Poligon, poligon convex, patrulater.

În această lecție vom începe un nou subiect și vom introduce un nou concept pentru noi: „poligon”. Ne vom uita la conceptele de bază asociate poligoanelor: laturile, unghiurile vârfurilor, convexitatea și nonconvexitatea. Apoi vom demonstra cele mai importante fapte, cum ar fi teorema sumei colțurile interne poligon, teorema sumei colțurile exterioare poligon. Ca urmare, ne vom apropia de a studia cazuri speciale de poligoane, care vor fi luate în considerare în lecțiile ulterioare.

Subiect: Cadrilatere

Lecția: Poligoane

În cursul de geometrie, studiem proprietățile figurilor geometrice și le-am examinat deja pe cele mai simple dintre ele: triunghiuri și cercuri. În același timp, am discutat și cazuri speciale specifice ale acestor figuri, cum ar fi triunghiurile drepte, isoscele și regulate. Acum este timpul să vorbim despre mai general și figuri complexe - poligoane.

Cu un caz special poligoane suntem deja familiari - acesta este un triunghi (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Triunghi

Numele în sine subliniază deja că aceasta este o figură cu trei unghiuri. Prin urmare, în poligon pot fi multe dintre ele, i.e. mai mult de trei. De exemplu, să desenăm un pentagon (vezi Fig. 2), adică. figură cu cinci colțuri.

Orez. 2. Pentagon. Poligon convex

Definiţie.Poligon- o figură formată din mai multe puncte (mai mult de două) și numărul corespunzător de segmente care le leagă succesiv. Aceste puncte sunt numite culmi poligon, iar segmentele sunt petreceri. În acest caz, două laturi adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă și nici două laturi neadiacente nu se intersectează.

Definiţie.Poligon regulat- Asta poligon convex, în care toate laturile și unghiurile sunt egale.

Orice poligonîmparte planul în două zone: internă și externă. Zona internă mai este denumită poligon.

Cu alte cuvinte, de exemplu, când se vorbește despre un pentagon, se referă atât la întreaga sa regiune internă, cât și la granița sa. Și regiunea internă include toate punctele care se află în interiorul poligonului, adică. punctul se referă și la pentagon (vezi fig. 2).

Poligoanele sunt uneori numite n-goni pentru a sublinia faptul că este luat în considerare cazul general al prezenței unui număr necunoscut de unghiuri (n piese).

Definiţie. Perimetrul poligonului- suma lungimilor laturilor poligonului.

Acum trebuie să ne familiarizăm cu tipurile de poligoane. Ele sunt împărțite în convexŞi neconvex. De exemplu, poligonul prezentat în fig. 2 este convex, iar în fig. 3 neconvexe.

Orez. 3. Poligon neconvex

Definiția 1. Poligon numit convex, dacă atunci când trageți o linie dreaptă prin oricare dintre laturile sale, întregul poligon se află doar pe o parte a acestei linii drepte. Neconvex sunt toți ceilalți poligoane.

Este ușor de imaginat că atunci când extindeți orice parte a pentagonului din Fig. 2 va fi totul pe o parte a acestei linii drepte, adică. este convex. Dar atunci când trageți o linie dreaptă printr-un patrulater din Fig. 3 vedem deja că o împarte în două părți, i.e. nu este convex.

Dar există o altă definiție a convexității unui poligon.

Definiția 2. Poligon numit convex, dacă atunci când alegeți două dintre punctele sale interioare și le conectați cu un segment, toate punctele segmentului sunt și puncte interioare ale poligonului.

O demonstrație a utilizării acestei definiții poate fi văzută în exemplul de construire a segmentelor din Fig. 2 și 3.

Definiţie. Diagonală al unui poligon este orice segment care leagă două vârfuri neadiacente.

Pentru a descrie proprietățile poligoanelor, există două cele mai importante teoreme despre unghiurile lor: teoremă asupra sumei unghiurilor interioare ale unui poligon convexŞi teoremă asupra sumei unghiurilor exterioare ale unui poligon convex. Să ne uităm la ele.

Teorema. Pe suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex (n-gon).

