Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor simple. Fracții

O fracție este una sau mai multe părți ale unui întreg, de obicei considerată una (1). Ca și în cazul numerelor naturale, puteți efectua toate operațiunile aritmetice de bază (adunare, scădere, împărțire, înmulțire) cu fracții, pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți caracteristicile lucrului cu fracții și să distingeți tipurile acestora; Există mai multe tipuri de fracții: zecimală și ordinară sau simple. Fiecare tip de fracție are propriile sale specificități, dar odată ce înțelegeți bine cum să le gestionați, veți putea rezolva orice exemple cu fracții, deoarece veți cunoaște principiile de bază ale efectuării calculelor aritmetice cu fracții. Să ne uităm la exemple de împărțire a unei fracții la un număr întreg folosind diferite tipuri de fracții.

Cum se împarte o fracție simplă la număr natural?
Fracțiile ordinare sau simple sunt fracții care sunt scrise sub forma unui raport de numere în care dividendul (numărătorul) este indicat în partea de sus a fracției, iar divizorul (numitorul) fracției este indicat în partea de jos. Cum se împarte o astfel de fracție la un număr întreg? Să ne uităm la un exemplu! Să presupunem că trebuie să împărțim 8/12 la 2.

Pentru a face acest lucru, trebuie să efectuăm o serie de acțiuni:
Astfel, dacă ne confruntăm cu sarcina de a împărți o fracție la un număr întreg, diagrama soluției va arăta cam așa:

Într-un mod similar, puteți împărți orice fracție obișnuită (simple) la un număr întreg.

Cum se împarte o zecimală la un număr întreg?
O zecimală este o fracție care se obține prin împărțirea unei unități în zece, o mie și așa mai departe. Aritmetica cu zecimale este destul de simplă.

Să ne uităm la un exemplu de împărțire a unei fracții la un număr întreg. Să presupunem că trebuie să împărțim fracția zecimală 0,925 la numărul natural 5.

Pentru a rezuma, să ne oprim asupra a două puncte principale care sunt importante atunci când se efectuează operația de împărțire a fracțiilor zecimale la un număr întreg:

• pentru a împărți o fracție zecimală la un număr natural, se folosește diviziunea lungă;
  
• O virgulă este plasată într-un coeficient atunci când împărțirea întregii părți a dividendului este finalizată.
  

Aplicând acestea reguli simple, puteți împărți întotdeauna cu ușurință orice fracție zecimală sau simplă la un număr întreg.

Numerele fracționale obișnuite întâlnesc mai întâi școlari în clasa a V-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să se folosească un obiect nu ca un întreg, ci în bucăți separate. Începeți să studiați acest subiect - acțiuni. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte acest sau acel obiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se țină seama, de exemplu, de lungimea sau prețul unui produs ca număr întreg; Format din verbul „a împărți” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, cuvântul „fracție” însuși a apărut în limba rusă în secolul al VIII-lea.

Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cea mai dificilă ramură a matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, ele erau numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de înțeles de către oameni.

Aspect modern resturile fracționale simple, ale căror părți sunt separate printr-o linie orizontală, au fost promovate pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate din 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cum are loc înmulțirea fractii mixte Cu numitori diferiti.

Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți

Inițial merită determinat tipuri de fracții:

• corecta;
• incorect;
• amestecat.

Apoi, trebuie să vă amintiți cu ce sunt înmulțite numerele fracționale aceiași numitori. Însăși regula acestui proces nu este dificil de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracțiilor simple cu numitori identici este o expresie fracțională, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. . Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente inițial.

La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori regula nu se schimbă:

o/b * c/d = a*c/ b*d.

Singura diferență este că numărul format sub linia fracțională va fi un produs de numere diferite și, desigur, nu poate fi numit pătratul unei expresii numerice.

Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți folosind exemple:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Exemplele folosesc metode pentru reducerea expresiilor fracționale. Puteți reduce numai numerele numărătorului cu numerele numitorului factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracției nu pot fi reduse.

Alături de fracțiile simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Cum funcționează înmulțirea?

