Negatif işaretli toplama ve çıkarma. Tam sayıların toplanması: genel sunum, kurallar, örnekler
Ders planı:
I. Organizasyon anı
Bireysel doğrulama Ev ödevi.
II. Öğrencilerin temel bilgilerinin güncellenmesi
1. Karşılıklı eğitim. Güvenlik soruları(buhar odası organizasyon formu iş - karşılıklı doğrulama).
2. Yorumlamalı sözlü çalışma (grup organizasyonel çalışma biçimi).
3. Bağımsız çalışma(bireysel organizasyonel çalışma biçimi, kendi kendine test).
III. Ders konusu mesajı
Grup organizasyonel çalışma şekli, hipotez ileri sürme, kural oluşturma.
1. Yürütme eğitim görevleri ders kitabına göre (grup örgütsel çalışma biçimi).
2. Güçlü öğrencilerin kartlar kullanarak çalışması (bireysel organizasyonel çalışma biçimi).
VI. Fiziksel duraklama
IX. Ev ödevi.
Hedef: sayıları toplama becerisini geliştirmek farklı işaretler.
Görevler:
- Farklı işaretlere sahip sayıları toplamak için bir kural oluşturun.
- Farklı işaretlere sahip sayıları toplama alıştırması yapın.
- Mantıksal düşünmeyi geliştirin.
- Çiftler halinde çalışma ve karşılıklı saygı yeteneğini geliştirin.
Ders için materyal: karşılıklı eğitim için kartlar, çalışma sonuçları tabloları, materyalin tekrarı ve güçlendirilmesi için bireysel kartlar, bireysel çalışma sloganı, kurallı kartlar.
DERSİN İLERLEMESİ
BEN. Organizasyon anı
– Bireysel ödevleri kontrol ederek derse başlayalım. Dersimizin sloganı Jan Amos Kamensky'nin sözleri olacak. Evde onun sözleri hakkında düşünmen gerekiyordu. Bunu nasıl anlıyorsun? (“Yeni bir şey öğrenmediğiniz ve eğitiminize hiçbir şey katmadığınız o gün veya saatte mutsuz olduğunuzu düşünün”)
–
Yazarın sözlerini nasıl anlıyorsunuz? (Yeni bir şey öğrenmezsek, yeni bilgi edinmezsek, bu günü kayıp veya mutsuz olarak değerlendirebiliriz. Yeni bilgiler edinmek için çabalamalıyız).
– Ve bugün mutsuz olmayacağız çünkü yine yeni bir şeyler öğreneceğiz.
II. Öğrencilerin temel bilgilerinin güncellenmesi
- Çalışmak için yeni malzeme, öğrendiklerinizi tekrarlamanız gerekir.
Evde bir görev vardı - kuralları tekrarlamak ve şimdi test sorularıyla çalışarak bilginizi göstereceksiniz.
(“Pozitif ve Negatif Sayılar” konulu test soruları)
Çiftler halinde çalışın. Akran değerlendirmesi. Çalışmanın sonuçları tabloda belirtilmiştir)
| Orijinin sağında bulunan sayılara ne denir? | Olumlu |
| Hangi sayılara zıt denir? | Birbirinden yalnızca işaret bakımından farklı olan iki sayıya zıt sayılar denir |
| Bir sayının modülü nedir? | Noktadan uzaklık A(a) geri sayımın başlamasından önce, yani noktaya kadar Ç(0), bir sayının modülü denir |
| Bir sayının modülünü nasıl belirtirsiniz? | Doğrudan parantez |
| Negatif sayıların eklenmesi kuralını formüle edin? | İki negatif sayıyı eklemek için yapmanız gerekenler: modüllerini ekleyin ve eksi işareti koyun |
| Orijinin solunda bulunan sayılara ne denir? | Negatif |
| Sıfırın karşısında hangi sayı var? | 0 |
| Herhangi bir sayının modülü negatif bir sayı olabilir mi? | HAYIR. Mesafe asla olumsuz değildir |
| Negatif sayıları karşılaştırma kuralını belirtin | İki negatif sayıdan modülü küçük olan daha büyük, modülü daha büyük olan ise daha küçüktür. |
| Zıt sayıların toplamı kaçtır? | 0 |
“+” soruların cevapları doğru, “-” yanlış Değerlendirme kriterleri: 5 – “5”; 4 – “4”;3 – “3”
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Seviye | |
| Soru/sorular | ||||||
| Kişisel/iş | ||||||
| Giriş/iş | ||||||
| Sonuç olarak |
– En zor sorular hangileriydi?
– Ne için gerekli başarılı tamamlama güvenlik soruları? (Kuralları bilin)
2. Yorumlamalı sözlü çalışma
– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)
– 1-5 örneği çözmek için hangi bilgiye ihtiyacınız vardı?
3. Bağımsız çalışma
| – 86, 52 + (– 6, 3) = | – 92,82 |
| – 49/91 + (– 27/91) = | – 76/91 |
| – 76 + (– 99) = | – 175 |
| – 14 + (– 47) = | – 61 |
| – 123,5 + (– 25, 18) = | – 148,68 |
| 6 + (– 10) = |
(Kendi kendini test edin. Kontrol ederken cevapları açın)
– Son örnek neden sizi zorladı?
– Bulunması gereken sayıların toplamı ve hangi sayıların toplamının nasıl bulunacağını biliyoruz?
III. Ders konusu mesajı
– Bugün sınıfta farklı işaretli sayıları toplama kuralını öğreneceğiz. Farklı işaretli sayıları toplamayı öğreneceğiz. Dersin sonunda bağımsız çalışma ilerlemenizi gösterecektir.
