Cum să desenezi o înălțime într-un trapez dreptunghiular. Aria unui trapez: formule și metode de calcul

Un trapez este un patrulater ale cărui două laturi sunt paralele (acestea sunt bazele trapezului, indicate în figura a și b), iar celelalte două nu sunt (în figura AD și CB). Înălțimea unui trapez este un segment h desenat perpendicular pe baze.

Cum să găsiți înălțimea unui trapez având în vedere valorile cunoscute ale ariei trapezului și lungimile bazelor?

Pentru a calcula aria S a trapezului ABCD, folosim formula:

S = ((a+b) × h)/2.

Aici segmentele a și b sunt bazele trapezului, h este înălțimea trapezului.

Transformând această formulă, putem scrie:

Folosind această formulă, obținem valoarea lui h dacă se cunosc aria S și lungimile bazelor a și b.

Exemplu

Dacă se știe că aria trapezului S este de 50 cm², lungimea bazei a este de 4 cm și lungimea bazei b este de 6 cm, atunci pentru a găsi înălțimea h, folosim formula:

Înlocuim cantități cunoscute în formulă.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Răspuns: Înălțimea trapezului este de 10 cm.

Cum să găsiți înălțimea unui trapez dacă sunt date aria trapezului și lungimea liniei mediane?

Să folosim formula pentru a calcula aria unui trapez:

Aici m este linia de mijloc, h este înălțimea trapezului.

Dacă apare întrebarea cum să găsiți înălțimea unui trapez, formula este:

h = S/m va fi răspunsul.

Astfel, putem găsi înălțimea trapezului h, având în vedere valorile cunoscute ale ariei S și ale segmentului de linie mediană m.

Exemplu

Sunt cunoscute lungimea liniei mediane a trapezului m, care este de 20 cm, și aria S, care este de 200 cm². Să aflăm valoarea înălțimii trapezului h.

Înlocuind valorile lui S și m, obținem:

h = 200/20 = 10 cm

Răspuns: înălțimea trapezului este de 10 cm

Cum să găsiți înălțimea unui trapez dreptunghiular?

Dacă un trapez este un patrulater, cu două laturi (baze) paralele ale trapezului. Atunci o diagonală este un segment care leagă două vârfuri opuse ale colțurilor unui trapez (segmentul AC din figură). Dacă trapezul este dreptunghiular, folosind diagonala, găsim înălțimea trapezului h.

Un trapez dreptunghiular este un trapez în care una dintre laturi este perpendiculară pe baze. În acest caz, lungimea sa (AD) coincide cu înălțimea h.

Deci, luați în considerare un trapez dreptunghiular ABCD, unde AD este înălțimea, DC este baza, AC este diagonala. Să folosim teorema lui Pitagora. Pătratul ipotenuzei AC al unui triunghi dreptunghic ADC este egal cu suma pătratelor catetelor sale AB și BC.

Apoi putem scrie:

AC² = AD² + DC².

AD este catetul triunghiului, latura laterală a trapezului și, în același timp, înălțimea acestuia. La urma urmei, segmentul AD este perpendicular pe baze. Lungimea acestuia va fi:

AD = √(AC² - DC²)

Deci, avem o formulă pentru calcularea înălțimii unui trapez h = AD

Exemplu

Dacă lungimea bazei unui trapez dreptunghiular (DC) este de 14 cm, iar diagonala (AC) este de 15 cm, folosim teorema lui Pitagora pentru a obține valoarea înălțimii (AD - latura).

Fie x catetul necunoscut al unui triunghi dreptunghic (AD), atunci

AC² = AD² + DC² poate fi scris

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 cm

Răspuns: înălțimea unui trapez dreptunghiular (AB) va fi √29 cm, adică aproximativ 5,385 cm

Cum se află înălțimea unui trapez isoscel?