Sunt oferite mai multe exemple pentru a fi luate în considerare.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracțională obișnuită, regula pentru această acțiune poate fi scrisă folosind formula:

o* b/c = a*b/c.

De fapt, un astfel de produs este suma resturilor fracționale identice, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Caz special:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Există o altă soluție pentru înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:

d* e/f = e/f:d.

Această tehnică este utilă atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, la un număr întreg.

Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă ca o fracție improprie și poate fi reprezentată și ca o formulă generală:

o bc = a*b+ c/c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea întregii părți cu numitorul și adăugarea acesteia cu numărătorul restului fracționar inițial, iar numitorul rămâne același.

Acest proces funcționează și în direcția opusă. Pentru a separa întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul unei fracții improprie la numitorul ei folosind un „colț”.

Multiplicare fracții improprii produs într-un mod general acceptat. Când scrieți sub o singură linie de fracție, trebuie să reduceți fracțiile după cum este necesar pentru a reduce numerele folosind această metodă și pentru a facilita calcularea rezultatului.

Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme matematice complexe variatii variate programe. Un număr suficient de astfel de servicii oferă asistență în numărarea înmulțirii fracțiilor cu numere diferiteîn numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Este ușor de lucrat; completați câmpurile corespunzătoare de pe pagina site-ului, selectați semnul operației matematice și faceți clic pe „calculați”. Programul calculează automat.

Tema operațiilor aritmetice cu fracții este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de gimnaziu și liceu. În liceu nu mai consideră cea mai simplă specie, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule obținute mai devreme este aplicată în forma sa originală. Cunoștințele de bază bine stăpânite oferă încredere deplină în decizie de succes cele mai dificile sarcini.

În concluzie, are sens să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea omului să-și mărească numărătorul – meritele – dar oricine își poate reduce numitorul – părerea sa despre sine, iar odată cu această scădere se apropie de perfecțiunea lui.

Puteți face totul cu fracții, inclusiv diviziunea. Acest articol arată împărțirea fracțiilor obișnuite. Vor fi date definiții și vor fi discutate exemple. Să ne oprim în detaliu asupra împărțirii fracțiilor la numere naturale și invers. Se va lua în considerare împărțirea fracție comună la un număr mixt.

Împărțirea fracțiilor

Împărțirea este inversul înmulțirii. La împărțire, factorul necunoscut se găsește la lucrare celebrăși un alt factor, unde sensul său dat este păstrat cu fracții obișnuite.

Dacă este necesar să împărțiți o fracție comună a b la c d, atunci pentru a determina un astfel de număr trebuie să îl înmulțiți cu divizorul c d, acest lucru va da în cele din urmă dividendul a b. Să obținem un număr și să-l scriem a b · d c , unde d c este inversul numărului c d. Egalitățile se pot scrie folosind proprietățile înmulțirii și anume: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, unde expresia a b · d c este câtul împărțirii a b la c d.

De aici obținem și formulăm regula de împărțire a fracțiilor ordinare:

Definiția 1

Pentru a împărți o fracție comună a b la c d, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului.

Să scriem regula sub forma unei expresii: a b: c d = a b · d c

Regulile de împărțire se rezumă la înmulțire. Pentru a rămâne cu ea, trebuie să înțelegeți bine înmulțirea fracțiilor.

Să trecem la considerarea împărțirii fracțiilor ordinare.

Exemplul 1

Împărțiți 9 7 la 5 3. Scrieți rezultatul ca fracție.

Soluţie

Numărul 5 3 este fracția reciprocă 3 5. Este necesar să folosiți regula pentru împărțirea fracțiilor obișnuite. Scriem această expresie după cum urmează: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Răspuns: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Când reduceți fracțiile, separați întreaga parte dacă numărătorul este mai mare decât numitorul.

Exemplul 2

Împărțiți 8 15: 24 65. Scrieți răspunsul sub formă de fracție.

Soluţie

Pentru a rezolva, trebuie să treci de la împărțire la înmulțire. Să-l scriem sub această formă: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Este necesar să se facă o reducere, iar aceasta se face după cum urmează: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Selectați întreaga parte și obțineți 13 9 = 1 4 9.