Unde este numărul unghiurilor sale (laturilor).

Dovada 1. Să reprezentăm în Fig. 4 convexe n-gon.

Orez. 4. n-gon convex

Din vârf desenăm toate diagonalele posibile. Ei împart un n-gon în triunghiuri, deoarece fiecare dintre laturile poligonului formează un triunghi, cu excepția laturilor adiacente vârfului. Este ușor de observat din figură că suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri va fi exact egală cu suma unghiurilor interne ale n-gonului. Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este , atunci suma unghiurilor interne ale unui n-gon este:

Q.E.D.

Demonstrația 2. O altă demonstrație a acestei teoreme este posibilă. Să desenăm un n-gon similar în Fig. 5 și conectați oricare dintre punctele sale interioare cu toate vârfurile.

Orez. 5.

Am obținut o împărțire a n-gonului în n triunghiuri (atâte laturi câte triunghiuri sunt). Suma tuturor unghiurilor lor este egală cu suma unghiurilor interioare ale poligonului și suma unghiurilor din punctul interior, iar acesta este unghiul. Avem:

Q.E.D.

Dovedit.

Conform teoremei dovedite, este clar că suma unghiurilor unui n-gon depinde de numărul laturilor sale (pe n). De exemplu, într-un triunghi, iar suma unghiurilor este . Într-un patrulater, iar suma unghiurilor este etc.

Teorema. Pe suma unghiurilor externe ale unui poligon convex (n-gon).

Unde este numărul unghiurilor (laturilor) și , …, sunt unghiurile externe.

Dovada. Să descriem un n-gon convex în Fig. 6 și desemnați unghiurile sale interne și externe.

Orez. 6. N-gon convex cu unghiuri externe desemnate

Deoarece Unghiul extern este conectat la cel intern ca adiacent, atunci și la fel pentru colțurile exterioare rămase. Apoi:

În timpul transformărilor, am folosit teorema deja dovedită despre suma unghiurilor interne ale unui n-gon.

Dovedit.

Din teorema dovedită rezultă fapt interesant, că suma unghiurilor externe ale unui n-gon convex este egală cu pe numărul unghiurilor (laturilor) sale. Apropo, în contrast cu suma unghiurilor interne.

Referințe

1. Alexandrov A.D. si altele Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Teme pentru acasă

Conceptul de poligon

Definiția 1

Poligon este o figură geometrică într-un plan care constă din segmente conectate în perechi, cele adiacente nu se află pe aceeași dreaptă.

În acest caz, segmentele sunt numite laturile poligonului, și capetele lor - vârfurile poligonului.

Definiția 2

Un $n$-gon este un poligon cu $n$ vârfuri.

Tipuri de poligoane

Definiția 3

Dacă un poligon se află întotdeauna pe aceeași parte a oricărei linii care trece prin laturile sale, atunci poligonul este numit convex(Fig. 1).

Figura 1. Poligon convex

Definiția 4

Dacă poligonul se află de-a lungul laturi diferite cel puțin o dreaptă care trece prin laturile sale, apoi poligonul se numește neconvex (Fig. 2).

Figura 2. Poligon neconvex

Suma unghiurilor unui poligon

Să introducem o teoremă asupra sumei unghiurilor unui triunghi.

Teorema 1

Suma unghiurilor unui triunghi convex se determină după cum urmează

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dovada.

Să ni se dea un poligon convex $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Să conectăm vârful său $A_1$ cu toate celelalte vârfuri ale acestui poligon (Fig. 3).

Figura 3.

Cu această conexiune obținem $n-2$ triunghiuri. Însumând unghiurile lor obținem suma unghiurilor unui -gon dat. Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este egală cu $(180)^0,$ obținem că suma unghiurilor unui triunghi convex este determinată de formula

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema a fost demonstrată.

Conceptul de patrulater

Folosind definiția lui $2$, este ușor să introduceți definiția unui patrulater.

Definiția 5

Un patrulater este un poligon cu $4$ vârfuri (Fig. 4).