Un trapez isoscel este un trapez ale cărui lungimi laturi sunt egale între ele. Linia dreaptă trasată prin punctele medii ale bazelor unui astfel de trapez va fi axa de simetrie. Un caz special este un trapez, ale cărui diagonale sunt perpendiculare între ele, atunci înălțimea h va fi egală cu jumătate din suma bazelor.

Să luăm în considerare cazul în care diagonalele nu sunt perpendiculare între ele. Într-un trapez echilateral (isoscel), unghiurile de la baze sunt egale, iar lungimile diagonalelor sunt egale. De asemenea, se știe că toate vârfurile unui trapez isoscel ating linia unui cerc desenat în jurul acestui trapez.

Să ne uităm la desen. ABCD este un trapez isoscel. Se știe că bazele trapezului sunt paralele, ceea ce înseamnă că BC = b este paralelă cu AD = a, latura AB = CD = c, ceea ce înseamnă că unghiurile de la baze sunt egale corespunzător, putem scrie unghiul BAQ. = CDS = α, iar unghiul ABC = BCD = β. Astfel, concluzionăm că triunghiul ABQ este egal cu triunghiul SCD, ceea ce înseamnă segmentul

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Având, conform condițiilor problemei, valorile bazelor a și b și lungimea laturii c, găsim înălțimea trapezului h, egală cu segmentul BQ.

Luați în considerare triunghiul dreptunghic ABQ. VO este înălțimea trapezului, perpendiculară pe baza AD și, prin urmare, pe segmentul AQ. Găsim latura AQ a triunghiului ABQ folosind formula pe care am derivat-o mai devreme:

Având valorile a două catete ale unui triunghi dreptunghic, găsim ipotenuza BQ = h. Folosim teorema lui Pitagora.

AB²= AQ² + BQ²

Să înlocuim aceste sarcini:

c² = AQ² + h².

Obținem o formulă pentru a afla înălțimea unui trapez isoscel:

h = √(c²-AQ²).

Exemplu

Având în vedere un trapez isoscel ABCD, unde baza AD = a = 10cm, baza BC = b = 4cm și latura AB = c = 12cm. În astfel de condiții, să ne uităm la un exemplu despre cum să găsim înălțimea unui trapez, un trapez isoscel ABCD.

Să găsim latura AQ a triunghiului ABQ înlocuind datele cunoscute:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2=3cm.

Acum să substituim valorile laturilor triunghiului în formula teoremei lui Pitagora.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Răspuns. Înălțimea h a trapezului isoscel ABCD este de 11,6 cm.

La întrebarea simplă „Cum să găsești înălțimea unui trapez?” Există mai multe răspunsuri, toate pentru că pot fi date diferite valori de pornire. Prin urmare, formulele vor diferi.

Aceste formule pot fi memorate, dar nu sunt greu de derivat. Trebuie doar să aplicați teoremele învățate anterior.

Notații utilizate în formule

În toate notațiile matematice de mai jos, aceste lecturi ale literelor sunt corecte.

În datele sursă: toate părțile

Pentru a găsi înălțimea unui trapez în cazul general, va trebui să utilizați următoarea formulă:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Numărul 1.

Nu cea mai scurtă, dar întâlnită și destul de rar în probleme. De obicei, puteți utiliza alte date.

Formula care vă va spune cum să găsiți înălțimea unui trapez isoscel în aceeași situație este mult mai scurtă:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). Numărul 2.

Problema dă: laturile laterale și unghiurile la baza inferioară

Se presupune că unghiul α este adiacent laturii cu denumirea „c”, respectiv, unghiul β este la latura d. Apoi formula pentru a afla înălțimea unui trapez va fi în formă generală:

n = c * sin α = d * sin β. Numărul 3.

Dacă cifra este isoscelă, atunci puteți folosi această opțiune:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Numărul 4.

Cunoscute: diagonalele si unghiurile dintre ele

De obicei, aceste date sunt însoțite de alte cantități cunoscute. De exemplu, bazele sau linia de mijloc. Dacă sunt date motivele, atunci pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți înălțimea unui trapez, următoarea formulă va fi utilă:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) sau n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​​​+ b). Numărul 5.

