Folosirea lui l.a.ch.h. și caracteristicile frecvenței de fază pentru analiza stabilității sistemului

Criteriul de stabilitate Nyquist a fost formulat și fundamentat în 1932 de către fizicianul american H. Nyquist. Criteriul de stabilitate Nyquist este cel mai larg utilizat în practica inginerească din următoarele motive:

- stabilitatea sistemului în stare închisă este studiată de funcția de transfer de frecvență a părții sale deschise W p (jw), iar această funcție, cel mai adesea, constă din factori simpli. Coeficienții sunt parametrii reali ai sistemului, ceea ce vă permite să-i alegeți din condițiile de stabilitate;

- pentru a studia stabilitatea, se pot folosi caracteristicile de frecventa obtinute experimental ale celor mai complexe elemente ale sistemului (obiect de control, organe executive), ceea ce creste acuratetea rezultatelor obtinute;

- stabilitatea sistemului poate fi investigată prin caracteristici de frecvență logaritmică, a căror construcție nu este dificilă;

- marjele de stabilitate ale sistemului sunt destul de simplu determinate;

- este convenabil de utilizat pentru evaluarea stabilității ACS cu întârziere.

Criteriul de stabilitate Nyquist face posibilă evaluarea stabilității ACS de către AFC a părții sale în buclă deschisă. Există trei cazuri de aplicare a criteriului Nyquist.

1. Partea deschisă a ACS este stabilă.Pentru stabilitatea unui sistem închis, este necesar și suficient ca AFC-ul părții deschise a sistemului (hodograful Nyquist) la schimbarea frecvente w de la 0 la +¥ nu a acoperit punctul cu coordonatele [-1, j 0]. Pe fig. 4.6 prezintă principalele situații posibile:

1. - un sistem închis este absolut stabil;

2. - ATS este stabil conditionat, i.e. stabil doar într-un anumit interval de modificare a coeficientului de transmisie k;

3. - ATS se află la limita durabilității;

4. - ATS este instabil.

Orez. 4.6. Nyquist odografe atunci când partea deschisă a ACS este stabilă

2. Partea deschisă a ACS se află la granița stabilității.În acest caz, ecuația caracteristică are rădăcini zero sau pur imaginare, în timp ce celelalte rădăcini au părți reale negative.

Pentru stabilitatea unui sistem închis, dacă partea deschisă a sistemului se află la limita de stabilitate, este necesar și suficient ca AFC partea deschisă a sistemului la schimbarea w de la 0 la +¥, completat de un arc de rază infinit de mare în secțiunea discontinuității, nu a acoperit punctul cu coordonatele [-1, j 0]. În prezența ν rădăcini zero ale AFC a părții în buclă deschisă a sistemului la w=0 printr-un arc de rază infinit de mare se deplasează de la semiaxa reală pozitivă cu un unghi de grade în sensul acelor de ceasornic, așa cum se arată în Fig. 4.7.

Orez. 4.7. Hodografe Nyquist cu rădăcini zero

Dacă există o pereche de rădăcini pur imaginare w i =, apoi AFC la o frecvență w i un arc de rază infinit de mare se mișcă în sensul acelor de ceasornic printr-un unghi de 180°, care este prezentat în Fig. 4.8.

Orez. 4.8. Hodograf Nyquist în prezența unei perechi de rădăcini pur imaginare

3. Partea deschisă a sistemului este instabilă, adică ecuația caracteristică are l rădăcini cu o parte reală pozitivă. În acest caz, pentru stabilitatea unui sistem închis, este necesar și suficient ca atunci când frecvența se schimbă w de la 0 la +¥ AFC a părții deschise a ACS a acoperit punctul

[-1, j 0) l/2 ori în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic).

Cu o formă complexă a hodografului Nyquist, este mai convenabil să se utilizeze o altă formulare a criteriului Nyquist, propusă de Ya.Z. Tsypkin folosind regulile de tranziție. Tranziția AFC a părții în buclă deschisă a sistemului cu creștere w segmentul axei reale de la -1 la -¥ de sus în jos este considerat pozitiv (Fig. 4.9), iar de jos în sus negativ. Dacă AFC începe pe acest segment la w=0 sau se termină la w=¥ , atunci se consideră că AFC face jumătatea de tranziție.

