Média aritmética de uma série de números – Esta é a soma desses números dividida pelo número de termos.

A média aritmética é chamada de valor médio de uma série numérica.

Exemplo: Encontre a média aritmética dos números 2, 6, 9, 15.

Solução. Temos quatro números. Isso significa que sua soma deve ser dividida por 4. Esta será a média aritmética destes números:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Média geométrica de uma série de números- esta é a raiz enésimo grau do produto desses números.

Exemplo: Encontre a média números geométricos 2, 4, 8.

Solução. Temos três números. Isto significa que precisamos de determinar a terceira raiz do seu produto. Esta será a média geométrica destes números:

3 √ 2 4 8 = 3 √64 = 4

Escopo série de números é a diferença entre o maior e o menor desses números.

Exemplo: Encontre o intervalo de números 2, 5, 8, 12, 33.

Solução: O maior número aqui é 33, o menor é 2. Portanto, o intervalo é 31:

Moda série de números é o número que aparece em uma determinada série com mais frequência do que em outras.

Exemplo: Encontre a moda da série de números 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Solução: O número 7 aparece com mais frequência nesta série de números (3 vezes). É a moda de uma determinada série de números.

Mediana.

Em uma série ordenada de números:

Mediana de um número ímpar de númerosé o número escrito no meio.

Exemplo: Em uma série de números 2, 5, 9, 15, 21, a mediana é o número 9, localizado no meio.

Mediana de um número par de númerosé a média aritmética dos dois números no meio.

Exemplo: Encontre a mediana dos números 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Solução: Existe um número par de números (6). Portanto, procuramos não um, mas dois números escritos no meio. Estes são os números 7 e 11. Encontre a média aritmética desses números:

(7 + 11) : 2 = 9.

O número 9 é a mediana desta série de números.

Em uma série não ordenada de números:

Mediana de uma série arbitrária de númerosé chamada de mediana da série ordenada correspondente.

Exemplo 1: Encontre a mediana de uma série arbitrária de números 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Solução: Organizamos os números em ordem crescente:

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

No meio está o número 17. É a mediana desta série de números.

Exemplo 2: Vamos adicionar mais um número à nossa série arbitrária de números para que a série se torne par e encontrar a mediana:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Solução: Construímos uma série ordenada novamente:

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.

Os números 17 e 19 estavam no meio.

(17 + 19) : 2 = 18.

O número 18 é a mediana desta série de números.

Data __________

Tópico da lição: Média aritmética, intervalo e moda.

Objetivos da lição: repetir os conceitos de características estatísticas como média aritmética, intervalo e moda, desenvolver a capacidade de encontrar as características estatísticas médias de várias séries; desenvolver pensamento lógico, memória e atenção; incutir diligência, disciplina, perseverança e precisão nas crianças; desenvolver o interesse das crianças pela matemática.

Progresso da lição

Organização de classe

Repetição ( Equação e suas raízes)

Defina uma equação com uma variável.

Qual é a raiz de uma equação?

O que significa resolver uma equação?

Resolva a equação:

6x + 5 =23 -3x 2(x - 5) + 3x =11 -2x 3x - (x - 5) =14 -2x

Atualizando conhecimento repita os conceitos de características estatísticas como média aritmética, intervalo, moda e mediana.

Estatísticas é uma ciência que lida com a coleta, processamento e análise de dados quantitativos sobre uma variedade de fenômenos de massa ocorrem na natureza e na sociedade.

Média aritmética - é a soma de todos os números dividida pelo seu número. (A média aritmética é chamada de valor médio de uma série numérica.)

Faixa de números é a diferença entre o maior e o menor desses números.

Modo de série numérica - Este é o número que aparece em uma determinada série com mais frequência do que em outras.

Mediana uma série ordenada de números com um número ímpar de termos é chamada de número escrito no meio, e com um número par de termos é chamada de média aritmética dos dois números escritos no meio.

A palavra estatística é traduzida de Língua latina status - estado, estado de coisas.

Características estatísticas: média aritmética, amplitude, moda, mediana.

Aprendendo novo material

Tarefa nº 1: Pediu-se a 12 alunos da sétima série que anotassem o tempo (em minutos) gasto para completar trabalho de casa em álgebra. Recebemos os seguintes dados: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Em média, quantos minutos os alunos gastaram nos trabalhos de casa?

Solução: 1) encontre a média aritmética:

2) encontre o intervalo da série: 37-18=19 (min)

3) moda 25.

Tarefa nº 2: Na cidade de Schaslyve mediram diariamente às 18 00 temperatura do ar (em graus Celsius por 10 dias) como resultado do preenchimento da tabela:

T qua = 0 COM,

Faixa = 25-13=12 0 COM,

Tarefa nº 3: Encontre o intervalo dos números 2, 5, 8, 12, 33.

Solução: O maior número aqui é 33, o menor é 2. Isso significa que o intervalo é: 33 – 2 = 31.

Tarefa nº 4: Encontre a moda da série de distribuição:

a) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (modo 23);

b) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (modas: 22 e 26);

c) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (sem moda).

Tarefa nº 5 : Encontre a média aritmética, o intervalo e a moda da série de números 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11,22,8.

Solução: 1) O número 7 aparece com mais frequência nesta série de números (3 vezes). É a moda de uma determinada série de números.

Solução de exercícios

UM) Encontre a média aritmética, mediana, intervalo e moda de uma série de números:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

B) A média aritmética de uma série composta por dez números é 15. O número 37 foi adicionado a esta série. Qual é a média aritmética da nova série de números?

