Métodos de resolução de desigualdades com módulo. Desigualdades com módulo

Existem várias maneiras de resolver desigualdades contendo um módulo. Vejamos alguns deles.

1) Resolvendo a inequação utilizando a propriedade geométrica do módulo.

Deixe-me lembrá-lo do que é propriedade geométrica módulo: o módulo de um número x é a distância da origem ao ponto com coordenada x.

Ao resolver desigualdades usando este método, podem surgir dois casos:

1. |x| ≤ b,

E a desigualdade com módulo obviamente se reduz a um sistema de duas desigualdades. Aqui o sinal pode ser estrito, caso em que os pontos da imagem serão “perfurados”.

2. |x| ≥b, então a imagem da solução fica assim:

E a desigualdade com módulo obviamente se reduz a uma combinação de duas desigualdades. Aqui o sinal pode ser estrito, caso em que os pontos da imagem serão “perfurados”.

Exemplo 1.

Resolva a desigualdade |4 – |x|| ≥ 3.

Solução.

Esta desigualdade é equivalente ao seguinte conjunto:

você [-1;1] você

Exemplo 2.

Resolva a desigualdade ||x+2| –3| ≤ 2.

Solução.

Esta desigualdade é equivalente ao seguinte sistema.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Resolvamos separadamente a primeira desigualdade do sistema. É equivalente ao seguinte conjunto:

você[-1; 3].

2) Resolver desigualdades utilizando a definição do módulo.

Deixe-me lembrá-lo primeiro definição do módulo.

|a| = uma se uma ≥ 0 e |a| = -a se um< 0.

Por exemplo, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Exemplo 1.

Resolva a desigualdade 3|x – 1| ≤ x+3.

Solução.

Usando a definição do módulo, obtemos dois sistemas:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Resolvendo o primeiro e o segundo sistemas separadamente, obtemos:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

A solução para a desigualdade original serão todas as soluções do primeiro sistema e todas as soluções do segundo sistema.

Resposta: x€.

3) Resolver desigualdades por quadratura.

Exemplo 1.

Resolva a desigualdade |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Solução.

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade. Deixe-me observar que só é possível elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade se ambos forem positivos. Neste caso, temos módulos à esquerda e à direita, então podemos fazer isso.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Agora vamos usar a seguinte propriedade do módulo: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Resolvemos usando o método de intervalo.

Resposta: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Resolver desigualdades alterando variáveis.

Exemplo.

Resolva a desigualdade (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Solução.

Observe que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Então obtemos a desigualdade

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Vamos fazer a alteração y = |2x + 3|.

Vamos reescrever nossa desigualdade levando em consideração a substituição.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Vamos fatorar o trinômio quadrático à esquerda.

y1 = (1 + 11)/2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Vamos resolver usando o método intervalar e obter:

Voltemos à substituição:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Esta dupla desigualdade é equivalente ao sistema de desigualdades:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Vamos resolver cada uma das desigualdades separadamente.

O primeiro é equivalente ao sistema

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Vamos resolver isso.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

A segunda desigualdade obviamente vale para todo x, uma vez que o módulo é, por definição, um número positivo. Como a solução do sistema é todo x que satisfaz simultaneamente a primeira e a segunda desigualdade do sistema, então a solução do sistema original será a solução para sua primeira desigualdade dupla (afinal, a segunda é verdadeira para todo x) .

Resposta: x € [-4,5; 1.5].

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Os métodos (regras) para revelar desigualdades com módulos consistem na divulgação sequencial dos módulos, utilizando intervalos de sinal constante de funções submodulares. Na versão final obtêm-se diversas desigualdades a partir das quais se encontram intervalos ou intervalos que satisfazem as condições do problema.

Vamos prosseguir para a solução de exemplos comuns na prática.

Desigualdades lineares com módulos

Por linear queremos dizer equações nas quais uma variável entra na equação linearmente.

Exemplo 1. Encontre uma solução para a desigualdade

Solução:
Das condições do problema segue-se que os módulos chegam a zero em x=-1 ex=-2.

Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos


Em cada um desses intervalos resolvemos a desigualdade dada. Para isso, em primeiro lugar, elaboramos desenhos gráficos de áreas de sinal constante de funções submodulares. Eles são representados como áreas com sinais de cada uma das funções

ou intervalos com sinais de todas as funções.

No primeiro intervalo expandimos os módulos

Multiplicamos ambos os lados por menos um e o sinal da desigualdade mudará para o oposto. Se for difícil para você se acostumar com esta regra, você pode mover cada uma das partes atrás do sinal para se livrar do sinal de menos. No final você receberá

A intersecção comum de áreas será a solução. Se for estritamente irregular, as bordas não serão incluídas. Se não for rigoroso, verifique por substituição.

No segundo intervalo obtemos

A seção transversal será o intervalo (-2;-5/3).

Graficamente a solução será semelhante a

No terceiro intervalo obtemos

Esta condição não fornece soluções na região desejada.

Como as duas soluções encontradas (-3;-2) e (-2;-5/3) fazem fronteira com o ponto x=-2, verificamos também. Assim, o ponto x=-2 é a solução. Solução geral

levando isso em consideração, será parecido com (-3;5/3).
Exemplo 2. Encontre uma solução para a desigualdade

Solução:
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Os zeros das funções submodulares serão os pontos x=2, x=3, x=4.

