განტოლებები და უტოლობა მოდულით. უტოლობა მოდულით

მოდულებთან უტოლობების გამოვლენის მეთოდები (წესები) მოიცავს მოდულების თანმიმდევრულ გამოვლენას სუბმოდულური ფუნქციების მუდმივი ნიშნის ინტერვალების გამოყენებით. საბოლოო ვერსიაში მიიღება რამდენიმე უტოლობა, საიდანაც აღმოჩენილია პრობლემის პირობებს დამაკმაყოფილებელი ინტერვალები ან ინტერვალები.

მოდით გადავიდეთ საერთო მაგალითების პრაქტიკაში გადაჭრაზე.

წრფივი უტოლობა მოდულებით

წრფივში ვგულისხმობთ განტოლებებს, რომლებშიც ცვლადი წრფივად შედის განტოლებაში.

მაგალითი 1. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი:
ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ მოდულები გადადის ნულზე x=-1 და x=-2-ზე. ეს წერტილები რიცხვთა ხაზს ყოფს ინტერვალებად

თითოეულ ამ ინტერვალში ჩვენ ვხსნით მოცემულ უტოლობას. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ ვხატავთ სუბმოდულური ფუნქციების მუდმივი ნიშნის უბნების გრაფიკულ ნახაზებს. ისინი გამოსახულია როგორც უბნები თითოეული ფუნქციის ნიშნებით

ან ინტერვალები ყველა ფუნქციის ნიშნებით.

პირველ ინტერვალში ჩვენ ვაფართოებთ მოდულებს

ვამრავლებთ ორივე მხარეს მინუს ერთზე და უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება. თუ ამ წესთან შეგუება გაგიჭირდებათ, მინუსის მოსაშორებლად შეგიძლიათ ნიშნის უკან თითოეული ნაწილი გადაიტანოთ. ბოლოს მიიღებთ

x>-3 სიმრავლის კვეთა იმ ფართობთან, რომელზედაც ამოხსნილია განტოლებები იქნება ინტერვალი (-3;-2). მათთვის, ვისაც გადაწყვეტილებების პოვნა უადვილდება, შეგიძლიათ გრაფიკულად დახაზოთ ამ უბნების კვეთა

ტერიტორიების საერთო გადაკვეთა იქნება გამოსავალი. თუ მკაცრად არათანაბარი, კიდეები არ შედის. თუ მკაცრი არ არის, შეამოწმეთ ჩანაცვლებით.

მეორე ინტერვალზე ვიღებთ

ჯვარი მონაკვეთი იქნება ინტერვალი (-2;-5/3). გრაფიკულად გამოსავალი ასე გამოიყურება

მესამე ინტერვალზე ვიღებთ

ეს მდგომარეობა არ იძლევა გამოსავალს სასურველ რეგიონში.

ვინაიდან ნაპოვნი ორი ამონახსნი (-3;-2) და (-2;-5/3) ესაზღვრება x=-2 წერტილს, ჩვენც ვამოწმებთ.

ამგვარად, წერტილი x=-2 არის ამონახსნი. საერთო გადაწყვეტილებაამის გათვალისწინებით, ასე გამოიყურება (-3;5/3).

მაგალითი 2. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

გამოსავალი:
სუბმოდულური ფუნქციების ნულები იქნება წერტილები x=2, x=3, x=4. ამ წერტილებზე ნაკლები არგუმენტების მნიშვნელობებისთვის, სუბმოდულური ფუნქციები უარყოფითია, ხოლო უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის ისინი დადებითია.

წერტილები რეალურ ღერძს ოთხ ინტერვალად ყოფენ. ჩვენ ვაფართოებთ მოდულებს მუდმივი ნიშნის ინტერვალების მიხედვით და ვხსნით უტოლობას.

1) პირველ ინტერვალში ყველა სუბმოდულური ფუნქცია უარყოფითია, ამიტომ მოდულების გაფართოებისას ვცვლით ნიშანს საპირისპიროზე.

ნაპოვნი x მნიშვნელობების გადაკვეთა განხილულ ინტერვალთან იქნება პუნქტების ნაკრები

2) x=2 და x=3 წერტილებს შორის ინტერვალზე პირველი სუბმოდულური ფუნქცია დადებითია, მეორე და მესამე უარყოფითი. მოდულების გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ

უტოლობა, რომელიც იმ ინტერვალთან გადაკვეთისას, რომელზეც ჩვენ ვხსნით, იძლევა ერთ ამონახსანს – x=3.