Orez. 4.9. Tranzițiile hodografului Nyquist prin segmentul P( w) de la -¥ la -1

Sistemul închis este stabil, dacă diferența dintre numărul de tranziții pozitive și negative ale hodografului Nyquist prin segmentul axei reale de la -1 la -¥ este egală cu l/2, unde l este numărul de rădăcini ale ecuației caracteristice cu un pozitiv parte reală.

Acesta este locul punctelor care descrie sfârșitul vectorului funcției de transfer de frecvență pe măsură ce frecvența se schimbă de la -∞ la +∞. Valoarea segmentului de la origine la fiecare punct al hodografului arată de câte ori la o anumită frecvență semnalul de ieșire este mai mare decât intrarea, iar defazajul dintre semnale este determinat de unghiul față de segmentul menționat.

Toate celelalte dependențe de frecvență sunt generate din AFC:

• U(w) - par (pentru ACS închis P(w));
• V(w) - impar;
• A(w) - par (răspuns în frecvență);
• j(w) - impar (PFC);
• LACHH & LPCHH - sunt folosite cel mai des.

Caracteristicile frecvenței logaritmice.

Răspunsurile de frecvență logaritmică (LFC) includ răspunsul de amplitudine logaritmică (LAFC) și răspunsul de fază logaritmică (LPCH) construite separat pe același plan. Construcția LAFC & LPFC se face după expresiile:

L(w) = 20 lg | W(j w)| = 20 lg A(w), [dB];

j(w) = arg( W(j w)), [rad].

Valoare L(w) se exprimă în decibeli . Bel este o unitate logaritmică corespunzătoare unei creșteri de zece ori a puterii. Un Bel corespunde unei creșteri a puterii de 10 ori, 2 Bels - de 100 de ori, 3 Bels - de 1000 de ori etc. Un decibel este egal cu o zecime de Bel.

Exemple de AFC, AFC, PFC, LAFC și LPFC pentru legăturile dinamice tipice sunt prezentate în Tabelul 2.

Masa 2. Caracteristicile de frecvență ale legăturilor dinamice tipice.

Principiile controlului automat

Conform principiului controlului, ACS poate fi împărțit în trei grupuri:

1. Cu reglare prin influență externă - principiul Poncelet (utilizat în ACS deschis).
2. Cu reglare prin abatere - principiul Polzunov-Watt (utilizat în ACS închis).
3. Cu reglementare combinată. În acest caz, ACS conține bucle de control închise și deschise.

Principiul controlului prin perturbări externe

Senzorii de perturbare sunt necesari în structură. Sistemul este descris de funcția de transfer a unui sistem deschis: X(t) = g(t) - f(t).

Avantaje:

• Este posibil să se obțină o invarianță completă la anumite perturbații.
• Problema stabilității sistemului nu se pune, deoarece fara OS.

Defecte:

• Un număr mare de perturbări necesită un număr adecvat de canale de compensare.
• Modificările parametrilor obiectului reglementat duc la erori în control.
• Poate fi aplicat numai obiectelor ale căror caracteristici sunt clar cunoscute.

Principiul controlului abaterii

Sistemul este descris de funcția de transfer a unui sistem deschis și ecuația de închidere: X(t) = g(t) - y(t) W oc ( t). Algoritmul sistemului este încheiat într-un efort de a reduce eroarea X(t) la zero.

Avantaje:

• Protecția mediului duce la scăderea erorii, indiferent de factorii care au cauzat-o (modificări ale parametrilor obiectului reglementat sau condiții externe).

Defecte:

• Sistemele OS au o problemă de stabilitate.
• Este fundamental imposibil să se obțină o invarianță absolută la perturbații în sisteme. Dorința de a obține o invarianță parțială (nu primul OS) duce la complicarea sistemului și la deteriorarea stabilității.

