Probleme care implică procente: calcul standard folosind proporții.
§ 125. Conceptul de proporţie.
Proporția este egalitatea a două rapoarte. Iată exemple de egalități numite proporții:
Nota. Numele cantităților din proporții nu sunt indicate.
Proporțiile sunt de obicei citite după cum urmează: 2 este la 1 (unitate), precum 10 este la 5 (prima proporție). Puteți citi diferit, de exemplu: 2 este de câte ori mai mult decât 1, de câte ori este 10 mai mult decât 5. A treia proporție poate fi citită astfel: - 0,5 este de câte ori mai mic decât 2, de câte ori 0,75 este mai mic de 3.
Se numesc numerele incluse în proporție membri ai proporţiei. Aceasta înseamnă că proporția constă din patru termeni. Primii și ultimii membri, adică membrii care stau la margini, sunt chemați extrem, iar termenii proporției situate la mijloc se numesc medie membrii. Aceasta înseamnă că în prima proporție numerele 2 și 5 vor fi termenii extremi, iar numerele 1 și 10 vor fi termenii mijlocii ai proporției.
§ 126. Principala proprietate a proporţiei.
Luați în considerare proporția:
Să-i înmulțim separat termenii extremi și medii. Produsul extremelor este 6 4 = 24, produsul celor din mijloc este 3 8 = 24.
Să luăm în considerare o altă proporție: 10: 5 = 12: 6. Să înmulțim și aici separat termenii extremi și medii.
Produsul extremelor este 10 6 = 60, produsul celor din mijloc este 5 12 = 60.
Principala proprietate a proporției: produsul termenilor extremi ai unei proporții este egal cu produsul termenilor ei medii.
ÎN vedere generală proprietatea de bază a proporției se scrie după cum urmează: ad = bc .
Să o verificăm în mai multe proporții:
1) 12: 4 = 30: 10.
Această proporție este corectă, deoarece rapoartele din care este compusă sunt egale. În același timp, luând produsul dintre termenii extremi ai proporției (12 10) și produsul termenilor săi medii (4 30), vom vedea că ei sunt egali între ei, adică.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Proporția este corectă, ceea ce este ușor de verificat prin simplificarea primului și al doilea raport. Principala proprietate a proporției va lua forma:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Nu este greu de verificat că dacă scriem o egalitate în care în partea stângă este produsul a două numere, iar în partea dreaptă produsul a altor două numere, atunci se poate face o proporție din aceste patru numere.
Să avem o egalitate care include patru numere înmulțite în perechi:
aceste patru numere pot fi termeni ai unei proporții, ceea ce nu este greu de scris dacă luăm primul produs ca produs al termenilor extremi, iar al doilea ca produs al termenilor mijlocii. Egalitatea publicată poate fi compilată, de exemplu, în următoarea proporție:
În general, din egalitate ad = bc se pot obtine urmatoarele proportii:
Faceți singur exercițiul următor. Având în vedere produsul a două perechi de numere, scrieți proporția corespunzătoare fiecărei egalități:
a) 1 6 = 2 3;
b) 2 15 = b 5.
§ 127. Calculul termenilor de proporție necunoscuți.
Proprietatea de bază a proporției vă permite să calculați oricare dintre termenii proporției dacă este necunoscut. Să luăm proporția:
X : 4 = 15: 3.
În această proporție, un membru extrem este necunoscut. Știm că în orice proporție produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii. Pe aceasta baza putem scrie:
x 3 = 4 15.
După înmulțirea lui 4 cu 15, putem rescrie această ecuație după cum urmează:
X 3 = 60.
Să luăm în considerare această egalitate. În ea, primul factor este necunoscut, al doilea factor este cunoscut și produsul este cunoscut. Știm că pentru a găsi un factor necunoscut este suficient să împărțim produsul la un alt factor (cunoscut). Apoi se va dovedi:
X = 60:3 sau X = 20.
Să verificăm rezultatul găsit înlocuind numărul 20 în loc de X in aceasta proportie:
Proporția este corectă.