Aceasta este pentru vedere generală cifre. Dacă este dat un isoscel, atunci notația se va schimba astfel:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ b) sau n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ b). Numărul 6.

Când problema se referă la linia mediană a unui trapez, formulele pentru găsirea înălțimii acestuia devin următoarele:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m sau n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Numărul 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m sau n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Numărul 6a.

Dintre cantitățile cunoscute: zonă cu baze sau linie mediană

Acestea sunt poate cele mai scurte și formule simple Cum se află înălțimea unui trapez. Pentru o cifră arbitrară va fi așa:

n = 2S / (a ​​+ b). Numărul 7.

Este același, dar cu o linie de mijloc cunoscută:

n = S/m. Numărul 7a.

Destul de ciudat, dar pentru un trapez isoscel formulele vor arăta la fel.

Sarcini

nr 1. Pentru a determina unghiurile de la baza inferioară a trapezului.

Stare. Având în vedere un trapez isoscel a cărui latură este de 5 cm, bazele lui sunt de 6 și 12 cm. Trebuie să găsiți sinusul unui unghi ascuțit.

Soluţie. Pentru comoditate, ar trebui să introduceți o desemnare. Fie vârful din stânga jos A, iar restul în sensul acelor de ceasornic: B, C, D. Astfel, baza inferioară va fi desemnată AD, cea superioară - BC.

Este necesar să se deseneze înălțimi din vârfurile B și C. Punctele care indică capetele înălțimilor vor fi desemnate H 1 și, respectiv, H 2. Deoarece toate unghiurile din figura BCH 1 H 2 sunt unghiuri drepte, acesta este un dreptunghi. Aceasta înseamnă că segmentul H 1 H 2 are 6 cm.

Acum trebuie să luăm în considerare două triunghiuri. Sunt egale deoarece sunt dreptunghiulare cu aceleași ipotenuze și catete verticale. De aici rezultă că picioarele lor mai mici sunt egale. Prin urmare, ele pot fi definite ca coeficientul diferenței. Acesta din urmă se obține prin scăderea celui de sus din baza inferioară. Va fi împărțit la 2. Adică 12 - 6 trebuie împărțit la 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Acum din teorema lui Pitagora trebuie să găsiți înălțimea trapezului. Este necesar să găsiți sinusul unui unghi. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Folosind cunoștințele despre cum se găsește sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi cu unghi drept, putem scrie următoarea expresie: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Răspuns. Sinusul necesar este 0,8.

nr. 2. Pentru a afla înălțimea unui trapez folosind o tangentă cunoscută.

Stare. Pentru un trapez isoscel, trebuie să calculați înălțimea. Se știe că bazele sale sunt de 15 și 28 cm Tangenta unghiului ascuțit este dată: 11/13.

Soluţie. Desemnarea vârfurilor este aceeași ca în problema anterioară. Din nou, trebuie să desenați două înălțimi din colțurile superioare. Prin analogie cu soluția primei probleme, trebuie să găsiți AN 1 = N 2 D, care este definită ca diferența de 28 și 15 împărțită la doi. După calcule rezultă: 6,5 cm.

Deoarece tangenta este raportul a două catete, putem scrie următoarea egalitate: tan α = AH 1 / VN 1 . Mai mult, acest raport este egal cu 11/13 (conform condiției). Deoarece AN 1 este cunoscut, înălțimea poate fi calculată: ВН 1 = (11 * 6,5) / 13. Calcule simple da un rezultat de 5,5 cm.

Răspuns.Înălțimea necesară este de 5,5 cm.

nr. 3. Pentru a calcula înălțimea folosind diagonalele cunoscute.

Stare. Despre trapez se știe că diagonalele sale sunt de 13 și 3 cm. Trebuie să aflați înălțimea acestuia dacă suma bazelor este de 14 cm.

