წრფივი უტოლობათა სისტემა მოდულით. განტოლებები და უტოლობა მოდულით

მოდულებთან უტოლობების გამოვლენის მეთოდები (წესები) მოიცავს მოდულების თანმიმდევრულ გამოვლენას სუბმოდულური ფუნქციების მუდმივი ნიშნის ინტერვალების გამოყენებით. საბოლოო ვერსიაში მიიღება რამდენიმე უტოლობა, საიდანაც აღმოჩენილია პრობლემის პირობებს დამაკმაყოფილებელი ინტერვალები ან ინტერვალები.

მოდით გადავიდეთ საერთო მაგალითების პრაქტიკაში გადაჭრაზე.

წრფივი უტოლობა მოდულებით

წრფივში ვგულისხმობთ განტოლებებს, რომლებშიც ცვლადი წრფივად შედის განტოლებაში.

მაგალითი 1. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა

გამოსავალი:
ამოცანის პირობებიდან გამომდინარეობს, რომ მოდულები გადადის ნულზე x=-1 და x=-2. ეს წერტილები რიცხვთა წრფეს ინტერვალებად ყოფს

თითოეულ ამ ინტერვალში ჩვენ ვხსნით მოცემულ უტოლობას. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ ვადგენთ სუბმოდულური ფუნქციების მუდმივი ნიშნის უბნების გრაფიკულ ნახაზებს. ისინი გამოსახულია როგორც უბნები თითოეული ფუნქციის ნიშნებით

ან ინტერვალები ყველა ფუნქციის ნიშნებით.

პირველ ინტერვალში ჩვენ ვაფართოებთ მოდულებს

ვამრავლებთ ორივე მხარეს მინუს ერთზე და უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება. თუ ამ წესთან შეგუება გაგიჭირდებათ, მინუსის მოსაშორებლად შეგიძლიათ ნიშნის უკან თითოეული ნაწილი გადაიტანოთ. ბოლოს მიიღებთ

x>-3 სიმრავლის კვეთა იმ ფართობთან, რომელზედაც ამოხსნილია განტოლებები იქნება ინტერვალი (-3;-2). მათთვის, ვისაც გადაწყვეტილებების პოვნა უადვილდება, შეგიძლიათ გრაფიკულად დახაზოთ ამ უბნების კვეთა

ტერიტორიების საერთო გადაკვეთა იქნება გამოსავალი. თუ მკაცრად არათანაბარი, კიდეები არ შედის. თუ მკაცრი არ არის, შეამოწმეთ ჩანაცვლებით.

მეორე ინტერვალზე ვიღებთ

ჯვარი მონაკვეთი იქნება ინტერვალი (-2;-5/3). გრაფიკულად გამოსავალი ასე გამოიყურება

მესამე ინტერვალზე ვიღებთ

ეს მდგომარეობა არ იძლევა გამოსავალს სასურველ რეგიონში.

ვინაიდან ნაპოვნი ორი ამონახსნი (-3;-2) და (-2;-5/3) ესაზღვრება x=-2 წერტილს, ჩვენც ვამოწმებთ.

ამგვარად, წერტილი x=-2 არის ამონახსნი. საერთო გადაწყვეტილებაამის გათვალისწინებით, ასე გამოიყურება (-3;5/3).

მაგალითი 2. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

გამოსავალი:
სუბმოდულური ფუნქციების ნულები იქნება წერტილები x=2, x=3, x=4. ამ წერტილებზე ნაკლები არგუმენტების მნიშვნელობებისთვის, სუბმოდულური ფუნქციები უარყოფითია, ხოლო უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის ისინი დადებითია.

წერტილები რეალურ ღერძს ოთხ ინტერვალად ყოფენ. ჩვენ ვაფართოებთ მოდულებს მუდმივი ნიშნის ინტერვალების მიხედვით და ვხსნით უტოლობას.

1) პირველ ინტერვალში ყველა სუბმოდულური ფუნქცია უარყოფითია, ამიტომ მოდულების გაფართოებისას ვცვლით ნიშანს საპირისპიროზე.

ნაპოვნი x მნიშვნელობების გადაკვეთა განხილულ ინტერვალთან იქნება პუნქტების ნაკრები

2) x=2 და x=3 წერტილებს შორის ინტერვალზე პირველი სუბმოდულური ფუნქცია დადებითია, მეორე და მესამე უარყოფითი. მოდულების გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ

უტოლობა, რომელიც იმ ინტერვალთან გადაკვეთისას, რომელზეც ჩვენ ვხსნით, იძლევა ერთ ამონახსანს – x=3.

3) x=3 და x=4 წერტილებს შორის ინტერვალზე პირველი და მეორე სუბმოდულური ფუნქციები დადებითია, ხოლო მესამე უარყოფითი. ამის საფუძველზე ვიღებთ

ეს პირობა აჩვენებს, რომ მთელი ინტერვალი დააკმაყოფილებს უტოლობას მოდულით.

4) x>4 მნიშვნელობებისთვის ყველა ფუნქციას აქვს დადებითი ნიშნები. მოდულების გაფართოებისას ჩვენ არ ვცვლით მათ ნიშანს.

ნაპოვნი მდგომარეობა ინტერვალთან კვეთაზე იძლევა ამონახსნების შემდეგ კომპლექტს

ვინაიდან უტოლობა ყველა ინტერვალზე წყდება, რჩება x-ის ყველა ნაპოვნი მნიშვნელობის საერთო მნიშვნელობის პოვნა. გამოსავალი იქნება ორი ინტერვალით

ამით დასრულდა მაგალითი.

მაგალითი 3. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
||x-1|-5|>3-2x

გამოსავალი:
ჩვენ გვაქვს უტოლობა მოდულთან მოდულისგან. ასეთი უთანასწორობები ვლინდება მოდულების ჩადგმისას, დაწყებული მათგან, რომლებიც უფრო ღრმაა.

სუბმოდულური ფუნქცია x-1 გარდაიქმნება ნულში x=1-ზე. 1-ს მიღმა უფრო მცირე მნიშვნელობებისთვის ეს არის უარყოფითი და დადებითი x>1-ისთვის. ამის საფუძველზე ვაფართოებთ შიდა მოდულს და განვიხილავთ უტოლობას თითოეულ ინტერვალზე.

პირველი, განიხილეთ ინტერვალი მინუს უსასრულობიდან ერთამდე

სუბმოდულური ფუნქცია არის ნული x=-4-ზე. მცირე მნიშვნელობებში ის დადებითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებით უარყოფითია. მოდით გავაფართოვოთ მოდული x-ისთვის<-4:

იმ ფართობთან კვეთაზე, რომელშიც განვიხილავთ, ვიღებთ გადაწყვეტილებების ერთობლიობას

შემდეგი ნაბიჯი არის მოდულის გაფართოება ინტერვალზე (-4;1)

მოდულის გაფართოების არეალის გათვალისწინებით, ვიღებთ გადაწყვეტის ინტერვალს

დაიმახსოვრე: თუ მოდულების ასეთი დარღვევების დროს მიიღებთ ორ ინტერვალს, რომელიც ესაზღვრება საერთო წერტილს, მაშინ, როგორც წესი, ეს ასევე გამოსავალია.

ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა შეამოწმოთ.

ამ შემთხვევაში ვცვლით x=-4 წერტილს.

ასე რომ x=-4 არის გამოსავალი.
მოდით გავაფართოვოთ შიდა მოდული x>1-ისთვის

სუბმოდულური ფუნქცია უარყოფითი x-ისთვის<6.
მოდულის გაფართოება ვიღებთ

ეს მდგომარეობა განყოფილებაში ინტერვალით (1;6) იძლევა ამონახსნების ცარიელ კომპლექტს.

x>6-ისთვის ვიღებთ უტოლობას

ასევე ამოხსნისას მივიღეთ ცარიელი ნაკრები.
ყოველივე ზემოთქმულის გათვალისწინებით, მოდულებთან უთანასწორობის ერთადერთი გამოსავალი იქნება შემდეგი ინტერვალი.

უტოლობა კვადრატული განტოლებების შემცველი მოდულებით

მაგალითი 4. იპოვნეთ უტოლობის ამოხსნა
|x^2+3x|>=2-x^2

გამოსავალი:
სუბმოდულური ფუნქცია ქრება x=0, x=-3 წერტილებში. მინუს ერთის მარტივი ჩანაცვლება

ჩვენ ვადგენთ, რომ ის არის ნულზე ნაკლები ინტერვალში (-3;0) და დადებითი მის მიღმა.
მოდით გავაფართოვოთ მოდული იმ ადგილებში, სადაც სუბმოდულური ფუნქცია დადებითია

რჩება რეგიონების განსაზღვრა, სადაც კვადრატის ფუნქცია დადებითია. ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ კვადრატული განტოლების ფესვებს

მოხერხებულობისთვის ვცვლით წერტილს x=0, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (-2;1/2). ფუნქცია ამ ინტერვალში უარყოფითია, რაც იმას ნიშნავს, რომ გამოსავალი იქნება შემდეგი x კომპლექტები

აქ გადაწყვეტილებების მქონე უბნების კიდეები მითითებულია ფრჩხილებით, ეს გაკეთდა შეგნებულად, შემდეგი წესის გათვალისწინებით.

დაიმახსოვრე: თუ უტოლობა მოდულით, ან მარტივი უტოლობა მკაცრია, მაშინ ნაპოვნი უბნების კიდეები არ არის ამონახსნები, მაგრამ თუ უტოლობა არ არის მკაცრი (), მაშინ კიდეები არის ამონახსნები (აღნიშნება კვადრატული ფრჩხილებით).

ამ წესს ბევრი მასწავლებელი იყენებს: თუ მკაცრი უტოლობაა მოცემული და გამოთვლების დროს ამონახსნში ჩაწერთ კვადრატულ ფრჩხილს ([,]), ისინი ავტომატურად ჩათვლიან ამას არასწორ პასუხად. ასევე, ტესტირებისას, თუ მოდულებთან არა მკაცრი უტოლობაა მოცემული, ამონახსნებს შორის მოძებნეთ კვადრატული ფრჩხილების მქონე უბნები.

ინტერვალზე (-3;0), მოდულის გაფართოებით, ჩვენ ვცვლით ფუნქციის ნიშანს საპირისპიროზე

უთანასწორობის გამჟღავნების არეალის გათვალისწინებით, გამოსავალს ექნება ფორმა

წინა არეალთან ერთად ეს მისცემს ორ ნახევარ ინტერვალს

მაგალითი 5. იპოვნეთ უტოლობის ამონახსნი
9x^2-|x-3|>=9x-2

გამოსავალი:
მოცემულია არამკაცრი უტოლობა, რომლის სუბმოდულური ფუნქცია ტოლია ნულის x=3 წერტილში. მცირე მნიშვნელობებისთვის ის უარყოფითია, უფრო დიდი მნიშვნელობებისთვის დადებითია. გააფართოვეთ მოდული x ინტერვალზე<3.

განტოლების დისკრიმინანტის პოვნა

და ფესვები

ნულის წერტილის შემცვლელით აღმოვაჩენთ, რომ [-1/9;1] ინტერვალზე კვადრატული ფუნქცია უარყოფითია, შესაბამისად, ინტერვალი არის ამონახსნი. შემდეგ ჩვენ გავაფართოვებთ მოდულს x>3-ზე

დღეს, მეგობრებო, არ იქნება სნეული და სენტიმენტალურობა. სამაგიეროდ, მე გამოგიგზავნით მე-8-მე-9 კლასის ალგებრის კურსში ერთ-ერთ ყველაზე ძლიერ მოწინააღმდეგესთან, კითხვის გარეშე, ბრძოლაში.

დიახ, თქვენ სწორად გაიგეთ ყველაფერი: ჩვენ ვსაუბრობთ უტოლობებზე მოდულით. ჩვენ განვიხილავთ ოთხ ძირითად ტექნიკას, რომლითაც თქვენ ისწავლით ამგვარი პრობლემების დაახლოებით 90%-ის გადაჭრას. რაც შეეხება დანარჩენ 10%-ს? კარგად, მათზე ვისაუბრებთ ცალკე გაკვეთილზე.

თუმცა, სანამ რომელიმე ტექნიკას გავაანალიზებ, მინდა შეგახსენოთ ორი ფაქტი, რომელიც უკვე უნდა იცოდეთ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ რისკავთ, რომ საერთოდ არ გაიგოთ დღევანდელი გაკვეთილის მასალა.

რაც უკვე უნდა იცოდეთ

როგორც ჩანს, კაპიტანი ცხადყოფს მიანიშნებს, რომ უტოლობების მოდულით გადასაჭრელად თქვენ უნდა იცოდეთ ორი რამ:

1. როგორ წყდება უთანასწორობა;
2. რა არის მოდული?

დავიწყოთ მეორე პუნქტით.

მოდულის განმარტება

აქ ყველაფერი მარტივია. არსებობს ორი განმარტება: ალგებრული და გრაფიკული. დასაწყისისთვის - ალგებრული:

განმარტება. $x$ რიცხვის მოდული არის ან თავად რიცხვი, თუ ის არაუარყოფითია, ან მისი საპირისპირო რიცხვი, თუ ორიგინალი $x$ მაინც უარყოფითია.