Răspuns: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Împărțirea unei fracții extraordinare la un număr natural

Folosim regula pentru împărțirea unei fracții la un număr natural: pentru a împărți a b la un număr natural n, trebuie doar să înmulțiți numitorul cu n. De aici obținem expresia: a b: n = a b · n.

Regula împărțirii este o consecință a regulii înmulțirii. Prin urmare, reprezentarea unui număr natural ca fracție va da o egalitate de acest tip: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Luați în considerare această împărțire a unei fracții la un număr.

Exemplul 3

Împărțiți fracția 16 45 la numărul 12.

Soluţie

Să aplicăm regula împărțirii unei fracții la un număr. Obținem o expresie de forma 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Să reducem fracția. Se obține 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Răspuns: 16 45: 12 = 4 135 .

Împărțirea unui număr natural la o fracție

Regula împărțirii este similară O regula împărțirii unui număr natural la o fracție obișnuită: pentru a împărți un număr natural n la o fracție obișnuită a b, este necesar să se înmulțească numărul n cu reciproca fracției a b.

Pe baza regulii, avem n: a b = n · b a, iar datorită regulii înmulțirii unui număr natural cu o fracție obișnuită, obținem expresia noastră sub forma n: a b = n · b a. Este necesar să luăm în considerare această împărțire cu un exemplu.

Exemplul 4

Împărțiți 25 la 15 28.

Soluţie

Trebuie să trecem de la împărțire la înmulțire. Să o scriem sub forma expresiei 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Să reducem fracția și să obținem rezultatul sub forma fracției 46 2 3.

Răspuns: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Împărțirea unei fracții la un număr mixt

Când împărțiți o fracție comună la un număr mixt, puteți începe cu ușurință să împărțiți fracțiile comune. Trebuie să convertiți un număr mixt într-o fracție improprie.

Exemplul 5

Împărțiți fracția 35 16 la 3 1 8.

Soluţie

Deoarece 3 1 8 este un număr mixt, să-l reprezentăm ca o fracție improprie. Atunci obținem 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Acum să împărțim fracțiile. Se obține 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Răspuns: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Împărțirea unui număr mixt se face în același mod ca și numerele obișnuite.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Această operație este mult mai frumoasă decât adunarea-scăderea! Pentru că e mai ușor. Ca o reamintire, pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Adică:

De exemplu:

Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu e nevoie de el aici...

Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să inversați doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:

De exemplu:

Dacă întâlniți înmulțiri sau împărțiri cu numere întregi și fracții, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu unul la numitor - și mergeți mai departe! De exemplu:

În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:

Cum pot face ca această fracție să arate decent? Da, foarte simplu! Folosiți împărțirea în două puncte:

Dar nu uitați de ordinea împărțirii! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar este ușor să faci o greșeală într-o fracțiune de trei etaje. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:

În primul caz (expresie din stânga):

În a doua (expresie din dreapta):

Simți diferența? 4 și 1/9!

Ce determină ordinea împărțirii? Fie cu paranteze, fie (ca aici) cu lungimea liniilor orizontale. Dezvoltați-vă ochiul. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:

apoi împărțiți și înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!

Și, de asemenea, foarte simplu și tehnică importantă. În acțiuni cu grade, îți va fi atât de util! Să împărțim unul cu orice fracție, de exemplu, la 13/15:

Lovitura s-a răsturnat! Și asta se întâmplă mereu. Când împărțiți 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar invers.

Asta e pentru operațiuni cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Vă rugăm să rețineți sfaturi practice, și vor fi mai puține dintre ele (erori)!

Sfaturi practice:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Acestea nu sunt cuvinte generale, nu sunt urări de bine! Aceasta este o nevoie urgentă! Efectuați toate calculele pentru examenul de stat unificat ca o sarcină cu drepturi depline, concentrată și clară. Este mai bine să scrieți două rânduri în plus în ciornă decât să dați greșelii atunci când faceți calcule mentale.