EM) Na série de números 2, 7, 10, __, 18, 19, 27, um número foi apagado. Reconstrua-o, sabendo que a média aritmética desta série de números é 14.

G) Cada um dos 24 participantes da competição de tiro disparou dez tiros. Observando cada vez o número de acertos no alvo, recebemos a seguinte série de dados: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8 , 6, 6, 5 , 6, 4, 3, 6, 5. Encontre o intervalo e a moda para esta série. O que caracteriza cada um destes indicadores?

Resumindo

Qual é a média aritmética? Moda? Mediana? Escopo?

Trabalho de casa:

№164 (tarefa de repetição), pp. 36-39 lido

№167(a,b), Nº 177, 179

Nível de entrada

Estatísticas. Conceitos e definições básicas (2019)

Lyudmila Prokofievna Kalugina (ou simplesmente “Mymra”) em filme maravilhoso « Romance de escritório“Novoseltseva ensinou: “A estatística é uma ciência, não tolera aproximações”. Para evitar ser atingido mão quente chefe rigoroso Kalugina (e ao mesmo tempo resolver facilmente tarefas do Exame de Estado Unificado e do Exame de Estado com elementos de estatística), tentaremos compreender alguns conceitos de estatística que podem ser úteis não apenas no espinhoso caminho de conquista do Estado Unificado Exame de exame, mas também simplesmente na vida cotidiana.

Então, o que é estatística e por que é necessária? A palavra “estatística” vem da palavra latina “status”, que significa “estado e situação”. A estatística trata do estudo do lado quantitativo dos fenômenos e processos sociais de massa em forma numérica, identificando padrões especiais. Hoje as estatísticas são usadas em quase todas as áreas vida pública, que vão desde moda, culinária, jardinagem até astronomia, economia, medicina.

Em primeiro lugar, ao familiarizar-se com a estatística, é necessário estudar as características estatísticas básicas utilizadas para a análise dos dados. Bem, vamos começar com isso!

Características estatísticas

Às principais características estatísticas de uma amostra de dados (que tipo de “amostra” é essa!? Não se assuste, está tudo sob controle, isso palavra desconhecida apenas para intimidação, na verdade, a palavra “amostra” significa simplesmente os dados que você vai estudar) incluem:

1. tamanho da amostra,
2. intervalo de amostra,
3. média aritmética,
4. moda,
5. mediana,
6. freqüência,
7. frequência relativa.

Pare, pare, pare! Quantas palavras novas! Vamos conversar sobre tudo em ordem.

Volume e Escopo

Por exemplo, a tabela abaixo mostra a altura dos jogadores da seleção nacional de futebol:

Esta seleção é representada por elementos. Assim, o tamanho da amostra é igual.

O intervalo da amostra apresentada é cm.

Média aritmética

Não está muito claro? Vejamos o nosso exemplo.

Determine a altura média dos jogadores.

Bem, vamos começar? Já descobrimos isso; .

Podemos substituir tudo imediatamente e com segurança em nossa fórmula:

Assim, a altura média de um jogador da seleção nacional é cm.

Ou assim exemplo:

Durante uma semana, os alunos do 9º ano foram convidados a resolver o maior número possível de exemplos do livro de problemas. O número de exemplos resolvidos pelos alunos por semana é dado abaixo:

Encontre o número médio de problemas resolvidos.

Assim, na tabela são apresentados dados dos alunos. Por isso, . Bem, vamos primeiro encontrar a soma (número total) de todos os problemas resolvidos por vinte alunos:

Agora podemos começar a calcular com segurança a média aritmética dos problemas resolvidos, sabendo que:

Assim, em média, os alunos do 9º ano resolveram cada problema.

Aqui está outro exemplo para reforçar.

Exemplo.

No mercado, os tomates são vendidos pelos vendedores e os preços por kg são distribuídos da seguinte forma (em rublos): . Qual é o preço médio do quilo de tomate no mercado?

Solução.

Então, o que está em neste exemplo iguais? É isso mesmo: sete vendedores oferecem sete preços, o que significa ! . Bem, resolvemos todos os componentes, agora podemos começar a calcular o preço médio:

Bem, você descobriu? Então faça você mesmo as contas média aritmética nas seguintes amostras:

Respostas: .

Moda e mediana

Vejamos novamente o nosso exemplo com a seleção nacional de futebol:

Qual é o modo neste exemplo? Qual é o número mais comum nesta amostra? Isso mesmo, isso é um número, já que dois jogadores têm cm de altura; o crescimento dos demais players não se repete. Tudo aqui deve ser claro e compreensível, e a palavra deve ser familiar, certo?

Vamos passar para a mediana, você deve conhecê-la no seu curso de geometria. Mas não é difícil para mim lembrar que na geometria mediana(traduzido do latim como “meio”) - um segmento dentro de um triângulo conectando o vértice do triângulo com o meio do lado oposto. Palavra-chave MEIO. Se você conhecesse essa definição, será fácil lembrar o que é uma mediana nas estatísticas.

Bem, vamos voltar à nossa amostra de jogadores de futebol?

Você notou na definição de mediana ponto importante, que ainda não conhecemos aqui? Claro, “se esta série for encomendada”! Vamos colocar as coisas em ordem? Para que haja ordem na série de números, você pode organizar os valores de altura dos jogadores de futebol em ordem decrescente e crescente. É mais conveniente para mim organizar esta série em ordem crescente (da menor para a maior). Aqui está o que eu consegui:

Então, a série está ordenada, que outro ponto importante existe na determinação da mediana? Isso mesmo, um número par e um número ímpar de membros na amostra. Você notou que até as definições são diferentes para quantidades pares e ímpares? Sim, você está certo, é difícil não notar. E se sim, então precisamos decidir se temos um número par de jogadores em nossa amostra ou um número ímpar? É isso mesmo – há um número ímpar de jogadores! Agora podemos aplicar à nossa amostra uma definição menos complicada da mediana para um número ímpar de membros na amostra. Procuramos o número que está no meio da nossa série ordenada:

Bem, temos números, o que significa que restam cinco números nas bordas e a altura cm será a mediana em nossa amostra. Não é tão difícil, certo?