ასე წერია:

\[\მარცხნივ| x \მარჯვნივ|=\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ლაპარაკი მარტივი ენით, მოდული არის "რიცხვი მინუსის გარეშე". და სწორედ ამ ორმაგობაში (ზოგ ადგილას თქვენ არაფრის გაკეთება არ გჭირდებათ თავდაპირველ რიცხვთან, მაგრამ ზოგან უნდა ამოიღოთ რაიმე სახის მინუსი) არის ის, სადაც არის მთელი სირთულე დამწყები სტუდენტებისთვის.

ასევე არსებობს გეომეტრიული განმარტება. ასევე სასარგებლოა ვიცოდეთ, მაგრამ მას მხოლოდ რთულ და ზოგიერთ განსაკუთრებულ შემთხვევებში მივმართავთ, სადაც გეომეტრიული მიდგომა უფრო მოსახერხებელია ვიდრე ალგებრული (სპოილერი: დღეს არა).

განმარტება. მოდით, წერტილი $a$ იყოს მონიშნული რიცხვით წრფეზე. შემდეგ მოდული $\left| x-a \right|$ არის მანძილი $x$ წერტილიდან $a$-მდე ამ წრფეზე.

თუ ნახატს დახატავთ, მიიღებთ ასეთ რამეს:

გრაფიკული მოდულის განმარტება

ამა თუ იმ გზით, მოდულის განმარტებიდან, მისი ძირითადი თვისება დაუყოვნებლივ მოჰყვება: რიცხვის მოდული ყოველთვის არაუარყოფითი სიდიდეა. ეს ფაქტი იქნება წითელი ძაფი, რომელიც გადის მთელ ჩვენს თხრობაში დღეს.

უტოლობების ამოხსნა. ინტერვალის მეთოდი

ახლა მოდით შევხედოთ უთანასწორობებს. ბევრი მათგანია, მაგრამ ახლა ჩვენი ამოცანაა შევძლოთ მათგან სულ მცირე უმარტივესი ამოხსნა. ისინი, რომლებიც მცირდება წრფივ უტოლობამდე, ასევე ინტერვალის მეთოდამდე.

მე მაქვს ორი დიდი გაკვეთილი ამ თემაზე (სხვათა შორის, ძალიან, ძალიან სასარგებლო - გირჩევთ მათ შესწავლას):

1. უტოლობების ინტერვალის მეთოდი (განსაკუთრებით ნახეთ ვიდეო);
2. წილადი რაციონალური უტოლობა ძალიან ვრცელი გაკვეთილია, მაგრამ ამის შემდეგ თქვენ საერთოდ არ გექნებათ შეკითხვები.

თუ თქვენ იცით ეს ყველაფერი, თუ ფრაზა "მოდით გადავიდეთ უთანასწორობიდან განტოლებაზე" არ გაგიჩნდებათ კედელთან დარტყმის ბუნდოვანი სურვილი, მაშინ მზად ხართ: კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება ჯოჯოხეთში გაკვეთილის მთავარ თემაზე :)

1. „მოდული ნაკლებია ფუნქციაზე“ ფორმის უტოლობები.

ეს არის მოდულების ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული პრობლემა. საჭიროა ფორმის უტოლობის ამოხსნა:

\[\მარცხნივ| f\right| \ltg\]

$f$ და $g$ ფუნქციები შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ ჩვეულებრივ ისინი პოლინომებია. ასეთი უტოლობების მაგალითები:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ| \lt x+7; \\ & \მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ|+3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0; \\ & \მარცხნივ| ((x)^(2))-2\მარცხნივ| x \მარჯვნივ|-3 \მარჯვნივ| \lt 2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ყველა მათგანი შეიძლება გადაწყდეს სიტყვასიტყვით ერთ ხაზზე შემდეგი სქემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \მარცხნივ(\Rightarrow \მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\ბოლო(გასწორება) \მართალია მართალია)\]

ადვილი მისახვედრია, რომ ჩვენ ვიშორებთ მოდულს, მაგრამ სანაცვლოდ ვიღებთ ორმაგ უტოლობას (ან, რაც იგივეა, ორი უტოლობის სისტემას). მაგრამ ეს გადასვლა ითვალისწინებს აბსოლუტურად ყველაფერს შესაძლო პრობლემები: თუ მოდულის ქვეშ რიცხვი დადებითია, მეთოდი მუშაობს; თუ უარყოფითია, ის მაინც მუშაობს; და თუნდაც ყველაზე არაადეკვატური ფუნქციით $f$ ან $g$-ის ნაცვლად, მეთოდი მაინც იმუშავებს.

ბუნებრივია, ჩნდება კითხვა: არ შეიძლებოდა ეს უფრო მარტივი იყოს? სამწუხაროდ, ეს შეუძლებელია. ეს არის მოდულის მთელი აზრი.

თუმცა, საკმარისია ფილოსოფოსი. მოდით მოვაგვაროთ რამდენიმე პრობლემა:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ| \lt x+7\]

გამოსავალი. ასე რომ, ჩვენ წინ გვაქვს ფორმის კლასიკური უტოლობა "მოდული ნაკლებია" - გარდასახვაც კი არაფერია. ჩვენ ვმუშაობთ ალგორითმის მიხედვით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & \მარცხნივ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \მარცხნივ| 2x+3 \მარჯვნივ| \lt x+7\მარჯვენა ისარი -\მარცხნივ(x+7 \მარჯვნივ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ნუ იჩქარებთ ფრჩხილების გახსნას, რომელსაც წინ უძღვის „მინუსი“: სავსებით შესაძლებელია, რომ თქვენი აჩქარებისას დაუშვათ შეურაცხმყოფელი შეცდომა.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ\( \დაწყება(გასწორება) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

პრობლემა შემცირდა ორ ელემენტარულ უთანასწორობამდე. მოდით აღვნიშნოთ მათი ამონახსნები პარალელური რიცხვითი წრფეებზე:

ბევრის კვეთა

ამ კომპლექტების კვეთა იქნება პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \მარჯვნივ)$

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ|+3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \lt 0\]

გამოსავალი. ეს ამოცანა ცოტა უფრო რთულია. პირველი, მოდით გამოვყოთ მოდული მეორე ტერმინის მარჯვნივ გადაადგილებით:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \lt -3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)\]

ცხადია, ჩვენ კვლავ გვაქვს ფორმის უთანასწორობა „მოდული უფრო მცირეა“, ასე რომ, მოდულს ვაშორებთ უკვე ცნობილი ალგორითმის გამოყენებით:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \მარჯვნივ)\]

ახლა ყურადღება: ვიღაც იტყვის, რომ მე ცოტა გარყვნილი ვარ ყველა ამ ფრჩხილებით. მაგრამ კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ ჩვენი მთავარი მიზანია სწორად ამოხსენით უტოლობა და მიიღეთ პასუხი. მოგვიანებით, როდესაც სრულყოფილად აითვისებთ ამ გაკვეთილზე აღწერილი ყველაფერს, შეგიძლიათ თავად გადააკეთოთ ის, როგორც გსურთ: გახსენით ფრჩხილები, დაამატეთ მინუსები და ა.შ.