IV. Yeni materyal öğrenme
– Defterleri açalım, tarihi, ders çalışmasını, “Farklı işaretli sayıların toplanması” ders konusunu yazalım.
– Tahtada ne gösteriliyor? (Koordinat çizgisi)
– Bunun bir koordinat çizgisi olduğunu kanıtlayabilir misiniz? (Bir referans noktası, bir referans yönü, bir birim segment vardır)
– Şimdi koordinat doğrusunu kullanarak farklı işaretlere sahip sayıları toplamayı birlikte öğreneceğiz.
(Öğretmen rehberliğinde öğrencilerin anlatımı.)
– Koordinat doğrusunda 0 sayısını bulalım. 6 sayısını 0’a eklememiz gerekiyor. Orijinin sağ tarafına doğru 6 adım atıyoruz çünkü. 6 sayısı pozitiftir (ortaya çıkan 6 sayısına renkli bir mıknatıs yerleştiririz). 6’ya (– 10) sayısını ekliyoruz, orijinin soluna 10 adım atıyoruz, çünkü (– 10) negatif bir sayıdır (sonuçta çıkan sayının (– 4) üzerine renkli bir mıknatıs koyarız.)
– Hangi cevabı aldınız? (–4)
– 4 sayısını nasıl buldunuz? (10 – 6)
Bir sonuç çıkarın: Modülü daha büyük olan bir sayıdan, modülü daha küçük olan bir sayıyı çıkarın.
– Cevaptaki eksi işaretini nasıl aldınız?
Sonuç çıkaralım: Modülü büyük olan bir sayının işaretini aldık.
– Bir deftere örnek yazalım:
6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Benzer şekilde çözün)
Giriş kabul edildi:
6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7
– Çocuklar, artık farklı işaretlere sahip sayıların eklenmesi kuralını kendiniz formüle ettiniz. Tahminlerinizi anlatacağız hipotez. Çok önemli bir entelektüel çalışma yaptınız. Bilim adamları gibi onlar da bir hipotez ortaya attılar ve yeni bir kural keşfettiler. Hipotezinizi kuralla karşılaştıralım (basılı kuralın bulunduğu sayfa masanın üzerindedir). Koro halinde okuyalım kural farklı işaretli sayıların toplanması
– Kural çok önemli! Koordinat çizgisi kullanmadan farklı sayıda işaret eklemenizi sağlar.
– Açık olmayan ne?
– Nerede hata yapabilirsiniz?
– Pozitif ve negatif sayılar içeren görevleri doğru ve hatasız hesaplamak için kuralları bilmeniz gerekir.
V. Çalışılan materyalin konsolidasyonu
– Koordinat doğrusunda bu sayıların toplamını bulabilir misiniz?
– Böyle bir örneği koordinat çizgisi kullanarak çözmek zordur, bu yüzden çözmek için bulduğunuz kuralı kullanacağız.
Görev tahtaya yazılmıştır:
Ders kitabı – s. 45; 179 (c, d); 180 (a, b); 181 (b, c)
(Güçlü bir öğrenci bu konuyu ek bir kartla pekiştirmeye çalışır.)
VI. Fiziksel duraklama(Ayakta dururken gerçekleştirin)
– Bir kişinin olumlu ve olumsuz nitelikleri vardır. Bu nitelikleri koordinat çizgisine dağıtın.
(Pozitif nitelikler referans noktasının sağında, olumsuz nitelikler ise referans noktasının solundadır.)
– Kalite negatifse bir kere, pozitifse iki kere alkışlayın. Dikkat olmak!
– Nezaket, öfke, açgözlülük , karşılıklı yardım,
anlayış, kabalık ve tabii ki, irade Ve kazanma arzusu, ileride bağımsız çalışmanız olduğu için şimdi ihtiyacınız olacak)
VII. Bireysel çalışma ardından karşılıklı doğrulama
| Seçenek 1 | Seçenek 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
Bireysel çalışma ( güçlüöğrenciler) ardından karşılıklı doğrulama yapılır
| Seçenek 1 | Seçenek 2 |
| – 100 + (20) = | – 100 + (30) = |
| 100 + (– 20) = | 100 + (– 30) = |
| 56 + (– 28) = | 73 + (– 28) = |
| 4,61 + (– 2,2) = | 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 65 = | – 43 + 35 = |
| 100 + (– 28) = | 100 + (– 39) = |
| 56 + (– 27) = | 73 + (– 24) = |
| – 4,61 + (– 2,22) = | – 5, 74 + (– 3,15) = |
| – 43 + 68 = | – 43 + 39 = |
VIII. Dersi özetlemek. Refleks
– Aktif, özenli çalıştığınıza, yeni bilgilerin keşfedilmesine katıldığınıza, fikrinizi belirttiğinize inanıyorum, artık çalışmanızı değerlendirebilirim.
– Söyleyin arkadaşlar, hangisi daha etkili: hazır bilgi almak mı, yoksa kendiniz düşünmek mi?
– Derste yeni ne öğrendik? (Farklı işaretli sayıları toplamayı öğrendik.)
– Farklı işaretlere sahip sayıları toplama kuralını adlandırın.
– Söylesene bugünkü dersimiz boşa gitmedi mi?
- Neden? (Yeni bilgiler edindik.)
- Slogana geri dönelim. Bu, Jan Amos Kamensky'nin şunları söylerken haklı olduğu anlamına geliyor: “Yeni bir şey öğrenmediğiniz, eğitiminize hiçbir şey katmadığınız o günü veya saati mutsuz düşünün.”
IX. Ev ödevi
Kuralı öğrenin (kart), s. 45, No. 184.
