Exemplos de equações utilizando o teorema de Vieta. Equações quadráticas

Em matemática, existem técnicas especiais com as quais muitas equações quadráticas podem ser resolvidas muito rapidamente e sem discriminantes. Além disso, com treinamento adequado, muitos começam a resolver equações quadráticas oralmente, literalmente “à primeira vista”.

Infelizmente, no curso moderno de matemática escolar, tais tecnologias quase não são estudadas. Mas você precisa saber! E hoje veremos uma dessas técnicas - o teorema de Vieta. Primeiro, vamos apresentar uma nova definição.

Uma equação quadrática da forma x 2 + bx + c = 0 é chamada reduzida. Observe que o coeficiente para x 2 é 1. Não há outras restrições aos coeficientes.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 é uma equação quadrática reduzida;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 – também reduzido;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - mas isso não é dado, pois o coeficiente de x 2 é igual a 2.

Claro, qualquer equação quadrática da forma ax 2 + bx + c = 0 pode ser reduzida - basta dividir todos os coeficientes pelo número a. Sempre podemos fazer isso, pois pela definição equação quadrática segue-se que a ≠ 0.

É verdade que essas transformações nem sempre serão úteis para encontrar raízes. A seguir teremos certeza de que isso deve ser feito somente quando na equação final dada pelo quadrado todos os coeficientes forem inteiros. Por enquanto, vejamos os exemplos mais simples:

Tarefa. Converta a equação quadrática em equação reduzida:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Vamos dividir cada equação pelo coeficiente da variável x 2. Nós obtemos:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - dividiu tudo por 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividido por −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - dividido por 1,5, todos os coeficientes tornaram-se inteiros;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - dividido por 2. Nesse caso, surgiram coeficientes fracionários.

Como você pode ver, as equações quadráticas acima podem ter coeficientes inteiros mesmo que a equação original contivesse frações.

Agora formulemos o teorema principal, para o qual, de fato, foi introduzido o conceito de equação quadrática reduzida:

Teorema de Vieta. Considere a equação quadrática reduzida da forma x 2 + bx + c = 0. Suponha que esta equação tenha raízes reais x 1 e x 2. Neste caso, as seguintes afirmações são verdadeiras:

1. x 1 + x 2 = −b. Em outras palavras, a soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao coeficiente da variável x, tomado com sinal oposto;
2. x 1 x 2 = c. O produto das raízes de uma equação quadrática é igual ao coeficiente livre.

Exemplos. Para simplificar, consideraremos apenas as equações quadráticas acima que não requerem transformações adicionais:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x1x2 = 20; raízes: x 1 = 4; x2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x1x2 = −15; raízes: x 1 = 3; x2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x1x2 = 4; raízes: x 1 = −1; x2 = −4.

O teorema de Vieta nos dá Informações adicionais sobre as raízes de uma equação quadrática. À primeira vista, isso pode parecer difícil, mas mesmo com um treinamento mínimo você aprenderá a “ver” as raízes e literalmente adivinhá-las em questão de segundos.

Tarefa. Resolva a equação quadrática:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Vamos tentar escrever os coeficientes usando o teorema de Vieta e “adivinhar” as raízes:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 é uma equação quadrática reduzida.
   Pelo teorema de Vieta temos: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. É fácil ver que as raízes são os números 2 e 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - também reduzido.
   Pelo teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Daí as raízes: 3 e 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - esta equação não é reduzida. Mas vamos corrigir isso agora dividindo ambos os lados da equação pelo coeficiente a = 3. Obtemos: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Resolvemos usando o teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ raízes: −10 e −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - novamente o coeficiente para x 2 não é igual a 1, ou seja, equação não dada. Dividimos tudo pelo número a = −7. Obtemos: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Pelo teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x1x2 = 30; A partir dessas equações é fácil adivinhar as raízes: 5 e 6.