Să ne gândim ce acțiuni am avut de efectuat pentru a calcula termenul extrem necunoscut al proporției. Din cei patru termeni ai proporției, doar cel extrem ne era necunoscut; erau cunoscute cele două din mijloc și extrema a doua. Pentru a găsi termenul extrem al proporției, am înmulțit mai întâi termenii de mijloc (4 și 15), apoi am împărțit produsul găsit la termenul extrem cunoscut. Acum vom arăta că acțiunile nu s-ar schimba dacă termenul extrem dorit al proporției nu ar fi pe primul loc, ci pe ultimul. Să luăm proporția:
70: 10 = 21: X .
Să notăm principala proprietate a proporției: 70 X = 10 21.
Înmulțind numerele 10 și 21, rescriem egalitatea după cum urmează:
70 X = 210.
Aici un factor este necunoscut pentru a-l calcula, este suficient să împărțiți produsul (210) la un alt factor (70);
X = 210: 70; X = 3.
Deci putem spune asta fiecare termen extrem al proporției este egal cu produsul mediilor împărțit la cealaltă extremă.
Să trecem acum la calcularea termenului mediu necunoscut. Să luăm proporția:
30: X = 27: 9.
Să scriem principala proprietate a proporției:
30 9 = X 27.
Să calculăm produsul lui 30 cu 9 și să rearanjam părțile ultimei egalități:
X 27 = 270.
Să găsim factorul necunoscut:
X = 270:27 sau X = 10.
Să verificăm cu înlocuirea:
30:10 = 27:9 Proporția este corectă.
Să luăm o altă proporție:
12: b = X : 8. Să scriem principala proprietate a proporției:
12 . 8 = 6 X . Înmulțind 12 și 8 și rearanjand părțile egalității, obținem:
6 X = 96. Aflați factorul necunoscut:
X = 96:6 sau X = 16.
Astfel, fiecare termen mediu al proporției este egal cu produsul extremelor împărțit la celălalt mijloc.
Găsiți termenii necunoscuți ai următoarelor proporții:
1) O : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .
Ultimele două reguli pot fi scrise în formă generală după cum urmează:
1) Dacă proporția arată astfel:
x: a = b: c , Asta
2) Dacă proporția arată astfel:
a: x = b: c , Asta
§ 128. Simplificarea proporției și rearanjarea termenilor ei.
În această secțiune vom deriva reguli care ne permit să simplificăm proporția în cazul în care include numere mari sau termeni fracționari. Transformările care nu încalcă proporția includ următoarele:
1. Creșterea sau scăderea simultană a ambilor termeni ai oricărui raport de același număr de ori.
EXEMPLU 40:10 = 60:15.
Înmulțind ambii termeni ai primului raport cu 3 ori, obținem:
120:30 = 60: 15.
Proporția nu a fost încălcată.
Reducând ambii termeni ai celui de-al doilea raport de 5 ori, obținem:
Am primit din nou proporția corectă.
2. Creșterea sau scăderea simultană a ambilor termeni anteriori sau a ambilor ulterioare de același număr de ori.
Exemplu. 16:8 = 40:20.
Să dublăm termenii anteriori ai ambelor relații:
Avem proporția corectă.
Să reducem termenii următori ai ambelor relații de 4 ori:
Proporția nu a fost încălcată.
Cele două concluzii obținute pot fi enunțate pe scurt după cum urmează: Proporția nu va fi încălcată dacă creștem sau scădem simultan de același număr de ori orice termen extrem al proporției și orice mijloc.
De exemplu, reducând de 4 ori prima extremă și al doilea termen mediu al proporției 16:8 = 40:20, obținem:
3. Creșterea sau scăderea simultană a tuturor termenilor proporției de același număr de ori. Exemplu. 36:12 = 60:20. Să mărim toate cele patru numere de 2 ori:
Proporția nu a fost încălcată. Să reducem toate cele patru numere de 4 ori:
Proporția este corectă.
Transformările enumerate fac posibilă, în primul rând, simplificarea proporțiilor și, în al doilea rând, eliberarea lor de termeni fracționari. Să dăm exemple.
1) Să fie o proporție:
200: 25 = 56: x .
În ea, termenii primului raport sunt numere relativ mari și dacă am vrut să găsim valoarea X , atunci ar trebui să facem calcule pe aceste numere; dar știm că proporția nu va fi încălcată dacă ambii termeni ai raportului sunt împărțiți la același număr. Să împărțim fiecare dintre ele la 25. Proporția va lua forma:
8:1 = 56: x .