Bireysel ödev - Roger Bacon'un sözlerini anladığınız gibi: “Matematik bilmeyenin başka hiçbir bilime yeteneği yoktur. Üstelik cehaletinin seviyesini bile ölçemiyor mu?
Negatif sayıların eklenmesi.
Negatif sayıların toplamı negatif bir sayıdır. Toplamın modülü terimlerin modüllerinin toplamına eşittir.
Negatif sayıların toplamının da neden negatif sayı olacağını bulalım. Üzerine -3 ve -5 sayılarını ekleyeceğimiz koordinat çizgisi bu konuda bize yardımcı olacaktır. Koordinat doğrusu üzerinde -3 sayısına karşılık gelen bir noktayı işaretleyelim.
-3 sayısına -5 sayısını eklememiz gerekiyor. -3 sayısına karşılık gelen noktadan nereye gidiyoruz? Bu doğru, sol! 5 birim segment için. Bir noktayı işaretleyip ona karşılık gelen sayıyı yazıyoruz. Bu sayı -8'dir.
Yani koordinat doğrusunu kullanarak negatif sayılar toplarken her zaman orijinin solundayız, dolayısıyla negatif sayıların eklenmesi sonucunun da negatif bir sayı olduğu açıktır.
Not.-3 ve -5 rakamlarını ekledik, yani. -3+(-5) ifadesinin değerini buldu. Genellikle rasyonel sayıları eklerken sanki eklenmesi gereken tüm sayıları listeliyormuş gibi bu sayıları işaretleriyle birlikte yazarlar. Bu gösterime cebirsel toplam denir. (Örneğimizde) şu girişi uygulayın: -3-5=-8.
Örnek. Negatif sayıların toplamını bulun: -23-42-54. (Bu girişin şu şekilde daha kısa ve daha kullanışlı olduğunu kabul ediyor musunuz: -23+(-42)+(-54))?
Haydi karar verelim Negatif sayıları toplama kuralına göre: 23+42+54=119 terimlerinin modüllerini topluyoruz. Sonuçta eksi işareti olacaktır.
Genellikle şu şekilde yazarlar: -23-42-54=-119.
Farklı işaretli sayıların eklenmesi.
Farklı işaretli iki sayının toplamı, mutlak değeri büyük bir terimin işaretine sahiptir. Bir toplamın modülünü bulmak için küçük modülü büyük modülden çıkarmanız gerekir..
Koordinat doğrusu kullanarak farklı işaretli sayıların toplama işlemini gerçekleştirelim.
1) -4+6. -4 sayısına 6 sayısını eklemeniz gerekiyor. Koordinat doğrusunda -4 sayısını nokta ile işaretleyelim. 6 sayısı pozitiftir yani koordinatı -4 olan noktadan itibaren 6 birim parça sağa gitmemiz gerekir. Kendimizi referans noktasının (sıfırdan itibaren) 2 birim segment sağında bulduk.
-4 ve 6 sayılarının toplamının sonucu pozitif sayı 2'dir:
- 4+6=2. 2 numarayı nasıl elde edebildin? 6'dan 4'ü çıkarın, yani küçük olanı büyük modülden çıkarın. Sonuç, modülü büyük olan terimle aynı işarete sahiptir.
2) Koordinat doğrusunu kullanarak -7+3'ü hesaplayalım. -7 sayısına karşılık gelen noktayı işaretleyin. 3 birim doğru sağa giderek koordinatı -4 olan bir nokta elde ediyoruz. Orjinin solundaydık ve öyle kalacağız: cevap negatif bir sayıdır.
— 7+3=-4. Bu sonucu şu şekilde elde edebiliriz: Büyük modülden küçük olanı çıkardık, yani. 7-3=4. Sonuç olarak, modülü daha büyük olan terimin işaretini koyarız: |-7|>|3|.
Örnekler. Hesaplamak: A) -4+5-9+2-6-3; B) -10-20+15-25.
Bu derste öğreneceğiz tam sayılarda toplama ve çıkarma ve bunların eklenmesi ve çıkarılmasıyla ilgili kurallar.
Tam sayıların yanı sıra 0 sayısının da pozitif ve negatif sayılar olduğunu hatırlayın. Örneğin, aşağıdaki sayılar tam sayılardır:
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Pozitif sayılar kolaydır ve. Ne yazık ki, yeni başlayanların çoğunu her sayının önündeki eksileriyle karıştıran negatif sayılar için aynı şey söylenemez. Uygulamada görüldüğü gibi, negatif sayılar nedeniyle yapılan hatalar öğrencileri en çok hayal kırıklığına uğratır.
Ders içeriğiTam sayılarda toplama ve çıkarma örnekleri
Öğrenmeniz gereken ilk şey, bir koordinat çizgisi kullanarak tamsayıları toplamak ve çıkarmaktır. Koordinat çizgisi çizmeye hiç gerek yok. Düşüncelerinizde hayal etmeniz ve negatif sayıların nerede, pozitif sayıların nerede olduğunu görmeniz yeterlidir.
En basit ifadeyi ele alalım: 1 + 3. Bu ifadenin değeri 4'tür:
Bu örnek bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunun için 1 sayısının bulunduğu noktadan itibaren sağa doğru üç adım ilerlemeniz gerekiyor. Sonuç olarak kendimizi 4 sayısının bulunduğu noktada bulacağız. Şekilde bunun nasıl gerçekleştiğini görebilirsiniz:
1+3 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini anlatır.
Örnek 2. 1 − 3 ifadesinin değerini bulalım.