Control combinat

Controlul combinat constă într-o combinație a două principii de control prin abatere și perturbare externă. Acestea. semnalul de control către obiect este format din două canale. Primul canal este sensibil la abaterea valorii controlate de la referință. Al doilea formează acțiunea de control direct din semnalul de setare sau perturbator.

X(t) = g(t) - f(t) - y(t)Woc(t)

Avantaje:

• Prezența protecției mediului face ca sistemul să fie mai puțin sensibil la modificările parametrilor obiectului reglementat.
• Adăugarea unui canal(e) sensibil(e) la referință sau la perturbare nu afectează stabilitatea buclei de feedback.

Defecte:

• Canalele care sunt sensibile la o sarcină sau la o perturbare conțin de obicei legături diferențiatoare. Implementarea lor practică este dificilă.
• Nu toate obiectele permit forțarea.

Analiza sustenabilității ATS

Conceptul de stabilitate a sistemului de reglementare este asociat cu capacitatea sa de a reveni la o stare de echilibru după dispariția forțelor externe care l-au scos din această stare. Stabilitatea este una dintre principalele cerințe pentru sistemele automate.

Conceptul de stabilitate poate fi extins și la cazul mișcării ACS:

• mișcare netulburată,
• mișcare indignată.

Mișcarea oricărui sistem de control este descrisă folosind o ecuație diferențială, care descrie în general 2 moduri de funcționare ale sistemului:

Mod stare de echilibru

Modul de conducere

În acest caz, soluția generală în orice sistem poate fi scrisă ca:

forţat componenta este determinată de acțiunea de intrare pe intrarea CS. Sistemul atinge această stare la sfârșitul proceselor tranzitorii.

Tranzitorie componenta este determinată de soluția unei ecuații diferențiale omogene de forma:

Coeficienții a 0 ,a 1 ,…a n includ parametri de sistem => modificarea oricărui coeficient al ecuației diferențiale duce la modificarea unui număr de parametri ai sistemului.

Rezolvarea unei ecuații diferențiale omogene

unde sunt constantele de integrare și sunt rădăcinile ecuației caracteristice de următoarea formă:

Ecuația caracteristică este numitorul funcției de transfer setat la zero.

Rădăcinile ecuației caracteristice pot fi reale, complexe conjugate și complexe, care sunt determinate de parametrii sistemului.

Pentru a evalua stabilitatea sistemelor, un număr de criterii de durabilitate

Toate criteriile de sustenabilitate sunt împărțite în 3 grupuri:

rădăcină

- algebric

Hodograful din stânga este hodograful unui sistem stabil cunoscut, nu acoperă punctele, care este cerut conform criteriului Nyquist pentru stabilitatea unui sistem închis. Hodograf drept - odograf tripolar, a unui sistem evident instabil ocolește punctul de trei oriîn sens invers acelor de ceasornic, care este cerut conform criteriului Nyquist pentru stabilitatea unui sistem închis.

Cometariu.

Caracteristicile amplitudine-fază ale sistemelor cu parametri reali - și numai astfel de sunt întâlniți în practică, sunt simetrice față de axa reală. Prin urmare, doar jumătate din caracteristica amplitudine-fază corespunzătoare frecvențelor pozitive este de obicei luată în considerare. În acest caz, sunt luate în considerare jumătățile de punct. Intersecția segmentului () cu o creștere a frecvenței de sus în jos (faza crește) este considerată o intersecție, iar de jos în sus - o intersecție. Dacă caracteristica amplitudine-fază a unui sistem în buclă deschisă începe pe segmentul (), atunci fie o intersecție va corespunde acesteia, în funcție de faptul dacă caracteristica scade sau crește cu frecvența crescândă.

Calculul numărului de intersecții ale segmentului () se poate face în funcție de caracteristicile frecvenței logaritmice. Pentru a clarifica, acestea sunt intersecțiile cărora le corespunde faza atunci când modulul caracteristicii de amplitudine este mai mare de unu.

Determinarea stabilității prin caracteristici de frecvență logaritmică.

Pentru a utiliza criteriul Mikhailov, este necesar să construiți un hodograf. Aici este polinomul caracteristic sistemului închis.

