Funções quadráticas e cúbicas. Propriedades da função

    1) Domínio de função e intervalo de função.

    O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de argumentos válidos x(variável x), para a qual a função y =f(x) determinado. O contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais sim, que a função aceita.

    Na matemática elementar, as funções são estudadas apenas no conjunto dos números reais.

    2) Zeros de função.

    Função zero é o valor do argumento no qual o valor da função é igual a zero.

    3) Intervalos de sinal constante de uma função.

    Intervalos de sinal constante de uma função são conjuntos de valores de argumentos nos quais os valores da função são apenas positivos ou apenas negativos.

    4) Monotonicidade da função.

    Uma função crescente (em um determinado intervalo) é uma função em que um valor maior do argumento desse intervalo corresponde a um valor maior da função.

    Uma função decrescente (em um determinado intervalo) é uma função em que um valor maior do argumento desse intervalo corresponde a um valor menor da função.

    5) Função par (ímpar).

    Uma função par é uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X do domínio de definição a igualdade f(-x) =f(x). Agendar função uniforme

    simétrico em relação ao eixo das ordenadas. X Uma função ímpar é uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer do domínio de definição a igualdade é verdadeira f(-x) = -f(x ). Agendar

    função estranha.

    simétrico em relação à origem.

    6) Funções limitadas e ilimitadas.

    Uma função é chamada limitada se existe um número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos os valores de x. Se tal número não existir, a função é ilimitada.

    7) Periodicidade da função

Funções elementares básicas. Suas propriedades e gráficos

1. Função linear.

Função linear é chamada de função da forma , onde x é uma variável, a e b são números reais.

Número UM chamada de inclinação da reta, é igual à tangente do ângulo de inclinação desta reta ao sentido positivo do eixo das abcissas. Agendar função linearé uma linha reta. É definido por dois pontos.

Propriedades de uma função linear

1. Domínio de definição - o conjunto de todos os números reais: D(y)=R

2. O conjunto de valores é o conjunto de todos os números reais: E(y)=R

3. A função assume valor zero quando ou.

4. A função aumenta (diminui) em todo o domínio de definição.

5. Uma função linear é contínua em todo o domínio de definição, diferenciável e .

2. Função quadrática.

Uma função da forma, onde x é uma variável, os coeficientes a, b, c são números reais, é chamada quadrático.

Fornece dados de referência sobre a função exponencial - propriedades básicas, gráficos e fórmulas. Considerado as seguintes perguntas: domínio de definição, conjunto de valores, monotonicidade, função inversa, derivada, integral, expansão de séries de potências e representação por números complexos.

Definição

Função exponencialé uma generalização do produto de n números iguais a a:
sim (n) = a n = a·a·a···a,
ao conjunto dos números reais x:
sim (x) = umax.
Aqui a é um número real fixo, que é chamado base da função exponencial.
Uma função exponencial com base a também é chamada expoente para basear um.

A generalização é realizada da seguinte forma.
Para natural x = 1, 2, 3,... , a função exponencial é o produto de x fatores:
.
Além disso, possui propriedades (1,5-8) (), que decorrem das regras de multiplicação de números. Para valores zero e negativos de inteiros, a função exponencial é determinada usando fórmulas (1,9-10). Para valores fracionários x = m/n números racionais, , é determinado pela fórmula (1.11). Para real, a função exponencial é definida como o limite da sequência:
,
onde é uma sequência arbitrária de números racionais convergindo para x: .
Com esta definição, a função exponencial é definida para todos e satisfaz as propriedades (1,5-8), como para x natural.

Uma formulação matemática rigorosa da definição de uma função exponencial e a prova de suas propriedades é dada na página “Definição e prova das propriedades de uma função exponencial”.

Propriedades da Função Exponencial

A função exponencial y = a x possui as seguintes propriedades no conjunto dos números reais ():
(1.1) definido e contínuo, para, para todos;
(1.2) para um ≠ 1 tem muitos significados;
(1.3) aumenta estritamente em, diminui estritamente em,
é constante em;
(1.4) no ;
no ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Outras fórmulas úteis.
.
Fórmula para converter para uma função exponencial com base de expoente diferente:

Quando b = e, obtemos a expressão da função exponencial através da exponencial:

Valores privados

, , , , .