Am obţinut astfel o proporţie mai convenabilă, din care X pot fi găsite în minte:
2) Să luăm proporția:
2: 1 / 2 = 20: 5.
În această proporție există un termen fracționar (1/2), de care poți scăpa. Pentru a face acest lucru, va trebui să înmulțiți acest termen, de exemplu, cu 2. Dar nu avem dreptul să creștem un termen mediu al proporției; este necesar să se mărească unul dintre membrii extremi împreună cu acesta; atunci proporția nu va fi încălcată (pe baza primelor două puncte). Să mărim primul dintre termenii extremi
(2 2) : (2 1/2) = 20:5 sau 4:1 = 20:5.
Să creștem al doilea membru extrem:
2: (2 1/2) = 20: (2 5) sau 2: 1 = 20: 10.
Să ne uităm la încă trei exemple de eliberare a proporțiilor din termeni fracționari.
Exemplul 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.
Să aducem fracțiile la un numitor comun:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Înmulțind ambii termeni ai primului raport cu 8, obținem:
Exemplul 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7. Să aducem fracțiile la un numitor comun:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Să înmulțim ambii termeni următori cu 14, obținem: 12:15 = 16:20.
Exemplul 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6.
Să înmulțim toți termenii proporției cu 48:
24: 1 = 960: 40.
Când se rezolvă probleme în care apar anumite proporții, este adesea necesară rearanjarea termenilor proporției în diferite scopuri. Să luăm în considerare care permutări sunt legale, adică nu încalcă proporțiile. Să luăm proporția:
3: 5 = 12: 20. (1)
Rearanjand termenii extremi din ea, obținem:
20: 5 = 12:3. (2)
Să rearanjam acum termenii de mijloc:
3:12 = 5: 20. (3)
Să rearanjam atât termenii extremi, cât și cei de mijloc în același timp:
20: 12 = 5: 3. (4)
Toate aceste proporții sunt corecte. Acum să punem prima relație în locul celei de-a doua, iar a doua în locul primei. Obtii proportia:
12: 20 = 3: 5. (5)
În această proporție vom face aceleași rearanjamente ca și înainte, adică vom rearanja mai întâi termenii extremi, apoi cei de mijloc și, în final, atât extremii cât și cei de mijloc în același timp. Veți obține încă trei proporții, care vor fi, de asemenea, corecte:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Deci, dintr-o proporție dată, prin rearanjare, puteți obține încă 7 proporții, care împreună cu aceasta fac 8 proporții.
Valabilitatea tuturor acestor proporții este deosebit de ușor de descoperit când scrieți cu litere. Cele 8 proporții obținute mai sus au forma:
a: b = c: d; c: d = a: b ;
d: b = c: a; b:d = a:c;
a: c = b: d; c: a = d: b;
d: c = b: a; b: a = d: c.
Este ușor de observat că în fiecare dintre aceste proporții proprietatea principală ia forma:
ad = bc.
Astfel, aceste permutări nu încalcă corectitudinea proporției și pot fi folosite dacă este necesar.
Problema 1. Grosimea a 300 de coli de hârtie pentru imprimantă este de 3,3 cm. Ce grosime va avea un pachet de 500 de coli din aceeași hârtie?
Soluţie. Fie x cm grosimea unui teanc de hârtie de 500 de coli. Există două modalități de a găsi grosimea unei foi de hârtie:
3,3: 300 sau x : 500.
Deoarece foile de hârtie sunt aceleași, aceste două rapoarte sunt egale. Obținem proporția ( memento: proporția este egalitatea a două rapoarte):
x=(3,3 · 500): 300;
x=5,5. Răspuns: ambalaj 500 foile de hârtie au o grosime 5,5 cm.
Acesta este un raționament clasic și proiectarea unei soluții la o problemă. Astfel de sarcini sunt adesea incluse în sarcini de testare pentru absolvenții care de obicei scriu soluția în această formă:
sau se decid oral, raționând astfel: dacă 300 de coli au grosimea de 3,3 cm, atunci 100 de coli au o grosime de 3 ori mai mică. Împărțiți 3,3 cu 3, obținem 1,1 cm Aceasta este grosimea unui pachet de 100 de coli. Prin urmare, 500 de foi vor avea o grosime de 5 ori mai mare, prin urmare, înmulțim 1,1 cm cu 5 și obținem răspunsul: 5,5 cm.