Para valores de argumentos menores que esses pontos, as funções submodulares são negativas e, para valores maiores, são positivas.

Os pontos dividem o eixo real em quatro intervalos. Expandimos os módulos de acordo com os intervalos de sinal constante e resolvemos as desigualdades.

1) No primeiro intervalo, todas as funções submodulares são negativas, portanto ao expandir os módulos mudamos o sinal para o oposto.

A intersecção dos valores x encontrados com o intervalo considerado será um conjunto de pontos

2) No intervalo entre os pontos x=2 e x=3, a primeira função submodular é positiva, a segunda e a terceira são negativas. Expandindo os módulos, obtemos

uma inequação que, quando intersectada com o intervalo que estamos resolvendo, dá uma solução – x=3.

3) No intervalo entre os pontos x=3 e x=4, a primeira e a segunda funções submodulares são positivas e a terceira é negativa. Com base nisso obtemos

Esta condição mostra que todo o intervalo satisfará a desigualdade com módulos.

4) Para valores de x>4 todas as funções possuem sinais positivos. Ao expandir os módulos, não alteramos seu sinal.

A condição encontrada na intersecção com o intervalo fornece o seguinte conjunto de soluções

Como a desigualdade é resolvida em todos os intervalos, resta encontrar o valor comum de todos os valores encontrados de x.
A solução será dois intervalos

Solução:
Isso conclui o exemplo.

Exemplo 3. Encontre uma solução para a desigualdade

||x-1|-5|>3-2x


Temos uma desigualdade com módulo de módulo. Tais desigualdades são reveladas à medida que os módulos são aninhados, começando pelos que estão localizados mais profundamente.<-4:

Na intersecção com a área que estamos considerando, obtemos um conjunto de soluções

O próximo passo é expandir o módulo no intervalo (-4;1)

Levando em consideração a área de expansão do módulo, obtemos o intervalo de solução

LEMBRE-SE: se nessas irregularidades com módulos você obtiver dois intervalos limítrofes de um ponto comum, então, via de regra, isso também é uma solução.

Para fazer isso, você só precisa verificar.

Neste caso, substituímos o ponto x=-4.

Então x=-4 é a solução.
Vamos expandir o módulo interno para x>1

Função submodular negativa para x<6.
Expandindo o módulo obtemos

Esta condição na seção com o intervalo (1;6) fornece um conjunto vazio de soluções.

Para x>6 obtemos a desigualdade

Resolvendo também obtivemos um conjunto vazio.
Levando em consideração tudo o que foi dito acima, a única solução para a desigualdade com módulos será o seguinte intervalo.

Desigualdades com módulos contendo equações quadráticas

Exemplo 4. Encontre uma solução para a desigualdade
|x^2+3x|>=2-x^2

Solução:
A função submodular desaparece nos pontos x=0, x=-3.

Substituição simples de menos um
estabelecemos que é menor que zero no intervalo (-3;0) e positivo além dele.

Vamos expandir o módulo em áreas onde a função submodular é positiva

Resta determinar as regiões onde a função quadrada é positiva. Para fazer isso, determinamos as raízes da equação quadrática

Por conveniência, substituímos o ponto x=0, que pertence ao intervalo (-2;1/2).

A função é negativa neste intervalo, o que significa que a solução serão os seguintes conjuntos x

Aqui as bordas das áreas com soluções são indicadas entre colchetes; isso foi feito deliberadamente, levando em consideração a seguinte regra.

LEMBRE-SE: Se uma desigualdade com módulos, ou uma desigualdade simples é estrita, então as arestas das áreas encontradas não são soluções, mas se as desigualdades não são estritas (), então as arestas são soluções (denotadas por colchetes).

Esta regra é usada por muitos professores: se uma desigualdade estrita for dada e durante os cálculos você escrever um colchete ([,]) na solução, eles considerarão automaticamente que esta é uma resposta incorreta. Além disso, ao testar, se for dada uma desigualdade não estrita com módulos, procure áreas entre colchetes entre as soluções.

No intervalo (-3;0), expandindo o módulo, mudamos o sinal da função para o oposto

Tendo em conta a área de divulgação da desigualdade, a solução terá a forma
Juntamente com a área anterior, isso dará dois meios intervalos

Solução:
É dada uma desigualdade não estrita cuja função submodular é igual a zero no ponto x=3.<3.

Para valores menores é negativo, para valores maiores é positivo. Expanda o módulo no intervalo x

Encontrando o discriminante da equação

e raízes

Substituindo o ponto zero, descobrimos que no intervalo [-1/9;1] a função quadrática é negativa, portanto o intervalo é uma solução. Em seguida, expandimos o módulo em x>3 Módulo de números

esse próprio número é chamado se for não negativo, ou o mesmo número com sinal oposto se for negativo.

Por exemplo, o módulo do número 6 é 6 e o ​​módulo do número -6 também é 6.

Ou seja, o módulo de um número é entendido como o valor absoluto, o valor absoluto desse número sem levar em conta o seu sinal. É designado da seguinte forma: |6|, ||, |X UM

| etc.

(Mais detalhes na seção “Módulo numérico”).

Equações com módulo. Exemplo 1|10 É designado da seguinte forma: |6|, | - 5| = 15.

. Resolva a equação.