Bu ifadenin değeri -2
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunun için 1 sayısının bulunduğu noktadan sola doğru üç adım ilerlemeniz gerekiyor. Sonuç olarak kendimizi negatif −2 sayısının bulunduğu noktada bulacağız. Resimde bunun nasıl olduğunu görebilirsiniz:
1 – 3 ifadesindeki eksi işareti bize azalan sayılar yönünde sola doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Genel olarak, ekleme yapılırsa artış yönünde sağa doğru hareket etmeniz gerektiğini hatırlamanız gerekir. Çıkarma yapılırsa, azalma yönünde sola doğru hareket etmeniz gerekir.
Örnek 3.−2 + 4 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri 2'dir
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak anlaşılabilir. Bunu yapmak için -2 negatif sayısının bulunduğu noktadan sağa doğru dört adım ilerlemeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi pozitif 2 sayısının bulunduğu noktada bulacağız.
Negatif -2 sayısının bulunduğu noktadan sağ tarafa dört adım ilerleyerek pozitif 2 sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−2 + 4 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Örnek 4.−1 − 3 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri -4
Bu örnek yine bir koordinat çizgisi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için -1 negatif sayısının bulunduğu noktadan itibaren üç adım sola gitmeniz gerekir. Sonuç olarak kendimizi negatif 4 sayısının bulunduğu noktada bulacağız.
Negatif -1 sayısının bulunduğu noktadan sol tarafa doğru üç adım ilerleyerek -4 negatif sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−1 − 3 ifadesindeki eksi işareti bize azalan sayılar yönünde sola gitmemiz gerektiğini söyler.
Örnek 5.−2 + 2 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadenin değeri 0'dır
Bu örnek bir koordinat çizgisi kullanılarak çözülebilir. Bunu yapmak için -2 negatif sayısının bulunduğu noktadan sağa iki adım atmanız gerekir. Sonuç olarak kendimizi 0 sayısının bulunduğu noktada bulacağız
Negatif -2 sayısının bulunduğu noktadan sağ tarafa doğru iki adım ilerleyerek 0 sayısının bulunduğu noktaya geldiğimiz görülmektedir.
−2 + 2 ifadesindeki artı işareti bize artan sayılar yönünde sağa doğru hareket etmemiz gerektiğini söyler.
Tam sayılarda toplama ve çıkarma kuralları
Tam sayıları toplamak veya çıkarmak için, her seferinde bir koordinat çizgisi hayal etmek, hatta çizmek bile gerekli değildir. Hazır kuralları kullanmak daha uygundur.
Kuralları uygularken işlemin işaretine ve toplanması veya çıkarılması gereken sayıların işaretlerine dikkat etmeniz gerekir. Bu hangi kuralın uygulanacağını belirleyecektir.
Örnek 1.−2 + 5 ifadesinin değerini bulun
Burada negatif bir sayıya pozitif bir sayı eklenir. Yani farklı işaretli sayılar toplanır. −2 negatif bir sayıdır ve 5 pozitif bir sayıdır. Bu gibi durumlarda aşağıdaki kural geçerlidir:
Farklı işaretlere sahip sayıları eklemek için, daha küçük modülü daha büyük modülden çıkarmanız ve ortaya çıkan yanıttan önce, modülü daha büyük olan sayının işaretini koymanız gerekir.
Şimdi hangi modülün daha büyük olduğunu görelim:
5 sayısının modülü −2 sayısının modülünden daha büyüktür. Kural, küçük olanın büyük modülden çıkarılmasını gerektirir. Bu nedenle, 5'ten 2'yi çıkarmalıyız ve ortaya çıkan cevaptan önce modülü daha büyük olan sayının işaretini koymalıyız.
5 sayısının modülü daha büyük olduğundan bu sayının işareti cevapta olacaktır. Yani cevap olumlu olacaktır:
−2 + 5 = 5 − 2 = 3
Genellikle daha kısa yazılır: −2 + 5 = 3
Örnek 2. 3 + (−2) ifadesinin değerini bulun
Burada önceki örnekte olduğu gibi farklı işaretli sayılar toplanmıştır. 3 pozitif bir sayıdır ve −2 negatif bir sayıdır. İfadeyi daha açık hale getirmek için -2'nin parantez içine alındığına dikkat edin. Bu ifadenin anlaşılması 3+−2 ifadesinden çok daha kolaydır.
Öyleyse farklı işaretlere sahip sayıları toplama kuralını uygulayalım. Önceki örnekte olduğu gibi büyük modülden küçük modülü çıkarıyoruz ve cevabın önüne modülü büyük olan sayının işaretini koyuyoruz:
3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1
3 sayısının modülü -2 sayısının modülünden büyük olduğundan 3'ten 2'yi çıkardık ve ortaya çıkan cevabın önüne modülü daha büyük olan sayının işaretini koyduk. 3 sayısı daha büyük bir modüle sahiptir, bu nedenle bu sayının işareti cevaba dahil edilmiştir. Yani cevap olumludur.
Genellikle daha kısa yazılır 3 + (−2) = 1
Örnek 3. 3 − 7 ifadesinin değerini bulun
Bu ifadede küçük sayıdan büyük sayı çıkarılır. Böyle bir durumda aşağıdaki kural geçerlidir:
Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkarmak için yapmanız gerekenler Daha küçük olanı çıkarın ve elde edilen cevabın önüne bir eksi koyun.
3 − 7 = 7 − 3 = −4
Bu ifadede hafif bir yakalama var. Büyüklükler ve ifadeler birbirine eşit olduğunda arasına eşittir işaretinin (=) konulduğunu hatırlayalım.
3 − 7 ifadesinin değeri, öğrendiğimiz gibi, −4'e eşittir. Bu, bu ifadede yapacağımız herhangi bir dönüşümün -4'e eşit olması gerektiği anlamına gelir.
Ama ikinci aşamada 7 − 3 ifadesinin olduğunu görüyoruz ki bu da −4'e eşit değil.