În cazul criteriului Nyquist, este suficient să cunoaștem funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă. În acest caz, nu este nevoie să construiți un hodograf. Pentru a determina stabilitatea Nyquist, este suficient să se grafice amplitudinea logaritmică și răspunsurile de frecvență de fază ale unui sistem deschis.

Cea mai simplă construcție se obține atunci când funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă poate fi reprezentată ca

, apoi LAH ,

Figura de mai jos corespunde funcției de transfer

.

Aici și construit ca funcții.

Răspunsurile în frecvență logaritmice prezentate mai jos corespund sistemului funcției de transfer deja menționat mai sus (sistem în buclă deschisă)

.

În stânga sunt răspunsurile de frecvență de amplitudine și fază pentru funcția de transfer, în dreapta - pentru funcția de transfer, în centru - pentru funcția de transfer originală (cum a calculat programul Les pentru noi, metoda „Integrare”).

Trei poli ai funcției sunt deplasați la stânga (sistem stabil). Răspunsul de fază, respectiv, are 0 treceri la nivel. Trei poli ai funcției sunt deplasați la dreapta (sistem instabil). Răspunsul de fază are, în consecință, trei semiîncrucișări de nivel în regiunile în care modulul funcției de transfer este mai mare de unu.

În orice caz, sistemul închis este stabil.

Imaginea centrală - calculul în absența mișcărilor rădăcinii, este limita pentru imaginea din dreapta, progresul de fază în imaginea din stânga este radical diferit. Unde este adevarul?

Exemple din .

Fie ca funcția de transfer a unui sistem deschis să aibă forma:

.

Un sistem deschis este stabil pentru orice pozitiv kși T. Sistemul este stabil și închis, așa cum se poate observa din hodograful din stânga în figură.

Cu negativ T un sistem deschis este instabil - are un plus în semiplanul drept. Sistemul închis este stabil la , așa cum se poate observa din hodograful din centru, și instabil la (hodograf în dreapta).

Fie ca funcția de transfer a unui sistem deschis să aibă forma ():

.

Are un pol pe axa imaginară. Prin urmare, pentru stabilitatea unui sistem închis, este necesar ca numărul de intersecții ale segmentului () cu caracteristica amplitudine-fază a unui sistem în buclă deschisă a segmentului () a axei reale să fie egal (dacă avem în vedere hodograful numai pentru frecvente pozitive).

Construcția hodografelor Nyquist din funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă dat ca polinom

Criteriul de frecvență Nyquist în studiul stabilității sistemelor automate se bazează pe răspunsul în frecvență amplitudine-fază al unui sistem deschis și poate fi formulat după cum urmează:

dacă ecuația caracteristică a unui sistem în buclă deschisă de ordinul n are k rădăcini cu o parte reală pozitivă (k = 0, 1, ..... n) și n-k rădăcini cu o parte reală negativă, atunci pentru stabilitatea sistemului închis este necesar și suficient ca răspunsul în frecvență al hodografului amplitudine-fază al unui sistem în buclă deschisă (hodograful Nyquist) să acopere punctul (-1, j0) al planului complex la un unghi k p, sau, care este la fel, a acoperit punctul (-1, j0) în sens pozitiv, adică. în sens invers acelor de ceasornic, de k ori.

Pentru un caz particular, când ecuația caracteristică a unui sistem deschis nu are rădăcini cu o parte reală pozitivă (k = 0), i.e. când este stabil în stare deschisă, criteriul Nyquist este formulat după cum urmează:

sistemul de control automat este stabil în stare închisă, dacă răspunsul în frecvență amplitudine-fază al sistemului deschis atunci când frecvența se schimbă de la 0 la? nu acoperă punctul planului complex cu coordonate (-1, j0).

Criteriul de stabilitate Nyquist este convenabil de aplicat sistemelor de feedback, în special sistemelor de ordin înalt.