3) x=3 და x=4 წერტილებს შორის ინტერვალზე პირველი და მეორე სუბმოდულური ფუნქციები დადებითია, ხოლო მესამე უარყოფითი. ამის საფუძველზე ვიღებთ

ეს პირობა აჩვენებს, რომ მთელი ინტერვალი დააკმაყოფილებს უტოლობას მოდულით.

4) x>4 მნიშვნელობებისთვის ყველა ფუნქციას აქვს დადებითი ნიშნები. მოდულების გაფართოებისას ჩვენ არ ვცვლით მათ ნიშანს.

ნაპოვნი მდგომარეობა ინტერვალთან კვეთაზე იძლევა ამონახსნების შემდეგ კომპლექტს

ვინაიდან უტოლობა ყველა ინტერვალზე წყდება, რჩება x-ის ყველა ნაპოვნი მნიშვნელობის საერთო მნიშვნელობის პოვნა. გამოსავალი იქნება ორი ინტერვალით

ამით მთავრდება მაგალითი.

მაგალითი 3. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
||x-1|-5|>3-2x

გამოსავალი:
ჩვენ გვაქვს უტოლობა მოდულთან მოდულიდან. ასეთი უთანასწორობები ვლინდება მოდულების ჩადგმისას, დაწყებული მათგან, რომლებიც უფრო ღრმაა.

სუბმოდულური ფუნქცია x-1 გარდაიქმნება ნულში x=1-ზე. 1-ს მიღმა უფრო მცირე მნიშვნელობებისთვის ეს არის უარყოფითი და დადებითი x>1-ისთვის. ამის საფუძველზე ვაფართოებთ შიდა მოდულს და განვიხილავთ უტოლობას თითოეულ ინტერვალზე.

პირველი, განიხილეთ ინტერვალი მინუს უსასრულობიდან ერთამდე

სუბმოდულური ფუნქცია არის ნული x=-4-ზე. მცირე მნიშვნელობებში ის დადებითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებით უარყოფითია. მოდით გავაფართოვოთ მოდული x-ისთვის<-4:

იმ ფართობთან კვეთაზე, რომელშიც განვიხილავთ, ვიღებთ გადაწყვეტილებების ერთობლიობას

შემდეგი ნაბიჯი არის მოდულის გაფართოება ინტერვალზე (-4;1)

მოდულის გაფართოების არეალის გათვალისწინებით, ვიღებთ გადაწყვეტის ინტერვალს

დაიმახსოვრე: თუ მოდულების ასეთი დარღვევების დროს მიიღებთ ორ ინტერვალს, რომელიც ესაზღვრება საერთო წერტილს, მაშინ, როგორც წესი, ეს ასევე გამოსავალია.

ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა შეამოწმოთ.

ამ შემთხვევაში ვცვლით x=-4 წერტილს.

ასე რომ x=-4 არის გამოსავალი.
მოდით გავაფართოვოთ შიდა მოდული x>1-ისთვის

სუბმოდულური ფუნქცია უარყოფითი x-ისთვის<6.
მოდულის გაფართოება ვიღებთ

ეს პირობა განყოფილებაში ინტერვალით (1;6) იძლევა ამონახსნების ცარიელ კომპლექტს.

x>6-ისთვის ვიღებთ უტოლობას

ასევე ამოხსნისას მივიღეთ ცარიელი ნაკრები.
ყოველივე ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით, მოდულებთან უთანასწორობის ერთადერთი გამოსავალი იქნება შემდეგი ინტერვალი.

უტოლობა კვადრატული განტოლებების შემცველი მოდულებით

მაგალითი 4. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x^2+3x|>=2-x^2

გამოსავალი:
სუბმოდულური ფუნქცია ქრება x=0, x=-3 წერტილებში. მინუს ერთის მარტივი ჩანაცვლება

ჩვენ ვადგენთ, რომ ის ნულზე ნაკლებია (-3;0) ინტერვალში და დადებითია მის მიღმა.
მოდით გავაფართოვოთ მოდული იმ ადგილებში, სადაც სუბმოდულური ფუნქცია დადებითია

რჩება რეგიონების განსაზღვრა, სადაც კვადრატის ფუნქცია დადებითია. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ კვადრატული განტოლების ფესვებს

მოხერხებულობისთვის ვცვლით x=0 წერტილს, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (-2;1/2). ფუნქცია ამ ინტერვალში უარყოფითია, რაც იმას ნიშნავს, რომ გამოსავალი იქნება შემდეგი x კომპლექტები

აქ ხსნარებით მდებარე უბნების კიდეები მითითებულია ფრჩხილებით, ეს გაკეთდა შეგნებულად, შემდეგი წესის გათვალისწინებით.