Soluţie. Fie ca denumirea figurii să fie aceeași ca înainte. Să presupunem că AC este diagonala mai mică. Din vârful C trebuie să desenați înălțimea dorită și să o desemnați CH.

Acum trebuie să faceți o construcție suplimentară. Din colțul C trebuie să trasați o linie dreaptă paralelă cu diagonala mai mare și să găsiți punctul de intersecție al acesteia cu continuarea laturii AD. Acesta va fi D 1. Rezultatul este un nou trapez, în interiorul căruia este desenat un triunghi ASD 1. Acesta este ceea ce este necesar pentru a rezolva în continuare problema.

Înălțimea dorită va fi și în triunghi. Prin urmare, puteți folosi formulele studiate într-un alt subiect. Înălțimea unui triunghi este definită ca produsul dintre numărul 2 și aria împărțită la latura de care este desenat. Și latura se dovedește a fi egală cu suma bazelor trapezului original. Aceasta provine din regula prin care s-a făcut construcția suplimentară.

În triunghiul luat în considerare, toate laturile sunt cunoscute. Pentru comoditate, introducem notația x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Acum puteți calcula aria folosind teorema lui Heron. Semiperimetrul va fi egal cu p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Apoi, formula pentru zonă după înlocuirea valorilor va arăta astfel: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Răspuns.Înălțimea este de 6√10 / 7 cm.

nr. 4. Pentru a găsi înălțimea pe părțile laterale.

Stare. Având în vedere un trapez, dintre care trei laturi sunt de 10 cm, iar a patra este de 24 cm. Trebuie să-i aflați înălțimea.

Soluţie. Deoarece cifra este isoscelă, veți avea nevoie de formula numărul 2. Trebuie doar să înlocuiți toate valorile în ea și să numărați. Va arăta astfel:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Răspuns. n = √51 cm.

(S) trapez, începeți să calculați înălțimea (h) găsind jumătate din suma lungimilor laturilor paralele: (a+b)/2. Apoi împărțiți zona la valoarea rezultată - rezultatul va fi valoarea dorită: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Cunoscând lungimea liniei centrale (m) și aria (S), puteți simplifica formula de la pasul anterior. Prin definiție, linia mediană a unui trapez este egală cu jumătate din suma bazelor sale, așa că pentru a calcula înălțimea (h) a figurii, împărțiți pur și simplu aria la lungimea liniei mediane: h = S/m.

Este posibil să se determine înălțimea (h) a unui astfel de lucru dacă sunt date numai lungimea uneia dintre laturile (c) și unghiul (α) format de aceasta și baza lungă. În acest caz, ar trebui să se ia în considerare forma formată de această latură, înălțimea și segmentul scurt al bazei, care este tăiat de înălțimea coborâtă pe ea. Acest triunghi va fi dreptunghic, latura cunoscută va fi ipotenuza, iar altitudinea va fi catetul. Raportul dintre lungimi și ipotenuză este egal cu unghiul opus catetei, deci pentru a calcula înălțimea trapezului, înmulțiți lungimea cunoscută a laturii cu sinusul unghiului cunoscut: h = с*sin(α).

Același triunghi merită luat în considerare dacă sunt date lungimea laturii (c) și mărimea unghiului (β) dintre acesta și cealaltă bază (scurtă). În acest caz, unghiul dintre latură (ipotenuză) și înălțime (picior) va fi cu 90° mai mic decât unghiul cunoscut din condițiile: β-90°. Deoarece raportul dintre lungimile catetei și ipotenuza este egal cu cosinusul unghiului dintre ele, calculați înălțimea trapezului înmulțind cosinusul unghiului redus cu 90° cu lungimea laturii: h = с* cos(p-90°).

Dacă este înscris un cerc de rază cunoscută (r), calcularea înălțimii (h) va fi foarte simplă și nu va necesita alți parametri. Un astfel de cerc, prin definiție, trebuie să aibă un singur punct la fiecare dintre bazele sale, iar aceste puncte se vor afla pe aceeași linie cu centrul. Aceasta înseamnă că distanța dintre ele va fi egală cu diametrul (de două ori raza) trasat perpendicular pe baze, adică coincide cu înălțimea trapezului: h=2*r.