Agora vejamos um exemplo com nossas crianças desesperadas do 9º ano, que resolveram exemplos durante a semana:

Você está pronto para procurar a moda e a mediana nesta série?

Para começar, vamos organizar esta série de números (organizar desde o número pequeno para o maior). O resultado é uma série como esta:

Agora podemos determinar com segurança a moda nesta amostra. Qual número ocorre com mais frequência? Isso mesmo! Por isso, moda nesta amostra é igual.

Encontramos a moda, agora podemos começar a encontrar a mediana. Mas antes me responda: qual é o tamanho da amostra em questão? Você contou? Isso mesmo, o tamanho da amostra é igual. A é um número par. Assim, aplicamos a definição de mediana para uma série de números com número par de elementos. Ou seja, precisamos encontrar na nossa série ordenada média aritmética dois números escritos no meio. Quais são os dois números que estão no meio? Isso mesmo, e!

Assim, a mediana desta série será média aritmética números e:

- mediana a amostra em consideração.

Frequência e frequência relativa

Aquilo é freqüência determina com que frequência um determinado valor é repetido em uma amostra.

Vejamos nosso exemplo com jogadores de futebol. Temos diante de nós esta série ordenada:

Freqüênciaé o número de repetições de qualquer valor de parâmetro. No nosso caso, pode ser considerado assim. Quantos jogadores são altos? Isso mesmo, um jogador. Assim, a frequência de encontro de um jogador com altura em nossa amostra é igual. Quantos jogadores são altos? Sim, novamente um jogador. A frequência de encontro com um jogador com altura em nossa amostra é igual. Ao fazer e responder a essas perguntas, você pode criar uma tabela como esta:

Bem, tudo é bem simples. Lembre-se que a soma das frequências deve ser igual ao número de elementos da amostra (tamanho da amostra). Ou seja, no nosso exemplo:

Vamos passar para a seguinte característica- frequência relativa.

Voltemos novamente ao nosso exemplo com jogadores de futebol. Calculamos as frequências para cada valor e também sabemos a quantidade total de dados da série. Calculamos a frequência relativa para cada valor de crescimento e obtemos esta tabela:

Agora crie você mesmo tabelas de frequências e frequências relativas para um exemplo com alunos do 9º ano resolvendo problemas.

Representação gráfica de dados

Muitas vezes, para maior clareza, os dados são apresentados na forma de tabelas/gráficos. Vejamos os principais:

1. gráfico de barras,
2. gráfico de pizza,
3. histograma,
4. polígono

Gráfico de colunas

Os gráficos de colunas são utilizados quando desejam mostrar a dinâmica das mudanças nos dados ao longo do tempo ou a distribuição dos dados obtidos como resultado de um estudo estatístico.

Por exemplo, temos os seguintes dados sobre avaliações de escritos trabalho de teste em uma aula:

O número de pessoas que receberam tal avaliação é o que temos freqüência. Sabendo disso, podemos fazer uma tabela como esta:

Agora podemos construir gráficos de barras visuais com base em um indicador como freqüência(o eixo horizontal mostra as notas; o eixo vertical mostra o número de alunos que receberam as notas correspondentes):

Ou podemos construir um gráfico de barras correspondente com base na frequência relativa:

Consideremos um exemplo do tipo de tarefa B3 do Exame Estadual Unificado.

Exemplo.

O diagrama mostra a distribuição da produção de petróleo nos países ao redor do mundo (em toneladas) para 2011. Entre os países, o primeiro lugar na produção de petróleo foi ocupado pela Arábia Saudita, os Estados Unidos ficaram em sétimo lugar. Emirados Árabes Unidos. Qual foi a classificação dos EUA?

Responder: terceiro.

Gráfico de pizza

Para representar visualmente a relação entre partes da amostra em estudo, é conveniente usar gráficos de pizza.

Utilizando nossa tabela com as frequências relativas da distribuição das notas na turma, podemos construir um gráfico de pizza dividindo o círculo em setores proporcionais às frequências relativas.

Um gráfico de pizza mantém sua clareza e expressividade apenas com um pequeno número de partes da população. No nosso caso, existem quatro partes (de acordo com estimativas possíveis), pelo que a utilização deste tipo de diagrama é bastante eficaz.

Vejamos um exemplo do tipo de tarefa 18 da Inspetoria Estadual de Exames.

Exemplo.

O diagrama mostra a distribuição das despesas familiares durante as férias à beira-mar. Determinar em que a família gastou mais?

Responder: alojamento.

Polígono

A dinâmica das mudanças nos dados estatísticos ao longo do tempo é frequentemente representada por meio de um polígono. Para construir um polígono, são marcados pontos no plano coordenado, cujas abscissas são momentos no tempo, e as ordenadas são os dados estatísticos correspondentes. Ao conectar esses pontos sucessivamente com segmentos, obtém-se uma linha quebrada, que é chamada de polígono.

Aqui, por exemplo, temos as temperaturas médias mensais do ar em Moscou.

Vamos tornar os dados fornecidos mais visuais - construiremos um polígono.