დაიმახსოვრე: თუ უტოლობა მოდულით, ან მარტივი უტოლობა მკაცრია, მაშინ ნაპოვნი უბნების კიდეები არ არის ამონახსნები, მაგრამ თუ უტოლობა არ არის მკაცრი (), მაშინ კიდეები არის ამონახსნები (აღნიშნება კვადრატული ფრჩხილებით).

ამ წესს ბევრი მასწავლებელი იყენებს: თუ მკაცრი უტოლობაა მოცემული და გამოთვლების დროს ამონახსნში ჩაწერთ კვადრატულ ფრჩხილს ([,]), ისინი ავტომატურად ჩათვლიან ამას არასწორ პასუხად. ასევე, ტესტირებისას, თუ მოდულებთან არა მკაცრი უტოლობაა მოცემული, ამონახსნებს შორის მოძებნეთ კვადრატული ფრჩხილების მქონე უბნები.

ინტერვალზე (-3;0), მოდულის გაფართოებით, ჩვენ ვცვლით ფუნქციის ნიშანს საპირისპიროზე

უთანასწორობის გამჟღავნების არეალის გათვალისწინებით, გამოსავალს ექნება ფორმა

წინა არეალთან ერთად ეს მისცემს ორ ნახევარ ინტერვალს

მაგალითი 5. იპოვნეთ უტოლობის ამონახსნი
9x^2-|x-3|>=9x-2

გამოსავალი:
მოცემულია არამკაცრი უტოლობა, რომლის სუბმოდულური ფუნქცია ტოლია ნულის x=3 წერტილში. მცირე მნიშვნელობებისთვის ის უარყოფითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის დადებითია. გააფართოვეთ მოდული x ინტერვალზე<3.

განტოლების დისკრიმინანტის პოვნა

და ფესვები

ნულის წერტილის ჩანაცვლებით ვხვდებით, რომ [-1/9;1] ინტერვალზე კვადრატული ფუნქცია უარყოფითია, შესაბამისად, ინტერვალი არის ამონახსნები. შემდეგ ჩვენ გავაფართოვებთ მოდულს x>3-ზე

მათემატიკა მეცნიერების სიბრძნის სიმბოლოა,

მეცნიერული სიმკაცრისა და სიმარტივის მოდელი,

ბრწყინვალებისა და სილამაზის სტანდარტი მეცნიერებაში.

რუსი ფილოსოფოსი, პროფესორი A.V. ვოლოშინოვი

უტოლობა მოდულით

სასკოლო მათემატიკაში ყველაზე რთული ამოსახსნელი პრობლემები უტოლობებია, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი. ასეთი უტოლობების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გქონდეთ მოდულის თვისებების კარგად ცოდნა და მათი გამოყენების უნარები.

ძირითადი ცნებები და თვისებები

რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა).აღინიშნება და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

მოდულის მარტივი თვისებები მოიცავს შემდეგ კავშირებს:

და .

Შენიშვნა, რომ ბოლო ორი თვისება მოქმედებს ნებისმიერი ლუწი ხარისხისთვის.

უფრო მეტიც, თუ სად, მაშინ და

უფრო რთული მოდულის თვისებები, რომელიც შეიძლება ეფექტურად გამოვიყენოთ განტოლებებისა და უტოლობების მოდულით ამოხსნისას, ჩამოყალიბებულია შემდეგი თეორემების მეშვეობით:

თეორემა 1.ნებისმიერი ანალიტიკური ფუნქციისთვისდა უთანასწორობა მართალია.

თეორემა 2.Თანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია.

თეორემა 3.Თანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია.

ყველაზე გავრცელებული უტოლობები სასკოლო მათემატიკაში, მოდულის ნიშნის ქვეშ უცნობი ცვლადების შემცველი, ფორმის უტოლობებიადა სად რაღაც დადებითი მუდმივი.

თეორემა 4.უთანასწორობა ორმაგი უტოლობის ტოლფასია, და უთანასწორობის ამოხსნაამცირებს უტოლობათა ნაკრების ამოხსნასდა .

ეს თეორემა არის მე-6 და მე-7 თეორემების განსაკუთრებული შემთხვევა.

უფრო რთული უტოლობები, მოდულის შემცველი ფორმის უტოლობებია, და .

ასეთი უტოლობების ამოხსნის მეთოდები შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგი სამი თეორემის გამოყენებით.

თეორემა 5.უთანასწორობა უდრის უტოლობათა ორი სისტემის ერთობლიობას

მე (1)

მტკიცებულება.Მას შემდეგ

ეს გულისხმობს (1) ვალიდობას.