Solução

10É designado da seguinte forma: |6|, | - 5 = 15
10É designado da seguinte forma: |6|, | - 5 = -15

Segundo a regra, a equação é equivalente à combinação de duas equações:

10É designado da seguinte forma: |6|, | = 15 + 5 = 20
10É designado da seguinte forma: |6|, | = -15 + 5 = -10

É designado da seguinte forma: |6|, | = 20: 10
É designado da seguinte forma: |6|, | = -10: 10

É designado da seguinte forma: |6|, | = 2
É designado da seguinte forma: |6|, | = -1

Nós decidimos:: É designado da seguinte forma: |6|, | 1 = 2, É designado da seguinte forma: |6|, | 2 = -1.

Responder Exemplo 1|2 É designado da seguinte forma: |6|, | + 1| = É designado da seguinte forma: |6|, | + 2.

. Resolva a equação.

Exemplo 2 É designado da seguinte forma: |6|, | Como o módulo é um número não negativo, então

É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ -2.

+ 2 ≥ 0. Assim:

2É designado da seguinte forma: |6|, | + 1 = É designado da seguinte forma: |6|, | + 2
2É designado da seguinte forma: |6|, | + 1 = -(É designado da seguinte forma: |6|, | + 2)

Segundo a regra, a equação é equivalente à combinação de duas equações:

2É designado da seguinte forma: |6|, | + 1 = É designado da seguinte forma: |6|, | + 2
2É designado da seguinte forma: |6|, | + 1 = -É designado da seguinte forma: |6|, | - 2

2É designado da seguinte forma: |6|, | - É designado da seguinte forma: |6|, | = 2 - 1
2É designado da seguinte forma: |6|, | + É designado da seguinte forma: |6|, | = -2 - 1

É designado da seguinte forma: |6|, | = 1
É designado da seguinte forma: |6|, | = -1

Vamos fazer duas equações:

Nós decidimos:: É designado da seguinte forma: |6|, | 1 = -1, É designado da seguinte forma: |6|, | 2 = 1.

Ambos os números são maiores que -2. Portanto, ambos são raízes da equação. Exemplo 1

|É designado da seguinte forma: |6|, | + 3| - 1
————— = 4
É designado da seguinte forma: |6|, | - 1

. Resolva a equação.

Exemplo 3 É designado da seguinte forma: |6|, | A equação faz sentido se o denominador não for zero - isso significa que se

|É designado da seguinte forma: |6|, |≠ 1. Vamos levar esta condição em consideração. Nossa primeira ação é simples - não apenas nos livramos da fração, mas a transformamos para obter o módulo em sua forma pura: É designado da seguinte forma: |6|, | - 1),

|É designado da seguinte forma: |6|, | + 3| - 1 = 4É designado da seguinte forma: |6|, | - 4,

|É designado da seguinte forma: |6|, | + 3| = 4É designado da seguinte forma: |6|, | - 4 + 1,

|É designado da seguinte forma: |6|, | + 3| = 4É designado da seguinte forma: |6|, | - 3.

+3| - 1 = 4 · (
Agora temos apenas uma expressão sob o módulo no lado esquerdo da equação. Vamos em frente.

4É designado da seguinte forma: |6|, | - 3 ≥ 0

4É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ 3

É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ 3/4

O módulo de um número é um número não negativo – ou seja, deve ser maior que zero ou igual a zero. Assim, resolvemos a desigualdade:

Assim, temos uma segunda condição: a raiz da equação deve ser no mínimo 3/4.

É designado da seguinte forma: |6|, | + 3 = 4É designado da seguinte forma: |6|, | - 3
É designado da seguinte forma: |6|, | + 3 = -(4É designado da seguinte forma: |6|, | - 3)

É designado da seguinte forma: |6|, | + 3 = 4É designado da seguinte forma: |6|, | - 3
É designado da seguinte forma: |6|, | + 3 = -4É designado da seguinte forma: |6|, | + 3

É designado da seguinte forma: |6|, | - 4É designado da seguinte forma: |6|, | = -3 - 3
É designado da seguinte forma: |6|, | + 4É designado da seguinte forma: |6|, | = 3 - 3

É designado da seguinte forma: |6|, | = 2
É designado da seguinte forma: |6|, | = 0

De acordo com a regra, compomos um conjunto de duas equações e as resolvemos:

Recebemos duas respostas. Vamos verificar se são raízes da equação original. É designado da seguinte forma: |6|, | ≠ 1, É designado da seguinte forma: |6|, | Tínhamos duas condições: a raiz da equação não pode ser igual a 1 e deve ser pelo menos 3/4. Aquilo é

Nós decidimos:: É designado da seguinte forma: |6|, | = 2.

≥3/4. Ambas as condições correspondem a apenas uma das duas respostas recebidas - o número 2. Isso significa que somente esta é a raiz da equação original.

Equações com módulo. Desigualdades com módulo.| É designado da seguinte forma: |6|, | - 3| < 4

. Resolva a equação.

. Resolva a desigualdade

|X| = X A regra do módulo afirma: X ≥ 0.

|X| = -X A regra do módulo afirma: X < 0.

, Se É designado da seguinte forma: |6|, | O módulo pode ter números não negativos e negativos. Portanto, temos que considerar os dois casos: É designado da seguinte forma: |6|, | - 3 < 0.

- 3 ≥ 0 e É designado da seguinte forma: |6|, | 1) Quando
É designado da seguinte forma: |6|, | - 3 < 4.

- 3 ≥ 0 nossa desigualdade original permanece como está, apenas sem o sinal do módulo: É designado da seguinte forma: |6|, | - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(É designado da seguinte forma: |6|, | - 3) < 4.