O eixo horizontal mostra os meses e o eixo vertical mostra a temperatura. Construímos os pontos correspondentes e os conectamos. Aqui está o que aconteceu:

Concordo, ficou imediatamente mais claro!

Um polígono também é usado para representar visualmente a distribuição dos dados obtidos como resultado de um estudo estatístico.

Aqui está o polígono construído com base em nosso exemplo com a distribuição de pontuações:

Consideremos uma tarefa típica B3 do Exame de Estado Unificado.

Exemplo.

Na figura, os pontos em negrito mostram o preço do alumínio no fechamento da bolsa em todos os dias úteis de agosto a agosto do ano. As datas do mês são indicadas horizontalmente e o preço da tonelada de alumínio em dólares americanos é indicado verticalmente. Para maior clareza, os pontos em negrito na figura estão conectados por uma linha. Determine a partir da figura em que data o preço do alumínio no fechamento do pregão foi o mais baixo para o período determinado.

Responder: .

Histograma

As séries de dados de intervalo são representadas usando um histograma. Um histograma é uma figura escalonada composta de retângulos fechados. A base de cada retângulo é igual ao comprimento do intervalo e a altura é igual à frequência ou frequência relativa. Assim, em um histograma, diferentemente de um gráfico de barras normal, as bases do retângulo não são escolhidas arbitrariamente, mas são estritamente determinadas pela duração do intervalo.

Por exemplo, temos os seguintes dados sobre o crescimento de jogadores convocados para a seleção nacional:

Então nos é dado freqüência(número de jogadores com altura correspondente). Podemos completar a tabela calculando a frequência relativa:

Bem, agora podemos construir histogramas. Primeiro, vamos construir com base na frequência. Aqui está o que aconteceu:

E agora, com base nos dados de frequência relativa:

Exemplo.

Para a exposição tecnologias inovadoras Chegaram representantes das empresas. O gráfico mostra a distribuição dessas empresas por número de funcionários. A linha horizontal representa o número de funcionários da empresa, a linha vertical mostra o número de empresas com determinado número funcionários.

Qual a porcentagem de empresas com número total de funcionários de mais de uma pessoa?

Responder: .

Breve resumo

Tamanho da amostra- o número de elementos da amostra.

Intervalo de amostra- a diferença entre os valores máximo e mínimo dos elementos da amostra.

Média aritmética de uma série de númerosé o quociente da divisão da soma desses números pelo seu número (tamanho da amostra).

Modo de série numérica- o número encontrado com mais frequência em uma determinada série.

Medianasérie ordenada de números com um número ímpar de termos- o número que estará no meio.

Mediana de uma série ordenada de números com um número par de termos- a média aritmética de dois números escritos no meio.

Freqüência- o número de repetições de um determinado valor de parâmetro na amostra.

Frequência relativa

Para maior clareza, é conveniente apresentar os dados na forma de tabelas/gráficos apropriados

• ELEMENTOS DE ESTATÍSTICA. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS.

Amostragem estatística- um número específico de objetos selecionados do número total de objetos para pesquisa.

O tamanho da amostra é o número de elementos incluídos na amostra.

O intervalo de amostragem é a diferença entre os valores máximo e mínimo dos elementos da amostra.

Ou intervalo de amostra

Média aritmética de uma série de números é o quociente da divisão da soma desses números pelo seu número

A moda de uma série de números é o número que aparece com mais frequência em uma determinada série.

A mediana de uma série de números com número par de termos é a média aritmética dos dois números escritos no meio, se esta série for ordenada.

A frequência representa o número de repetições, quantas vezes durante um determinado período ocorreu um determinado evento, uma determinada propriedade de um objeto se manifestou ou um parâmetro observado atingiu um determinado valor.

Frequência relativaé a razão entre a frequência e número total dados em uma linha.

Deixar X 1, X 2 ... X n- amostra de variáveis ​​aleatórias independentes.

Vamos ordenar esses valores em ordem crescente, ou seja, construir uma série de variações:

X (1)< Х (2) < ... < X (n) , (*)

Onde X (1) = min (X 1, X 2 ... X n),

X (n) = máx (X 1, X 2 ... X n).

Os elementos de uma série de variação (*) são chamados de estatísticas ordinais.

Quantidades d (eu) = X (eu+1) - X (eu) são chamados de espaçamentos ou distâncias entre estatísticas de pedidos.

No escopo amostra é chamada de quantidade

R = X (n) - X (1)

Em outras palavras, o intervalo é a distância entre os membros máximo e mínimo da série de variação.

Média amostralé igual a: = (X 1 + X 2 + ... + X n) / n

Média aritmética

A maioria de vocês provavelmente já usou estatísticas descritivas importantes, como média.

Médiaé uma medida muito informativa da “centralidade” de uma variável observada, especialmente se o seu intervalo de confiança for relatado. O pesquisador necessita de estatísticas que lhe permitam tirar conclusões sobre a população como um todo. Uma dessas estatísticas é a média.

Intervalo de confiança pois a média representa o intervalo de valores em torno da estimativa onde, com um determinado nível de confiança, está a média populacional “verdadeira” (desconhecida).

Por exemplo, se a média amostral for 23 e os limites inferior e superior do intervalo de confiança com o nível p= 0,95 são 19 e 27, respectivamente, então podemos concluir que com 95% de probabilidade o intervalo com limites 19 e 27 cobre a média da população.

Se você definir um nível de confiança mais alto, o intervalo se tornará mais amplo, então a probabilidade com que ele “cobre” a média da população desconhecida aumenta e vice-versa.

