Înmulțirea fracțiilor simple și mixte cu numitori diferiți. Înmulțirea fracțiilor

La cursurile de gimnaziu și liceu, elevii au abordat tema „Fracțiuni”. Cu toate acestea, acest concept este mult mai larg decât ceea ce este dat în procesul de învățare. Astăzi, conceptul de fracție este întâlnit destul de des și nu toată lumea poate calcula orice expresie, de exemplu, înmulțirea fracțiilor.

Ce este o fracție?

Din punct de vedere istoric, numerele fracționale au apărut din necesitatea de a măsura. După cum arată practica, există adesea exemple de determinare a lungimii unui segment și a volumului unui dreptunghi dreptunghiular.

Inițial, elevii sunt introduși în conceptul de acțiune. De exemplu, dacă împărțiți un pepene în 8 părți, atunci fiecare persoană va primi o opteme din pepene. Această parte din opt se numește cotă.

O cotă egală cu ½ din orice valoare se numește jumătate; ⅓ - a treia; ¼ - un sfert. Înregistrările de forma 5/8, 4/5, 2/4 se numesc fracții ordinare. O fracție comună este împărțită în numărător și numitor. Între ele se află bara de fracțiuni sau bara de fracțiuni. Linia fracțională poate fi trasată fie ca o linie orizontală, fie ca o linie oblică. În acest caz, denotă semnul diviziunii.

Numitorul reprezintă în câte părți egale este împărțită cantitatea sau obiectul; iar numărătorul este câte acțiuni identice sunt luate. Numătorul este scris deasupra liniei fracțiilor, numitorul este scris sub ea.

Cel mai convenabil este să afișați fracțiile obișnuite pe o rază de coordonate. Dacă un singur segment este împărțit în 4 părți egale, fiecare parte este desemnată printr-o literă latină, atunci rezultatul poate fi excelent material vizual. Deci, punctul A arată o cotă egală cu 1/4 din întregul segment de unitate, iar punctul B marchează 2/8 dintr-un segment dat.

Tipuri de fracții

Fracțiile pot fi numere ordinare, zecimale și mixte. În plus, fracțiile pot fi împărțite în adecvate și improprii. Această clasificare este mai potrivită pentru fracții obișnuite.

Sub Fracțiunea corespunzătoareînțelegeți un număr al cărui numărător este mai mic decât numitorul său. În consecință, o fracție improprie este un număr al cărui numărător este mai mare decât numitorul său. Al doilea tip este de obicei scris ca un număr mixt. Această expresie constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională. De exemplu, 1½. 1 este o parte întreagă, ½ este o parte fracțională. Cu toate acestea, dacă trebuie să efectuați unele manipulări cu expresia (împărțirea sau înmulțirea fracțiilor, reducerea sau conversia acestora), numărul mixt este convertit într-o fracție improprie.

O expresie fracțională corectă este întotdeauna mai mică decât unu, iar una incorectă este întotdeauna mai mare sau egală cu 1.

În ceea ce privește această expresie, înțelegem o înregistrare în care este reprezentat orice număr, al cărui numitor al expresiei fracționale poate fi exprimat în termeni de unul cu mai multe zerouri. Dacă fracția este corectă, atunci partea întreagă în notație zecimală va fi egală cu zero.

Pentru a scrie o fracție zecimală, trebuie mai întâi să scrieți întreaga parte, să o separați de fracție folosind o virgulă și apoi să scrieți expresia fracției. Trebuie reținut că după virgulă zecimală numărătorul trebuie să conțină același număr de caractere digitale ca și zerouri în numitor.

Exemplu. Exprimați fracția 7 21 / 1000 în notație zecimală.

Algoritm pentru conversia unei fracții improprie într-un număr mixt și invers

Este incorect să scrieți o fracție necorespunzătoare în răspunsul la o problemă, așa că trebuie convertită într-un număr mixt:

• împărțiți numărătorul la numitorul existent;
• V exemplu concret coeficient incomplet - întreg;
• iar restul este numărătorul părții fracționale, numitorul rămânând neschimbat.

Exemplu. Transformă fracția improprie în număr mixt: 47 / 5.