დასაწყისისთვის, ჩვენ უბრალოდ მოვიშორებთ მარცხნივ ორმაგ მინუსს:

\[-\left(-3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-3 \მარჯვნივ)\cdot \მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ) =3\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)\]

ახლა გავხსნათ ყველა ფრჩხილები ორმაგ უტოლობაში:

გადავიდეთ ორმაგ უტოლობაზე. ამჯერად გამოთვლები უფრო სერიოზული იქნება:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი(გასწორება) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( გასწორება)\მარჯვნივ.\]

ორივე უტოლობა კვადრატულია და შეიძლება ამოხსნას ინტერვალის მეთოდით (ამიტომ ვამბობ: თუ არ იცით ეს რა არის, სჯობს ჯერ არ აიღოთ მოდულები). გადავიდეთ განტოლებაზე პირველ უტოლობაში:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\ მარცხენა (x+5 \მარჯვნივ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\ბოლო (გასწორება)\]

როგორც ხედავთ, გამომავალი არის არასრული კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია ელემენტარული გზით. ახლა მოდით შევხედოთ სისტემის მეორე უტოლობას. აქ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ვიეტას თეორემა:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ აღვნიშნავთ მიღებულ რიცხვებს ორ პარალელურ წრფეზე (განცალკევებულია პირველი უტოლობისთვის და ცალკე მეორესთვის):

ისევ, ვინაიდან ჩვენ ვხსნით უტოლობათა სისტემას, გვაინტერესებს დაჩრდილული სიმრავლეთა კვეთა: $x\in \left(-5;-2 \right)$. ეს არის პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(-5;-2 \მარჯვნივ)$

მე ვფიქრობ, რომ ამ მაგალითების შემდეგ გადაწყვეტის სქემა ძალიან ნათელია:

1. მოდულის იზოლირება ყველა სხვა ტერმინის გადატანით უტოლობის საპირისპირო მხარეს. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ $\left| ფორმის უტოლობას f\right| \ltg$.
2. მოაგვარეთ ეს უთანასწორობა მოდულის მოშორებით ზემოთ აღწერილი სქემის მიხედვით. რაღაც მომენტში, საჭირო იქნება ორმაგი უთანასწორობიდან გადასვლა ორი დამოუკიდებელი გამონათქვამის სისტემაზე, რომელთაგან თითოეული უკვე შეიძლება ცალკე გადაიჭრას.
3. დაბოლოს, რჩება მხოლოდ ამ ორი დამოუკიდებელი გამონათქვამის ამონახსნების გადაკვეთა - და ეს არის ის, ჩვენ მივიღებთ საბოლოო პასუხს.

მსგავსი ალგორითმი არსებობს შემდეგი ტიპის უტოლობებისთვის, როდესაც მოდული მეტი ფუნქციები. თუმცა, არსებობს რამდენიმე სერიოზული "მაგრამ". ამ "მაგრამ" ახლა ვისაუბრებთ.

2. „მოდული მეტია ფუნქციაზე“ ფორმის უტოლობები.

ისინი ასე გამოიყურებიან:

\[\მარცხნივ| f\right| \gtg\]

წინას მსგავსი? Როგორც ჩანს. და მაინც, ასეთი პრობლემები სულ სხვაგვარად წყდება. ფორმალურად, სქემა შემდეგია:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt g\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\ბოლო(გასწორება) \მარჯვნივ.\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ განვიხილავთ ორ შემთხვევას:

1. პირველ რიგში, ჩვენ უბრალოდ უგულებელყოფთ მოდულს და ვხსნით ჩვეულებრივ უტოლობას;
2. შემდეგ, არსებითად, ჩვენ გავაფართოვებთ მოდულს მინუს ნიშნით და შემდეგ ვამრავლებთ უტოლობის ორივე მხარეს -1-ზე, ხოლო მე მაქვს ნიშანი.

ამ შემთხვევაში, ვარიანტები გაერთიანებულია კვადრატულ ფრჩხილთან, ე.ი. ჩვენ წინაშე გვაქვს ორი მოთხოვნის კომბინაცია.

კიდევ ერთხელ გაითვალისწინეთ: ეს არ არის სისტემა, არამედ მთლიანობა პასუხში სიმრავლეები უფრო გაერთიანებულია, ვიდრე იკვეთება. ეს ფუნდამენტური განსხვავებაწინა წერტილიდან!

ზოგადად, ბევრი სტუდენტი მთლიანად დაბნეულია გაერთიანებებთან და კვეთებთან, ასე რომ, მოდით, ერთხელ და სამუდამოდ მოვაგვაროთ ეს საკითხი:

• "∪" არის კავშირის ნიშანი. არსებითად, ეს არის სტილიზებული ასო "U", რომელიც ჩვენამდე მოვიდა ინგლისურადდა არის „კავშირის“ აბრევიატურა, ე.ი. "ასოციაციები".
• "∩" არის კვეთის ნიშანი. ეს სისულელე არსაიდან მოსულა, მაგრამ უბრალოდ "∪"-ის კონტრაპუნქტი იყო.

დასამახსოვრებლად კიდევ უფრო გაადვილეთ, უბრალოდ მიაპყრეთ ფეხები ამ ნიშნებს სათვალეების გასაკეთებლად (უბრალოდ ახლა ნუ დამაბრალებთ ნარკომანიის და ალკოჰოლიზმის ხელშეწყობას: თუ სერიოზულად სწავლობთ ამ გაკვეთილს, მაშინ უკვე ნარკომანი ხართ):

განსხვავება სიმრავლეთა კვეთასა და გაერთიანებას შორის

რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს შემდეგს: გაერთიანება (მთლიანობა) მოიცავს ელემენტებს ორივე კომპლექტიდან, ამიტომ ის არანაირად არ არის თითოეულ მათგანზე ნაკლები; მაგრამ კვეთა (სისტემა) მოიცავს მხოლოდ იმ ელემენტებს, რომლებიც ერთდროულად არიან როგორც პირველ კომპლექტში, ასევე მეორეში. მაშასადამე, კომპლექტების კვეთა არასოდეს არის უფრო დიდი ვიდრე წყაროს ნაკრები.