Un trapez este un patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu. Înălțimea unui trapez este un segment desenat perpendicular între două drepte paralele. În funcție de sursa datelor, acestea pot fi calculate în diferite moduri.

vei avea nevoie

• Cunoașterea laturilor, bazelor, liniei mediane a unui trapez și, de asemenea, opțional, aria și/sau perimetrul acestuia.

Instrucţiuni

Să presupunem că există un trapez cu aceleași date ca în figura 1. Să desenăm 2 înălțimi, obținem , care are 2 laturi mai mici lângă catetele triunghiurilor dreptunghiulare. Să notăm rola mai mică ca x. El este localizat

În matematică se cunosc mai multe tipuri de patrulatere: pătrat, dreptunghi, romb, paralelogram. Printre acestea se numără un trapez - un tip de patrulater convex în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu. Laturile opuse paralele se numesc baze, iar celelalte două se numesc laturile laterale ale trapezului. Segmentul care leagă punctele medii ale laturilor se numește linie mediană. Există mai multe tipuri de trapeze: isoscele, dreptunghiulare, curbilinie. Pentru fiecare tip de trapez există formule pentru găsirea zonei.

Zona trapezului

Pentru a găsi aria unui trapez, trebuie să cunoașteți lungimea bazelor și înălțimea acestuia. Înălțimea unui trapez este un segment perpendicular pe baze. Fie baza de sus a, baza de jos b și înălțimea h. Apoi puteți calcula aria S folosind formula:

S = ½ * (a+b) * h

aceste. luați jumătate din suma bazelor înmulțită cu înălțimea.

De asemenea, va fi posibil să se calculeze aria trapezului dacă înălțimea și linia centrală sunt cunoscute. Să notăm linia de mijloc - m. Apoi

Să rezolvăm o problemă mai complicată: se cunosc lungimile celor patru laturi ale trapezului - a, b, c, d. Apoi zona va fi găsită folosind formula:

Dacă se cunosc lungimile diagonalelor și unghiul dintre ele, atunci aria este căutată după cum urmează:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

unde d cu indicii 1 și 2 sunt diagonale. În această formulă, sinusul unghiului este dat în calcul.

Având în vedere lungimile cunoscute ale bazelor a și b și două unghiuri la baza inferioară, aria se calculează după cum urmează:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Aria unui trapez isoscel

Un trapez isoscel este un caz special al unui trapez. Diferența sa este că un astfel de trapez este patrulater convex cu o axă de simetrie care trece prin mijlocul a două laturi opuse. Laturile sale sunt egale.

Există mai multe moduri de a găsi aria unui trapez isoscel.

• Prin lungimile a trei laturi. În acest caz, lungimile laturilor vor coincide, prin urmare, ele sunt desemnate printr-o singură valoare - c, iar a și b - lungimile bazelor:

• Dacă lungimea bazei superioare, latura și unghiul de la baza inferioară sunt cunoscute, atunci aria se calculează după cum urmează:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

unde a este baza de sus, c este latura.

• Dacă în locul bazei superioare se cunoaște lungimea celei inferioare - b, aria se calculează folosind formula:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Dacă, când se cunosc două baze și unghiul de la baza inferioară, aria se calculează prin tangenta unghiului:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Aria se calculează și prin diagonale și unghiul dintre ele. În acest caz, diagonalele sunt egale în lungime, deci le notăm fiecare cu litera d fără indice:

S = ½ * d2 * sin α

• Să calculăm aria trapezului, știind lungimea laturii, linia centrală și unghiul de la baza inferioară.

Fie latura laterală c, linia de mijloc m, iar unghiul a, atunci:

S = m * c * sin α

Uneori puteți înscrie un cerc într-un trapez echilateral, a cărui rază va fi r.