A figura mostra gráficos da função exponencial
sim (x) = umax
para quatro valores bases de grau: uma = 2 , uma = 8 , uma = 1/2 e um = 1/8 . 1 Pode-se ver que para um > 0 < a < 1 a função exponencial aumenta monotonicamente. Quanto maior a base do grau a, mais forte será o crescimento. No

a função exponencial diminui monotonicamente. Quanto menor o expoente a, mais forte será a diminuição.

Subindo, descendo

A função exponencial para é estritamente monotônica e, portanto, não possui extremos. Suas principais propriedades são apresentadas na tabela. 1 y = uma x , uma > 0 < a < 1
y = machado, - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Domínio de definição 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Faixa de valores Monótono aumenta monotonicamente
diminui monotonicamente 0 Zeros, y = Zeros, y =
Não 0 Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x = 1 Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x = 1
+ ∞ 0
0 + ∞

e =

Função inversa

O inverso de uma função exponencial com base a é o logaritmo da base a.
.
Se, então
.

Se, então

Diferenciação de uma função exponencial Para diferenciar uma função exponencial, sua base deve ser reduzida ao número e, aplicar a tabela de derivadas e a regra de diferenciação.

função complexa
Para fazer isso você precisa usar a propriedade dos logaritmos
.

e a fórmula da tabela de derivadas:
.
Seja dada uma função exponencial:

Trazemos para a base e:

Vamos aplicar a regra de diferenciação de funções complexas. Para fazer isso, introduza a variável

Então
.
Da tabela de derivadas temos (substitua a variável x por z):
.
Como é uma constante, a derivada de z em relação a x é igual a
.

De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa:

.
Derivada de uma função exponencial
.
Derivada de enésima ordem:

Derivando fórmulas >>>

Um exemplo de diferenciação de uma função exponencial
Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x = Encontre a derivada de uma função

3 5x

Solução
Vamos expressar a base da função exponencial através do número e.
Vamos aplicar a regra de diferenciação de funções complexas. Para fazer isso, introduza a variável
.
3 = e em 3
.
Vamos aplicar a regra de diferenciação de funções complexas. Para fazer isso, introduza a variável

Insira uma variável
.
Na tabela de derivadas encontramos: Porque 5 em 3
.
é uma constante, então a derivada de z em relação a x é igual a:
.

De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa, temos:

Responder

Integrante

Expressões usando números complexos Considere a função de número complexo:
z f
(z) = az 2 = - 1 .
onde z = x + iy;
eu
Vamos aplicar a regra de diferenciação de funções complexas. Para fazer isso, introduza a variável


.
Vamos expressar a constante complexa a em termos do módulo r e do argumento φ: uma = r e eu φ
φ = φ 0 + 2πn,
onde n é um número inteiro. Portanto a função f (z) também não está claro. Seu principal significado é frequentemente considerado
.

Expansão da série


.

Literatura usada:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.

Ginásio russo

RESUMO

Concluído

aluno da classe 10 “F” Burmistrov Sergey

Supervisor

Professor de matemática

Yulina O.A.

Níjni Novgorod


Função e suas propriedades

Função- dependência variável no da variável x , se cada valor X corresponde significado único no .

Variável x- variável independente ou argumento.

Variável y- variável dependente

Valor da função- significado no, correspondente ao valor especificado X .

O escopo da função é todos os valores que a variável independente assume.

Faixa de funções (conjunto de valores) - todos os valores que a função aceita.

A função é uniforme se para alguém X f(x)=f(-x)

A função é estranha- se para alguém X do domínio de definição da função a igualdade f(-x)=-f(x)

Aumentando a função- se por algum x 1 E x2, tal que x 1 < x 2, a desigualdade é válida f( x 1 ) x 2 )

Diminuindo a função- se por algum x 1 E x2, tal que x 1 < x 2, a desigualdade é válida f( x 1 )>f( x 2 )

Métodos para especificar uma função

¨ Para definir uma função, você precisa especificar uma maneira pela qual, para cada valor de argumento, o valor da função correspondente pode ser encontrado. A maneira mais comum de especificar uma função é usando uma fórmula no =f(x), Onde f(x)- expressão com uma variável X. Neste caso, dizem que a função é dada por uma fórmula ou que a função é dada analiticamente.