ასე უფრო ნათელი გახდა? Დიდებულია. მოდით გადავიდეთ პრაქტიკაზე.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| 3x+1 \მარჯვნივ| \gt 5-4x\]

გამოსავალი. ჩვენ ვაგრძელებთ სქემის მიხედვით:

\[\მარცხნივ| 3x+1 \მარჯვნივ| \gt 5-4x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\მარცხნივ(5-4x \მარჯვნივ) \\\ბოლო (გასწორება) \ მართალია.\]

ჩვენ ვხსნით თითოეულ უთანასწორობას პოპულაციაში:

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\ მარცხნივ[ \ დასაწყისი (გასწორება) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

\[\მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ აღვნიშნავთ თითოეულ მიღებულ კომპლექტს რიცხვით ხაზზე და შემდეგ ვაკავშირებთ მათ:

კომპლექტების გაერთიანება

აშკარაა, რომ პასუხი იქნება $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

პასუხი: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \მარჯვნივ)$

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \gt x\]

გამოსავალი. კარგად? არაფერი - ყველაფერი იგივეა. ჩვენ გადავდივართ მოდულის მქონე უტოლობიდან ორი უტოლობის სიმრავლეზე:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+2x-3 \მარჯვნივ| \gt x\მარჯვენა ისარი \მარცხნივ[ \დაწყება(გასწორება) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ ვხსნით ყველა უთანასწორობას. სამწუხაროდ, ფესვები იქ არ იქნება ძალიან კარგი:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე უტოლობა ასევე ცოტა ველურია:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ახლა თქვენ უნდა მონიშნოთ ეს რიცხვები ორ ღერძზე - ერთი ღერძი თითოეული უტოლობისთვის. თუმცა, თქვენ უნდა მონიშნოთ ქულები სწორი თანმიმდევრობით: ვიდრე უფრო დიდი რაოდენობა, მით უფრო გადავიტანთ წერტილს მარჯვნივ.

და აქ დაყენება გველოდება. თუ ყველაფერი ნათელია $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (პირველის მრიცხველის ტერმინები წილადი ნაკლებია მეორეს მრიცხველში მოცემულ წევრებზე, ამიტომ ჯამი ასევე ნაკლებია, რიცხვებით $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt). (21))(2)$ ასევე არ იქნება სირთულეები (პოზიტიური რიცხვი აშკარად უფრო უარყოფითია), მაშინ ბოლო წყვილთან ყველაფერი არც ისე ნათელია. რომელია უფრო დიდი: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ თუ $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? პუნქტების განთავსება რიცხვით ხაზებზე და, ფაქტობრივად, პასუხი დამოკიდებული იქნება ამ კითხვაზე პასუხზე.

ასე რომ შევადაროთ:

\[\begin(მატრიცა) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end (მატრიცა)\]

ჩვენ გამოვყავით ფესვი, მივიღეთ არაუარყოფითი რიცხვები უტოლობის ორივე მხარეს, ასე რომ, გვაქვს უფლება ორივე მხარის კვადრატში:

\[\begin(მატრიცა) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\ბოლო(მატრიცა)\]

ვფიქრობ, უაზროა, რომ $4\sqrt(13) \gt 3$, ამიტომ $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, ბოლო წერტილები ღერძებზე განთავსდება ასე:

მახინჯი ფესვების საქმე

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ ვხსნით კომპლექტს, ამიტომ პასუხი იქნება გაერთიანება და არა დაჩრდილული კომპლექტების გადაკვეთა.

პასუხი: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

როგორც ხედავთ, ჩვენი სქემა მშვენივრად მუშაობს როგორც მარტივი, ასევე ძალიან რთული პრობლემებისთვის. ერთადერთი რამ" სისუსტე”ამ მიდგომით, თქვენ უნდა კომპეტენტურად შეადაროთ ირაციონალური რიცხვები (და მერწმუნეთ: ეს არ არის მხოლოდ ფესვები). მაგრამ ცალკე (და ძალიან სერიოზული) გაკვეთილი დაეთმობა შედარების საკითხებს. და ჩვენ მივდივართ.

3. უტოლობები არაუარყოფითი „კუდებით“

ახლა ჩვენ მივდივართ ყველაზე საინტერესო ნაწილზე. ეს არის ფორმის უტოლობები:

\[\მარცხნივ| f\right| \gt\მარცხნივ| g\right|\]

ზოგადად რომ ვთქვათ, ალგორითმი, რომელზეც ახლა ვისაუბრებთ, სწორია მხოლოდ მოდულისთვის. ის მუშაობს ყველა უტოლობაში, სადაც არის გარანტირებული არაუარყოფითი გამონათქვამები მარცხნივ და მარჯვნივ:

რა ვუყოთ ამ ამოცანებს? უბრალოდ გახსოვდეთ:

არაუარყოფითი „კუდების“ მქონე უთანასწორობებში ორივე მხარე შეიძლება აიწიოს ნებისმიერ ბუნებრივ ძალამდე. დამატებითი შეზღუდვები არ იქნება.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ დავინტერესდებით კვადრატში - ის წვავს მოდულებს და ფესვებს:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ მარცხენა (\sqrt(f) \მარჯვნივ))^(2))=f. \\\ბოლო (გასწორება)\]

უბრალოდ არ აურიოთ ეს კვადრატის ფესვის აღებაში:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\მარცხნივ| f \right|\ne f\]

უთვალავი შეცდომა დაუშვა, როცა სტუდენტს დაავიწყდა მოდულის დაყენება! მაგრამ ეს სრულიად განსხვავებული ამბავია (ეს ჰგავს ირაციონალური განტოლებები), ასე რომ, ჩვენ ახლა არ შევალთ ამაზე. მოდით უკეთ გადავწყვიტოთ რამდენიმე პრობლემა:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ|\ge \მარცხნივ| 1-2x \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. მაშინვე შევამჩნიოთ ორი რამ:

1. ეს არ არის მკაცრი უთანასწორობა. რიცხვითი ხაზის წერტილები პუნქცია იქნება.
2. უტოლობის ორივე მხარე აშკარად არაუარყოფითია (ეს არის მოდულის თვისება: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია უტოლობის ორივე მხარე კვადრატში, რათა მოვიშოროთ მოდული და მოვაგვაროთ პრობლემა ჩვეულებრივი ინტერვალის მეთოდით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ (\ მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2))\ge ((\ მარცხნივ(\მარცხნივ| 1-2x \მარჯვნივ| \მარჯვნივ) )^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))^(2))\ge ((\ მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩართულია ბოლო ნაბიჯიცოტა მოვიტყუე: შევცვალე ტერმინების თანმიმდევრობა, ვისარგებლე მოდულის თანასწორობით (ფაქტობრივად, გამონათქვამი $1-2x$ გავამრავლე −1-ზე).