Se știe că un cerc poate fi înscris în orice trapez dacă suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor sale. Apoi aria poate fi găsită prin raza cercului înscris și unghiul de la baza inferioară:

S = 4r2 / sin α

Același calcul se face folosind diametrul D al cercului înscris (apropo, acesta coincide cu înălțimea trapezului):

Cunoscând baza și unghiul, aria unui trapez isoscel se calculează după cum urmează:

S = a * b / sin α

(aceasta și formulele ulterioare sunt valabile numai pentru trapezele cu un cerc înscris).

Folosind bazele și raza cercului, aria se găsește după cum urmează:

Dacă sunt cunoscute doar bazele, atunci aria se calculează folosind formula:

Prin baze și linia laterală, aria trapezului cu cercul înscris și prin baze și linia de mijloc - m se calculează după cum urmează:

Aria unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular dacă una dintre laturile sale este perpendiculară pe bază. În acest caz, lungimea laturii coincide cu înălțimea trapezului.

Un trapez dreptunghiular este format dintr-un pătrat și un triunghi. După ce ați găsit aria fiecărei figuri, adunați rezultatele și obțineți aria totală a figurii.

De asemenea, formulele generale pentru calcularea ariei unui trapez sunt potrivite pentru calcularea ariei unui trapez dreptunghiular.

• Dacă sunt cunoscute lungimile bazelor și înălțimea (sau latura perpendiculară), atunci aria se calculează folosind formula:

S = (a + b) * h / 2

Latura laterală c poate acționa ca h (înălțime). Apoi formula arată astfel:

S = (a + b) * c / 2

• O altă modalitate de a calcula suprafața este de a înmulți lungimea liniei centrale cu înălțimea:

sau după lungimea laturii laterale perpendiculare:

• Următorul mod de calcul este prin jumătate din produsul diagonalelor și sinusul unghiului dintre ele:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Dacă diagonalele sunt perpendiculare, atunci formula se simplifică la:

S = ½ * d1 * d2

• O altă modalitate de a calcula este prin semiperimetrul (suma lungimilor a două laturi opuse) și raza cercului înscris.

Această formulă este valabilă pentru baze. Dacă luăm lungimile laturilor, atunci una dintre ele va fi egală cu dublul razei. Formula va arăta astfel:

S = (2r + c) * r

• Dacă un cerc este înscris într-un trapez, atunci aria se calculează în același mod:

unde m este lungimea liniei centrale.

Aria unui trapez curbat

Un trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de graficul unei funcții continue nenegative y = f(x), definită pe segmentul, axa x și liniile drepte x = a, x = b. În esență, două dintre laturile sale sunt paralele între ele (bazele), a treia latură este perpendiculară pe baze, iar a patra este o curbă corespunzătoare graficului funcției.

Aria unui trapez curbiliniu este căutată prin integrală folosind formula Newton-Leibniz:

Așa se calculează suprafețele diverse tipuri trapez. Dar, pe lângă proprietățile laturilor, trapezele au aceleași proprietăți ale unghiurilor. Ca toate patrulaterele existente, suma colțurile interne un trapez este egal cu 360 de grade. Și suma unghiurilor adiacente laturii este de 180 de grade.

În viața noastră, de foarte multe ori întâlnim utilizarea geometriei în practică, de exemplu, în construcții. Printre cele mai comune forme geometrice se numără trapezul. Și pentru ca proiectul să fie de succes și frumos, este necesar un calcul corect și precis al elementelor pentru o astfel de cifră.

Ce este un patrulater convex care are o pereche de laturi paralele numite bazele unui trapez. Dar există alte două părți care leagă aceste baze. Se numesc laterale. Una dintre întrebările referitoare la această cifră este: „Cum să găsiți înălțimea unui trapez?” Este imediat necesar să rețineți că înălțimea este un segment care determină distanța de la o bază la alta. Există mai multe modalități de a determina această distanță, în funcție de cantitățile cunoscute.