¨ Na prática é frequentemente usado tabular maneira de especificar uma função. Com este método, é fornecida uma tabela indicando os valores da função para os valores dos argumentos disponíveis na tabela. Exemplos de funções de tabela são uma tabela de quadrados e uma tabela de cubos.

Tipos de funções e suas propriedades

1) Função constante- função dada pela fórmula e = b , Onde b- algum número. O gráfico da função constante y=b é uma linha reta paralela ao eixo das abcissas e passando pelo ponto (0;b) no eixo das ordenadas

2) Proporcionalidade direta - função dada pela fórmula e = kx , onde k¹0. Número k chamado fator de proporcionalidade .

Propriedades da função y=kx :

1. O domínio de uma função é o conjunto de todos os números reais

2. y=kx- função estranha

3. Quando k>0 a função aumenta, e quando k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Função linear- função, que é dada pela fórmula y=kx+b, Onde k E b - números reais. Se em particular k=0, então obtemos uma função constante y=b; Se b=0, então obtemos proporcionalidade direta y=kx .

Propriedades da função y=kx+b :

1. Domínio – o conjunto de todos os números reais

2. Função y=kx+b forma geral, ou seja, nem par nem ímpar.

3. Quando k>0 a função aumenta, e quando k<0 убывает на всей числовой прямой

O gráfico da função é direto .

4)Proporcionalidade inversa- função dada pela fórmula sim = k /X, onde k¹0 Número k chamado coeficiente de proporcionalidade inversa.

Propriedades da função sim = k / x:

1. Domínio - o conjunto de todos os números reais exceto zero

2. sim = k / x - função estranha

3. Se k>0, então a função diminui no intervalo (0;+¥) e no intervalo (-¥;0). Se k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

O gráfico da função é hipérbole .

5)Função y=x2

Propriedades da função y=x2:

2. y=x2 - função uniforme

3. No intervalo a função diminui

O gráfico da função é parábola .

6)Função y=x 3

Propriedades da função y=x 3:

1. Domínio de definição - toda a reta numérica

2. y=x 3 - função estranha

3. A função aumenta ao longo de toda a reta numérica

O gráfico da função é parábola cúbica

7)Função de potência com expoente natural - função dada pela fórmula y=xn, Onde n- número natural. Quando n=1 obtemos a função y=x, suas propriedades são discutidas no parágrafo 2. Para n=2;3 obtemos as funções y=x 2 ; y=x 3 . Suas propriedades são discutidas acima.

Seja n um número par arbitrário maior que dois: 4,6,8... Neste caso, a função y=xn tem as mesmas propriedades da função y=x 2. O gráfico da função se assemelha a uma parábola y=x 2, apenas os ramos do gráfico para |x|>1 aumentam tanto quanto maior for n, e para |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Seja n um número ímpar arbitrário maior que três: 5,7,9... Neste caso, a função y=xn tem as mesmas propriedades da função y=x 3 . O gráfico da função se assemelha a uma parábola cúbica.

8)Função de potência com um expoente inteiro negativo - função dada pela fórmula y=x-n , Onde n- número natural. Para n=1 obtemos y=1/x; as propriedades desta função são discutidas no parágrafo 4.

Seja n um número ímpar maior que um: 3,5,7... Neste caso, a função y=x-n tem basicamente as mesmas propriedades da função y=1/x.

Seja n um número par, por exemplo n=2.

Propriedades da função y=x -2 :

1. A função é definida para todo x¹0

2. y=x -2 - função uniforme

3. A função diminui em (0;+¥) e aumenta em (-¥;0).

Quaisquer funções com n par maior que dois têm as mesmas propriedades.