Figura 4. Quadrangle

Pentru un patrulater, conceptele de patrulater convex și patrulater neconvex sunt definite în mod similar. Exemple clasice de patrulatere convexe sunt pătratul, dreptunghiul, trapezul, rombul, paralelogramul (Fig. 5).

Figura 5. Patrulatere convexe

Teorema 2

Suma unghiurilor unui patrulater convex este $(360)^0$

Dovada.

Prin teorema $1$, știm că suma unghiurilor unui -gon convex este determinată de formula

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Prin urmare, suma unghiurilor unui patrulater convex este egală cu

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema a fost demonstrată.

În această lecție vom începe un nou subiect și vom introduce un nou concept pentru noi: „poligon”. Ne vom uita la conceptele de bază asociate poligoanelor: laturile, unghiurile vârfurilor, convexitatea și nonconvexitatea. Apoi vom demonstra cele mai importante fapte, cum ar fi teorema despre suma unghiurilor interne ale unui poligon, teorema despre suma unghiurilor externe ale unui poligon. Ca urmare, ne vom apropia de a studia cazuri speciale de poligoane, care vor fi luate în considerare în lecțiile ulterioare.

Subiect: Cadrilatere

Lecția: Poligoane

În cursul de geometrie, studiem proprietățile figurilor geometrice și le-am examinat deja pe cele mai simple dintre ele: triunghiuri și cercuri. În același timp, am discutat și cazuri speciale specifice ale acestor figuri, cum ar fi triunghiurile drepte, isoscele și regulate. Acum este timpul să vorbim despre cifre mai generale și mai complexe - poligoane.

Cu un caz special poligoane suntem deja familiari - acesta este un triunghi (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Triunghi

Numele în sine subliniază deja că aceasta este o figură cu trei unghiuri. Prin urmare, în poligon pot fi multe dintre ele, i.e. mai mult de trei. De exemplu, să desenăm un pentagon (vezi Fig. 2), adică. figură cu cinci colțuri.

Orez. 2. Pentagon. Poligon convex

Definiţie.Poligon- o figură formată din mai multe puncte (mai mult de două) și numărul corespunzător de segmente care le leagă succesiv. Aceste puncte sunt numite culmi poligon, iar segmentele sunt petreceri. În acest caz, două laturi adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă și nici două laturi neadiacente nu se intersectează.

Definiţie.Poligon regulat este un poligon convex în care toate laturile și unghiurile sunt egale.

Orice poligonîmparte planul în două zone: internă și externă. Zona internă mai este denumită poligon.

Cu alte cuvinte, de exemplu, când se vorbește despre un pentagon, se referă atât la întreaga sa regiune internă, cât și la granița sa. Și regiunea internă include toate punctele care se află în interiorul poligonului, adică. punctul se referă și la pentagon (vezi fig. 2).

Poligoanele sunt uneori numite n-goni pentru a sublinia faptul că este luat în considerare cazul general al prezenței unui număr necunoscut de unghiuri (n piese).

Definiţie. Perimetrul poligonului- suma lungimilor laturilor poligonului.

Acum trebuie să ne familiarizăm cu tipurile de poligoane. Ele sunt împărțite în convexŞi neconvex. De exemplu, poligonul prezentat în fig. 2 este convex, iar în fig. 3 neconvexe.

Orez. 3. Poligon neconvex

Definiția 1. Poligon numit convex, dacă atunci când trageți o linie dreaptă prin oricare dintre laturile sale, întregul poligon se află doar pe o parte a acestei linii drepte. Neconvex sunt toți ceilalți poligoane.

Este ușor de imaginat că atunci când extindeți orice parte a pentagonului din Fig. 2 va fi totul pe o parte a acestei linii drepte, adică. este convex. Dar atunci când trageți o linie dreaptă printr-un patrulater din Fig. 3 vedem deja că o împarte în două părți, i.e. nu este convex.

Dar există o altă definiție a convexității unui poligon.

Definiția 2. Poligon numit convex, dacă atunci când alegeți două dintre punctele sale interioare și le conectați cu un segment, toate punctele segmentului sunt și puncte interioare ale poligonului.

O demonstrație a utilizării acestei definiții poate fi văzută în exemplul de construire a segmentelor din Fig. 2 și 3.