Bu durumu düzeltmek için 7 − 3 ifadesini parantez içine alıp bu parantezin önüne bir eksi koymanız gerekir:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4
Bu durumda her aşamada eşitlik gözetilecektir:
İfade hesaplandıktan sonra parantezleri kaldırabiliriz, biz de öyle yaptık.
Yani daha kesin olmak gerekirse çözüm şöyle görünmeli:
3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4
Bu kural değişkenler kullanılarak yazılabilir. Şunun gibi görünecek:
a − b = − (b − a)
Çok sayıda parantez ve işlem işareti, görünüşte basit bir problemin çözümünü karmaşık hale getirebilir, bu nedenle bu tür örneklerin nasıl kısaca yazılacağını öğrenmek daha tavsiye edilir, örneğin 3 − 7 = − 4.
Aslında tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemi, toplama işleminden başka bir anlama gelmez. Bu, sayıları çıkarmanız gerekiyorsa, bu işlemin toplama işlemiyle değiştirilebileceği anlamına gelir.
O halde yeni kuralı tanıyalım:
Bir sayıdan diğerinden çıkarmak, çıkarılan sayının karşısındaki sayının eksilen sayıya eklenmesi anlamına gelir.
Örneğin en basit ifade olan 5 − 3'ü düşünün. başlangıç aşamaları Matematik çalışırken eşittir işareti koyduk ve cevabı yazdık:
Ancak artık çalışmamızda ilerleme kaydediyoruz, dolayısıyla yeni kurallara uyum sağlamamız gerekiyor. Yeni kural, bir sayıyı diğerinden çıkarmanın, çıkan sayının aynısını eksilen sayıya eklemek anlamına geldiğini söylüyor.
Bu kuralı 5 − 3 ifadesi örneğini kullanarak anlamaya çalışalım. Bu ifadede eksi 5, çıkan ise 3'tür. Kural diyor ki, 5'ten 3 çıkarmak için 5'e 3'ün tersi bir sayı eklemek gerekir. 3 sayısının tersi -3'tür. . Yeni bir ifade yazalım:
Ve bu tür ifadelere nasıl anlam bulacağımızı zaten biliyoruz. Bu, daha önce incelediğimiz farklı işaretli sayıların toplamıdır. Farklı işaretli sayıları toplamak için, küçük modülü büyük modülden çıkarırız ve ortaya çıkan cevabın önüne, modülü büyük olan sayının işaretini koyarız:
5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2
5 sayısının modülü −3 sayısının modülünden daha büyüktür. Dolayısıyla 5'ten 3'ü çıkardık ve 2 elde ettik. 5 sayısının modülü daha büyük olduğundan cevaba bu sayının işaretini koyduk. Yani cevap olumludur.
İlk başta herkes çıkarma işlemini hızlı bir şekilde toplama işlemiyle değiştiremez. Bunun nedeni pozitif sayıların artı işareti olmadan yazılmasıdır.
Örneğin 3 − 1 ifadesinde çıkarma işlemini gösteren eksi işareti bir işlem işaretidir ve bir işlemi ifade etmez. Bu durumda bir pozitif bir sayıdır ve kendine ait artı işareti vardır ancak pozitif sayıların önüne artı yazılmadığından onu göremiyoruz.
Bu nedenle, açıklık sağlamak için bu ifade şu şekilde yazılabilir:
(+3) − (+1)
Kolaylık sağlamak için, kendi işaretlerine sahip sayılar parantez içine alınmıştır. Bu durumda çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirmek çok daha kolaydır.
(+3) − (+1) ifadesinde çıkarılacak sayı (+1), karşıt sayı ise (−1) olur.
Çıkarmanın yerine toplama koyalım ve çıkan (+1) yerine karşıt sayıyı (−1) yazalım.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1)
Daha fazla hesaplama zor olmayacak.
(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2
İlk bakışta, eğer eski güzel yöntemi kullanarak eşittir işareti koyarsanız ve cevabı hemen 2'ye yazarsanız, bu ekstra hareketlerin hiçbir anlamı yokmuş gibi görünebilir. Aslında, bu kural bize birden fazla kez yardımcı olacaktır.
Önceki örnek 3 − 7'yi çıkarma kuralını kullanarak çözelim. Öncelikle her sayıya kendi işaretini atayarak ifadeyi net bir forma getirelim.
Üç pozitif bir sayı olduğu için artı işaretine sahiptir. Çıkarmayı gösteren eksi işareti yediye uygulanmaz. Yedinin artı işareti vardır çünkü pozitif bir sayıdır:
Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:
(+3) − (+7) = (+3) + (−7)
Daha fazla hesaplama zor değildir:
(+3) − (−7) = (+3) + (-7)
= −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4
Örnek 7.−4 − 5 ifadesinin değerini bulun
Yine bir çıkarma işlemimiz var. Bu işlemin eklemeyle değiştirilmesi gerekir. Eksiye (-4), çıkanın karşısındaki sayıyı (+5) ekliyoruz. Çıkarılan sayının (+5) karşısındaki sayı (-5) sayısıdır.
(−4) − (+5) = (−4) + (−5)
Negatif sayıları toplamamız gereken bir duruma geldik. Bu gibi durumlarda aşağıdaki kural geçerlidir:
Negatif sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir.