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\ მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ))^(2))-((\left(x+2 \მარჯვნივ))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \მარჯვნივ)-\left(x+2 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ)\cdot \left(\left(2x-1 \მარჯვნივ)+\მარცხნივ(x+2 \ მარჯვენა)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(x-3 \მარჯვნივ)\cdot \left(3x+1 \მარჯვნივ)\le 0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. გადავიდეთ უტოლობიდან განტოლებაზე:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\ბოლო (გასწორება)\]

აღმოჩენილ ფესვებს ვნიშნავთ რიცხვთა წრფეზე. კიდევ ერთხელ: ყველა წერტილი დაჩრდილულია, რადგან თავდაპირველი უთანასწორობა არ არის მკაცრი!

მოდულის ნიშნის მოშორება

განსაკუთრებით ჯიუტებს შეგახსენებთ: ნიშნებს ვიღებთ ბოლო უტოლობიდან, რომელიც განტოლებაზე გადასვლამდე იყო ჩაწერილი. და ჩვენ ვხატავთ საჭირო უბნებს იმავე უთანასწორობით. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

კარგი ახლა ყველაფერი დასრულდა. პრობლემა მოგვარებულია.

პასუხი: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \მარჯვნივ]$.

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| ((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ|\le \მარცხნივ| ((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ|\]

გამოსავალი. ჩვენ ყველაფერს ერთნაირად ვაკეთებთ. კომენტარს არ გავაკეთებ - უბრალოდ გადახედე მოქმედებების თანმიმდევრობას.

მოედანზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\ მარცხნივ(\ მარცხნივ| ((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ| \მარჯვნივ))^(2))\le ((\მარცხნივ(\მარცხნივ |. ((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ|. \\ & ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ))^(2))\le ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ))^(2)); \\ & ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+x+1 \მარჯვნივ))^(2))-((\ left(((x)^(2))+3x+4 \ მარჯვნივ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \მარჯვნივ)\ჯერ \\ & \ჯერ \მარცხნივ(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \მარჯვნივ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \მარჯვნივ)\left(2((x)^(2))+4x+5 \მარჯვნივ)\le 0. \\\ბოლო(გასწორება)\]

ინტერვალის მეთოდი:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & \მარცხნივ(-2x-3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2((x)^(2))+4x+5 \მარჯვნივ)=0 \\ & -2x-3=0\ მარჯვენა ისარი x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

რიცხვთა წრფეზე მხოლოდ ერთი ფესვია:

პასუხი არის მთელი ინტერვალი

პასუხი: $x\in \left[ -1.5;+\infty \მარჯვნივ)$.

მცირე შენიშვნა ბოლო დავალების შესახებ. როგორც ჩემმა ერთ-ერთმა სტუდენტმა ზუსტად აღნიშნა, ორივე სუბმოდულური გამონათქვამი ამ უთანასწორობაში აშკარად დადებითია, ამიტომ მოდულის ნიშანი შეიძლება გამოტოვოთ ჯანმრთელობისთვის ზიანის მიყენების გარეშე.

მაგრამ ეს არის აზროვნების სრულიად განსხვავებული დონე და განსხვავებული მიდგომა - მას პირობითად შეიძლება ეწოდოს შედეგების მეთოდი. ამის შესახებ - ცალკე გაკვეთილზე. ახლა გადავიდეთ დღევანდელი გაკვეთილის ბოლო ნაწილზე და გადავხედოთ უნივერსალურ ალგორითმს, რომელიც ყოველთვის მუშაობს. მაშინაც კი, როცა ყველა წინა მიდგომა უძლური იყო :)

4. ვარიანტების ჩამოთვლის მეთოდი

რა მოხდება, თუ ყველა ეს ტექნიკა არ დაეხმარება? თუ უთანასწორობა ვერ დაიყვანება არაუარყოფით კუდებამდე, თუ შეუძლებელია მოდულის იზოლირება, თუ ზოგადად არის ტკივილი, სევდა, სევდა?

შემდეგ ყველა მათემატიკის „მძიმე არტილერია“ გამოდის სცენაზე - უხეში ძალის მეთოდი. მოდულით უტოლობებთან მიმართებაში ასე გამოიყურება:

1. ჩამოწერეთ ყველა სუბმოდულური გამონათქვამი და დააყენეთ ისინი ნულის ტოლი;
2. ამოხსენით მიღებული განტოლებები და მონიშნეთ ერთ რიცხვით წრფეზე ნაპოვნი ფესვები;
3. სწორი ხაზი დაიყოფა რამდენიმე მონაკვეთად, რომლის ფარგლებშიც თითოეულ მოდულს აქვს ფიქსირებული ნიშანი და ამიტომ ცალსახად ვლინდება;
4. ამოხსენით უტოლობა თითოეულ ასეთ მონაკვეთზე (შეგიძლიათ ცალ-ცალკე განიხილოთ მე-2 საფეხურზე მიღებული ფესვები-საზღვრები - სანდოობისთვის). შეუთავსეთ შედეგები - ეს იქნება პასუხი.

მაშ როგორ? სუსტი? მარტივად! მხოლოდ დიდი ხნის განმავლობაში. ვნახოთ პრაქტიკაში:

დავალება. ამოხსენით უტოლობა:

\[\მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-\frac(3)(2)\]

გამოსავალი. ეს სისულელე არ იშლება უტოლობებით, როგორიცაა $\left| f\right| \lt g$, $\მარცხენა| f\right| \gt g$ ან $\მარცხენა| f\right| \lt \მარცხნივ| g \right|$, ასე რომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ წინ.

ჩვენ ვწერთ სუბმოდულურ გამოსახულებებს, ვატოლებთ მათ ნულს და ვიპოვით ფესვებს:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+2=0\მარჯვენა ისარი x=-2; \\ & x-1=0\მარჯვენა ისარი x=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

საერთო ჯამში, ჩვენ გვაქვს ორი ფესვი, რომელიც ყოფს რიცხვთა ხაზს სამ ნაწილად, რომლის ფარგლებშიც თითოეული მოდული გამოვლინდება ცალსახად:

რიცხვითი წრფის დაყოფა სუბმოდულური ფუნქციების ნულებით

მოდით შევხედოთ თითოეულ განყოფილებას ცალკე.

1. მოდით $x \lt -2$. მაშინ ორივე სუბმოდულური გამონათქვამი უარყოფითია და თავდაპირველი უტოლობა გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\დაწყება(გასწორება) & -\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ) \lt -\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ მივიღეთ საკმაოდ მარტივი შეზღუდვა. მოდით გადავკვეთოთ იგი საწყისი ვარაუდით, რომ $x \lt -2$:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვენა ისარი x\varnothing\]

ცხადია, $x$ ცვლადი ერთდროულად არ შეიძლება იყოს −2-ზე ნაკლები და 1,5-ზე მეტი. ამ სფეროში გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

1.1. ცალკე განვიხილოთ სასაზღვრო შემთხვევა: $x=-2$. მოდით ჩავანაცვლოთ ეს რიცხვი თავდაპირველ უტოლობაში და შევამოწმოთ: მართალია?