É bem sabido, por exemplo, que quanto mais “incerta” for uma previsão meteorológica (ou seja, quanto mais amplo for o intervalo de confiança), maior será a probabilidade de estar correta. Observe que a largura do intervalo de confiança depende do volume ou tamanho da amostra, bem como da dispersão (variabilidade) dos dados. Aumentar o tamanho da amostra torna a estimativa da média mais confiável. Aumentar a dispersão dos valores observados reduz a confiabilidade da estimativa.

O cálculo dos intervalos de confiança baseia-se no pressuposto de normalidade dos valores observados. Se esta suposição não for satisfeita, a estimativa pode ser fraca, especialmente para amostras pequenas.

À medida que o tamanho da amostra aumenta, digamos para 100 ou mais, a qualidade da estimativa melhora sem assumir a normalidade da amostra.

É muito difícil “sentir” as medições numéricas até que os dados sejam resumidos de forma significativa. Um diagrama é muitas vezes útil como um ponto de partida. Também podemos compactar informações usando características importantes dos dados. Em particular, se soubéssemos em que consistia a quantidade representada, ou se soubéssemos quão amplamente dispersas estavam as observações, poderíamos formar uma imagem dos dados.

A média aritmética, muitas vezes chamada simplesmente de "média", é obtida somando todos os valores e dividindo essa soma pelo número de valores do conjunto.

Isso pode ser mostrado usando uma fórmula algébrica. Conjunto n observações de uma variável X pode ser retratado como X 1, X 2, X 3, ..., X n. Por exemplo, para X podemos indicar a altura do indivíduo (cm), X 1 denota crescimento 1 -º indivíduo, e X eu- altura eu-º indivíduo. A fórmula para determinar a média aritmética das observações (pronuncia-se “X com linha”):

= (X 1 + X 2 + ... + X n) / n

Você pode encurtar esta expressão:

Onde ( carta grega"sigma") significa "soma", e os índices abaixo e acima desta letra significam que a soma é feita a partir de eu = 1 para eu =n. Esta expressão é frequentemente abreviada ainda mais:

Mediana

Se você ordenar os dados por valor, começando com o menor valor e terminando com o maior, a mediana também será a característica média do conjunto ordenado de dados.

Mediana divide uma série de valores ordenados pela metade com um número igual desses valores acima e abaixo dela (à esquerda e à direita da mediana no eixo dos números).

É fácil calcular a mediana se o número de observações n chance. Este será um número de observação (n+1)/2 em nosso conjunto de dados ordenado.

Por exemplo, se n=11, então a mediana é (11 + 1)/2 , ou seja 6º observação em um conjunto de dados ordenado.

Se n até, então, a rigor, não existe mediana. No entanto, geralmente calculamos como a média aritmética de duas médias adjacentes de observações em um conjunto de dados ordenado (ou seja, número de observações (n/2) E (n/2 + 1)).

Então, por exemplo, se n = 20, então a mediana é a média aritmética do número de observações 20/2 = 10 E (20/2 + 1) = 11 em um conjunto de dados ordenado.

Moda

Modaé o valor que ocorre com mais frequência no conjunto de dados; se os dados forem contínuos, geralmente os agrupamos e calculamos o grupo modal.

Alguns conjuntos de dados não têm moda porque cada valor ocorre apenas uma vez. Às vezes há mais de um modo; isso ocorre quando 2 ou mais valores ocorrem o mesmo número de vezes e a ocorrência de cada um desses valores é maior que a de qualquer outro valor.

A moda raramente é usada como característica generalizante.

Média geométrica

Se a distribuição dos dados for assimétrica, a média aritmética não será um indicador geral da distribuição.

Se os dados estiverem distorcidos para a direita, você pode criar uma distribuição mais simétrica tomando o logaritmo (base 10 ou base e) de cada valor de variável no conjunto de dados. A média aritmética dos valores desses logaritmos é uma característica da distribuição dos dados transformados.

Para obter uma medida com as mesmas unidades das observações originais, é necessário realizar a transformação inversa - potencialização (ou seja, tomar o antilogaritmo) do logaritmo médio dos dados; chamamos essa quantidade média geométrica.

Se a distribuição dos dados logísticos for aproximadamente simétrica, então a média geométrica é semelhante à mediana e menor que a média dos dados brutos.

Média ponderada

Média ponderada usado quando alguns valores da variável em que estamos interessados x mais importante que outros. Nós adicionamos peso eu para cada um dos valores x eu em nossa amostra para dar conta dessa importância.

Se os valores x 1 , x 2 ... x n tenha o peso adequado w 1, w 2 ... w n, então a média aritmética ponderada fica assim:

Por exemplo, suponha que estejamos interessados ​​em determinar o tempo médio de internação hospitalar em uma área e saber o período médio de recuperação dos pacientes em cada hospital. Levamos em consideração a quantidade de informações, tomando como primeira aproximação o número de pacientes internados como peso de cada observação.

Uma média ponderada e uma média aritmética são idênticas se cada peso for igual a um.

Faixa (intervalo de mudança)

Escopoé a diferença entre os valores máximo e mínimo da variável no conjunto de dados; essas duas quantidades denotam sua diferença. Observe que o intervalo é enganoso se um dos valores for atípico (consulte a Seção 3).

Faixa derivada de percentis

O que são percentis

Vamos supor que organizamos nossos dados em ordem a partir do menor valor da variável X e até o maior valor. Magnitude X, até o qual 1% das observações estão localizadas (e acima do qual 99% das observações estão localizadas) é chamado primeiro percentil.

Magnitude X, para o qual 2% das observações estão localizadas é chamado 2º percentil, etc.