Do raciocínio acima fica claro como o teorema de Vieta simplifica a solução de equações quadráticas. Sem cálculos complicados, sem raízes aritméticas ou frações. E nem precisávamos de um discriminante (veja a lição “Resolvendo equações quadráticas”).

É claro que em todas as nossas reflexões partimos de dois pressupostos importantes, que, de um modo geral, nem sempre são atendidos em problemas reais:

1. A equação quadrática é reduzida, ou seja, o coeficiente para x 2 é 1;
2. A equação tem duas raízes diferentes. Do ponto de vista algébrico, neste caso o discriminante é D > 0 - na verdade, inicialmente assumimos que esta desigualdade é verdadeira.

Contudo, em problemas matemáticos típicos estas condições são satisfeitas. Se o cálculo resultar em uma equação quadrática “ruim” (o coeficiente x 2 é diferente de 1), isso pode ser facilmente corrigido - veja os exemplos no início da lição. Geralmente fico calado sobre raízes: que tipo de problema é esse que não tem resposta? Claro que haverá raízes.

Por isso, esquema geral resolver equações quadráticas usando o teorema de Vieta é assim:

1. Reduza a equação quadrática à dada, se isso ainda não tiver sido feito na definição do problema;
2. Se os coeficientes da equação quadrática acima forem fracionários, resolvemos usando o discriminante. Você pode até voltar à equação original para trabalhar com números mais “úteis”;
3. No caso de coeficientes inteiros, resolvemos a equação utilizando o teorema de Vieta;
4. Se você não conseguir adivinhar as raízes em alguns segundos, esqueça o teorema de Vieta e resolva usando o discriminante.

Tarefa. Resolva a equação: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Então, temos diante de nós uma equação que não é reduzida, porque coeficiente a = 5. Divida tudo por 5, obtemos: x 2 − 7x + 10 = 0.

Todos os coeficientes da equação quadrática são inteiros - vamos tentar resolvê-los usando o teorema de Vieta. Temos: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Neste caso, as raízes são fáceis de adivinhar - são 2 e 5. Não há necessidade de contar usando o discriminante.

Tarefa. Resolva a equação: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Vejamos: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - esta equação não é reduzida, vamos dividir ambos os lados pelo coeficiente a = −5. Obtemos: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - uma equação com coeficientes fracionários.

É melhor retornar à equação original e contar através do discriminante: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Tarefa. Resolva a equação: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Primeiro, vamos dividir tudo pelo coeficiente a = 2. Obtemos a equação x 2 + 5x − 300 = 0.

Esta é a equação reduzida, segundo o teorema de Vieta temos: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. É difícil adivinhar as raízes da equação quadrática neste caso - pessoalmente, fiquei seriamente preso ao resolver esse problema.

Você terá que procurar raízes através do discriminante: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Se você não se lembra da raiz do discriminante, observarei apenas que 1225: 25 = 49. Portanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Agora que a raiz do discriminante é conhecida, resolver a equação não é difícil. Obtemos: x 1 = 15; x2 = −20.

O discriminante, assim como as equações quadráticas, começa a ser estudado em um curso de álgebra na 8ª série. Você pode resolver uma equação quadrática através de um discriminante e usando o teorema de Vieta. O método de estudar equações quadráticas, bem como fórmulas discriminantes, é ensinado aos alunos, sem sucesso, como muitas coisas na educação real. Portanto, os anos escolares passam, a educação do 9º ao 11º ano substitui " ensino superior"e todo mundo está olhando de novo - “Como resolver uma equação quadrática?”, “Como encontrar as raízes da equação?”, “Como encontrar o discriminante?” E...