თეორემა 6.უთანასწორობა უტოლობების სისტემის ტოლფასია

მტკიცებულება.რადგან, შემდეგ უთანასწორობიდანამას მოჰყვება . ამ პირობით, უთანასწორობადა ამ შემთხვევაში უტოლობების მეორე სისტემა (1) არათანმიმდევრული აღმოჩნდება.

თეორემა დადასტურებულია.

თეორემა 7.უთანასწორობა უდრის ერთი უტოლობისა და უტოლობის ორი სისტემის ერთობლიობას

მე (3)

მტკიცებულება.მას შემდეგ, უთანასწორობა ყოველთვის შესრულებული, თუ .

დაე, შემდეგ უთანასწორობაუთანასწორობის ტოლფასი იქნება, საიდანაც მოყვება ორი უტოლობის სიმრავლედა .

თეორემა დადასტურებულია.

გადავხედოთ პრობლემების გადაჭრის ტიპურ მაგალითებს თემაზე „უთანასწორობები, მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი“.

უტოლობების ამოხსნა მოდულით

ყველაზე მარტივი მეთოდიუტოლობების ამოხსნა მოდულით არის მეთოდი, მოდულის გაფართოების საფუძველზე. ეს მეთოდი უნივერსალურია, თუმცა, ზოგად შემთხვევაში, მისმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ძალიან რთული გამოთვლები. ამიტომ, მოსწავლეებმა უნდა იცოდნენ სხვა (უფრო ეფექტური) მეთოდები და ხერხები ამგვარი უტოლობების ამოხსნისათვის. Კერძოდ, აუცილებელია თეორემების გამოყენების უნარ-ჩვევები, მოცემულ სტატიაში.

მაგალითი 1.უთანასწორობის ამოხსნა

. (4)

გამოსავალი.უტოლობას (4) ამოვხსნით „კლასიკური“ მეთოდით – მოდულების გამოვლენის მეთოდით. ამ მიზნით, ჩვენ ვყოფთ რიცხვთა ღერძსწერტილები და ინტერვალებით და განიხილეთ სამი შემთხვევა.

1. თუ , მაშინ , , , და უტოლობა (4) იღებს ფორმასან .

ვინაიდან საქმე აქ განიხილება, ეს არის უთანასწორობის გადაწყვეტა (4).

2. თუ, მაშინ უტოლობიდან (4) ვიღებთან . ინტერვალების გადაკვეთიდანდა ცარიელია, მაშინ განხილული ამონახსნების ინტერვალზე არ არის უტოლობა (4).

3. თუ, მაშინ უტოლობა (4) იღებს ფორმასან . აშკარაა რომ ასევე არის უტოლობის ამოხსნა (4).

პასუხი: ,.

მაგალითი 2.უთანასწორობის ამოხსნა.

გამოსავალი.დავუშვათ, რომ. რადგან, მაშინ მოცემული უტოლობა იღებს ფორმასან . Მას შემდეგ და აქედან გამომდინარეობსან .

თუმცა, ამიტომ ან.

მაგალითი 3.უთანასწორობის ამოხსნა

. (5)

გამოსავალი.რადგან, მაშინ უტოლობა (5) უდრის უტოლობასან . აქედან, თეორემა 4-ის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს უტოლობების ნაკრებიდა .

პასუხი: ,.

მაგალითი 4.უთანასწორობის ამოხსნა

. (6)

გამოსავალი.აღვნიშნოთ. შემდეგ უტოლობიდან (6) ვიღებთ უტოლობებს , ან .

აქედან, ინტერვალის მეთოდის გამოყენებითვიღებთ . რადგან, მაშინ აქ გვაქვს უტოლობათა სისტემა

სისტემის (7) პირველი უტოლობის ამონახსნი არის ორი ინტერვალის გაერთიანებადა ხოლო მეორე უტოლობის ამოხსნა არის ორმაგი უტოლობა. ეს გულისხმობს, რომ უტოლობების სისტემის ამონახსნი (7) არის ორი ინტერვალის გაერთიანებადა .

პასუხი:,

მაგალითი 5.უთანასწორობის ამოხსნა

. (8)

გამოსავალი. მოდით გარდავქმნათ უტოლობა (8) შემდეგნაირად:

ან .

ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით, ვიღებთ უტოლობის ამოხსნას (8).

პასუხი:.

Შენიშვნა. თუ დავსვათ მე-5 თეორემას პირობებში, მივიღებთ .

მაგალითი 6.უთანასწორობის ამოხსნა

. (9)

გამოსავალი. უტოლობიდან (9) გამოდის. მოდით გარდავქმნათ უტოლობა (9) შემდეგნაირად:

ან

მას შემდეგ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 7.უთანასწორობის ამოხსნა

. (10)

გამოსავალი.მას შემდეგ, რაც და, მაშინ ან.