2) Quando

-É designado da seguinte forma: |6|, | + 3 < 4.

Abrindo os colchetes, obtemos:

É designado da seguinte forma: |6|, | - 3 ≥ 0
É designado da seguinte forma: |6|, | - 3 < 4

É designado da seguinte forma: |6|, | - 3 < 0
-É designado da seguinte forma: |6|, | + 3 < 4

Assim, destas duas condições chegamos à unificação de dois sistemas de desigualdades:

É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ 3
É designado da seguinte forma: |6|, | < 7

É designado da seguinte forma: |6|, | < 3
É designado da seguinte forma: |6|, | > -1

Então, nossa resposta é uma união de dois conjuntos:

3 ≤ É designado da seguinte forma: |6|, | < 7 U -1 < É designado da seguinte forma: |6|, | < 3.

Determine o menor e valor mais alto. Estes são -1 e 7. Além disso É designado da seguinte forma: |6|, | maior que -1, mas menor que 7.
Além do mais, É designado da seguinte forma: |6|, |≥ 3. Isso significa que a solução para a desigualdade é todo o conjunto de números de -1 a 7, excluindo esses números extremos.

Nós decidimos:: -1 < É designado da seguinte forma: |6|, | < 7.

Ou: É designado da seguinte forma: |6|, | ∈ (-1; 7).

Complementos.

1) Existe uma maneira mais simples e curta de resolver nossa desigualdade - graficamente. Para fazer isso, desenhe um eixo horizontal (Fig. 1).

Expressão | É designado da seguinte forma: |6|, | - 3| < 4 означает, что расстояние от точки É designado da seguinte forma: |6|, | ao ponto 3 é inferior a quatro unidades. Marcamos o número 3 no eixo e contamos 4 divisões à esquerda e à direita dele. À esquerda chegaremos ao ponto -1, à direita - ao ponto 7. Assim, os pontos É designado da seguinte forma: |6|, | nós apenas os vimos sem calculá-los.

Além disso, de acordo com a condição de desigualdade, -1 e 7 não estão incluídos no conjunto de soluções. Assim, obtemos a resposta:

1 < É designado da seguinte forma: |6|, | < 7.

2) Mas existe outra solução que é ainda mais simples que o método gráfico. Para fazer isso, nossa desigualdade deve ser apresentada da seguinte forma:

4 < É designado da seguinte forma: |6|, | - 3 < 4.

Afinal, é assim que acontece de acordo com a regra do módulo. O número não negativo 4 e o número negativo semelhante -4 são os limites para resolver a desigualdade.

4 + 3 < É designado da seguinte forma: |6|, | < 4 + 3

1 < É designado da seguinte forma: |6|, | < 7.

Responder Desigualdades com módulo.| É designado da seguinte forma: |6|, | - 2| ≥ 5

. Resolva a equação.

Este exemplo é significativamente diferente do anterior. O lado esquerdo é maior que 5 ou igual a 5. Do ponto de vista geométrico, a solução da desigualdade são todos os números que estão a uma distância de 5 unidades ou mais do ponto 2 (Fig. 2). O gráfico mostra que todos esses números são menores ou iguais a -3 e maiores ou iguais a 7. Isso significa que já recebemos a resposta.

Nós decidimos:: -3 ≥ É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ 7.

Ao longo do caminho, resolvemos a mesma desigualdade reorganizando o termo livre para a esquerda e para a direita com o sinal oposto:

5 ≥ É designado da seguinte forma: |6|, | - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ 5 + 2

A resposta é a mesma: -3 ≥ É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ 7.

Ou: É designado da seguinte forma: |6|, | ∈ [-3; 7]

O exemplo está resolvido.

Ambos os números são maiores que -2. Portanto, ambos são raízes da equação. Desigualdades com módulo. 6 É designado da seguinte forma: |6|, | 2 - | É designado da seguinte forma: |6|, || - 2 ≤ 0

. Resolva a equação.

Número É designado da seguinte forma: |6|, | pode ser um número positivo, um número negativo ou zero. Portanto, precisamos levar em conta todas as três circunstâncias. Como você sabe, eles são levados em consideração em duas desigualdades: É designado da seguinte forma: |6|, |≥ 0 e É designado da seguinte forma: |6|, | < 0. При É designado da seguinte forma: |6|, |≥ 0 simplesmente reescrevemos nossa desigualdade original como está, apenas sem o sinal de módulo:

6x2 - É designado da seguinte forma: |6|, | - 2 ≤ 0.

Agora sobre o segundo caso: se É designado da seguinte forma: |6|, | < 0. Модулем número negativoé o mesmo número com sinal oposto. Ou seja, escrevemos o número sob o módulo com o sinal oposto e novamente nos libertamos do sinal do módulo:

6É designado da seguinte forma: |6|, | 2 - (-É designado da seguinte forma: |6|, |) - 2 ≤ 0.

Expandindo os colchetes:

6É designado da seguinte forma: |6|, | 2 + É designado da seguinte forma: |6|, | - 2 ≤ 0.

Assim, obtivemos dois sistemas de equações:

6É designado da seguinte forma: |6|, | 2 - É designado da seguinte forma: |6|, | - 2 ≤ 0
É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ 0

6É designado da seguinte forma: |6|, | 2 + É designado da seguinte forma: |6|, | - 2 ≤ 0
É designado da seguinte forma: |6|, | < 0

Precisamos resolver desigualdades em sistemas - e isso significa que precisamos encontrar as raízes de duas equações quadráticas. Para fazer isso, igualamos os lados esquerdos das desigualdades a zero.