2. În exemplele cu diferite tipuri fracții - mergeți la fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până se opresc.

4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).

5. Împărțiți o unitate la o fracțiune în cap, pur și simplu răsturnând fracția.

Iată sarcinile pe care trebuie neapărat să le îndeplinești. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele pe această temă și sfaturi practice. Estimați câte exemple ați reușit să rezolvați corect. Chiar prima dată! Fără calculator! Și trageți concluziile corecte...

Amintiți-vă - răspunsul corect este primit de la a doua (mai ales a treia) oară nu contează! Așa este viața aspră.

Aşa, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este deja pregătirea pentru examenul de stat unificat. Rezolvăm exemplul, îl verificăm, îl rezolvăm pe următorul. Am decis totul - am verificat din nou de la prima până la sfârșit. Și numai Apoi uita-te la raspunsuri.

Calcula:

Te-ai hotarat?

Căutăm răspunsuri care se potrivesc cu ale dumneavoastră. Le-am notat voit în dezordine, departe de ispită, ca să zic așa... Iată-le, răspunsurile, scrise cu punct și virgulă.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Acum tragem concluzii. Daca totul a iesit, ma bucur pentru tine! Calculele de bază cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu...

Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar... Asta rezolvabil probleme.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

) și numitor cu numitor (se obține numitorul produsului).

Formula pentru înmulțirea fracțiilor:

De exemplu:

Înainte de a începe înmulțirea numărătorilor și numitorilor, trebuie să verificați dacă fracția poate fi redusă. Dacă puteți reduce fracția, vă va fi mai ușor să faceți calcule suplimentare.

Împărțirea unei fracții comune la o fracție.

Împărțirea fracțiilor care implică numere naturale.

Nu este atât de înfricoșător pe cât pare. Ca și în cazul adunării, convertim întregul într-o fracție cu unu la numitor. De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor mixte.

Reguli pentru înmulțirea fracțiilor (mixte):

• converti fracțiile mixte în fracții improprii;
• înmulțirea numărătorilor și numitorilor fracțiilor;
• reduceți fracția;
• Dacă obțineți o fracție improprie, atunci convertim fracția improprie într-o fracție mixtă.

Fiţi atenți! Pentru a înmulți o fracție mixtă cu o altă fracție mixtă, trebuie mai întâi să le convertiți în forma de fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite.

A doua modalitate de a înmulți o fracție cu un număr natural.

Poate fi mai convenabil să folosiți a doua metodă de înmulțire a unei fracții comune cu un număr.

Fiţi atenți! Pentru a înmulți o fracție cu un număr natural, trebuie să împărțiți numitorul fracției la acest număr și să lăsați numărătorul neschimbat.

Din exemplul dat mai sus, este clar că această opțiune este mai convenabilă de utilizat atunci când numitorul unei fracții este împărțit fără rest la un număr natural.

Fracții cu mai multe etaje.

În liceu, sunt adesea întâlnite fracții cu trei etaje (sau mai multe). Exemplu:

Pentru a aduce o astfel de fracție la forma ei obișnuită, utilizați împărțirea prin 2 puncte:

Fiţi atenți! La împărțirea fracțiilor, ordinea împărțirii este foarte importantă. Fii atent, este ușor să te încurci aici.

Vă rugăm să rețineți De exemplu:

Când împărțiți unul la orice fracție, rezultatul va fi aceeași fracție, doar inversată:

Sfaturi practice pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor:

1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția. Faceți toate calculele cu atenție și precizie, concentrat și clar. Este mai bine să scrieți câteva rânduri în plus în ciornă decât să vă pierdeți în calcule mentale.

2. În sarcinile cu diferite tipuri de fracții, mergeți la tipul de fracții obișnuite.

3. Reducem toate fracțiile până când nu se mai poate reduce.

4. Transformăm expresii fracționale cu mai multe niveluri în expresii obișnuite folosind împărțirea prin 2 puncte.

5. Împărțiți o unitate la o fracțiune în cap, pur și simplu răsturnând fracția.