Ამ მხრივ და უტოლობა (10) იღებს ფორმას

ან

. (11)

აქედან გამომდინარეობს, რომ ან. ვინაიდან , მაშინ უტოლობა (11) გულისხმობს ან .

პასუხი:.

Შენიშვნა. თუ თეორემა 1-ს გამოვიყენებთ უტოლობის მარცხენა მხარეს (10), შემდეგ მივიღებთ . აქედან და უტოლობიდან (10) გამომდინარეობსრა ან . რადგან, მაშინ უტოლობა (10) იღებს ფორმასან .

მაგალითი 8.უთანასწორობის ამოხსნა

. (12)

გამოსავალი.Მას შემდეგ და უტოლობიდან (12) გამოდისან . თუმცა, ამიტომ ან. აქედან ვიღებთ ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9.უთანასწორობის ამოხსნა

. (13)

გამოსავალი.მე-7 თეორემის მიხედვით, უტოლობის ამონახსნი (13) არის ან.

დაე ახლა იყოს. Ამ შემთხვევაში და უტოლობა (13) იღებს ფორმასან .

თუ შეუთავსებთ ინტერვალებსდა მაშინ ვიღებთ ამონახსნის ფორმის (13) უტოლობას.

მაგალითი 10.უთანასწორობის ამოხსნა

. (14)

გამოსავალი.გადავწეროთ უტოლობა (14) ეკვივალენტური ფორმით: . თუ თეორემა 1-ს გამოვიყენებთ ამ უტოლობის მარცხენა მხარეს, მივიღებთ უტოლობას.

აქედან და თეორემა 1-დან გამომდინარეობს, რომ უტოლობა (14) დაკმაყოფილებულია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

პასუხი: ნებისმიერი ნომერი.

მაგალითი 11.უთანასწორობის ამოხსნა

. (15)

გამოსავალი. 1 თეორემის გამოყენება უტოლობის მარცხენა მხარეს (15), ვიღებთ . ეს და უტოლობა (15) იძლევა განტოლებას, რომელსაც აქვს ფორმა.

თეორემა 3-ის მიხედვით, განტოლება უთანასწორობის ტოლფასია. აქედან ვიღებთ.

მაგალითი 12.უთანასწორობის ამოხსნა

. (16)

გამოსავალი. უტოლობიდან (16), მე-4 თეორემის მიხედვით, ვიღებთ უტოლობათა სისტემას

უტოლობის ამოხსნისასგამოვიყენოთ თეორემა 6 და მივიღოთ უტოლობების სისტემასაიდანაც გამომდინარეობს.

განვიხილოთ უთანასწორობა. მე-7 თეორემის მიხედვით, ვიღებთ უტოლობების ერთობლიობასდა . მოსახლეობის მეორე უთანასწორობა მოქმედებს ნებისმიერი რეალურისთვის.

აქედან გამომდინარე, უტოლობის ამონახსნი (16) არის.

მაგალითი 13.უთანასწორობის ამოხსნა

. (17)

გამოსავალი.თეორემა 1-ის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

(18)

უტოლობის (17) გათვალისწინებით, დავასკვნით, რომ ორივე უტოლობა (18) იქცევა თანასწორებად, ე.ი. არსებობს განტოლებათა სისტემა

მე-3 თეორემის მიხედვით, განტოლებათა ეს სისტემა უტოლობების სისტემის ტოლფასია

ან

მაგალითი 14.უთანასწორობის ამოხსნა

. (19)

გამოსავალი.Მას შემდეგ. მოდით გავამრავლოთ უტოლობის ორივე მხარე (19) გამოსახულებით, რომელიც ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის იღებს მხოლოდ დადებითი ღირებულებები. შემდეგ მივიღებთ უტოლობას, რომელიც უტოლდება ფორმის უტოლობას (19).

აქედან ვიღებთ ან სად. მას შემდეგ, რაც და მაშინ უტოლობის ამონახსნი (19) არისდა .

პასუხი: ,.

უტოლობების მოდულით ამოხსნის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, გირჩევთ მიმართოთ სახელმძღვანელოებს, მოცემულია რეკომენდებული ლიტერატურის ჩამონათვალში.

1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ.: მშვიდობა და განათლება, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: უტოლობების ამოხსნისა და დამტკიცების მეთოდები. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264გვ.

3. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: არასტანდარტული მეთოდებიპრობლემის გადაჭრა. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296გვ.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

რიცხვების მოდულითავად ამ რიცხვს უწოდებენ, თუ ის არაუარყოფითია, ან იგივე რიცხვს საპირისპირო ნიშნით, თუ ის უარყოფითია.