Vamos começar com o primeiro:

6É designado da seguinte forma: |6|, | 2 - É designado da seguinte forma: |6|, | - 2 = 0.

Como resolver equação quadrática- veja a seção “Equação Quadrática”. Nomearemos imediatamente a resposta:

É designado da seguinte forma: |6|, | 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Do primeiro sistema de desigualdades obtemos que a solução para a desigualdade original é todo o conjunto de números de -1/2 a 2/3. Escrevemos a união de soluções em É designado da seguinte forma: |6|, | ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Agora vamos resolver a segunda equação quadrática:

6É designado da seguinte forma: |6|, | 2 + É designado da seguinte forma: |6|, | - 2 = 0.

Suas raízes:

É designado da seguinte forma: |6|, | 1 = -2/3, É designado da seguinte forma: |6|, | 2 = 1/2.

Conclusão: quando É designado da seguinte forma: |6|, | < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Vamos combinar as duas respostas e obter a resposta final: a solução é todo o conjunto de números de -2/3 a 2/3, incluindo esses números extremos.

Nós decidimos:: -2/3 ≤ É designado da seguinte forma: |6|, | ≤ 2/3.

Ou: É designado da seguinte forma: |6|, | ∈ [-2/3; 2/3].

Hoje, amigos, não haverá meleca nem sentimentalismo. Em vez disso, enviarei você, sem fazer perguntas, para a batalha contra um dos oponentes mais formidáveis ​​do curso de álgebra do 8º ao 9º ano.

Sim, você entendeu tudo corretamente: estamos falando de desigualdades com módulo. Veremos quatro técnicas básicas com as quais você aprenderá a resolver cerca de 90% desses problemas. E os 10% restantes? Bem, falaremos sobre eles em uma lição separada :)

Porém, antes de analisar qualquer uma das técnicas, gostaria de lembrar dois fatos que você já precisa saber. Caso contrário, você corre o risco de não entender o material da lição de hoje.

O que você já precisa saber

O Capitão Obviedade parece sugerir que para resolver desigualdades com módulo você precisa saber duas coisas:

  1. Como as desigualdades são resolvidas;
  2. O que é um módulo?

Vamos começar com o segundo ponto.

Definição do Módulo

Tudo é simples aqui. Existem duas definições: algébrica e gráfica. Para começar - algébrico:

Definição. O módulo de um número $x$ é o próprio número, se for não negativo, ou o número oposto a ele, se o $x$ original ainda for negativo.

Está escrito assim:

\[\esquerda| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Falando em linguagem simples, o módulo é “um número sem menos”. E é nesta dualidade (em alguns lugares você não precisa fazer nada com o número original, mas em outros você tem que remover algum tipo de sinal de menos) que reside toda a dificuldade para os alunos iniciantes.

Há também uma definição geométrica. Também é útil saber, mas iremos abordá-lo apenas em casos complexos e alguns casos especiais, onde a abordagem geométrica é mais conveniente do que a algébrica (spoiler: hoje não).

Definição. Deixe o ponto $a$ ser marcado na reta numérica. Então o módulo $\left| x-a \right|$ é a distância do ponto $x$ ao ponto $a$ nesta linha.

Se você fizer um desenho, obterá algo assim:


Definição de módulo gráfico

De uma forma ou de outra, da definição de um módulo segue imediatamente sua propriedade chave: o módulo de um número é sempre uma quantidade não negativa. Este fato será um fio condutor que atravessa toda a nossa narrativa de hoje.

Resolvendo desigualdades. Método de intervalo

Agora vamos examinar as desigualdades. Existem muitos deles, mas nossa tarefa agora é ser capaz de resolver pelo menos o mais simples deles. Aqueles que descem para desigualdades lineares, bem como ao método de intervalo.

Tenho duas grandes lições sobre esse assunto (aliás, muito, MUITO úteis - recomendo estudá-las):

  1. Método de intervalo para desigualdades(especialmente assista ao vídeo);
  2. Desigualdades racionais fracionárias- uma lição muito volumosa, mas depois dela você não terá mais dúvidas.

Se você sabe de tudo isso, se a frase “vamos passar da desigualdade para a equação” não faz você ter uma vaga vontade de se bater contra a parede, então você está pronto: bem-vindo ao inferno ao tema principal da lição :).

1. Desigualdades da forma “Módulo é menor que função”

Este é um dos problemas mais comuns com módulos. É necessário resolver uma inequação da forma:

\[\esquerda| porra certo | \ltg\]

As funções $f$ e $g$ podem ser qualquer coisa, mas geralmente são polinômios. Exemplos de tais desigualdades:

\[\begin(alinhar) & \left| 2x+3 \direita| \ltx+7; \\ & \esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita|+3\esquerda(x+1 \direita) \lt 0; \\ & \esquerda| ((x)^(2))-2\esquerda| x \direita|-3 \direita| \lt 2. \\\fim(alinhar)\]

Todos eles podem ser resolvidos literalmente em uma linha de acordo com o seguinte esquema:

\[\esquerda| porra certo | \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \certo.\certo)\]

É fácil perceber que nos livramos do módulo, mas em troca obtemos uma dupla desigualdade (ou, o que dá no mesmo, um sistema de duas desigualdades). Mas esta transição leva em conta absolutamente tudo possíveis problemas: se o número sob o módulo for positivo, o método funciona; se negativo, ainda funciona; e mesmo com a função mais inadequada no lugar de $f$ ou $g$, o método ainda funcionará.