Quantidades X, que dividem um conjunto ordenado de valores em 10 grupos iguais, ou seja, 10º, 20º, 30º,..., 90º e percentis, são chamados decis. Quantidades X, que dividem o conjunto ordenado de valores em 4 grupos iguais, ou seja, Os percentis 25, 50 e 75 são chamados quartis. O percentil 50 é mediana.

Aplicando percentis

Podemos conseguir uma forma de descrição de espalhamento que não seja afetada por um outlier (um valor anômalo), eliminando valores extremos e determinando a magnitude das observações restantes.

O intervalo interquartil é a diferença entre o 1º e o 3º quartis, ou seja, entre os percentis 25 e 75. Consiste no centro de 50% das observações em um conjunto ordenado, com 25% das observações abaixo do ponto central e 25% acima dele.

O intervalo interdecil contém os 80% centrais das observações, ou seja, aquelas observações que se situam entre os percentis 10 e 90.

Freqüentemente usamos o intervalo, que contém 95% das observações, ou seja, exclui 2,5% das observações de baixo e 2,5% de cima. A indicação desse intervalo é relevante, por exemplo, para o diagnóstico de uma doença. Este intervalo é chamado intervalo de referência, intervalo de referência ou intervalo normal.

Dispersão

Uma forma de medir a dispersão dos dados é determinar o grau em que cada observação se desvia da média aritmética. Obviamente, quanto maior o desvio, maior a variabilidade, variabilidade das observações.

No entanto, não podemos usar a média desses desvios como medida de dispersão, porque os desvios positivos compensam os desvios negativos (sua soma é zero). Para resolver este problema, elevamos ao quadrado cada desvio e encontramos a média dos desvios quadrados; esta quantidade é chamada variação, ou dispersão.

Vamos pegar n observaçõesx 1 , x 2 , x 3 , ..., x n, média que é igual a.

Calculamos a variância:

Se não estamos lidando com uma população geral, mas com uma amostra, então calculamos variação da amostra:

Teoricamente, pode-se mostrar que uma variância amostral mais precisa será obtida se não dividirmos por n e em (n-1).

A unidade de medida (dimensão) de variação é o quadrado das unidades das observações originais.

Por exemplo, se as medições forem feitas em quilogramas, a unidade de variação será quilograma ao quadrado.

Desvio padrão, desvio padrão da amostra

Desvio padrão- isso é positivo raiz quadrada de .

Desvio Padrão amostrasé a raiz da variância da amostra.

Slepnev Pavel

No curso de álgebra do 7º ano, o livro editado por Telyakovsky oferece material de estatística “A Média Aritmética, Intervalo e Modo”. O aluno em seu trabalho oferece exemplos de consideração deste tema sugeridos por seus colegas.

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Visualização:

Departamento de Educação MU MO "distrito de Tarbagatai"

MBOU "Zavodskaya OOSH"

"Média aritmética, intervalo e modo"

Concluído por: Slepnev Pavel, aluno da 7ª série

Supervisor Científico:

Ulakhanova Marina Rodionovna,

professor de matemática

2012

Página de introdução 3

Parte principal Página 4-9

Teoria da questão pp. 4-6

Miniprojetos pp. 7-9

Conclusão Página 9

Referências Página 10

Introdução

Relevância

Nesta ano letivo Começamos a estudar duas disciplinas: álgebra e geometria. Ao estudar álgebra, algumas coisas me são familiares dos cursos de 5º e 6º ano, algumas estudamos mais a fundo e aprofundadamente, aprendemos muitas coisas novas. O que há de novo para mim ao estudar álgebra é familiarizar-me com algumas características estatísticas: amplitude e modo. Já encontramos a média aritmética anteriormente. O que também se revelou interessante é que estas características são utilizadas não só nas aulas de matemática, mas também na vida, na prática (na produção, na agricultura, nos esportes, etc.).

Declaração do problema

Quando estávamos resolvendo problemas para este ponto da aula, surgiu a ideia de criarmos nós mesmos os problemas e prepararmos apresentações para eles, ou seja, começarmos a criar nosso próprio livro de problemas. Todo mundo surge com um problema, faz uma apresentação, como se cada um estivesse trabalhando no seu miniprojeto, e na aula resolvemos tudo juntos e discutimos. Se erros forem cometidos, nós os corrigimos. E no final defender publicamente esses miniprojetos.

O objetivo do meu trabalho: estudar estatísticas.

Objetivos: começar a desenvolver um livro de problemas de estatística na forma de apresentações de computador.

Objeto de pesquisa: estatísticas.

Objeto de estudo: características estatísticas (média aritmética, amplitude, moda).

Métodos de pesquisa:

1. Estudando literatura sobre este tema.
2. Análise de dados.
3. Uso de recursos da Internet.
4. Usando Power Point.
5. Generalização materiais coletados sobre este tema.

Parte principal.

Teoria do problema

Ao estudar a seção “Características estatísticas” conhecemos os seguintes conceitos: média aritmética, amplitude, moda. Essas características são usadas em estatísticas. Esta ciência estuda o tamanho dos grupos populacionais individuais do país e suas regiões, a produção e consumo de diversos tipos de produtos, o transporte de mercadorias e passageiros vários tipos transporte, recursos naturais etc.

“As estatísticas sabem tudo”, afirmaram Ilf e Petrov no seu famoso romance “As Doze Cadeiras” e continuaram: “Sabe-se quanta comida o cidadão médio da república come por ano... Sabe-se quantos caçadores, bailarinas, máquinas, bicicletas, monumentos que existem no país, faróis e máquinas de costura... Quanta vida, cheia de ardor, paixões e pensamentos, nos olha a partir de tabelas estatísticas!..” Esta descrição irônica dá uma ideia bastante precisa da estatística (do latim status - estado) - a ciência que estuda , processa e analisa dados quantitativos sobre os mais diversos fenômenos de massa da vida.