Fórmula discriminante

O discriminante D da equação quadrática a*x^2+bx+c=0 é igual a D=b^2–4*a*c.
As raízes (soluções) de uma equação quadrática dependem do sinal do discriminante (D):
D>0 – a equação possui 2 raízes reais diferentes;
D=0 - a equação tem 1 raiz (2 raízes correspondentes):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
A fórmula para calcular o discriminante é bastante simples, por isso muitos sites oferecem uma calculadora discriminante online. Ainda não descobrimos esse tipo de script, então se alguém souber como implementar isso, escreva-nos por e-mail Este endereço de e-mail está protegido contra spambots. Você deve ter o JavaScript habilitado para visualizá-lo. .

Fórmula geral para encontrar as raízes de uma equação quadrática:

Encontramos as raízes da equação usando a fórmula
Se o coeficiente de uma variável quadrada estiver emparelhado, é aconselhável calcular não o discriminante, mas sua quarta parte
Nesses casos, as raízes da equação são encontradas usando a fórmula

A segunda maneira de encontrar raízes é o Teorema de Vieta.

O teorema é formulado não apenas para equações quadráticas, mas também para polinômios. Você pode ler isso na Wikipedia ou em outros recursos eletrônicos. Porém, para simplificar, vamos considerar a parte que diz respeito às equações quadráticas acima, ou seja, equações da forma (a=1)
A essência das fórmulas de Vieta é que a soma das raízes da equação é igual ao coeficiente da variável, tomado com sinal oposto. O produto das raízes da equação é igual ao termo livre. O teorema de Vieta pode ser escrito em fórmulas.
A derivação da fórmula de Vieta é bastante simples. Vamos escrever a equação quadrática através de fatores simples
Como você pode ver, tudo que é engenhoso é simples ao mesmo tempo. É eficaz usar a fórmula de Vieta quando a diferença no módulo das raízes ou a diferença nos módulos das raízes é 1, 2. Por exemplo, as seguintes equações, de acordo com o teorema de Vieta, têm raízes




Até a equação 4, a análise deve ficar assim. O produto das raízes da equação é 6, portanto as raízes podem ser os valores (1, 6) e (2, 3) ou pares com sinais opostos. A soma das raízes é 7 (o coeficiente da variável com sinal oposto). A partir daqui concluímos que as soluções para a equação quadrática são x=2; x=3.
É mais fácil selecionar as raízes da equação entre os divisores do termo livre, ajustando seu sinal para cumprir as fórmulas de Vieta. A princípio, isso parece difícil de fazer, mas com a prática em várias equações quadráticas, essa técnica se mostrará mais eficaz do que calcular o discriminante e encontrar as raízes da equação quadrática da maneira clássica.
Como você pode ver, a teoria escolar de estudar o discriminante e os métodos de encontrar soluções para a equação é desprovida de significado prático - “Por que os alunos precisam de uma equação quadrática?”, “Qual é o significado físico do discriminante?”

Vamos tentar descobrir O que o discriminante descreve?

No curso de álgebra estudam funções, esquemas para estudar funções e construir um gráfico de funções. De todas as funções, um lugar importante é ocupado pela parábola, cuja equação pode ser escrita na forma
Portanto, o significado físico da equação quadrática são os zeros da parábola, ou seja, os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abcissas Boi
Peço que você se lembre das propriedades das parábolas descritas a seguir. Chegará a hora de fazer exames, provas ou vestibulares e você ficará grato pelo material de referência. O sinal da variável quadrada corresponde a se os ramos da parábola no gráfico irão subir (a>0),

ou uma parábola com ramificações para baixo (uma<0) .

O vértice da parábola está no meio do caminho entre as raízes

Significado físico do discriminante:

Se o discriminante for maior que zero (D>0) a parábola possui dois pontos de intersecção com o eixo do Boi.
Se o discriminante for zero (D=0), então a parábola no vértice toca o eixo x.
E o último caso, quando o discriminante é menor que zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Equações quadráticas incompletas

O teorema de Vieta é frequentemente usado para verificar raízes que já foram encontradas. Se você encontrou as raízes, você pode usar as fórmulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) para calcular os valores de \(p \) e \(q\ ). E se forem iguais aos da equação original, então as raízes serão encontradas corretamente.