Soluţie. 47: 5. Coeficientul parțial este 9, restul = 2. Deci, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Uneori trebuie să reprezentați un număr mixt ca o fracție improprie. Apoi, trebuie să utilizați următorul algoritm:

• partea întreagă se înmulțește cu numitorul expresiei fracționale;
• produsul rezultat se adaugă la numărător;
• rezultatul se scrie la numărător, numitorul rămâne neschimbat.

Exemplu. Prezintă numărul mixt ca o fracție improprie: 9 8 / 10.

Soluţie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 este numărătorul.

Răspuns: 98 / 10.

Înmulțirea fracțiilor

Pe fracții obișnuite pot fi efectuate diverse operații algebrice. Pentru a înmulți două numere, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul. În plus, înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți nu este diferită de înmulțirea fracțiilor cu aceiași numitori.

Se întâmplă că, după găsirea rezultatului, trebuie să reduceți fracția. Este imperativ să simplificați cât mai mult posibil expresia rezultată. Desigur, nu se poate spune că o fracție improprie dintr-un răspuns este o eroare, dar este și dificil să o numim răspuns corect.

Exemplu. Aflați produsul a două fracții ordinare: ½ și 20/18.

După cum se poate observa din exemplu, după găsirea produsului, se obține o notație fracțională reductibilă. Atât numărătorul, cât și numitorul în acest caz sunt împărțiți la 4, iar rezultatul este răspunsul 5 / 9.

Înmulțirea fracțiilor zecimale

Produsul fracțiilor zecimale este destul de diferit de produsul fracțiilor obișnuite în principiu. Deci, înmulțirea fracțiilor este după cum urmează:

• două fracții zecimale trebuie scrise una sub cealaltă, astfel încât cifrele din dreapta să fie una sub cealaltă;
• trebuie să înmulțiți numerele scrise, în ciuda virgulelor, adică ca numere naturale;
• numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fiecare număr;
• în rezultatul obținut după înmulțire, trebuie să numărați de la dreapta câte simboluri digitale sunt conținute în suma în ambii factori după virgulă zecimală și să puneți un semn de separare;
• dacă există mai puține numere în produs, atunci trebuie să scrieți cât mai multe zerouri în fața lor pentru a acoperi acest număr, puneți o virgulă și adăugați întreaga parte egală cu zero.

Exemplu. Calculați produsul a două fracții zecimale: 2,25 și 3,6.

Soluţie.

Înmulțirea fracțiilor mixte

Pentru a calcula produsul a două fracții mixte, trebuie să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor:

• converti numere mixte în fracții improprii;
• găsiți produsul numărătorilor;
• găsiți produsul numitorilor;
• notează rezultatul;
• simplifica pe cât posibil expresia.

Exemplu. Aflați produsul dintre 4½ și 6 2/5.

Înmulțirea unui număr cu o fracție (fracții cu un număr)

Pe lângă găsirea produsului a două fracții și a numerelor mixte, există sarcini în care trebuie să înmulțiți cu o fracție.

Deci, pentru a găsi produsul dintre o fracție zecimală și un număr natural, aveți nevoie de:

• scrieți numărul sub fracție, astfel încât cifrele din dreapta să fie una deasupra celeilalte;
• găsiți produsul în ciuda virgulei;
• în rezultatul rezultat, separă partea întreagă de partea fracțională folosind o virgulă, numărând din dreapta numărul de cifre care se află după virgulă zecimală în fracție.

Pentru a înmulți o fracție comună cu un număr, trebuie să găsiți produsul dintre numărător și factorul natural. Dacă răspunsul produce o fracție care poate fi redusă, aceasta ar trebui convertită.

Exemplu. Calculați produsul dintre 5 / 8 și 12.

Soluţie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Răspuns: 7 1 / 2.

După cum puteți vedea din exemplul anterior, a fost necesar să reduceți rezultatul rezultat și să convertiți expresia fracțională incorectă într-un număr mixt.

Înmulțirea fracțiilor se referă și la găsirea produsului unui număr în formă mixtă și a unui factor natural. Pentru a înmulți aceste două numere, ar trebui să înmulțiți întreaga parte a factorului mixt cu număr, să înmulțiți numărătorul cu aceeași valoare și să lăsați numitorul neschimbat. Dacă este necesar, trebuie să simplificați rezultatul rezultat cât mai mult posibil.