1. Sunt cunoscute valorile ambelor baze, să le notăm b și k, precum și aria acestui trapez. Folosind valori cunoscute, este foarte ușor să găsiți înălțimea trapezului în acest caz. După cum se știe din geometrie, se calculează ca produsul dintre jumătate din suma bazelor și înălțimea. Din această formulă puteți obține cu ușurință valoarea dorită. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți zona la jumătate din suma bazelor. Sub formă de formule va arăta astfel:

S=((b+k)/2)*h, deci h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Se cunoaște lungimea liniei de mijloc, să o notăm d, și aria. Pentru cei care nu știu, linia de mijloc este distanța dintre mijlocul laturilor. Cum să găsiți înălțimea trapezului în acest caz? Conform proprietății trapezului, linia de mijloc corespunde cu jumătate din suma bazelor, adică d=(b+k)/2. Din nou recurgem la formula zonei. Înlocuind jumătate din suma bazelor cu valoarea liniei centrale, obținem următoarele:

După cum putem vedea, este foarte ușor să obțineți înălțimea din formula rezultată. Împărțind aria la valoarea liniei centrale, găsim valoarea dorită. Să scriem asta cu formula:

3. Se cunosc lungimea unei laturi (b) si unghiul format intre aceasta latura si cea mai mare baza. Răspunsul la întrebarea cum să găsiți înălțimea unui trapez există și în acest caz. Luați în considerare trapezul ABCD, unde AB și CD sunt laturile și AB=b. Cea mai mare bază este AD. Să notăm unghiul format de AB și AD ca α. Din punctul B, coborâți înălțimea h până la baza AD. Acum luați în considerare triunghiul rezultat ABF, care este un triunghi dreptunghic. Latura AB este ipotenuza și latura BF este latura. Din proprietatea unui triunghi dreptunghic, raportul dintre valoarea catetei și valoarea ipotenuzei corespunde sinusului unghiului opus catetei (BF). Prin urmare, pe baza celor de mai sus, pentru a calcula înălțimea trapezului, înmulțim valoarea laturii cunoscute și sinusul unghiului α. Sub formă de formulă arată astfel:

4. Cazul se consideră similar dacă se cunosc mărimea laturii laterale și unghiul, să-l notăm β, format între această latură și baza mai mică. La rezolvarea unei astfel de probleme, unghiul dintre latura cunoscută și înălțimea desenată va fi de 90° - β. Din proprietatea triunghiurilor - raportul dintre lungimea catetei și ipotenuza corespunde cosinusului unghiului situat între ele. Din această formulă este ușor de obținut valoarea înălțimii:

h = b *cos(β-90°)

5. Cum se află înălțimea unui trapez dacă se cunoaște doar raza cercului înscris? Din definiția unui cerc, atinge un punct la fiecare bază. În plus, aceste puncte sunt în linie cu centrul cercului. De aici rezultă că distanța dintre ele este diametrul și, în același timp, înălțimea trapezului. Arata cam asa:

6. Există adesea probleme în care este necesar să se găsească înălțimea unui trapez isoscel. Amintiți-vă că un trapez cu laturile egale se numește isoscel. Cum se află înălțimea unui trapez isoscel? Cu diagonalele perpendiculare, înălțimea este egală cu jumătate din suma bazelor.

Dar dacă diagonalele nu sunt perpendiculare? Luați în considerare trapezul isoscel ABCD. După proprietățile sale, bazele sunt paralele. De aici rezultă că unghiurile de la baze vor fi și ele egale. Să desenăm două înălțimi BF și CM. Pe baza celor de mai sus, putem spune că triunghiurile ABF și DCM sunt egale, adică AF = DM = (AD - BC)/2 = (b-k)/ 2. Acum, pe baza condițiilor problemei, să decidem asupra valorile cunoscute și abia apoi găsiți înălțimea, ținând cont de toate proprietățile unui trapez isoscel.