Desigur, acest lucru este justificat, deoarece timpul pentru testarea absolvenților și a solicitanților este limitat. Cu toate acestea, în această lecție vom raționa și vom nota soluția așa cum ar trebui făcută în 6 clasă.
Sarcina 2. Câtă apă este conținută în 5 kg de pepene, dacă se știe că pepenele este format din 98% apă?
Soluţie.
Întreaga masă a pepenelui verde (5 kg) este de 100%. Apa va fi x kg sau 98%. Există două moduri de a afla câte kg sunt în 1% din masă.
5: 100 sau x : 98. Obținem proporția:
5: 100 = x : 98.
x=(5 · 98): 100;
x=4,9 Răspuns: 5 kg pepenele verde conține 4,9 kg apă.
Masa a 21 de litri de ulei este de 16,8 kg. Care este masa a 35 de litri de ulei?
Soluţie.
Fie ca masa a 35 de litri de ulei să fie x kg. Apoi puteți găsi masa a 1 litru de ulei în două moduri:
16,8: 21 sau x : 35. Obținem proporția:
16,8: 21=x : 35.
Găsiți termenul mediu al proporției. Pentru a face acest lucru, înmulțim termenii extremi ai proporției ( 16,8 Şi 35 ) și împărțiți la termenul mediu cunoscut ( 21 ). Să reducem fracția cu 7 .
Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu 10 , astfel încât numărătorul și numitorul să conțină numai numere naturale. Reducem fracția cu 5 (5 și 10) și mai departe 3 (168 și 3).
Răspuns: 35 litrii de ulei au masa 28 kg.
După ce 82% din întregul câmp fusese arat, mai erau 9 hectare de arat. Care este suprafața întregului domeniu?
Soluţie.
Fie ca suprafața întregului câmp să fie de x hectare, care este 100%. Au mai rămas 9 hectare de arat, adică 100% - 82% = 18% din întregul câmp. Putem exprima 1% din suprafața câmpului în două moduri. Acest:
X : 100 sau 9 : 18. Alcătuim proporția:
X : 100 = 9: 18.
Găsim termenul extrem necunoscut al proporției. Pentru a face acest lucru, înmulțiți termenii medii ai proporției ( 100
Şi 9
) și împărțiți la termenul extrem cunoscut ( 18
). Reducem fracția.
Răspuns: zona întregului câmp 50 de hectare.
Pagina 1 din 1 1
Capacitatea de a calcula un procent dintr-un număr atunci când trebuie să aflați o taxă de întârziere, suma unei plăți în exces la un împrumut sau profitul unei companii dacă cifra de afaceri și markup sunt cunoscute.
- Cum să găsești un număr după procentul său?
Regulă. Pentru a găsi un număr după procentajul specificat, trebuie să împărțiți numărul dat la valoarea procentuală dată și să înmulțiți rezultatul cu 100.
Cu acest calcul, stabilim mai întâi câte unități din acest număr sunt conținute în 1% și apoi în întregul număr (100%).
De exemplu:
Un număr al cărui 23% este 52 se găsește astfel:
52: 23 * 100 = 226.1
Aceasta înseamnă că dacă numărul 226.1 este egal cu 100%, atunci numărul 52 este egal cu 23% din acest număr.
Găsim un număr al cărui 125% este 240 după cum urmează:
240: 125 * 100 = 192.
Când determinați un număr prin procentaj, rețineți că:
— dacă procentul este mai mic de 100%, atunci numărul obținut în urma calculelor este mai mare decât numărul specificat (dacă 23%< 100%, то 226,1 > 52);
— dacă procentul este mai mare de 100%, atunci numărul obținut ca rezultat al calculului este mai mic decât numărul specificat (dacă 125% > 100%, atunci 192< 240).
Prin urmare, atunci când calculați un număr în procente, pentru autocontrol trebuie să verificați:
— procentul specificat în condiție este mai mare sau mai mic de 100%;
— rezultatul unui calcul este mai mare sau mai mic decât un anumit număr.