Exemplu. Aflați produsul lui 9 5 / 6 și 9.

Soluţie. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Răspuns: 88 1 / 2.

Înmulțirea cu factori de 10, 100, 1000 sau 0,1; 0,01; 0,001

Rezultă din paragraful anterior următoarea regulă. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000, 10000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri există în factorul după unu.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 0,065 și 1000.

Soluţie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Răspuns: 65.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 3,9 și 1000.

Soluţie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Răspuns: 3900.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr natural și 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 etc., ar trebui să mutați virgula din produsul rezultat la stânga cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt înaintea unu. Dacă este necesar, înaintea numărului natural sunt scrise un număr suficient de zerouri.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 56 și 0,01.

Soluţie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Răspuns: 0,56.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 4 și 0,001.

Soluţie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Răspuns: 0,004.

Deci, găsirea produsului diferitelor fracții nu ar trebui să provoace dificultăți, cu excepția poate calcula rezultatul; în acest caz, pur și simplu nu puteți face fără un calculator.

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Această operație este mult mai frumoasă decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Ca o reamintire, pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Acesta este:

De exemplu:

Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu e nevoie de el aici...

Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să inversați al doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:

De exemplu:

Dacă întâlniți înmulțiri sau împărțiri cu numere întregi și fracții, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu unul la numitor - și mergeți mai departe! De exemplu:

În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:

Cum pot face ca această fracție să arate decent? Da, foarte simplu! Utilizați împărțirea în două puncte:

Dar nu uitați de ordinea împărțirii! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar este ușor să faci o greșeală într-o fracțiune de trei etaje. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:

În primul caz (expresie din stânga):

În a doua (expresie din dreapta):

Simți diferența? 4 și 1/9!

Ce determină ordinea împărțirii? Fie cu paranteze, fie (ca aici) cu lungimea liniilor orizontale. Dezvoltați-vă ochiul. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:

apoi împărțiți și înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!

Și, de asemenea, foarte simplu și tehnica importanta. În acțiuni cu grade, îți va fi atât de util! Să împărțim unul cu orice fracție, de exemplu, la 13/15:

Lovitura s-a răsturnat! Și asta se întâmplă mereu. Când împărțiți 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar invers.

Asta e pentru operațiuni cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Notă sfaturi practice, și vor fi mai puține dintre ele (erori)!

Sfaturi practice:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Acestea nu sunt cuvinte generale, nu sunt urări de bine! Aceasta este o nevoie urgentă! Efectuați toate calculele pentru examenul de stat unificat ca o sarcină cu drepturi depline, concentrată și clară. Este mai bine să scrieți două rânduri în plus în ciornă decât să dați greșelii atunci când faceți calcule mentale.

2. În exemplele cu tipuri diferite fracții - mergeți la fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până se opresc.

4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).

5. Împărțiți o unitate la o fracție în cap, pur și simplu răsturnând fracția.

Iată sarcinile pe care trebuie neapărat să le îndeplinești. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele pe această temă și sfaturi practice. Estimați câte exemple ați reușit să rezolvați corect. Prima dată! Fara calculator! Și trageți concluziile corecte...

Amintiți-vă - răspunsul corect este primit de la a doua (mai ales a treia) oară nu contează! Așa este viața aspră.

Asa de, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este deja pregătirea pentru examenul de stat unificat. Rezolvăm exemplul, îl verificăm, îl rezolvăm pe următorul. Am decis totul - am verificat din nou de la prima până la sfârșit. Doar daca Apoi uita-te la raspunsuri.

Calculati:

Te-ai decis?

Căutăm răspunsuri care se potrivesc cu ale dumneavoastră. Le-am notat voit în dezordine, departe de ispită, ca să zic așa... Iată-le, răspunsurile, scrise cu punct și virgulă.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Acum tragem concluzii. Daca totul a iesit, ma bucur pentru tine! Calculele de bază cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu...

Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar asta rezolvabil Probleme.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Numerele fracționale obișnuite întâlnesc mai întâi școlari în clasa a V-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să se folosească un obiect nu ca un întreg, ci în bucăți separate. Începeți să studiați acest subiect - acțiuni. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte acest sau acel obiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se țină seama, de exemplu, de lungimea sau prețul unui produs ca număr întreg; Format din verbul „a împărți” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, cuvântul „fracție” însuși a apărut în limba rusă în secolul al VIII-lea.

Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cea mai dificilă ramură a matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, ele erau numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de înțeles de către oameni.

Aspect modern resturile fracționale simple, ale căror părți sunt separate printr-o linie orizontală, au fost promovate pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate din 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cum se înmulțesc fracțiile mixte cu diferiți numitori.

Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți

Inițial merită determinat tipuri de fracții:

• corect;
• incorect;
• amestecat.

În continuare, trebuie să vă amintiți cum sunt înmulțite numerele fracționale cu aceiași numitori. Însăși regula acestui proces este ușor de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracții simple cu aceiași numitori este o expresie fracționară, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente inițial.

La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori regula nu se schimbă:

A/b * c/d = a*c/ b*d.

Singura diferență este că numărul format sub linia fracțională va fi un produs de numere diferite și, desigur, nu poate fi numit pătratul unei expresii numerice.

Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți folosind exemple:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Exemplele folosesc metode pentru reducerea expresiilor fracționale. Puteți reduce numai numerele numărătorului cu numerele numitorului factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracției nu pot fi reduse.

Alături de fracțiile simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Cum funcționează înmulțirea?

Sunt oferite mai multe exemple pentru a fi luate în considerare.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracțională obișnuită, regula pentru această acțiune poate fi scrisă astfel:

A* b/c = a*b/c.

De fapt, un astfel de produs este suma resturilor fracționale identice, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Caz special:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Există o altă soluție pentru înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:

d* e/f = e/f:d.

Această tehnică este utilă atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, la un număr întreg.

Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă ca o fracție improprie și poate fi reprezentată și ca o formulă generală:

A bc = a*b+ c/c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea întregii părți cu numitorul și adăugarea acesteia cu numărătorul restului fracționar inițial, iar numitorul rămâne același.

Acest proces funcționează și în direcția opusă. Pentru a separa întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul unei fracții improprie la numitorul ei folosind un „colț”.

Înmulțirea fracțiilor improprii produs într-un mod general acceptat. Când scrieți sub o singură linie de fracție, trebuie să reduceți fracțiile după cum este necesar pentru a reduce numerele folosind această metodă și pentru a facilita calcularea rezultatului.

Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme matematice complexe variatii variate programe. Un număr suficient de astfel de servicii oferă asistență în numărarea înmulțirii fracțiilor cu numere diferiteîn numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Nu este dificil să lucrați cu acesta, completați câmpurile corespunzătoare de pe pagina site-ului, selectați semnul operației matematice și faceți clic pe „calculați”. Programul calculează automat.

Tema operațiilor aritmetice cu fracții este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de gimnaziu și liceu. În liceu nu mai consideră cea mai simplă specie, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule obținute mai devreme se aplică în forma sa originală. Cunoștințele de bază bine stăpânite oferă încredere deplină în decizie de succes cele mai dificile sarcini.

În concluzie, este logic să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea unei persoane să-și mărească numărătorul – meritele – dar oricine își poate reduce numitorul – părerea sa despre sine, iar odată cu această scădere se apropie de perfecțiunea sa.

Pentru a înmulți corect o fracție cu o fracție sau o fracție cu un număr, trebuie să știi reguli simple. Vom analiza acum aceste reguli în detaliu.

Înmulțirea unei fracții comune cu o fracție.

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să calculați produsul numărătorilor și produsul numitorilor acestor fracții.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Să ne uităm la un exemplu:
Înmulțim numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și, de asemenea, înmulțim numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ ori 3)(7 \ori 3) = \frac(4)(7)\\\)

Fracția \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) a fost redusă cu 3.

Înmulțirea unei fracții cu un număr.

În primul rând, să ne amintim regula, orice număr poate fi reprezentat ca o fracție \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Să folosim această regulă atunci când înmulțim.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Fracție improprie \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertit într-o fracție mixtă.