Definiţie. Diagonală al unui poligon este orice segment care leagă două vârfuri neadiacente.

Pentru a descrie proprietățile poligoanelor, există două cele mai importante teoreme despre unghiurile lor: teoremă asupra sumei unghiurilor interioare ale unui poligon convexŞi teoremă asupra sumei unghiurilor exterioare ale unui poligon convex. Să ne uităm la ele.

Teorema. Pe suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex (n-gon).

Unde este numărul unghiurilor sale (laturilor).

Dovada 1. Să reprezentăm în Fig. 4 convexe n-gon.

Orez. 4. n-gon convex

Din vârf desenăm toate diagonalele posibile. Ei împart un n-gon în triunghiuri, deoarece fiecare dintre laturile poligonului formează un triunghi, cu excepția laturilor adiacente vârfului. Este ușor de observat din figură că suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri va fi exact egală cu suma unghiurilor interne ale n-gonului. Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este , atunci suma unghiurilor interne ale unui n-gon este:

Q.E.D.

Demonstrația 2. O altă demonstrație a acestei teoreme este posibilă. Să desenăm un n-gon similar în Fig. 5 și conectați oricare dintre punctele sale interioare cu toate vârfurile.

Orez. 5.

Am obținut o împărțire a n-gonului în n triunghiuri (atâte laturi câte triunghiuri sunt). Suma tuturor unghiurilor lor este egală cu suma unghiurilor interioare ale poligonului și suma unghiurilor din punctul interior, iar acesta este unghiul. Avem:

Q.E.D.

Dovedit.

Conform teoremei dovedite, este clar că suma unghiurilor unui n-gon depinde de numărul laturilor sale (pe n). De exemplu, într-un triunghi, iar suma unghiurilor este . Într-un patrulater, iar suma unghiurilor este etc.

Teorema. Pe suma unghiurilor externe ale unui poligon convex (n-gon).

Unde este numărul unghiurilor (laturilor) și , …, sunt unghiurile externe.

Dovada. Să descriem un n-gon convex în Fig. 6 și desemnați unghiurile sale interne și externe.

Orez. 6. N-gon convex cu unghiuri externe desemnate

Deoarece Unghiul extern este conectat la cel intern ca adiacent, atunci și la fel pentru colțurile exterioare rămase. Apoi:

În timpul transformărilor, am folosit teorema deja dovedită despre suma unghiurilor interne ale unui n-gon.

Dovedit.

Din teorema demonstrată rezultă un fapt interesant că suma unghiurilor externe ale unui n-gon convex este egală cu pe numărul unghiurilor (laturilor) sale. Apropo, în contrast cu suma unghiurilor interne.

Referințe

1. Alexandrov A.D. si altele Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie, clasa a VIII-a. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Teme pentru acasă

Un set convex de puncte pe un plan.

Se numește un set de puncte dintr-un plan sau dintr-un spațiu tridimensional convex, dacă oricare două puncte din această mulțime pot fi conectate printr-un segment de linie care se află în întregime în această mulțime.

Teorema 1. Intersecția unui număr finit de mulțimi convexe este o mulțime convexă.

Consecinţă. Intersecția unui număr finit de mulțimi convexe este o mulțime convexă.

Puncte de colț.

Se numește punctul limită al unei mulțimi convexe unghiular, dacă este posibil să se deseneze un segment prin el, ale cărui puncte nu aparțin mulțimii date.

Seturile de forme diferite pot avea un număr finit sau infinit de puncte de colț.

Poligon convex.

Poligon numit convex, dacă se află pe o parte a fiecărei linii care trece prin două dintre vârfurile ei vecine.

Teoremă: suma unghiurilor unui n-gon convex este 180˚ *(n-2)

6) Rezolvarea sistemelor m inegalități liniare cu două variabile

Dat un sistem de inegalități liniare cu două variabile

Semnele unora sau tuturor inegalităților pot fi ≥.

Să luăm în considerare prima inegalitate din sistemul de coordonate X1OX2. Să construim o linie dreaptă

care este linia de hotar.