- Cum să aflu procentul sumei în cazul general?
După aceasta, există două opțiuni:
- Dacă doriți să aflați ce procent este o altă sumă față de original, trebuie doar să o împărțiți la suma de 1% obținută mai devreme.
- Dacă aveți nevoie de o sumă care este, să zicem, 27,5% din original, trebuie să înmulțiți suma de 1% cu suma necesară a dobânzii.
- Cum se calculează un procent dintr-o sumă folosind o proporție?
Pentru a face acest lucru, va trebui să utilizați cunoștințele despre metoda proporțiilor, care este predată ca parte a cursului de matematică școlar. Va arăta astfel:
Fie A suma principală egală cu 100%, iar B suma a cărei relație cu A ca procent trebuie să știm. Notam proportia:
(X în acest caz este numărul de procente).
Conform regulilor de calcul a proporțiilor, obținem următoarea formulă:
X = 100 * V / A
Dacă trebuie să aflați cât va fi suma B dacă numărul de procente din cantitatea A este deja cunoscut, formula va arăta diferit:
B = 100 * X / A
Acum tot ce rămâne este să înlocuiți numerele cunoscute în formulă - și puteți face calculul.
- Cum se calculează procentul unei sume folosind rapoarte cunoscute?
În cele din urmă, puteți folosi mai multe într-un mod simplu. Pentru a face acest lucru, amintiți-vă că 1% ca zecimală este 0,01. În consecință, 20% este 0,2; 48% - 0,48; 37,5% este 0,375 etc. Este suficient să înmulțiți suma inițială cu numărul corespunzător - iar rezultatul va indica suma dobânzii.
În plus, uneori puteți folosi fracții simple. De exemplu, 10% este 0,1, adică 1/10, prin urmare, a afla cât este 10% este simplu: trebuie doar să împărțiți suma inițială la 10;
Alte exemple de astfel de relații ar fi:
- 12,5% - 1/8, adică trebuie să împărțiți la 8;
- 20% - 1/5, adică trebuie să împărțiți la 5;
- 25% - 1/4, adică împărțiți la 4;
- 50% - 1/2, adică trebuie împărțit în jumătate;
- 75% este 3/4, adică trebuie să împărțiți cu 4 și să înmulțiți cu 3.
Adevărat, nu toate fracții simple convenabil pentru calcularea dobânzii. De exemplu, 1/3 este aproape ca mărime de 33%, dar nu este exact egal: 1/3 este 33.(3)% (adică o fracție cu trei infinite după virgulă).
- Cum să scazi un procent dintr-o sumă fără a folosi un calculator?
Dacă trebuie să scădeți un număr necunoscut, care este o anumită sumă de procente, dintr-o sumă deja cunoscută, puteți utiliza următoarele metode:
- Calculați numărul necunoscut folosind una dintre metodele de mai sus și apoi scădeți-l din cea originală.
- Calculați imediat suma rămasă. Pentru a face acest lucru, scădeți din 100% numărul de procente care trebuie scăzute și convertiți rezultatul rezultat din procent în număr folosind oricare dintre metodele descrise mai sus.
Al doilea exemplu este mai convenabil, așa că să-l ilustrăm. Să presupunem că trebuie să aflăm cât a mai rămas dacă scădem 16% din 4779. Calculul va fi astfel:
- Scădem 16 din 100 (numărul total de procente) obținem 84.
- Calculăm cât este 84% din 4779. Obține 4014,36.
- Cum se calculează (scăde) un procent dintr-o sumă cu un calculator în mână?
Toate calculele de mai sus sunt mai ușor de făcut folosind un calculator. Poate fi fie sub forma unui dispozitiv separat, fie sub forma unui program special pe un computer, smartphone sau telefon mobil obișnuit (chiar și cele mai vechi dispozitive utilizate în prezent au de obicei această funcție). Cu ajutorul lor, întrebarea cum se calculează procentul din sumă, Solutia este foarte simpla:
- Se colectează suma inițială.
- Semnul „-” este apăsat.
- Introduceți numărul de procente pe care doriți să le scădeți.
- Semnul „%” este apăsat.
- Semnul „=” este apăsat.
Ca rezultat, numărul necesar este afișat pe ecran.
- Cum să scazi un procent dintr-o sumă folosind un calculator online?