9)Função e = Ö X

Propriedades da função e = Ö X :

1. Domínio de definição – raio;

Par, estranho:

no b = 0 função par

no b ≠ A função 0 não é par nem ímpar

no D> 0 dois zeros: ,

no D= 0 um zero:

no D < 0 нулей нет

Intervalos de constância de sinal:

se a > 0, D> 0, então

se a > 0, D= 0, então

e se a > 0, D < 0, то

se um< 0, D> 0, então

se um< 0, D= 0, então

se um< 0, D < 0, то

- Intervalos de monotonia

para um > 0

em um< 0

O gráfico de uma função quadrática éparábola – uma curva simétrica em relação a uma linha reta , passando pelo vértice da parábola (o vértice da parábola é o ponto de intersecção da parábola com o eixo de simetria).

Para representar graficamente uma função quadrática, você precisa:

1) encontre as coordenadas do vértice da parábola e marque-o no plano coordenado;

2) construir mais alguns pontos pertencentes à parábola;

3) conecte os pontos marcados com uma linha suave.

As coordenadas do vértice da parábola são determinadas pelas fórmulas:

; .

Convertendo gráficos de funções

1. Alongamento gráficosy = x 2 ao longo do eixono V|a| vezes (às|a| < 1 é uma compressão de 1/|a| uma vez).

Se, e< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (os ramos da parábola serão direcionados para baixo).

Resultado: gráfico de uma funçãoe = ah 2 .

2. Transferência paralela gráficos de funçãoe = ah 2 ao longo do eixoX sobre| eu | (à direita quando

eu > 0 e para a esquerda quandoT< 0).

Resultado: gráfico de funçãoy = uma(x - t) 2 .

3. Transferência paralela gráficos de função ao longo do eixono sobre| n | (até àsp> 0 e abaixo emn< 0).

Resultado: gráfico de funçãoy = uma(x - t) 2 + pág.

Desigualdades quadráticas

Desigualdades da formaOh 2 + b x + c > 0 eOh 2 +bx +c< 0, ondeX - variável,um , b ECom - alguns números, euma≠ 0 são chamadas de desigualdades de segundo grau com uma variável.

Resolver uma desigualdade de segundo grau em uma variável pode ser considerado como encontrar os intervalos nos quais a função quadrática correspondente assume valores positivos ou negativos.

Para resolver desigualdades da formaOh 2 + bx + c > 0 eOh 2 +bx +c< 0 proceda da seguinte forma:

1) encontre o discriminante do trinômio quadrático e descubra se o trinômio tem raízes;

2) se o trinômio tiver raízes, marque-as no eixoX e através dos pontos marcados uma parábola é desenhada esquematicamente, cujos ramos são direcionados para cima emUM > 0 ou menor quandoUM< 0; se o trinômio não tiver raízes, represente esquematicamente uma parábola localizada no semiplano superior emUM > 0 ou inferior emUM < 0;

3) encontrado no eixoX intervalos para os quais os pontos da parábola estão localizados acima do eixoX (se a desigualdade for resolvidaOh 2 + bx + c > 0) ou abaixo do eixoX (se a desigualdade for resolvidaOh 2 +bx +c < 0).

Exemplo:

Vamos resolver a desigualdade .

Considere a função

Seu gráfico é uma parábola, cujos ramos são direcionados para baixo (já que ).

Vamos descobrir como o gráfico está localizado em relação ao eixoX. Vamos resolver a equação para isso . Nós entendemos issox = 4. A equação tem uma única raiz. Isso significa que a parábola toca o eixoX.

Ao representar esquematicamente uma parábola, descobrimos que a função assume valores negativos para qualquerX, exceto 4.

A resposta pode ser escrita assim:X - qualquer número diferente de 4.

Resolvendo desigualdades usando o método de intervalo

diagrama de solução

1. Encontre zeros função no lado esquerdo da desigualdade.

2. Marque a posição dos zeros no eixo dos números e determine sua multiplicidade (Sek eu é par, então zero é de multiplicidade par sek eu estranho é estranho).

3. Encontre os sinais da função nos intervalos entre seus zeros, começando pelo intervalo mais à direita: neste intervalo a função do lado esquerdo da inequação é sempre positiva para a forma dada de desigualdades. Ao passar da direita para a esquerda pelo zero de uma função de um intervalo para outro adjacente, deve-se levar em consideração:

se zero é ímpar multiplicidade, o sinal da função muda,

se zero é par multiplicidade, o sinal da função é preservado.