Por exemplo, vamos, usando , resolver a equação \(x^2+x-56=0\) e obter as raízes: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Vamos verificar se cometemos algum erro no processo de solução. No nosso caso, \(p=1\) e \(q=-56\). Pelo teorema de Vieta temos:

\(\begin(casos)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)-1=-1\\-56=-56\end(casos)\ )

Ambas as afirmações convergiram, o que significa que resolvemos a equação corretamente.

Essa verificação pode ser feita oralmente. Levará 5 segundos e evitará erros estúpidos.

Teorema inverso de Vieta

Se \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), então \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da equação quadrática \ (x^2+px+q=0\).

Ou de uma forma simples: se você tem uma equação da forma \(x^2+px+q=0\), então resolvendo o sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) você encontrará suas raízes.

Graças a este teorema, você pode encontrar rapidamente as raízes de uma equação quadrática, especialmente se essas raízes forem . Essa habilidade é importante porque economiza muito tempo.

Exemplo . Resolva a equação \(x^2-5x+6=0\).

Solução : Usando o teorema inverso de Vieta, descobrimos que as raízes satisfazem as condições: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Observe a segunda equação do sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Em quais dois o número \(6\) pode ser decomposto? Em \(2\) e \(3\), \(6\) e \(1\) ou \(-2\) e \(-3\), e \(-6\) e \(- 1\). A primeira equação do sistema lhe dirá qual par escolher: \(x_1+x_2=5\). \(2\) e \(3\) são semelhantes, pois \(2+3=5\).
Responder : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exemplos . Usando o inverso do teorema de Vieta, encontre as raízes da equação quadrática:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c)\(x^2+9x+20=0\); d)\(x^2-88x+780=0\).

Solução :
a) \(x^2-15x+14=0\) – em quais fatores \(14\) se decompõe? \(2\) e \(7\), \(-2\) e \(-7\), \(-1\) e \(-14\), \(1\) e \(14\ ). Quais pares de números somam \(15\)? Resposta: \(1\) e \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – em quais fatores \(-4\) se decompõe? \(-2\) e \(2\), \(4\) e \(-1\), \(1\) e \(-4\). Quais pares de números somam \(-3\)? Resposta: \(1\) e \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – em quais fatores \(20\) se decompõe? \(4\) e \(5\), \(-4\) e \(-5\), \(2\) e \(10\), \(-2\) e \(-10\ ), \(-20\) e \(-1\), \(20\) e \(1\). Quais pares de números somam \(-9\)? Resposta: \(-4\) e \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – em quais fatores \(780\) se decompõe? \(390\) e \(2\). Eles somarão \(88\)? Não. Que outros multiplicadores \(780\) possui? \(78\) e \(10\). Eles somarão \(88\)? Sim. Resposta: \(78\) e \(10\).

Não é necessário expandir o último termo para todos os fatores possíveis (como no último exemplo). Você pode verificar imediatamente se a soma deles dá \(-p\).

Importante! O teorema de Vieta e o teorema inverso só funcionam com , ou seja, aquele para o qual o coeficiente de \(x^2\) é igual a um. Se inicialmente nos fosse dada uma equação não reduzida, então podemos reduzi-la simplesmente dividindo pelo coeficiente na frente de \(x^2\).

Por exemplo, seja dada a equação \(2x^2-4x-6=0\) e queremos usar um dos teoremas de Vieta. Mas não podemos, pois o coeficiente de \(x^2\) é igual a \(2\). Vamos nos livrar disso dividindo a equação inteira por \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Preparar. Agora você pode usar os dois teoremas.

Respostas às perguntas mais frequentes

Pergunta: Usando o teorema de Vieta, você pode resolver qualquer?
Responder: Infelizmente não. Se a equação não contiver números inteiros ou se a equação não tiver nenhuma raiz, o teorema de Vieta não ajudará. Neste caso você precisa usar discriminante . Felizmente, 80% das equações da matemática escolar têm soluções inteiras.