მაგალითად, რიცხვი 6-ის მოდული არის 6, ხოლო -6 რიცხვის მოდული ასევე არის 6.

ანუ რიცხვის მოდული გაგებულია, როგორც აბსოლუტური მნიშვნელობა, ამ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშე.

იგი ინიშნება შემდეგნაირად: |6|, | X|, |ა| და ა.შ.

(დამატებითი ინფორმაცია განყოფილებაში "ნომრის მოდული").

განტოლებები მოდულით.

მაგალითი 1 . ამოხსენით განტოლება|10 X - 5| = 15.

გამოსავალი.

წესის მიხედვით, განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Ჩვენ ვწყვეტთ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

უპასუხე: X 1 = 2, X 2 = -1.

მაგალითი 2 . ამოხსენით განტოლება|2 X + 1| = X + 2.

გამოსავალი.

ვინაიდან მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ X+ 2 ≥ 0. შესაბამისად:

X ≥ -2.

მოდით გავაკეთოთ ორი განტოლება:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Ჩვენ ვწყვეტთ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

ორივე რიცხვი -2-ზე მეტია. ასე რომ, ორივე არის განტოლების ფესვები.

უპასუხე: X 1 = -1, X 2 = 1.

მაგალითი 3 . ამოხსენით განტოლება

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

გამოსავალი.

განტოლებას აქვს აზრი, თუ მნიშვნელი არ არის ნული - ეს ნიშნავს თუ X≠ 1. გავითვალისწინოთ ეს პირობა. ჩვენი პირველი ქმედება მარტივია - ჩვენ უბრალოდ არ ვაშორებთ წილადს, არამედ გარდაქმნით მას ისე, რომ მივიღოთ მოდული მისი სუფთა სახით:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

ახლა ჩვენ გვაქვს მხოლოდ გამონათქვამი განტოლების მარცხენა მხარეს მოდულის ქვეშ. Განაგრძე.
რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი - ანუ ის უნდა იყოს ნულზე მეტი ან ნულის ტოლი. შესაბამისად, ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს მეორე პირობა: განტოლების ფესვი უნდა იყოს მინიმუმ 3/4.

წესის მიხედვით, ჩვენ ვადგენთ ორი განტოლების ერთობლიობას და ვხსნით მათ:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

ორი პასუხი მივიღეთ. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ისინი საწყისი განტოლების ფესვები.

ჩვენ გვქონდა ორი პირობა: განტოლების ფესვი არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი და ის უნდა იყოს მინიმუმ 3/4. ანუ X ≠ 1, X≥ 3/4. ორივე ეს პირობა შეესაბამება მიღებული ორი პასუხიდან მხოლოდ ერთს - რიცხვს 2. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ ეს არის საწყისი განტოლების ფესვი.

უპასუხე: X = 2.

უტოლობა მოდულით.

მაგალითი 1 . უთანასწორობის ამოხსნა| X - 3| < 4

გამოსავალი.

მოდულის წესი ამბობს:

|ა| = ა, თუ ა ≥ 0.

|ა| = -ა, თუ ა < 0.

მოდულს შეიძლება ჰქონდეს როგორც არაუარყოფითი, ასევე უარყოფითი რიცხვები. ამიტომ ორივე შემთხვევა უნდა განვიხილოთ: X- 3 ≥ 0 და X - 3 < 0.

1) როდის X- 3 ≥ 0 ჩვენი საწყისი უტოლობა რჩება ისეთი, როგორიც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:
X - 3 < 4.

2) როდის X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

ფრჩხილების გახსნისას მივიღებთ:

-X + 3 < 4.

ამრიგად, ამ ორი პირობიდან მივედით უთანასწორობის ორი სისტემის გაერთიანებამდე:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

მოდით მოვაგვაროთ ისინი:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

ასე რომ, ჩვენი პასუხი არის ორი სიმრავლის გაერთიანება:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

განსაზღვრეთ ყველაზე პატარა და უმაღლესი ღირებულება. ეს არის -1 და 7. უფრო მეტიც X-1-ზე მეტი, მაგრამ 7-ზე ნაკლები.
გარდა ამისა, X≥ 3. ეს ნიშნავს, რომ უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1-დან 7-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების გამოკლებით.

უპასუხე: -1 < X < 7.

ან: X ∈ (-1; 7).

დანამატები.

1) არსებობს უფრო მარტივი და მოკლე გზა ჩვენი უთანასწორობის გადასაჭრელად - გრაფიკულად. ამისათვის თქვენ უნდა დახაზოთ ჰორიზონტალური ღერძი (ნახ. 1).

