . Rezolvați ecuația|10 X - 5| = 15.

Soluţie.

Conform regulii, ecuația este echivalentă cu combinația a două ecuații:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Noi decidem:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Răspuns: X 1 = 2, X 2 = -1.

Exemplul 2 . Rezolvați ecuația|2 X + 1| = X + 2.

Soluţie.

Deoarece modulul este un număr nenegativ, atunci X+ 2 ≥ 0. În consecință:

X ≥ -2.

Să facem două ecuații:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Noi decidem:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ambele numere sunt mai mari decât -2. Deci ambele sunt rădăcini ale ecuației.

Răspuns: X 1 = -1, X 2 = 1.

Exemplul 3 . Rezolvați ecuația

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Soluţie.

Ecuația are sens dacă numitorul nu este zero - asta înseamnă dacă X≠ 1. Să luăm în considerare această condiție. Prima noastră acțiune este simplă - nu doar scăpăm de fracțiune, ci o transformăm astfel încât să obținem modulul în forma sa pură:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Acum avem doar o expresie sub modulul din partea stângă a ecuației. Daţi-i drumul.
Modulul unui număr este un număr nenegativ - adică trebuie să fie mai mare decât zero sau egal cu zero. În consecință, rezolvăm inegalitatea:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Astfel, avem o a doua condiție: rădăcina ecuației trebuie să fie cel puțin 3/4.

În conformitate cu regula, compunem un set de două ecuații și le rezolvăm:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Am primit două răspunsuri. Să verificăm dacă sunt rădăcini ale ecuației originale.

Am avut două condiții: rădăcina ecuației nu poate fi egală cu 1 și trebuie să fie cel puțin 3/4. Acesta este X ≠ 1, X≥ 3/4. Ambele condiții corespund doar unuia dintre cele două răspunsuri primite - numărul 2. Aceasta înseamnă că numai aceasta este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: X = 2.

Inegalități cu modul.

Exemplul 1 . Rezolvați inegalitatea| X - 3| < 4

Soluţie.

Regula modulului spune:

|A| = A, Dacă A ≥ 0.

|A| = -A, Dacă A < 0.

Modulul poate avea atât numere nenegative, cât și numere negative. Deci trebuie să luăm în considerare ambele cazuri: X- 3 ≥ 0 și X - 3 < 0.

1) Când X- 3 ≥ 0 inegalitatea noastră originală rămâne așa cum este, doar fără semnul modulului:
X - 3 < 4.

2) Când X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Deschizând parantezele, obținem:

-X + 3 < 4.

Astfel, din aceste două condiții am ajuns la unificarea a două sisteme de inegalități:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Să le rezolvăm:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Deci, răspunsul nostru este o unire a două seturi:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Determinați cel mai mic și cea mai mare valoare. Acestea sunt -1 și 7. Mai mult X mai mare de -1 dar mai mic de 7.
In afara de asta, X≥ 3. Aceasta înseamnă că soluția inegalității este întregul set de numere de la -1 la 7, excluzând aceste numere extreme.

Răspuns: -1 < X < 7.

Sau: X ∈ (-1; 7).

Suplimente.

1) Există o modalitate mai simplă și mai scurtă de a ne rezolva inegalitatea - grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o axă orizontală (Fig. 1).

Expresie | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X la punctul 3 este mai puțin de patru unități. Marcam numărul 3 pe axă și numărăm 4 diviziuni la stânga și la dreapta acestuia. În stânga vom ajunge la punctul -1, în dreapta - la punctul 7. Astfel, punctele X le-am văzut doar fără să le calculăm.

În plus, conform condiției de inegalitate, -1 și 7 înșiși nu sunt incluse în setul de soluții. Astfel, obținem răspunsul:

1 < X < 7.

2) Dar există o altă soluție care este mai simplă chiar și decât metoda grafică. Pentru a face acest lucru, inegalitatea noastră trebuie să fie prezentată în următoarea formă:

4 < X - 3 < 4.

La urma urmei, așa este în conformitate cu regula modulului. Numărul nenegativ 4 și numărul negativ similar -4 sunt limitele pentru rezolvarea inegalității.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Exemplul 2 . Rezolvați inegalitatea| X - 2| ≥ 5

Soluţie.

Acest exemplu este semnificativ diferit de cel precedent. Partea stângă este mai mare decât 5 sau egală cu 5. Din punct de vedere geometric, soluția inegalității sunt toate numerele care se află la o distanță de 5 unități sau mai mult de punctul 2 (Fig. 2). Graficul arată că toate acestea sunt numere mai mici sau egale cu -3 și mai mari sau egale cu 7. Aceasta înseamnă că am primit deja răspunsul.

Răspuns: -3 ≥ X ≥ 7.

Pe parcurs, rezolvăm aceeași inegalitate prin rearanjarea termenului liber la stânga și la dreapta cu semnul opus:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Răspunsul este același: -3 ≥ X ≥ 7.

Sau: X ∈ [-3; 7]

Exemplul este rezolvat.

Exemplul 3 . Rezolvați inegalitatea 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Soluţie.

Număr X poate fi un număr pozitiv, un număr negativ sau zero. Prin urmare, trebuie să luăm în considerare toate cele trei circumstanțe. După cum știți, ele sunt luate în considerare în două inegalități: X≥ 0 și X < 0. При X≥ 0 pur și simplu rescriem inegalitatea noastră originală așa cum este, doar fără semnul modulului:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Acum despre al doilea caz: dacă X < 0. Модулем număr negativ este același număr cu semnul opus. Adică scriem numărul sub modulul cu semnul opus și ne eliberăm din nou de semnul modulului:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Extinderea parantezelor:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Astfel, am primit două sisteme de ecuații:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Trebuie să rezolvăm inegalitățile în sisteme - și asta înseamnă că trebuie să găsim rădăcinile a două ecuații pătratice. Pentru a face acest lucru, echivalăm părțile din stânga ale inegalităților cu zero.

Să începem cu primul:

6X 2 - X - 2 = 0.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică - vezi secțiunea „ Ecuație pătratică" Vom numi imediat răspunsul:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Din primul sistem de inegalități obținem că soluția inegalității inițiale este întreaga mulțime de numere de la -1/2 la 2/3. Scriem uniunea de soluții la X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Acum să rezolvăm a doua ecuație pătratică:

6X 2 + X - 2 = 0.

Rădăcinile sale:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Concluzie: când X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Să combinăm cele două răspunsuri și să obținem răspunsul final: soluția este întregul set de numere de la -2/3 la 2/3, inclusiv aceste numere extreme.

Răspuns: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Sau: X ∈ [-2/3; 2/3].