Naturalmente, surge a pergunta: não poderia ser mais simples? Infelizmente, não é possível. Este é o objetivo do módulo.

No entanto, chega de filosofar. Vamos resolver alguns problemas:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| 2x+3 \direita| \ltx+7\]

Solução. Portanto, temos diante de nós uma desigualdade clássica da forma “o módulo é menor” – não há nada para transformar. Trabalhamos de acordo com o algoritmo:

\[\begin(alinhar) & \left| porra certo | \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \esquerda| 2x+3 \direita| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Não se apresse em abrir os parênteses precedidos de um “menos”: é bem possível que na pressa você cometa um erro ofensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

O problema foi reduzido a duas desigualdades elementares. Observemos suas soluções em retas numéricas paralelas:

Interseção de conjuntos

A intersecção desses conjuntos será a resposta.

Resposta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita|+3\esquerda(x+1 \direita) \lt 0\]

Solução. Essa tarefa é um pouco mais difícil. Primeiro, vamos isolar o módulo movendo o segundo termo para a direita:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \lt -3\esquerda(x+1 \direita)\]

Obviamente, temos novamente uma desigualdade da forma “o módulo é menor”, ​​então nos livramos do módulo usando o algoritmo já conhecido:

\[-\esquerda(-3\esquerda(x+1 \direita) \direita) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\esquerda(x+1 \direita)\]

Agora atenção: alguém vai dizer que sou meio tarado com todos esses parênteses. Mas deixe-me lembrá-lo mais uma vez que nosso principal objetivo é resolva corretamente a inequação e obtenha a resposta. Mais tarde, quando você tiver dominado perfeitamente tudo o que é descrito nesta lição, você mesmo poderá pervertê-lo como desejar: abrir parênteses, adicionar sinais de menos, etc.

Para começar, simplesmente nos livraremos do duplo menos à esquerda:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\esquerda(x+1 \direita)\]

Agora vamos abrir todos os colchetes na dupla desigualdade:

Vamos passar para a dupla desigualdade. Desta vez os cálculos serão mais sérios:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( alinhar)\direita.\]

Ambas as desigualdades são quadráticas e podem ser resolvidas pelo método intervalar (por isso digo: se você não sabe o que é isso, é melhor não assumir módulos ainda). Vamos passar para a equação da primeira desigualdade:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\esquerda(x+5 \direita)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fim(alinhar)\]

Como você pode ver, a saída é uma equação quadrática incompleta, que pode ser resolvida de forma elementar. Agora vamos examinar a segunda desigualdade do sistema. Lá você terá que aplicar o teorema de Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \esquerda(x-3 \direita)\esquerda(x+2 \direita)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fim(alinhar)\]

Marcamos os números resultantes em duas linhas paralelas (separadas para a primeira desigualdade e separadas para a segunda):

Novamente, como estamos resolvendo um sistema de desigualdades, estamos interessados ​​na interseção dos conjuntos sombreados: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Esta é a resposta.

Resposta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Acho que depois desses exemplos o esquema de solução fica extremamente claro:

  1. Isole o módulo movendo todos os outros termos para o lado oposto da desigualdade. Assim obtemos uma desigualdade da forma $\left| porra certo | \ltg$.
  2. Resolva esta desigualdade eliminando o módulo de acordo com o esquema descrito acima. Em algum momento será necessário passar da dupla desigualdade para um sistema de duas expressões independentes, cada uma das quais já pode ser resolvida separadamente.
  3. Por fim, resta cruzar as soluções dessas duas expressões independentes - e pronto, obteremos a resposta final.

Existe um algoritmo semelhante para desigualdades do seguinte tipo, quando o módulo mais recursos. No entanto, existem alguns “mas” sérios. Falaremos sobre esses “mas” agora.

2. Desigualdades da forma “O módulo é maior que a função”

Eles se parecem com isto:

\[\esquerda| porra certo | \gtg\]

Semelhante ao anterior? Parece. Mesmo assim, esses problemas são resolvidos de uma maneira completamente diferente. Formalmente, o esquema é o seguinte:

\[\esquerda| porra certo | \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Em outras palavras, consideramos dois casos:

  1. Primeiro, simplesmente ignoramos o módulo e resolvemos a inequação usual;
  2. Então, em essência, expandimos o módulo com o sinal menos e depois multiplicamos ambos os lados da inequação por −1, enquanto eu tenho o sinal.

Neste caso, as opções são combinadas com um colchete, ou seja, Temos diante de nós uma combinação de dois requisitos.

Observe novamente: este não é um sistema, mas uma totalidade, portanto na resposta os conjuntos são combinados em vez de se cruzarem. Esse diferença fundamental do ponto anterior!

Em geral, muitos estudantes ficam completamente confusos com sindicatos e interseções, então vamos resolver esse assunto de uma vez por todas:

  • "∪" é um sinal de união. Essencialmente, esta é uma letra estilizada "U" que veio até nós de língua Inglesa e é uma abreviatura de “União”, ou seja, “Associações”.
  • "∩" é o sinal de interseção. Essa porcaria não veio de lugar nenhum, mas simplesmente apareceu como um contraponto ao “∪”.