O halde kuralın gerektirdiği şekilde sayıların modüllerini toplayalım ve alınan cevabın önüne bir eksi koyalım:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9
Modülleri içeren bir giriş parantez içine alınmalı ve bu parantezlerin önüne bir eksi işareti yerleştirilmelidir. Bu şekilde cevaptan önce görünmesi gereken bir eksiyi sağlayacağız:
(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9
Çözüm bu örnek kısaca yazılabilir:
−4 − 5 = −(4 + 5) = −9
veya daha da kısası:
−4 − 5 = −9
Örnek 8.−3 − 5 − 7 − 9 ifadesinin değerini bulun
İfadeyi net bir forma getirelim. Burada -3 dışındaki tüm sayılar pozitiftir, dolayısıyla artı işaretlerine sahip olacaklardır:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9)
Çıkarma işlemlerini eklemelerle değiştirelim. Üçün önündeki eksi hariç tüm eksiler artıya dönüşecek ve tüm pozitif sayılar tam tersi yönde değişecek:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)
Şimdi negatif sayıları toplama kuralını uygulayalım. Negatif sayılar eklemek için bunların modüllerini eklemeniz ve ortaya çıkan cevabın önüne bir eksi koymanız gerekir:
(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =
= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24
Bu örneğin çözümü kısaca şöyle yazılabilir:
−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24
veya daha da kısası:
−3 − 5 − 7 − 9 = −24
Örnek 9.−10 + 6 − 15 + 11 − 7 ifadesinin değerini bulun
İfadeyi net bir şekle getirelim:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)
Burada iki işlem var: toplama ve çıkarma. Toplamayı değiştirmeden bırakıyoruz ve çıkarma işlemini toplama ile değiştiriyoruz:
(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)
Gözlemleyerek, önceden öğrenilen kurallara göre her eylemi sırayla gerçekleştireceğiz. Modül içeren girişler atlanabilir:
İlk eylem:
(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4
İkinci eylem:
(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19
Üçüncü eylem:
(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8
Dördüncü eylem:
(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15
Böylece −10 + 6 − 15 + 11 − 7 ifadesinin değeri −15 olur
Not. Rakamları parantez içerisine alarak ifadeyi anlaşılır bir hale getirmek hiç de gerekli değildir. Negatif sayılara alışkanlık oluştuğunda bu adım atlanabilir çünkü zaman alıcıdır ve kafa karıştırıcı olabilir.
Bu nedenle, tam sayıları toplamak ve çıkarmak için aşağıdaki kuralları hatırlamanız gerekir:
Yeni VKontakte grubumuza katılın ve yeni derslerle ilgili bildirimler almaya başlayın
Bu yazımızda bunun nasıl yapıldığına detaylı olarak bakacağız. tamsayıların eklenmesi. İlk önce oluşturacağız genel fikir tam sayıların toplamı hakkında ve bir koordinat doğrusunda tam sayıların toplamının ne olduğunu görelim. Bu bilgi, pozitif, negatif ve farklı işaretli tam sayıların toplanmasına ilişkin kuralları formüle etmemize yardımcı olacaktır. Burada örnek çözerken toplama kurallarının uygulanmasını detaylı olarak inceleyeceğiz ve elde edilen sonuçların nasıl kontrol edileceğini öğreneceğiz. Makalenin sonunda üçün eklenmesinden bahsedeceğiz ve Daha tamsayılar.
Sayfada gezinme.
Tam sayıların eklenmesini anlama
İşte tamsayıların zıt sayıları toplama örnekleri. −5 ve 5 sayılarının toplamı sıfırdır, 901+(−901) toplamı sıfırdır ve karşıt tamsayılar olan 1,567,893 ve −1,567,893'ün toplamının sonucu da sıfırdır.
Rastgele bir tamsayı ve sıfırın eklenmesi
Biri sıfır olan iki tam sayının toplamının sonucunu anlamak için koordinat doğrusunu kullanalım.
Rastgele bir a tam sayısının sıfıra eklenmesi, birim bölümlerin başlangıç noktasından a mesafesine taşınması anlamına gelir. Böylece kendimizi a koordinatına sahip noktada buluyoruz. Bu nedenle, sıfır ve isteğe bağlı bir tam sayının eklenmesinin sonucu, eklenen tam sayıdır.
Öte yandan, rastgele bir tam sayıya sıfır eklemek, koordinatı belirli bir tam sayı ile belirtilen noktadan sıfır uzaklığına hareket etmek anlamına gelir. Başka bir deyişle başlangıç noktasında kalacağız. Bu nedenle, rastgele bir tam sayı ile sıfırın eklenmesinin sonucu verilen tam sayıdır.
Bu yüzden, Biri sıfır olan iki tam sayının toplamı diğer tam sayıya eşittir. Özellikle sıfır artı sıfır sıfırdır.
Birkaç örnek verelim. 78 ve 0 tamsayılarının toplamı 78'dir; sıfır ve −903'ün eklenmesinin sonucu −903'tür; ayrıca 0+0=0 .
Toplama sonucunun kontrol edilmesi
İki tam sayıyı topladıktan sonra sonucu kontrol etmekte fayda var. İki doğal sayının toplanmasının sonucunu kontrol etmek için, sonuçtaki toplamdan herhangi bir terimi çıkarmamız gerektiğini ve bunun başka bir terimle sonuçlanması gerektiğini zaten biliyoruz. Tam sayıların eklenmesi sonucunun kontrol edilmesi benzer şekilde gerçekleştirildi. Ancak tam sayılarda çıkarma işlemi, çıkarılan sayının karşısındaki sayının eksilen sayıya eklenmesi anlamına gelir. Bu nedenle, iki tam sayının toplanmasının sonucunu kontrol etmek için, ortaya çıkan toplama, başka bir terimle sonuçlanması gereken herhangi bir terimin karşısındaki sayıyı eklemeniz gerekir.
İki tam sayının toplanmasının sonucunu kontrol etme örneklerine bakalım.
Örnek.
13 ve −9 olmak üzere iki tam sayı toplandığında 4 sayısı elde edildi, sonucu kontrol edin.