გამოხატულება | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Xმე-3 პუნქტამდე ოთხ ერთეულზე ნაკლებია. ღერძზე ვნიშნავთ რიცხვს 3 და ვითვლით 4 განყოფილებას მარცხნივ და მარჯვნივ. მარცხნივ მივალთ -1 წერტილამდე, მარჯვნივ - 7 წერტილამდე. ამრიგად, წერტილები Xჩვენ უბრალოდ ვნახეთ ისინი მათი გამოთვლის გარეშე.

უფრო მეტიც, უტოლობის პირობის მიხედვით, თავად -1 და 7 არ შედის ამონახსნების სიმრავლეში. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ პასუხს:

1 < X < 7.

2) მაგრამ არის კიდევ ერთი გამოსავალი, რომელიც უფრო მარტივია, ვიდრე გრაფიკული მეთოდი. ამისათვის ჩვენი უტოლობა უნდა იყოს წარმოდგენილი შემდეგი სახით:

4 < X - 3 < 4.

მოდულის წესის მიხედვით ხომ ასეა. არაუარყოფითი რიცხვი 4 და მსგავსი უარყოფითი რიცხვი -4 არის უტოლობის ამოხსნის საზღვრები.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

მაგალითი 2 . უთანასწორობის ამოხსნა| X - 2| ≥ 5

გამოსავალი.

ეს მაგალითი მნიშვნელოვნად განსხვავდება წინა მაგალითისგან. მარცხენა მხარე 5-ზე მეტია ან 5-ის ტოლია. გეომეტრიული თვალსაზრისით, უტოლობის ამონახსნი არის ყველა რიცხვი, რომელიც 2 წერტილიდან 5 ერთეულზე ან მეტ მანძილზეა (ნახ. 2). გრაფიკი აჩვენებს, რომ ეს არის ყველა რიცხვი, რომელიც არის -3-ზე ნაკლები ან ტოლი და მეტი ან ტოლი 7-ის. ეს ნიშნავს, რომ პასუხი უკვე მივიღეთ.

უპასუხე: -3 ≥ X ≥ 7.

გზაზე, ჩვენ ვხსნით იმავე უტოლობას თავისუფალი ტერმინის გადალაგებით მარცხნივ და მარჯვნივ საპირისპირო ნიშნით:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

პასუხი იგივეა: -3 ≥ X ≥ 7.

ან: X ∈ [-3; 7]

მაგალითი მოგვარებულია.

მაგალითი 3 . უთანასწორობის ამოხსნა 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

გამოსავალი.

ნომერი Xშეიძლება იყოს დადებითი რიცხვი, უარყოფითი რიცხვი ან ნული. ამიტომ სამივე გარემოება უნდა გავითვალისწინოთ. როგორც მოგეხსენებათ, ისინი გათვალისწინებულია ორ უტოლობაში: X≥ 0 და X < 0. При X≥ 0 ჩვენ უბრალოდ გადავიწერთ ჩვენს თავდაპირველ უტოლობას, როგორც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

ახლა მეორე შემთხვევის შესახებ: თუ X < 0. Модулем უარყოფითი რიცხვიიგივე რიცხვია საპირისპირო ნიშნით. ანუ, ჩვენ ვწერთ რიცხვს მოდულის ქვეშ საპირისპირო ნიშნით და კვლავ ვითავისუფლებთ მოდულის ნიშნისგან:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

ფრჩხილების გაფართოება:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ განტოლების ორი სისტემა:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობები სისტემებში - და ეს ნიშნავს, რომ უნდა ვიპოვოთ ორი კვადრატული განტოლების ფესვები. ამისათვის ჩვენ უტოლობების მარცხენა მხარეებს ვატოლებთ ნულს.

დავიწყოთ პირველით:

6X 2 - X - 2 = 0.

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება - იხილეთ განყოფილება ” Კვადრატული განტოლება" ჩვენ დაუყოვნებლივ დავასახელებთ პასუხს:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

უტოლობათა პირველი სისტემიდან ვიღებთ, რომ თავდაპირველი უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1/2-დან 2/3-მდე. ჩვენ ვწერთ გადაწყვეტილებების გაერთიანებას X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ახლა გადავწყვიტოთ მეორე კვადრატული განტოლება:

6X 2 + X - 2 = 0.

მისი ფესვები:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

დასკვნა: როდის X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

მოდით გავაერთიანოთ ორი პასუხი და მივიღოთ საბოლოო პასუხი: ამონახსნი არის რიცხვების მთელი ნაკრები -2/3-დან 2/3-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების ჩათვლით.