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & ((\მარცხნივ. \მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-1.5 \მარჯვნივ|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \მარცხნივ| -3\მარჯვნივ|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\მარჯვენა arrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

აშკარაა, რომ გამოთვლების ჯაჭვმა მიგვიყვანა არასწორ უთანასწორობამდე. მაშასადამე, თავდაპირველი უტოლობაც მცდარია და $x=-2$ არ შედის პასუხში.

2. მოდით ახლა $-2 \lt x \lt 1$. მარცხენა მოდული უკვე გაიხსნება „პლუს“-ით, მაგრამ მარჯვენა მაინც გაიხსნება „მინუსით“. Ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება) & x+2 \lt -\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ კვლავ ვკვეთთ თავდაპირველ მოთხოვნას:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვნივ ისარი x\in \varnothing \]

და ისევ, ამონახსნთა სიმრავლე ცარიელია, რადგან არ არსებობს რიცხვები, რომლებიც −2,5-ზე ნაკლები და −2-ზე მეტია.

2.1. და ისევ სპეციალური შემთხვევა: $x=1$. ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ უტოლობას:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & ((\მარცხნივ. \მარცხნივ| x+2 \მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| x-1 \მარჯვნივ|+x-1.5 \მარჯვნივ|)_(x=1)) \\ & \მარცხნივ| 3\მარჯვნივ| \lt \მარცხნივ| 0 \მარჯვნივ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\ბოლო (გასწორება)\]

წინა „განსაკუთრებული შემთხვევის“ მსგავსად, რიცხვი $x=1$ აშკარად არ შედის პასუხში.

3. ხაზის ბოლო ნაწილი: $x \gt 1$. აქ ყველა მოდული იხსნება პლუს ნიშნით:

\[\ დასაწყისი (გასწორება) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \ბოლო (გასწორება)\ ]

და ისევ ჩვენ ვკვეთთ ნაპოვნი სიმრავლეს თავდაპირველ შეზღუდვას:

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი (გასწორება) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\ბოლო (გასწორება) \მარჯვნივ.\მარჯვენა ისარი x\მარცხნივ (4.5;+\infty \მარჯვნივ)\ ]

ბოლოს და ბოლოს! ჩვენ ვიპოვეთ ინტერვალი, რომელიც იქნება პასუხი.

პასუხი: $x\in \left(4,5;+\infty \მარჯვნივ)$

დაბოლოს, ერთი შენიშვნა, რომელიც შეიძლება გიხსნას სულელური შეცდომებისგან რეალური პრობლემების გადაჭრისას:

უტოლობების ამონახსნები მოდულით, როგორც წესი, წარმოადგენს რიცხვთა წრფეზე უწყვეტ სიმრავლეს - ინტერვალებსა და სეგმენტებს. იზოლირებული წერტილები გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია. და კიდევ უფრო იშვიათად, ხდება, რომ ამოხსნის საზღვარი (სეგმენტის დასასრული) ემთხვევა განსახილველი დიაპაზონის საზღვარს.

შესაბამისად, თუ საზღვრები (იგივე „განსაკუთრებული შემთხვევები“) არ არის შეტანილი პასუხში, მაშინ ამ საზღვრებიდან მარცხნივ და მარჯვნივ მდებარე უბნები თითქმის არ ჩაირთვება პასუხში. და პირიქით: პასუხში შემოვიდა საზღვარი, რაც იმას ნიშნავს, რომ მის ირგვლივ რამდენიმე ადგილიც იქნება პასუხები.

გაითვალისწინეთ ეს თქვენი გადაწყვეტილებების განხილვისას.

რიცხვების მოდულითავად ამ რიცხვს უწოდებენ, თუ ის არაუარყოფითია, ან იგივე რიცხვს საპირისპირო ნიშნით, თუ ის უარყოფითია.

მაგალითად, რიცხვი 6-ის მოდული არის 6, ხოლო -6 რიცხვის მოდული ასევე არის 6.

ანუ რიცხვის მოდული გაგებულია, როგორც აბსოლუტური მნიშვნელობა, ამ რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა მისი ნიშნის გათვალისწინების გარეშე.

იგი ინიშნება შემდეგნაირად: |6|, | X|, |ა| და ა.შ.

(დამატებითი ინფორმაცია განყოფილებაში "ნომრის მოდული").

განტოლებები მოდულით.

მაგალითი 1 . ამოხსენით განტოლება|10 X - 5| = 15.

გამოსავალი.

წესის მიხედვით, განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Ჩვენ ვწყვეტთ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

უპასუხე: X 1 = 2, X 2 = -1.

მაგალითი 2 . ამოხსენით განტოლება|2 X + 1| = X + 2.

გამოსავალი.

ვინაიდან მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი, მაშინ X+ 2 ≥ 0. შესაბამისად:

X ≥ -2.

მოდით გავაკეთოთ ორი განტოლება:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Ჩვენ ვწყვეტთ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

ორივე რიცხვი -2-ზე მეტია. ასე რომ, ორივე არის განტოლების ფესვები.

უპასუხე: X 1 = -1, X 2 = 1.

მაგალითი 3 . ამოხსენით განტოლება

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

გამოსავალი.

განტოლებას აქვს აზრი, თუ მნიშვნელი არ არის ნული - ეს ნიშნავს თუ X≠ 1. გავითვალისწინოთ ეს პირობა. ჩვენი პირველი მოქმედება მარტივია - ჩვენ არ ვიშორებთ წილადს, არამედ გარდაქმნით მას ისე, რომ მივიღოთ მოდული მისი სუფთა სახით:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

ახლა ჩვენ გვაქვს მხოლოდ გამონათქვამი განტოლების მარცხენა მხარეს მოდულის ქვეშ. Განაგრძე.
რიცხვის მოდული არის არაუარყოფითი რიცხვი - ანუ ის უნდა იყოს ნულზე მეტი ან ნულის ტოლი. შესაბამისად, ჩვენ ვხსნით უტოლობას:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს მეორე პირობა: განტოლების ფესვი უნდა იყოს მინიმუმ 3/4.

წესის მიხედვით, ჩვენ ვადგენთ ორი განტოლების ერთობლიობას და ვხსნით მათ:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

ორი პასუხი მივიღეთ. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ისინი საწყისი განტოლების ფესვები.

ჩვენ გვქონდა ორი პირობა: განტოლების ფესვი არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი და უნდა იყოს მინიმუმ 3/4. ანუ X ≠ 1, X≥ 3/4. ორივე ეს პირობა შეესაბამება მიღებული ორი პასუხიდან მხოლოდ ერთს - რიცხვს 2. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ ეს არის საწყისი განტოლების ფესვი.