Para ficar ainda mais fácil de lembrar, basta desenhar as pernas nessas placas para fazer óculos (só não me acuse agora de promover o vício em drogas e o alcoolismo: se você está estudando seriamente esta lição, então já é um viciado em drogas):

Diferença entre interseção e união de conjuntos

Traduzido para o russo, isso significa o seguinte: a união (totalidade) inclui elementos de ambos os conjuntos, portanto não é de forma alguma menor que cada um deles; mas a interseção (sistema) inclui apenas os elementos que estão simultaneamente no primeiro conjunto e no segundo. Portanto, a intersecção dos conjuntos nunca é maior que os conjuntos de origem.

Então ficou mais claro? Isso é ótimo. Vamos passar à prática.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| 3x+1 \direita| \gt 5-4x\]

Solução. Procedemos de acordo com o esquema:

\[\esquerda| 3x+1 \direita| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ certo.\]

Resolvemos cada desigualdade na população:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcamos cada conjunto resultante na reta numérica e depois os combinamos:

União de conjuntos

É bastante óbvio que a resposta será $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Resposta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \gtx\]

Solução. Bem? Nada - tudo é igual. Passamos de uma desigualdade com módulo para um conjunto de duas desigualdades:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fim(alinhar) \direita.\]

Resolvemos todas as desigualdades. Infelizmente, as raízes não serão muito boas:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fim(alinhar)\]

A segunda desigualdade também é um pouco selvagem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fim(alinhar)\]

Agora você precisa marcar esses números em dois eixos - um eixo para cada desigualdade. No entanto, você precisa marcar os pontos na ordem correta: do que número maior, mais deslocamos o ponto para a direita.

E aqui uma configuração nos espera. Se tudo estiver claro com os números $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (os termos no numerador do primeiro fração são menores que os termos no numerador do segundo, então a soma também é menor), com os números $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ também não haverá dificuldades (número positivo obviamente mais negativo), então com o último par nem tudo fica tão claro. Qual é maior: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? A colocação dos pontos nas retas numéricas e, de fato, a resposta dependerão da resposta a esta pergunta.

Então vamos comparar:

\[\begin(matriz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriz)\]

Isolamos a raiz, obtivemos números não negativos em ambos os lados da desigualdade, então temos o direito de elevar ambos os lados ao quadrado:

\[\begin(matriz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriz)\]

Eu acho que é óbvio que $4\sqrt(13) \gt 3$, então $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, os pontos finais nos eixos serão colocados assim:

Um caso de raízes feias

Deixe-me lembrá-lo de que estamos resolvendo um conjunto, então a resposta será uma união, não uma intersecção de conjuntos sombreados.

Resposta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \direita)$

Como você pode ver, nosso esquema funciona muito bem tanto para problemas simples quanto para problemas muito difíceis. A única coisa " ponto fraco“Nesta abordagem, você precisa comparar números irracionais com competência (e acredite: não são apenas raízes). Mas uma lição separada (e muito séria) será dedicada às questões de comparação. E seguimos em frente.

3. Desigualdades com “caudas” não negativas

Agora chegamos à parte mais interessante. Estas são desigualdades da forma:

\[\esquerda| porra certo | \gt \esquerda| certo|\]

De modo geral, o algoritmo do qual falaremos agora é correto apenas para o módulo. Funciona em todas as desigualdades onde existem expressões não negativas garantidas à esquerda e à direita:

O que fazer com essas tarefas? Apenas lembre-se:

Nas desigualdades com “caudas” não negativas, ambos os lados podem ser elevados a qualquer potência natural. Não haverá restrições adicionais.

Em primeiro lugar, estaremos interessados ​​​​na quadratura - ela queima módulos e raízes:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\esquerda(\sqrt(f) \direita))^(2))=f. \\\fim(alinhar)\]

Só não confunda isso com tirar a raiz de um quadrado:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\esquerda| f \certo|\ne f\]

Inúmeros erros foram cometidos quando um aluno se esqueceu de instalar um módulo! Mas essa é uma história completamente diferente (é como equações irracionais), então não entraremos nisso agora. Vamos resolver melhor alguns problemas:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| x+2 \direita|\ge \esquerda| 1-2x \direita|\]

Solução. Notemos imediatamente duas coisas:

  1. Esta não é uma desigualdade estrita. Os pontos na reta numérica serão perfurados.
  2. Ambos os lados da desigualdade são obviamente não negativos (esta é uma propriedade do módulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Portanto, podemos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado para nos livrar do módulo e resolver o problema usando o método de intervalo usual:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\esquerda(x+2 \direita))^(2))\ge ((\esquerda(2x-1 \direita))^(2)). \\\fim(alinhar)\]

Sobre última etapa Enganei um pouco: mudei a sequência dos termos, aproveitando a uniformidade do módulo (na verdade, multipliquei a expressão $1-2x$ por −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ direita)\direita)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Resolvemos usando o método de intervalo. Vamos passar da desigualdade para a equação:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fim(alinhar)\]

Marcamos as raízes encontradas na reta numérica. Mais uma vez: todos os pontos estão sombreados porque a desigualdade original não é estrita!