უპასუხე: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

ან: X ∈ [-2/3; 2/3].

მოდულის შემცველი უტოლობების ამოხსნის რამდენიმე გზა არსებობს. მოდით შევხედოთ ზოგიერთ მათგანს.

1) უტოლობის ამოხსნა მოდულის გეომეტრიული თვისების გამოყენებით.

ნება მომეცით შეგახსენოთ რა არის გეომეტრიული თვისებამოდული: x რიცხვის მოდული არის მანძილი საწყისიდან x კოორდინატით წერტილამდე.

ამ მეთოდის გამოყენებით უტოლობების გადაჭრისას შეიძლება წარმოიშვას ორი შემთხვევა:

1. |x| ≤ ბ,

და უტოლობა მოდულით აშკარად მცირდება ორი უტოლობის სისტემამდე. აქ ნიშანი შეიძლება იყოს მკაცრი, ამ შემთხვევაში სურათზე წერტილები იქნება "პუნქცია".

2. |x| ≥ ბ,მაშინ გამოსავლის სურათი ასე გამოიყურება:

და უტოლობა მოდულით აშკარად მცირდება ორი უტოლობის კომბინაციამდე. აქ ნიშანი შეიძლება იყოს მკაცრი, ამ შემთხვევაში სურათზე წერტილები იქნება "პუნქცია".

მაგალითი 1.

ამოხსენით უტოლობა |4 – |x|| ≥ 3.

გამოსავალი.

ეს უტოლობა უდრის შემდეგ სიმრავლეს:

U [-1;1] U

მაგალითი 2.

ამოხსენით უტოლობა ||x+2| – 3| ≤ 2.

გამოსავალი.

ეს უტოლობა უდრის შემდეგ სისტემას.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

ცალ-ცალკე გადავჭრათ სისტემის პირველი უტოლობა. ეს უდრის შემდეგ კომპლექტს:

U[-1; 3].

2) უტოლობების ამოხსნა მოდულის განსაზღვრის გამოყენებით.

ჯერ შეგახსენებთ მოდულის განმარტება.

|ა| = a თუ a ≥ 0 და |a| = -a თუ ა< 0.

მაგალითად, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

მაგალითი 1.

ამოხსენით უტოლობა 3|x – 1| ≤ x+3.

გამოსავალი.

მოდულის განმარტების გამოყენებით ჩვენ ვიღებთ ორ სისტემას:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

პირველი და მეორე სისტემების ცალ-ცალკე გადაჭრით, ვიღებთ:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

საწყისი უტოლობის გამოსავალი იქნება პირველი სისტემის ყველა ამონახსნი და მეორე სისტემის ყველა ამონახვა.

პასუხი: x €.

3) უტოლობების ამოხსნა კვადრატში.

მაგალითი 1.

ამოხსენით უტოლობა |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

გამოსავალი.

მოდი უტოლობის ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ. ნება მომეცით აღვნიშნო, რომ შესაძლებელია უტოლობის ორივე მხარის კვადრატი მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი ორივე დადებითია. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გვაქვს მოდულები მარცხნივ და მარჯვნივ, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება.

(| x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

ახლა გამოვიყენოთ მოდულის შემდეგი თვისება: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით.

პასუხი: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) უტოლობების ამოხსნა ცვლადების შეცვლით.

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

გამოსავალი.

გაითვალისწინეთ, რომ (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . შემდეგ მივიღებთ უთანასწორობას

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

გავაკეთოთ ცვლილება y = |2x + 3|.

გადავიწეროთ ჩვენი უტოლობა ჩანაცვლების გათვალისწინებით.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

მოდით მარცხნივ კვადრატული ტრინომილის ფაქტორიზირება.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

მოდით ამოვხსნათ ინტერვალის მეთოდით და მივიღოთ:

დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

ეს ორმაგი უტოლობა უდრის უტოლობათა სისტემას:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

მოდით გადავჭრათ თითოეული უტოლობა ცალ-ცალკე.

პირველი არის სისტემის ტოლფასი

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

მოდი მოვაგვაროთ.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

მეორე უტოლობა აშკარად მოქმედებს ყველა x-ისთვის, ვინაიდან მოდული, განსაზღვრებით, დადებითი რიცხვია. ვინაიდან სისტემის ამონახსნი არის ყველა x, რომელიც ერთდროულად აკმაყოფილებს სისტემის პირველ და მეორე უტოლობას, მაშინ თავდაპირველი სისტემის ამონახსნი იქნება მისი პირველი ორმაგი უტოლობა (ბოლოს და ბოლოს, მეორე მართალია ყველა x-სთვის) .

პასუხი: x € [-4,5; 1.5].

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.