Cu alte cuvinte, Când înmulțim un număr cu o fracție, înmulțim numărul cu numărător și lăsăm numitorul neschimbat. Exemplu:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Pentru a înmulți fracțiile mixte, trebuie mai întâi să reprezentați fiecare fracție mixtă ca o fracție improprie și apoi să utilizați regula înmulțirii. Înmulțim numărătorul cu numărătorul și înmulțim numitorul cu numitorul.

Exemplu:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Înmulțirea fracțiilor și numerelor reciproce.

Fracția \(\bf \frac(a)(b)\) este inversul fracției \(\bf \frac(b)(a)\), cu condiția a≠0,b≠0.
Fracțiile \(\bf \frac(a)(b)\) și \(\bf \frac(b)(a)\) se numesc fracții reciproce. Produsul fracțiilor reciproce este egal cu 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Exemplu:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Întrebări înrudite:
Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?
Răspuns: Produsul fracțiilor obișnuite este înmulțirea unui numărător cu un numărător, a unui numitor cu un numitor. Pentru a obține produsul fracțiilor mixte, trebuie să le convertiți într-o fracție necorespunzătoare și să le înmulțiți conform regulilor.

Cum se înmulțesc fracții cu numitori diferiți?
Răspuns: nu contează dacă fracțiile au numitori aceiași sau diferiți, înmulțirea are loc conform regulii de a găsi produsul unui numărător cu numărător, un numitor cu numitor.

Cum se înmulțesc fracțiile mixte?
Răspuns: în primul rând, trebuie să convertiți fracția mixtă într-o fracție necorespunzătoare și apoi să găsiți produsul folosind regulile de înmulțire.

Cum se înmulțește un număr cu o fracție?
Răspuns: înmulțim numărul cu numărătorul, dar numitorul lăsăm același.

Exemplul #1:
Calculați produsul: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

Soluţie:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( roșu) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Exemplul #2:
Calculați produsele unui număr și ale unei fracții: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Soluţie:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Exemplul #3:
Scrieți reciproca fracției \(\frac(1)(3)\)?
Răspuns: \(\frac(3)(1) = 3\)

Exemplul #4:
Calculați produsul a două fracții reciproc inverse: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Soluţie:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Exemplul #5:
Fracțiile reciproce pot fi:
a) concomitent cu fracțiile proprii;
b) simultan fracții improprii;
c) în acelaşi timp numere naturale?

Soluţie:
a) pentru a răspunde la prima întrebare, să dăm un exemplu. Fracția \(\frac(2)(3)\) este proprie, fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac(3)(2)\) - o fracție improprie. Raspuns: nu.

b) în aproape toate enumerările de fracții această condiție nu este îndeplinită, dar există unele numere care îndeplinesc condiția de a fi simultan o fracție improprie. De exemplu, fracția improprie este \(\frac(3)(3)\), fracția sa inversă este egală cu \(\frac(3)(3)\). Obținem două fracții improprii. Răspuns: nu întotdeauna în anumite condiții când numărătorul și numitorul sunt egali.

c) numerele naturale sunt numere pe care le folosim atunci când numărăm, de exemplu, 1, 2, 3, …. Dacă luăm numărul \(3 = \frac(3)(1)\), atunci fracția sa inversă va fi \(\frac(1)(3)\). Fracția \(\frac(1)(3)\) nu este un număr natural. Dacă parcurgem toate numerele, reciproca numărului este întotdeauna o fracție, cu excepția lui 1. Dacă luăm numărul 1, atunci fracția sa reciprocă va fi \(\frac(1)(1) = \frac(1). )(1) = 1\). Numărul 1 este un număr natural. Răspuns: pot fi simultan numere naturale doar într-un singur caz, dacă acesta este numărul 1.

Exemplul #6:
Faceți produsul fracțiilor mixte: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Soluţie:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Exemplul #7:
Două reciproce pot fi numere mixte în același timp?

Să ne uităm la un exemplu. Să luăm o fracție mixtă \(1\frac(1)(2)\), găsim fracția ei inversă, pentru a face acest lucru o transformăm într-o fracție improprie \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Fracția sa inversă va fi egală cu \(\frac(2)(3)\) . Fracția \(\frac(2)(3)\) este o fracție proprie. Răspuns: Două fracții care sunt reciproc inverse nu pot fi numere mixte în același timp.