Um dos métodos para resolver uma equação quadrática é usar Fórmulas VIET, que recebeu o nome de FRANCOIS VIETTE.

Ele foi um famoso advogado que serviu ao rei francês no século XVI. Nas horas vagas estudava astronomia e matemática. Ele estabeleceu uma conexão entre as raízes e os coeficientes de uma equação quadrática.

Vantagens da fórmula:

1 . Ao aplicar a fórmula, você pode encontrar rapidamente uma solução. Porque não há necessidade de inserir o segundo coeficiente no quadrado, subtrair 4ac dele, encontrar o discriminante e substituir seu valor na fórmula para encontrar as raízes.

2 . Sem uma solução, você pode determinar os sinais das raízes e selecionar os valores das raízes.

3 . Tendo resolvido um sistema de dois registros, não é difícil encontrar as próprias raízes. Na equação quadrática acima, a soma das raízes é igual ao valor do segundo coeficiente com sinal menos. O produto das raízes na equação quadrática acima é igual ao valor do terceiro coeficiente.

4 . Usando essas raízes, escreva uma equação quadrática, ou seja, resolva o problema inverso. Por exemplo, este método é usado na resolução de problemas de mecânica teórica.

5 . É conveniente usar a fórmula quando o coeficiente líder é igual a um.

Imperfeições:

1 . A fórmula não é universal.

Teorema de Vieta 8ª série

Fórmula
Se x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática reduzida x 2 + px + q = 0, então:

Exemplos
x1 = -1; x 2 = 3 - raízes da equação x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Teorema de conversação

Fórmula
Se os números x 1, x 2, p, q estão relacionados pelas condições:

Então x 1 e x 2 são as raízes da equação x 2 + px + q = 0.

Exemplo
Vamos criar uma equação quadrática usando suas raízes:

X 1 = 2 - ? 3 e x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

A equação necessária tem a forma: x 2 - 4x + 1 = 0.

Ao estudar métodos para resolver equações de segunda ordem em um curso escolar de álgebra, as propriedades das raízes resultantes são consideradas. Eles são atualmente conhecidos como teorema de Vieta. Exemplos de seu uso são fornecidos neste artigo.

Equação quadrática

A equação de segunda ordem é a igualdade mostrada na foto abaixo.

Aqui, os símbolos a, b, c são alguns números chamados coeficientes da equação em consideração. Para resolver uma igualdade, você precisa encontrar valores de x que a tornem verdadeira.

Observe que, como a potência máxima à qual x pode ser elevado é dois, o número de raízes no caso geral também é dois.

Existem várias maneiras de resolver este tipo de igualdade. Neste artigo consideraremos um deles, que envolve a utilização do chamado teorema de Vieta.

Formulação do teorema de Vieta

No final do século XVI, o famoso matemático François Viète (francês) percebeu, ao analisar as propriedades das raízes de várias equações quadráticas, que certas combinações delas satisfazem relações específicas. Em particular, estas combinações são o seu produto e soma.

O teorema de Vieta estabelece o seguinte: as raízes de uma equação quadrática, quando somadas, dão a razão entre os coeficientes lineares e quadráticos tomados com sinal oposto e, quando multiplicadas, levam à razão entre o termo livre e o coeficiente quadrático .

Se a forma geral da equação for escrita conforme mostrado na foto da seção anterior do artigo, então matematicamente este teorema pode ser escrito na forma de duas igualdades:

• r 2 + r 1 = -b/a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Onde r 1, r 2 é o valor das raízes da equação em questão.

As duas igualdades acima podem ser usadas para resolver vários problemas matemáticos diferentes. O uso do teorema de Vieta em exemplos com soluções é dado nas seções seguintes do artigo.