უპასუხე: X = 2.

უტოლობა მოდულით.

მაგალითი 1 . უთანასწორობის ამოხსნა| X - 3| < 4

გამოსავალი.

მოდულის წესი ამბობს:

|ა| = ა, თუ ა ≥ 0.

|ა| = -ა, თუ ა < 0.

მოდულს შეიძლება ჰქონდეს როგორც არაუარყოფითი, ასევე უარყოფითი რიცხვები. ამიტომ ორივე შემთხვევა უნდა განვიხილოთ: X- 3 ≥ 0 და X - 3 < 0.

1) როდის X- 3 ≥ 0 ჩვენი საწყისი უტოლობა რჩება ისეთივე, როგორიც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:
X - 3 < 4.

2) როდის X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

ფრჩხილების გახსნისას მივიღებთ:

-X + 3 < 4.

ამრიგად, ამ ორი პირობიდან მივედით უთანასწორობის ორი სისტემის გაერთიანებამდე:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

მოდით მოვაგვაროთ ისინი:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

ასე რომ, ჩვენი პასუხი არის ორი სიმრავლის გაერთიანება:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

განსაზღვრეთ ყველაზე პატარა და უმაღლესი ღირებულება. ეს არის -1 და 7. უფრო მეტიც X-1-ზე მეტი, მაგრამ 7-ზე ნაკლები.
გარდა ამისა, X≥ 3. ეს ნიშნავს, რომ უტოლობის გამოსავალი არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1-დან 7-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების გამოკლებით.

უპასუხე: -1 < X < 7.

ან: X ∈ (-1; 7).

დანამატები.

1) არსებობს უფრო მარტივი და მოკლე გზა ჩვენი უთანასწორობის გადასაჭრელად - გრაფიკულად. ამისათვის თქვენ უნდა დახაზოთ ჰორიზონტალური ღერძი (ნახ. 1).

გამოხატულება | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Xმე-3 პუნქტამდე ოთხ ერთეულზე ნაკლებია. ღერძზე ვნიშნავთ რიცხვს 3 და ვითვლით 4 განყოფილებას მარცხნივ და მარჯვნივ. მარცხნივ მივალთ -1 წერტილამდე, მარჯვნივ - 7 წერტილამდე. ამრიგად, წერტილები Xჩვენ უბრალოდ ვნახეთ ისინი მათი გამოთვლის გარეშე.

უფრო მეტიც, უტოლობის პირობის მიხედვით, თავად -1 და 7 არ შედის ამონახსნების სიმრავლეში. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ პასუხს:

1 < X < 7.

2) მაგრამ არის კიდევ ერთი გამოსავალი, რომელიც უფრო მარტივია, ვიდრე გრაფიკული მეთოდი. ამისათვის ჩვენი უტოლობა უნდა იყოს წარმოდგენილი შემდეგი სახით:

4 < X - 3 < 4.

მოდულის წესის მიხედვით ხომ ასეა. არაუარყოფითი რიცხვი 4 და მსგავსი უარყოფითი რიცხვი -4 არის უტოლობის ამოხსნის საზღვრები.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

მაგალითი 2 . უთანასწორობის ამოხსნა| X - 2| ≥ 5

გამოსავალი.

ეს მაგალითი მნიშვნელოვნად განსხვავდება წინა მაგალითისგან. მარცხენა მხარე 5-ზე მეტია ან 5-ის ტოლია. გეომეტრიული თვალსაზრისით, უტოლობის ამონახსნი არის ყველა რიცხვი, რომელიც 2 წერტილიდან 5 ერთეულზე ან მეტ მანძილზეა (ნახ. 2). გრაფიკი აჩვენებს, რომ ეს არის ყველა რიცხვი, რომელიც არის -3-ზე ნაკლები ან ტოლი და მეტი ან ტოლი 7-ის. ეს ნიშნავს, რომ პასუხი უკვე მივიღეთ.

უპასუხე: -3 ≥ X ≥ 7.

გზაზე, ჩვენ ვხსნით იგივე უტოლობას თავისუფალი ტერმინის გადალაგებით მარცხნივ და მარჯვნივ საპირისპირო ნიშნით:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

პასუხი იგივეა: -3 ≥ X ≥ 7.

ან: X ∈ [-3; 7]

მაგალითი მოგვარებულია.

მაგალითი 3 . უთანასწორობის ამოხსნა 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

გამოსავალი.

ნომერი Xშეიძლება იყოს დადებითი რიცხვი, უარყოფითი რიცხვი ან ნული. ამიტომ სამივე გარემოება უნდა გავითვალისწინოთ. როგორც მოგეხსენებათ, ისინი გათვალისწინებულია ორ უტოლობაში: X≥ 0 და X < 0. При X≥ 0 ჩვენ უბრალოდ გადავიწერთ ჩვენს თავდაპირველ უტოლობას, როგორც არის, მხოლოდ მოდულის ნიშნის გარეშე:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

ახლა მეორე შემთხვევის შესახებ: თუ X < 0. Модулем უარყოფითი რიცხვიიგივე რიცხვია საპირისპირო ნიშნით. ანუ, ჩვენ ვწერთ რიცხვს მოდულის ქვეშ საპირისპირო ნიშნით და კვლავ ვითავისუფლებთ მოდულის ნიშნისგან:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

ფრჩხილების გაფართოება:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ განტოლების ორი სისტემა:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

ჩვენ უნდა გადავჭრათ უტოლობები სისტემებში - და ეს ნიშნავს, რომ უნდა ვიპოვოთ ორი კვადრატული განტოლების ფესვები. ამისათვის ჩვენ უტოლობების მარცხენა მხარეებს ვატოლებთ ნულს.

დავიწყოთ პირველით:

6X 2 - X - 2 = 0.

როგორ ამოხსნათ კვადრატული განტოლება - იხილეთ განყოფილება ” Კვადრატული განტოლება" ჩვენ დაუყოვნებლივ დავასახელებთ პასუხს:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

უტოლობათა პირველი სისტემიდან ვიღებთ, რომ თავდაპირველი უტოლობის ამოხსნა არის რიცხვების მთელი სიმრავლე -1/2-დან 2/3-მდე. ჩვენ ვწერთ გადაწყვეტილებების გაერთიანებას X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

ახლა გადავწყვიტოთ მეორე კვადრატული განტოლება:

6X 2 + X - 2 = 0.

მისი ფესვები:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

დასკვნა: როდის X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

მოდით გავაერთიანოთ ორი პასუხი და მივიღოთ საბოლოო პასუხი: ამონახსნი არის რიცხვების მთელი ნაკრები -2/3-დან 2/3-მდე, ამ უკიდურესი რიცხვების ჩათვლით.

უპასუხე: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

ან: X ∈ [-2/3; 2/3].