Pentru a construi hodograful Nyquist, vom folosi funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă în formă simbolică din lecția practică nr. 5

O scriem în formă simbolic-digitală pentru parametrii dați ai tuturor elementelor sistemului, cu excepția coeficientului de transfer al amplificatorului magnetic:

Să scriem ecuația pentru răspunsul în frecvență amplitudine-fază, să selectăm răspunsurile de frecvență reale și imaginare și să construim o familie de hodografe Nyquist în funcție de frecvența și coeficientul de transfer al amplificatorului magnetic.

Construirea unui grafic al răspunsului în frecvență amplitudine-fază în MathСad

Fig.3. O familie de curbe hodografe Nyquist construite pentru o funcție de transfer în buclă deschisă în funcție de k mu .

Figura 3 arată că unul dintre hodografele Nyquist trece printr-un punct cu coordonate (j0, -1) . În consecință, într-un interval dat de modificare a coeficientului de transfer al amplificatorului magnetic, există și valoarea sa critică. Pentru a-l determina, folosim următoarele relații:

Prin urmare, câștigul critic al amplificatorului magnetic este:

k mukr =11.186981170416560078

Să ne asigurăm că acest lucru este adevărat. Pentru a face acest lucru, construim curbele hodografului Nyquist pentru trei valori ale coeficientului de transfer al amplificatorului magnetic: k mu = 0,6 k mukr ; k mu = k mukr ; k mu = 1,2k mukr

Fig.4.

k mu = 0,6 k mucr; k mu = k mukr; k mu = 1,2 k mucr

Curbele din Fig. 4 confirmă că coeficientul critic de transfer al amplificatorului magnetic a fost găsit corect.

Folosirea lui l.a.ch.h. și caracteristicile frecvenței de fază pentru analiza stabilității sistemului

Criteriul de stabilitate pentru sistem în ceea ce privește răspunsul în frecvență de amplitudine logaritmică (l.a.h..x) și răspunsul în frecvență de fază poate fi formulat după cum urmează:

Sistemul de control automat, instabil în starea deschisă, este stabil în starea închisă, dacă diferența dintre numărul de tranziții pozitive (tranziția răspunsului în frecvența fazei de jos în sus prin linia u(u) = -180 ° ) și numărul de tranziții negative (tranziția răspunsului în frecvența fazei de sus în jos prin linia u(u) = -180 ° ) răspuns în frecvență de fază u(u) prin linia u(u) = -180 ° este egal cu zero în domeniul de frecvență la care L.a.h..x (L(u)> 0) .

Pentru a construi un răspuns în frecvență de fază, este de dorit să se reprezinte funcția de transfer sub forma unor legături dinamice tipice.

și construiți o caracteristică de fază folosind expresia:

«+» - corespunde legăturilor dinamice tipice ale numărătorului funcţiei de transfer;

«-« - corespunde legăturilor dinamice tipice ale numitorului funcţiei de transfer.

A construi un l.a.ch.ch asimptotic. folosim funcția de transfer a unui sistem deschis, prezentată sub forma unor legături dinamice tipice:

Pentru a face acest lucru, folosim o funcție de transfer de forma:

Reprezentăm această funcție de transfer sub forma unor legături dinamice tipice:

Parametrii legăturilor dinamice tipice sunt definiți după cum se arată mai jos:

Ecuația caracteristică a fazei va arăta astfel:

Să determinăm frecvența la care răspunsul în frecvență de fază intersectează axa c(u) = -180 °

Pentru a construi un L.A.Ch. să folosim expresia:

Figura 5 prezintă graficele L.A.Ch. pentru două valori ale coeficientului de transfer al amplificatorului magnetic k mu = 10 și k mu = 80 .

Fig.5.

Analiza l.a.h.h. iar răspunsul în frecvență de fază arată că cu o creștere a coeficientului de transfer al amplificatorului magnetic de la 8 la 80 sistemul trece de la stabil la instabil. Să determinăm coeficientul critic de transfer al amplificatorului magnetic.

Dacă nu există cerințe suplimentare pentru marjele de stabilitate ale sistemului, atunci se recomandă să le luați egale:

DL(u) = -12db Dc(u) = 35°h 45

Să determinăm la ce coeficient de transfer al amplificatorului magnetic este îndeplinită această condiție.

Acest lucru este confirmat și de graficele prezentate în Figura 6.