Livrar-se do sinal do módulo

Deixe-me lembrá-los para aqueles que são especialmente teimosos: pegamos os sinais da última desigualdade, que foi anotada antes de passarmos para a equação. E pintamos as áreas exigidas na mesma desigualdade. No nosso caso é $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Bem, isso é tudo. O problema está resolvido.

Resposta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+x+1 \direita|\le \esquerda| ((x)^(2))+3x+4 \direita|\]

Solução. Fazemos tudo igual. Não vou comentar - basta olhar a sequência de ações.

Esquadre:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |((x)^(2))+3x+4 \direita| direita))^(2)); \\ & ((\esquerda(((x)^(2))+x+1 \direita))^(2))\le ((\esquerda(((x)^(2))+3x+4 \direita))^(2)); \\ & ((\esquerda(((x)^(2))+x+1 \direita))^(2))-((\esquerda(((x)^(2))+3x+4 \ direita))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \direita)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Método de intervalo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Seta para a direita x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

Existe apenas uma raiz na reta numérica:

A resposta é um intervalo inteiro

Resposta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Uma pequena nota sobre a última tarefa. Como observou com precisão um dos meus alunos, ambas as expressões submodulares nesta desigualdade são obviamente positivas, de modo que o sinal do módulo pode ser omitido sem prejudicar a saúde.

Mas este é um nível de pensamento completamente diferente e uma abordagem diferente - pode ser condicionalmente chamado de método das consequências. Sobre isso - em uma lição separada. Agora vamos passar para a parte final da lição de hoje e dar uma olhada em um algoritmo universal que sempre funciona. Mesmo quando todas as abordagens anteriores eram impotentes :)

4. Método de enumeração de opções

E se todas essas técnicas não ajudarem? Se a desigualdade não pode ser reduzida a caudas não negativas, se é impossível isolar o módulo, se em geral há dor, tristeza, melancolia?

Então entra em cena a “artilharia pesada” de toda a matemática – o método da força bruta. Em relação às desigualdades com módulo fica assim:

  1. Escreva todas as expressões submodulares e iguale-as a zero;
  2. Resolva as equações resultantes e marque as raízes encontradas em uma reta numérica;
  3. A reta será dividida em vários trechos, dentro dos quais cada módulo possui um sinal fixo e, portanto, é revelado de forma única;
  4. Resolva a desigualdade em cada seção (você pode considerar separadamente os limites das raízes obtidos na etapa 2 - para confiabilidade). Combine os resultados - esta será a resposta :)

Então, como? Fraco? Facilmente! Só por muito tempo. Vejamos na prática:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| x+2 \direita| \lt\esquerda| x-1 \direita|+x-\frac(3)(2)\]

Solução. Essa porcaria não se resume a desigualdades como $\left| porra certo | \ltg$, $\esquerda| porra certo | \gt g$ ou $\esquerda| porra certo | \lt\esquerda| g \right|$, então agimos com antecedência.

Escrevemos expressões submodulares, igualamos-as a zero e encontramos as raízes:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\fim(alinhar)\]

No total, temos duas raízes que dividem a reta numérica em três seções, dentro das quais cada módulo é revelado de forma única:

Particionando a reta numérica por zeros de funções submodulares

Vejamos cada seção separadamente.

1. Seja $x \lt -2$. Então ambas as expressões submodulares são negativas e a desigualdade original será reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\fim(alinhar)\]

Temos uma limitação bastante simples. Vamos cruzá-lo com a suposição inicial de que $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obviamente, a variável $x$ não pode ser simultaneamente menor que −2 e maior que 1,5. Não há soluções nesta área.

1.1. Consideremos separadamente o caso limítrofe: $x=-2$. Vamos apenas substituir esse número na desigualdade original e verificar: é verdade?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \esquerda| -3\direita|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

É óbvio que a cadeia de cálculos nos levou a uma desigualdade incorreta. Portanto, a desigualdade original também é falsa e $x=-2$ não está incluído na resposta.

2. Seja agora $-2 \lt x \lt 1$. O módulo da esquerda já abrirá com um “mais”, mas o da direita ainda abrirá com um “menos”. Nós temos:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fim(alinhar)\]

Novamente cruzamos com o requisito original:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

E, novamente, o conjunto de soluções está vazio, uma vez que não existem números menores que -2,5 e maiores que -2.

2.1. E novamente um caso especial: $x=1$. Substituímos na desigualdade original:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \esquerda| 3\direita| \lt\esquerda| 0 \direita|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

Semelhante ao “caso especial” anterior, o número $x=1$ claramente não está incluído na resposta.

3. A última parte da linha: $x \gt 1$. Aqui todos os módulos são abertos com um sinal de mais:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

E novamente cruzamos o conjunto encontrado com a restrição original:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Bem, finalmente! Encontramos um intervalo que será a resposta.

Resposta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Finalmente, uma observação que pode salvá-lo de erros estúpidos ao resolver problemas reais:

Soluções para desigualdades com módulos geralmente representam conjuntos contínuos na reta numérica - intervalos e segmentos. Pontos isolados são muito menos comuns. E ainda menos frequentemente acontece que o limite da solução (o final do segmento) coincide com o limite do intervalo em consideração.

Consequentemente, se os limites (os mesmos “casos especiais”) não forem incluídos na resposta, então as áreas à esquerda e à direita destes limites quase certamente não serão incluídas na resposta. E vice-versa: a fronteira entrou na resposta, o que significa que algumas áreas ao seu redor também serão respostas.

Tenha isso em mente ao revisar suas soluções.