As estatísticas económicas estudam as mudanças nos preços, na oferta e na procura de bens, prevêem o crescimento e o declínio da produção e do consumo.

As estatísticas médicas estudam a eficácia de vários medicamentos e métodos de tratamento, a probabilidade de uma determinada doença dependendo da idade, sexo, hereditariedade, condições de vida, maus hábitos, prevê a propagação de epidemias.

As estatísticas demográficas estudam a taxa de natalidade, o tamanho da população e a sua composição (idade, nacional, profissional).

Existem também estatísticas financeiras, tributárias, biológicas e meteorológicas.

No curso de álgebra escolar, consideramos os conceitos e métodos da estatística descritiva, que trata do processamento primário da informação e do cálculo das características numéricas mais significativas. Segundo o estatístico inglês R. Fisher: “A estatística pode ser caracterizada como a ciência da redução e análise do material obtido a partir de observações”. Todo o conjunto de dados numéricos obtidos na amostra pode (condicionalmente) ser substituído por diversos parâmetros numéricos, alguns dos quais já consideramos nas aulas - média aritmética, intervalo, moda. Os resultados de estudos estatísticos são amplamente utilizados para fins práticos e conclusões científicas, por isso é importante poder determinar essas características estatísticas.

Características estatísticas são encontradas em todos os lugares hoje em dia. Por exemplo, o censo populacional. Graças a este censo, o Estado saberá quanto dinheiro é necessário para construir habitações, escolas, hospitais, quantas pessoas precisam de habitação, quantos filhos há na família, o número de desempregados, os níveis salariais, etc. Os resultados deste censo serão comparados com o anterior, vão ver se o país melhorou neste período ou se a situação piorou, será possível comparar os dados com os resultados de outros países. Na indústria ótimo valor tem moda. Por exemplo, um produto com grande procura será sempre vendido e as fábricas terão muito dinheiro. E há muitos exemplos desse tipo.

Os resultados de estudos estatísticos são amplamente utilizados para conclusões práticas e científicas.

Definição 1. A média aritmética de uma série de números é o quociente da divisão da soma desses números pelo número de termos.

Exemplo: Ao estudar a carga horária, foi identificado um grupo de 12 alunos do 7º ano. Foi-lhes pedido que anotassem, num determinado dia, o tempo (em minutos) gasto em trabalhos de casa de álgebra. Recebemos os seguintes dados:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Com esta série de dados, você pode determinar quantos minutos, em média, os alunos gastaram em trabalhos de álgebra. Para fazer isso, você precisa somar os 12 números indicados e dividir a soma resultante

às 12: ==27.

O número resultante 27 é chamado de média aritmética da série de números em consideração.

A média aritmética é característica importante número de números, mas às vezes é útil considerar outros média.

Definição 2. A moda de uma série de números é o número que aparece em uma determinada série com mais frequência do que em outras.

Exemplo: Ao analisar informações sobre o tempo gasto pelos alunos nos trabalhos de casa de álgebra, podemos estar interessados ​​não apenas na média aritmética e no intervalo das séries de dados obtidas, mas também em outros indicadores. Por exemplo, é interessante saber qual é o consumo de tempo típico de um grupo selecionado de alunos, ou seja, qual número ocorre com mais frequência na série de dados. É fácil ver que no nosso exemplo esse número é 25. Dizem que o número 25 é a moda da série em consideração.

Uma série de números pode ter mais de uma moda ou pode não ter nenhuma moda. Por exemplo, na série dos números 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52, dois modos são os números 47 e 52, pois cada um deles ocorre três vezes no séries e outros números – menos de três vezes.

Não há moda na série numérica 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72.

A moda de uma série de dados geralmente é encontrada quando se deseja identificar algum indicador típico. A moda é um indicador amplamente utilizado em estatísticas. Um dos usos mais comuns da moda é estudar a demanda. Por exemplo, ao decidir em que embalagens de peso embalar manteiga, que voos abrir, etc., primeiro estuda-se a procura e identifica-se a moda – a ordem mais comum.

No entanto, encontrar a média ou moda aritmética nem sempre permite tirar conclusões confiáveis ​​com base em dados estatísticos. se tivermos uma série de dados, então para tirar conclusões válidas e previsões confiáveis ​​​​a partir deles, além dos valores médios, devemos também indicar o quanto os dados utilizados diferem entre si. Uma medida estatística da diferença ou dispersão dos dados é o intervalo.

Definição 3. O intervalo de uma série de números é a diferença entre o maior e o menor desses números.

Exemplo: No exemplo acima, descobrimos que, em média, os alunos gastaram 27 minutos nos trabalhos de casa de álgebra. No entanto, a análise da série de dados mostra que o tempo gasto por alguns alunos difere significativamente de 27 minutos, ou seja, da média aritmética. O maior consumo é de 37 minutos e o menor é de 18 minutos. A diferença entre o maior e o menor consumo de tempo é de 19 minutos. Nesse caso, considera-se outra característica estatística – abrangência. O intervalo de uma série é encontrado quando se deseja determinar quão grande é a dispersão dos dados em uma série.

Miniprojetos

E agora gostaria de apresentar os resultados do nosso trabalho: miniprojetos para a criação de um livro de problemas de estatística.