Çözüm.
Ortaya çıkan toplam 4'e, 13 teriminin karşısındaki −13 sayısını ekleyelim ve başka bir −9 terimi elde edip edemeyeceğimize bakalım.
O halde 4+(−13) toplamını hesaplayalım. Bu, zıt işaretli tam sayıların toplamıdır. Terimlerin modülleri sırasıyla 4 ve 13'tür. Modülü büyük olan terimin eksi işareti vardır, bunu hatırlarız. Şimdi büyük modülden küçük olanı çıkarın: 13−4=9. Geriye kalan tek şey, hatırlanan eksi işaretini ortaya çıkan sayının önüne koymak, elimizde -9 var.
Kontrol ederken başka bir terime eşit bir sayı aldık, bu nedenle orijinal toplam doğru hesaplandı.−19. Başka bir terime eşit bir sayı aldığımız için -35 ve -19 sayılarının toplaması doğru bir şekilde yapıldı.
Üç veya daha fazla tam sayının toplanması
Bu noktaya kadar iki tam sayının toplanmasından bahsettik. Yani iki terimden oluşan toplamları ele aldık. Bununla birlikte, tam sayıları toplamanın birleşimsel özelliği üç, dört veya daha fazla tam sayının toplamını benzersiz bir şekilde belirlememize olanak tanır.
Tam sayıların toplama özelliklerine dayanarak, üç, dört vb. sayıların toplamının, eylemlerin gerçekleştirilme sırasını belirten parantezlerin yerleştirilme şekline ve aynı zamanda işlem sırasına bağlı olmadığını söyleyebiliriz. Toplamdaki terimler. Üç veya daha fazla doğal sayının toplanmasından bahsettiğimizde bu ifadeleri doğruladık. Tamsayılar için tüm akıl yürütme tamamen aynıdır ve kendimizi tekrar etmeyeceğiz.0+(−101) +(−17)+5 . Bundan sonra parantezleri kabul edilebilir bir şekilde yerleştirirsek yine -113 sayısını elde ederiz.
Cevap:
5+(−17)+0+(−101)=−113 .
Referanslar.
- Vilenkin N.Ya. ve diğerleri. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
>>Matematik: Farklı işaretli sayıların toplanması
33. Farklı işaretli sayıların toplanması
Hava sıcaklığı 9 °C'ye eşitse ve daha sonra - 6 °C'ye değiştiyse (yani 6 °C azaldıysa), o zaman 9 + (- 6) dereceye eşit oldu (Şekil 83).
kullanarak 9 ve - 6 sayılarını toplamak için A noktasını (9) 6 birim parça sola kaydırmanız gerekir (Şek. 84). B (3) noktasını elde ederiz.
Bu, 9+(- 6) = 3 anlamına gelir. 3 sayısı, 9 terimiyle aynı işarete sahiptir ve modül 9 ve -6 terimlerinin modülleri arasındaki farka eşittir.
Aslında |3| =3 ve |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.
Aynı 9 °C olan hava sıcaklığı -12 °C değiştirilirse (yani 12 °C azalırsa) 9 + (-12) dereceye eşit olur (Şekil 85). Koordinat çizgisini kullanarak 9 ve -12 sayılarını topladığımızda (Şekil 86), 9 + (-12) = -3 elde ederiz. -3 sayısı -12 terimi ile aynı işarete sahiptir ve modülü -12 ile 9 terimlerinin modülleri arasındaki farka eşittir.
Gerçekten | - 3| = 3 ve | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.
Farklı işaretlere sahip iki sayıyı eklemek için yapmanız gerekenler:
1) terimlerin büyük modülünden küçük olanı çıkarın;
2) Ortaya çıkan sayının önüne modülü büyük olan terimin işaretini koyun.
Genellikle toplamın işareti önce belirlenip yazılır, ardından modüllerdeki fark bulunur.
Örneğin:
1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
veya daha kısa 6,1+(- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;
Pozitif ve negatif sayıları toplarken kullanabilirsiniz mikro hesap makinesi. Mikro hesap makinesine negatif bir sayı girmek için bu sayının modülünü girmeniz ve ardından “işareti değiştir” tuşuna |/-/| basmanız gerekir. Örneğin -56,81 sayısını girmek için tuşlara sırayla basmanız gerekir: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Herhangi bir işaretin sayılarıyla ilgili işlemler, mikro hesap makinesinde pozitif sayılarla aynı şekilde gerçekleştirilir.
Örneğin -6,1 + 3,8 toplamı şu şekilde hesaplanır: programı
? A ve b sayıları farklı işaretlere sahiptir. Büyük modül negatifse bu sayıların toplamı hangi işarete sahip olacaktır?
daha küçük modül negatifse?
daha büyük modül pozitif bir sayıysa?
daha küçük modül pozitif bir sayıysa?
Farklı işaretlere sahip sayıları toplamak için bir kural oluşturun. Mikro hesap makinesine negatif bir sayı nasıl girilir?
İLE 1045. 6 sayısı -10 olarak değiştirildi. Ortaya çıkan sayı orijinin hangi tarafında yer alıyor? Başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta bulunuyor? Neye eşittir toplam 6 ve -10?
1046. 10 sayısı -6 olarak değiştirildi. Ortaya çıkan sayı orijinin hangi tarafında yer alıyor? Başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta bulunuyor? 10 ile -6'nın toplamı kaçtır?
1047. -10 sayısı 3 olarak değiştirildi. Ortaya çıkan sayı orijinin hangi tarafında yer alıyor? Başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta bulunuyor? -10 ile 3'ün toplamı kaçtır?