Această linie dreaptă împarte planul în două semiplane 1 și 2 (Fig. 19.4).

Semiplanul 1 conține originea, semiplanul 2 nu conține originea.

Pentru a determina pe ce parte a liniei de delimitare se află un anumit semiplan, trebuie să luați un punct arbitrar pe plan ( mai bine incepe coordonate) și înlocuiți coordonatele acestui punct în inegalitate. Dacă inegalitatea este adevărată, atunci semiplanul este orientat către acest punct, dacă nu este adevărată, atunci în direcția opusă punctului;

Direcția semiplanului este prezentată în figuri cu o săgeată.

Definiție 15. Soluția fiecărei inegalități a sistemului este un semiplan care conține linia de limită și situat pe o parte a acesteia.

Definiție 16. Intersecția semiplanurilor, fiecare dintre acestea fiind determinată de inegalitatea corespunzătoare a sistemului, se numește domeniul soluției sistemului (SO).

Definiție 17. Regiunea soluție a unui sistem care îndeplinește condițiile de nenegativitate (xj ≥ 0, j =) se numește regiunea soluțiilor nenegative sau admisibile (ADS).

Dacă sistemul de inegalități este consistent, atunci OR și ODR pot fi un poliedru, o regiune poliedrică nemărginită sau un singur punct.

Dacă sistemul de inegalități este inconsecvent, atunci OR și ODR sunt o mulțime goală.

Exemplul 1. Găsiți OR și EDO ale sistemului de inegalități și determinați coordonatele punctelor de colț ale EDO

Soluţie. Să aflăm OR al primei inegalități: x1 + 3x2 ≥ 3. Să construim linia de frontieră x1 + 3x2 – 3 = 0 (Fig. 19.5). Să substituim coordonatele punctului (0,0) în inegalitatea: 1∙0 + 3∙0 > 3; întrucât coordonatele punctului (0,0) nu îl satisfac, atunci soluția inegalității (19.1) este un semiplan care nu conține punctul (0,0).

Să găsim în mod similar soluții la inegalitățile rămase ale sistemului. Obținem că OR și EDO ale sistemului de inegalități este un poliedru convex ABCD.

Să găsim punctele de colț ale poliedrului. Definim punctul A ca punct de intersecție al dreptelor

Rezolvând sistemul, obținem A(3/7, 6/7).

Găsim punctul B ca punct de intersecție al dreptelor

Din sistem obținem B(5/3, 10/3). În mod similar, găsim coordonatele punctelor C și D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Exemplul 2. Aflați OR și EDO ale sistemului de inegalități

Soluţie. Să construim drepte și să determinăm soluții la inegalitățile (19.5)-(19.7). OR și ODR sunt regiuni poliedrice nemărginite ACFM și respectiv ABDEKM (Fig. 19.6).

Exemplul 3. Aflați OR și EDO ale sistemului de inegalități

Soluţie. Să găsim soluții la inegalitățile (19.8)-(19.10) (Fig. 19.7). OR reprezintă regiunea poliedrică nelimitată ABC; ODR - punctul B.

Exemplul 4. Aflați OP și ODP ale sistemului de inegalități

Soluţie. Construind drepte, vom găsi soluții la inegalitățile sistemului. OR și ODR sunt incompatibile (Fig. 19.8).

EXERCIȚII

Aflați OR și EDO ale sistemelor de inegalități

Teorema. Dacă xn ® a, atunci .

Dovada. Din xn ® a rezultă că . În același timp:

, adică , adică . Teorema a fost demonstrată.

Teorema. Dacă xn ® a, atunci șirul (xn) este mărginit.

Trebuie remarcat faptul că afirmația inversă nu este adevărată, adică. mărginirea unei secvențe nu implică convergența acesteia.

De exemplu, secvența nu are limita insa

Extinderea funcțiilor în serii de puteri.

Extinderea seriei de puteri a funcțiilor are mare valoare pentru rezolvarea diferitelor probleme de studiere a funcțiilor, diferențiere, integrare, rezolvare de ecuații diferențiale, calcul de limite, calculare a valorilor aproximative ale unei funcții.