Trabalho no showroom da Superauto como gerente-chefe do departamento de vendas. Nosso salão forneceu carros para participar do jogo com tração nas quatro rodas. No ano passado na exposição e venda os nossos carros foram um sucesso! Os resultados de vendas são os seguintes:

Carros vendidos no primeiro dia	Carros vendidos no segundo dia	Carros vendidos no terceiro dia	Carros vendidos no quarto dia	Carros vendidos no quinto dia

O departamento de vendas precisa resumir os resultados da exposição:

1. Quantos carros foram vendidos em média por dia?
2. Qual é a distribuição do número de carros durante o período de exposição e venda?
3. Quantos carros foram vendidos com mais frequência por dia?

Resposta: em média, foram vendidos 150 carros por dia, a variação do número de carros vendidos foi de 150, na maioria das vezes foram vendidos 100 carros por dia.

Eu, Anastasia Volochkova, fui convidada para fazer parte do júri da final do concurso Gelo e Fogo. A competição aconteceu na cidade de São Petersburgo. Três pares dos patinadores mais fortes chegaram à final: 1 par. Batueva Alina e Khlebodarov Kirill, 2º casal. Selyanskaya Yulia e Kushnarev Pavel, 3 pares. Zaigraeva Anastasia e Afanasyev Dmitry. Júri: Anastasia Volochkova, Elena Malysheva, Alexey Dalmatov. O júri atribuiu as seguintes pontuações:

Encontre a média aritmética, o intervalo e a moda na série de estimativas para cada par.

Responder:

Resultados	Média aritmética	Escopo	Moda
1 par	5.43
2 pares	5.27
3 pares	5.23		Não

Este ano visitei São Petersburgo para uma competição de dança de salão. Três lindos casais participaram da competição: Elena Sushentsova e Kirill Khlebodarov, Alina Batueva e Pavel Slepnev, Victoria Dzhaniashvili e Valery Tkachev.

Os casais receberam as seguintes pontuações por suas performances:

Encontre a estimativa média, intervalo e moda.

Responder:

Casais	Média aritmética	Escopo	Moda
№1	4,42
№2	4,37
№3	4,37

Sou diretora da loja de roupas e acessórios de moda “Fashion”. A loja tem um bom lucro. Números de vendas do ano passado:

915t.r.	1 milhão 150 rublos.	1 milhão 980t.r.	2 milhões 3t.r.	2 milhões 950t.r.	3 milhões 950t.r.	3 milhões 100t.r.	2 milhões 950t.r.	3 milhões	3 milhões 750t.r.	2 milhões 950t.r.	4 milhões 250t.r.

Nos primeiros 2-3 meses, o lucro atingiu 2 milhões por mês. Depois, o lucro aumentou para 4 milhões. Os meses de maior sucesso foram: dezembro e maio. Em maio compramos principalmente vestidos para bailes de formatura e em dezembro para comemorações de Ano Novo.

Pergunta ao meu contador-chefe: quais são os resultados do nosso trabalho no ano?

Responder:

Média aritmética	2.745.000 rublos.
Escopo	RUB 4.158.500
Moda	2.950.000 rublos.

Organizamos um workshop de tuning “Turbo”. Durante a primeira semana de trabalho, ganhamos: no primeiro dia - US$ 120.000, no segundo dia - US$ 350.000, no terceiro dia - US$ 99.000, no quarto dia - US$ 120.000. Calcule qual é o nosso rendimento médio por dia, qual a diferença entre o maior e o menor rendimento e qual o valor que se repete com mais frequência?

Resposta: média aritmética – $ 172.250, intervalo – $ 251.000, moda – $ 120.000.

Conclusão

Concluindo, quero dizer que adoro esse assunto. As características estatísticas são muito convenientes e podem ser usadas em qualquer lugar. Em geral, eles comparam, buscam o progresso e ajudam a conhecer a opinião das pessoas. Ao trabalhar neste tema, conheci a ciência da estatística, aprendi alguns conceitos (média aritmética, amplitude e modo) onde esta ciência pode ser aplicada e ampliei meus conhecimentos em informática. Acho que nossos problemas como exemplos para o domínio desses conceitos serão úteis para outras pessoas! Continuaremos a conhecer esta ciência e a criar os nossos próprios problemas!

Assim terminou minha jornada no mundo da matemática, da ciência da computação e da estatística. Mas acho que não é o último. Ainda há muita coisa que quero saber! Como disse Galileu Galilei: “A natureza formula suas leis na linguagem da matemática”. E eu quero dominar esse idioma!

Referências

1. Bunimovich E.A., Bulychev V.A. « Probabilidade e estatística num curso de matemática do ensino secundário”, M.: Universidade Pedagógica“Primeiro de Setembro”, 2005
2. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. “Álgebra, 7ª série”, M: “Prosveshcheniye”, 2009
3. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. « Álgebra. Elementos de estatística e teoria das probabilidades”, 7ª a 9ª séries. – M.: Educação, 2005.

Análise

O tema da pesquisa do aluno é estatística.

O objeto do estudo são as características estatísticas (média aritmética, amplitude, moda).

Para se familiarizar com a teoria do assunto, o aluno estudou fontes científicas, recursos da Internet.

O tema escolhido é relevante para alunos que demonstram interesse em matemática, ciência da computação e estatística. Para sua idade, foi analisado material suficiente, os dados foram selecionados e generalizados. O aluno tem conhecimentos suficientes de TIC.

O trabalho é concluído de acordo com os requisitos.

Ao final do estudo é tirada uma conclusão e apresentado um produto prático: apresentações de problemas de estatística. Fico feliz que uma pessoa seja tão apaixonada por matemática.

Supervisor científico: Ulakhanova MR,

professor de matemática