4. Escreva a resposta.

Exemplo:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Zeros de função encontrados. Eles são iguais:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Vamos marcar os zeros da função na linha de coordenadasf ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Vamos encontrar os sinais desta função em cada um dos intervalos (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) e

Fica claro pela figura que o conjunto de soluções da desigualdade é a união dos intervalos (-∞; -6) e (-1; 4).

Resposta: (-∞ ; -6) e (-1; 4).

O método considerado para resolver desigualdades é chamadométodo de intervalo.

Zeros de função
O zero de uma função é o valor X, no qual a função passa para 0, ou seja, f(x)=0.

Zeros são os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo Oh.

Paridade de função
Uma função é chamada mesmo que para qualquer X do domínio de definição a igualdade f(-x) = f(x) é válida

Uma função par é simétrica em relação ao eixo Oh

Função de paridade ímpar
Uma função é chamada ímpar se para qualquer X do domínio de definição a igualdade f(-x) = -f(x) é válida.

Uma função ímpar é simétrica em relação à origem.
Uma função que não é par nem ímpar é chamada de função geral.

Função crescente
Diz-se que uma função f(x) é crescente se um valor maior do argumento corresponder a um valor maior da função, ou seja,

Função descendente
Uma função f(x) é chamada decrescente se um valor maior do argumento corresponder a um valor menor da função, ou seja,

Os intervalos nos quais a função apenas diminui ou apenas aumenta são chamados intervalos de monotonia. A função f(x) possui 3 intervalos de monotonicidade:

Encontre intervalos de monotonicidade usando o serviço Intervalos de função crescente e decrescente

Máximo local
Ponto x0é chamado de ponto máximo local se para qualquer X da vizinhança de um ponto x0 a seguinte desigualdade é válida: f(x 0) > f(x)

Mínimo local
Ponto x0é chamado de ponto de mínimo local se para qualquer X da vizinhança de um ponto x0 a desigualdade é válida: f(x 0)< f(x).

Os pontos máximos locais e os pontos mínimos locais são chamados de pontos extremos locais.

pontos extremos locais.

Frequência de função
A função f(x) é chamada periódica, com um período T, se por algum X a igualdade f(x+T) = f(x) é válida.

Intervalos de constância de sinal
Os intervalos nos quais a função é apenas positiva ou apenas negativa são chamados intervalos de sinal constante.

Continuidade de função
Uma função f(x) é chamada contínua em um ponto x 0 se o limite da função como x → x 0 for igual ao valor da função neste ponto, ou seja, .

Pontos de ruptura
Os pontos nos quais a condição de continuidade é violada são chamados de pontos de interrupção da função.

x0- ponto de ruptura.

Esquema geral para plotagem de funções

1. Encontre o domínio de definição da função D(y).

2. Encontre os pontos de intersecção do gráfico de funções com os eixos coordenados.

3. Examine a função par ou ímpar.

4. Examine a função quanto à periodicidade.

5. Encontre intervalos de monotonicidade e pontos extremos da função.

6. Encontre os intervalos de convexidade e pontos de inflexão da função.

7. Encontre as assíntotas da função.

8. Com base nos resultados da pesquisa, construa um gráfico.

Exemplo: Explore a função e faça um gráfico dela: y = x 3 – 3x

1) A função é definida em todo o eixo numérico, ou seja, seu domínio de definição é D(y) = (-∞; +∞).

2) Encontre os pontos de intersecção com os eixos coordenados:

com o eixo OX: resolva a equação x 3 – 3x = 0

com eixo OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Descubra se a função é par ou ímpar:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Segue-se que a função é ímpar.

4) A função não é periódica.

5) Vamos encontrar os intervalos de monotonicidade e os pontos extremos da função: y’ = 3x 2 - 3.

Pontos críticos: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Encontre os intervalos de convexidade e pontos de inflexão da função: y’’ = 6x

Pontos críticos: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) A função é contínua, não possui assíntotas.

8) Com base nos resultados do estudo, construiremos um gráfico da função.