În cele din urmă, există acum destul de multe site-uri pe Internet care oferă o funcție de calculator online. În acest caz, nici nu trebuie să știți cum se calculează procentul din sumă: toate operațiunile utilizatorului se reduc la introducerea numerelor necesare în ferestre (sau mutarea glisoarelor pentru a le obține), după care rezultatul este afișat imediat pe ecran.
Această funcție este deosebit de convenabilă pentru cei care calculează nu doar un procent abstract, ci o anumită dimensiune deducere fiscală sau cuantumul taxei de stat. Faptul este că, în acest caz, calculele sunt mai complicate: nu trebuie doar să găsiți procentele, ci și să adăugați o parte constantă a sumei acestora. Un calculator online vă permite să evitați astfel de calcule suplimentare. Principalul lucru este să alegeți un site care utilizează date care respectă legislația în vigoare.
Calculator online de dobândă:
calculator.ru - vă permite să efectuați diverse calcule atunci când lucrați cu procente;
mirurokov.ru - calculator dobândă;
Sursa informatiilor:
- nsovetnik.ru - articol despre cum se calculează procentul sumei;
Din punct de vedere matematic, o proporție este egalitatea a două rapoarte. Interdependența este caracteristică tuturor părților proporției, precum și rezultatul lor neschimbător. Puteți înțelege cum să creați o proporție familiarizându-vă cu proprietățile și formula proporției. Pentru a înțelege principiul rezolvării proporțiilor, va fi suficient să luăm în considerare un exemplu. Numai rezolvând direct proporțiile poți învăța rapid și ușor aceste abilități. Și acest articol va ajuta cititorul în acest sens.
Proprietăți ale proporției și formulei
- Inversarea proporției. În cazul în care egalitatea dată arată ca 1a: 2b = 3c: 4d, scrieți 2b: 1a = 4d: 3c. (Și 1a, 2b, 3c și 4d sunt numere prime, altele decât 0).
- Înmulțirea încrucișată a termenilor dați ai proporției. În expresie literală arată astfel: 1a: 2b = 3c: 4d, iar scrierea 1a4d = 2b3c va fi echivalentă cu aceasta. Astfel, produsul părților extreme ale oricărei proporții (numerele de la marginile egalității) este întotdeauna egal cu produsul părților din mijloc (numerele situate în mijlocul egalității).
- Când compuneți o proporție, proprietatea acesteia de a rearanja termenii extremi și medii poate fi, de asemenea, utilă. Formula egalității 1a: 2b = 3c: 4d poate fi afișată în următoarele moduri:
- 1a: 3c = 2b: 4d (când termenii de mijloc ai proporției sunt rearanjați).
- 4d: 2b = 3c: 1a (când termenii extremi ai proporției sunt rearanjați).
- Proprietatea sa de a crește și de a descrește ajută perfect la rezolvarea proporțiilor. Când 1a: 2b = 3c: 4d, scrieți:
- (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (egalitatea prin proporție crescătoare).
- (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (egalitate prin proporție descrescătoare).
- Puteți crea o proporție adunând și scăzând. Când proporția este scrisă ca 1a:2b = 3c:4d, atunci:
- (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (proporția se face prin adunare).
- (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (proporția se calculează prin scădere).
- De asemenea, atunci când rezolvați o proporție care conține numere fracționale sau mari, puteți împărți sau înmulți ambii termeni cu același număr. De exemplu, componentele proporției 70:40=320:60 pot fi scrise astfel: 10*(7:4=32:6).
- O opțiune pentru rezolvarea proporțiilor cu procente arată astfel. De exemplu, notați 30=100%, 12=x. Acum ar trebui să înmulțiți termenii de mijloc (12*100) și să împărțiți la extrema cunoscută (30). Astfel, răspunsul este: x=40%. În mod similar, dacă este necesar, puteți înmulți termenii extremi cunoscuți și îi puteți împărți la un număr mediu dat, obținând rezultatul dorit.
Dacă sunteți interesat de o anumită formulă de proporție, atunci în versiunea cea mai simplă și cea mai comună, proporția este următoarea egalitate (formulă): a/b = c/d, în care a, b, c și d sunt patru non- numere zero.