1048. -10 sayısı 15 olarak değiştirildi. Ortaya çıkan sayı orijinin hangi tarafında yer alıyor? Başlangıç noktasına ne kadar uzaklıkta bulunuyor? -10 ile 15'in toplamı kaçtır?
1049. Günün ilk yarısında sıcaklık -4 °C, ikinci yarısında ise +12 °C değişti. Gün içinde sıcaklık kaç derece değişti?
1050. Eklemeyi gerçekleştirin:
1051. Ekle:
a) -6 ve -12'nin toplamına göre 20 sayısı;
b) 2,6 sayısının toplamı -1,8 ve 5,2'dir;
c) -10 ve -1,3'ün toplamına göre 5 ve 8,7'nin toplamı;
d) 11 ve -6,5'in toplamına -3,2 ve -6'nın toplamı.
1052. Hangi sayı 8'dir; 7.1; -7.1; -7; -0,5 köktür denklemler- 6 + x = -13,1?
1053. Denklemin kökünü tahmin edin ve kontrol edin:
a) x + (-3) = -11; c) m + (-12) = 2;
b) - 5 + y=15; d) 3 + n = -10.
1054. İfadenin anlamını bulun:
1055. Mikro hesap makinesi kullanarak adımları izleyin:
a) - 3,2579 + (-12,308); d) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
b) 7,8547+ (- 9,239); e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
c) -0,00154 + 0,0837; e) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).
P 1056. Toplamın değerini bulun:
1057. İfadenin anlamını bulun:
1058. Sayıların arasında kaç tane tam sayı bulunur:
a) 0 ve 24; b) -12 ve -3; c) -20 ve 7?
1059. -10 sayısını iki negatif terimin toplamı olarak düşünün, böylece:
a) her iki terim de tamsayıydı;
b) her iki terim de ondalık kesirlerdi;
c) şartlardan biri normal bir sıradandı kesir.
1060. Koordinat çizgisinin koordinatlarla noktaları arasındaki mesafe (birim segmentlerde) nedir:
a) 0 ve a; b) -a ve a; c) -a ve 0; d) a ve -Za?
M 1061. Atina ve Moskova şehirlerinin bulunduğu dünya yüzeyinin coğrafi paralelliklerinin yarıçapları sırasıyla 5040 km ve 3580 km'ye eşittir (Şekil 87). Moskova paraleli Atina paralelinden ne kadar kısadır?
1062. Sorunu çözmek için bir denklem yazınız: “2,4 hektarlık bir alan iki bölüme ayrılmıştı. Bulmak kare her site, eğer biliniyorsa sitelerden birinin:
a) diğerinden 0,8 hektar daha fazla;
b) diğerinden 0,2 hektar daha az;
c) diğerinden 3 kat daha fazla;
d) diğerinden 1,5 kat daha az;
e) başka birini oluşturur;
e) diğerinin 0,2'sidir;
g) Diğerinin %60'ını oluşturan;
h) diğerinin %140’ıdır.”
1063. Sorunu çözün:
1) Yolcular ilk gün 240 km, ikinci gün 140 km, üçüncü gün ikinciye göre 3 kat daha fazla yol kat ettiler, dördüncü gün ise dinlendiler. 5 gün boyunca günde ortalama 230 km yol kat ettilerse, beşinci günde kaç kilometre yol kat ettiler?
2) Babanın aylık geliri 280 ruble. Kızımın bursu 4 kat az. Ailede 4 kişi varsa, en küçük oğul okul çocuğuysa ve her kişi ortalama 135 ruble alıyorsa bir anne ayda ne kadar kazanır?
1064. Şu adımları izleyin:
1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);
2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).
1066. Sayıların her birini iki eşit terimin toplamı olarak gösterin:
1067. Aşağıdaki durumda a + b'nin değerini bulun:
a) a= -1,6, b = 3,2; b) a=- 2,6, b = 1,9; V) 
1068. Bir konut binasının bir katında 8 daire vardı. 2 daire vardı yaşam alanı Her biri 22,8 m2, 3 daire - her biri 16,2 m2, 2 daire - her biri 34 m2. Bu kattaki her dairede ortalama 24,7 m2 yaşam alanı varsa, sekizinci dairede hangi yaşam alanı vardı?
1069. Yük treni 42 vagondan oluşuyordu. Platformlardan 1,2 kat daha fazla kapalı araba vardı ve tank sayısı platform sayısına eşitti. Trende her türden kaç araba vardı?
1070. İfadenin anlamını bulun 
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, 6. sınıf için Matematik, Ders Kitabı lise
Matematik planlama, çevrimiçi ders kitapları ve kitaplar, 6. sınıf için matematik dersleri ve görevleri indir
Ders içeriği ders notları destek çerçevesi ders sunumu hızlandırma yöntemleri etkileşimli teknolojiler Pratik görevler ve alıştırmalar kendi kendine test atölyeleri, eğitimler, vakalar, görevler ödev tartışma soruları öğrencilerden gelen retorik sorular İllüstrasyonlar ses, video klipler ve multimedya fotoğraflar, resimler, grafikler, tablolar, diyagramlar, mizah, anekdotlar, şakalar, çizgi romanlar, benzetmeler, sözler, bulmacalar, alıntılar Eklentiler özetler makaleler meraklı beşikler için püf noktaları ders kitapları temel ve ek terimler sözlüğü diğer Ders kitaplarının ve derslerin iyileştirilmesiDers kitabındaki hataların düzeltilmesi Ders kitabındaki bir parçanın güncellenmesi, dersteki yenilik unsurları, eski bilgilerin yenileriyle değiştirilmesi Sadece öğretmenler için mükemmel dersler takvim planı bir yıl boyunca metodolojik öneriler tartışma programları Entegre Dersler