În ultima lecție video ne-am uitat la rezolvarea problemelor care implică procente folosind proporții. Apoi, în funcție de condițiile problemei, trebuia să aflăm valoarea uneia sau alteia cantități.
De data aceasta, valorile inițiale și finale ne-au fost deja date. Prin urmare, problemele vă vor cere să găsiți procente. Mai exact, cu cât la sută s-a schimbat cutare sau cutare valoare. Să încercăm.
Sarcină. Adidașii costă 3.200 de ruble. După creșterea prețului, au început să coste 4.000 de ruble. Cu ce procent a crescut prețul adidașilor?
Deci, rezolvăm prin proporție. Primul pas - prețul inițial a fost de 3.200 de ruble. Prin urmare, 3200 de ruble este 100%.
În plus, ni s-a dat prețul final - 4000 de ruble. Acesta este un procent necunoscut, așa că să-l numim x. Obținem următoarea construcție:
3200 — 100%
4000 - x%
Ei bine, starea problemei este scrisă. Să facem o proporție:
Fracția din stânga se anulează perfect cu 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Alternativ, îl puteți scurta cu 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Obținem următoarea proporție:
Să folosim proprietatea de bază a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii. Primim:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Acest lucru este comun ecuație liniară. De aici găsim x:
x = 1000: 8 = 125
Deci, am obținut procentajul final x = 125. Dar este numărul 125 o soluție a problemei? Nu, sub nicio formă! Pentru că sarcina necesită a afla cu cât la sută a crescut prețul pantofilor sport.
În ce procent - asta înseamnă că trebuie să găsim schimbarea:
∆ = 125 − 100 = 25
Am primit 25% - cu atât a crescut prețul inițial. Acesta este răspunsul: 25.
Problema B2 privind procentele nr.2
Să trecem la a doua sarcină.
Sarcină. Cămașa a costat 1800 de ruble. După ce prețul a fost redus, a început să coste 1.530 de ruble. Cu ce procent s-a redus prețul cămășii?
Să traducem condiția în limbaj matematic. Prețul inițial este de 1800 de ruble - acesta este 100%. Și prețul final este de 1.530 de ruble - îl știm, dar nu știm ce procent este din valoarea inițială. Prin urmare, o notăm cu x. Obținem următoarea construcție:
1800 — 100%
1530 - x%
Pe baza înregistrării primite, facem o proporție:
Pentru a simplifica calculele suplimentare, să împărțim ambele părți ale acestei ecuații la 100. Cu alte cuvinte, vom tăia două zerouri de la numărătorul fracțiilor din stânga și din dreapta. Primim:
Acum să folosim din nou proprietatea de bază a proporției: produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor de mijloc.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Tot ce rămâne este să găsim x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Am obținut că x = 85. Dar, ca și în problema anterioară, acest număr în sine nu este răspunsul. Să ne întoarcem la starea noastră. Acum stim ca noul pret obtinut in urma reducerii este de 85% fata de cel vechi. Și pentru a găsi modificări, aveți nevoie de prețul vechi, adică. 100%, scade pret nou, adică 85%. Primim:
∆ = 100 − 85 = 15
Acest număr va fi răspunsul: Vă rugăm să rețineți: exact 15, și în niciun caz 85. Atât! Problema este rezolvată.
Elevii atenți se vor întreba probabil: de ce în prima problemă, la găsirea diferenței, am scăzut numărul inițial din numărul final, iar în a doua problemă am făcut exact invers: din 100% inițial am scăzut 85% final?
Să fim clari în acest punct. Formal, în matematică, o modificare a unei mărimi este întotdeauna diferența dintre valoarea finală și valoarea inițială. Cu alte cuvinte, în a doua problemă ar fi trebuit să obținem nu 15, ci −15.
Cu toate acestea, acest minus nu trebuie inclus în niciun caz în răspuns, deoarece este deja luat în considerare în condițiile problemei inițiale. Spune direct despre reducerea prețului. Și o reducere de preț de 15% este aceeași cu o creștere a prețului de -15%. De aceea, în rezolvarea și răspunsul la problemă este suficient să scrieți pur și simplu 15 - fără niciun minus.
Asta e, sper că am rezolvat asta. Aceasta încheie lecția noastră de astăzi. Ne vedem din nou!