Chão
Gráficos de funções com exemplos de módulos. Gráficos de funções lineares com módulos

Gráficos de funções com exemplos de módulos. Gráficos de funções lineares com módulos

O sinal do módulo é talvez um dos mais fenômenos interessantes em matemática. Nesse sentido, muitos alunos têm dúvidas sobre como construir gráficos de funções contendo um módulo. Vejamos esse problema em detalhes.

1. Traçando gráficos de funções contendo um módulo

Exemplo 1.

Faça um gráfico da função y = x 2 – 8|x| + 12.

Solução.

Vamos determinar a paridade da função. O valor de y(-x) é igual ao valor de y(x), portanto esta função é par. Então seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy. Traçamos a função y = x 2 – 8x + 12 para x ≥ 0 e exibimos simetricamente o gráfico em relação a Oy para x negativo (Fig. 1).

Exemplo 2.

O gráfico a seguir se parece com y = |x 2 – 8x + 12|.

– Qual é o intervalo de valores da função proposta? (y ≥ 0).

– Como está localizado o horário? (Acima ou tocando o eixo x).

Isso significa que o gráfico da função é obtido da seguinte forma: trace o gráfico da função y = x 2 – 8x + 12, deixe inalterada a parte do gráfico que fica acima do eixo do Boi e a parte do gráfico que fica sob o eixo das abcissas é exibido simetricamente em relação ao eixo do Boi (Fig. 2).

Exemplo 3.

Para traçar a função y = |x 2 – 8|x| +12| realizar uma combinação de transformações:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| +12|.

Resposta: Figura 3.

As transformações consideradas são válidas para todos os tipos de funções. Vamos fazer uma tabela:

2. Traçando gráficos de funções contendo “módulos aninhados” na fórmula

Já vimos exemplos função quadrática, contendo o módulo, bem como com regras gerais construindo gráficos de funções da forma y = f(|x|), y = |f(x)| e y = |f(|x|)|. Estas transformações nos ajudarão ao considerar o exemplo a seguir.

Exemplo 4.

Considere uma função da forma y = |2 – |1 – |x|||. A expressão da função contém "módulos aninhados".

Solução.

Vamos usar o método das transformações geométricas.

Vamos escrever uma cadeia de transformações sequenciais e fazer um desenho correspondente (Fig. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| +1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Consideremos os casos em que as transformações de simetria e de translação paralela não são a técnica principal na construção de gráficos.

Exemplo 5.

Construa um gráfico de uma função da forma y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2.

Solução.

Antes de construir um gráfico, transformamos a fórmula que define a função e obtemos outra atribuição analítica da função (Fig. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Vamos expandir o módulo no denominador:

Para x > -2, y = x – 2, e para x< -2, y = -(x – 2).

Domínio D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Faixa de valores E(y) = (-4; +∞).

Os pontos em que o gráfico cruza o eixo de coordenadas: (0; -2) e (2; 0).

A função diminui para todo x a partir do intervalo (-∞; -2), aumenta para x de -2 a +∞.

Aqui tivemos que revelar o sinal do módulo e traçar a função para cada caso.

Exemplo 6.

Considere a função y = |x + 1| – |x – 2|.

Solução.

Expandindo o sinal de um módulo, é necessário considerar todas as combinações possíveis de sinais de expressões submodulares.

Existem quatro casos possíveis:

(x + 1 – x + 2 = 3, para x ≥ -1 e x ≥ 2;

(-x – 1 + x – 2 = -3, em x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, para x ≥ -1 e x< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, em x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Então a função original ficará assim:

(3, para x ≥ 2;

y = (-3, em x< -1;

(2x – 1, com -1 ≤ x< 2.

Obtivemos uma função dada por partes, cujo gráfico é mostrado na Figura 6.

3. Algoritmo para construção de gráficos de funções da forma

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + machado + b.

No exemplo anterior, foi bastante fácil revelar os sinais do módulo. Se houver mais somas de módulos, será problemático considerar todas as combinações possíveis de sinais de expressões submodulares. Como, neste caso, construir um gráfico da função?

Observe que o gráfico é uma linha quebrada, com vértices em pontos tendo abcissas -1 e 2. Em x = -1 e x = 2, as expressões submodulares são iguais a zero. Na prática, chegamos mais perto da regra para a construção de tais gráficos:

Um gráfico de uma função da forma y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + ax + b é uma linha quebrada com ligações extremas infinitas. Para construir tal linha quebrada, basta conhecer todos os seus vértices (as abcissas dos vértices são os zeros das expressões submodulares) e um ponto de controle nos links infinitos esquerdo e direito.

Tarefa.

Faça um gráfico da função y = |x| + |x – 1| + |x + 1| e encontre seu menor valor.

Solução:

Zeros de expressões submodulares: 0; -1; 1. Vértices da linha tracejada (0; 2); (-1;3); (1;3). Ponto de controle à direita (2; 6), à esquerda (-2; 6). Construímos um gráfico (Fig. 7). minf(x) = 2.

Ainda tem dúvidas? Não sabe como representar graficamente uma função com módulo?
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O sinal do módulo é talvez um dos fenômenos mais interessantes da matemática. Nesse sentido, muitos alunos têm dúvidas sobre como construir gráficos de funções contendo um módulo. Vejamos esse problema em detalhes.

1. Traçando gráficos de funções contendo um módulo

Exemplo 1.

Faça um gráfico da função y = x 2 – 8|x| + 12.

Solução.

Exemplo 2.

O gráfico a seguir se parece com y = |x 2 – 8x + 12|.

– Qual é o intervalo de valores da função proposta? (y ≥ 0).

– Como está localizado o horário? (Acima ou tocando o eixo x).

Exemplo 3.

Para traçar a função y = |x 2 – 8|x| +12| realizar uma combinação de transformações:

y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| +12|.

Resposta: Figura 3.

As transformações consideradas são válidas para todos os tipos de funções. Vamos fazer uma tabela:

2. Traçando gráficos de funções contendo “módulos aninhados” na fórmula

Já conhecemos exemplos de funções quadráticas contendo um módulo, bem como as regras gerais para a construção de gráficos de funções da forma y = f(|x|), y = |f(x)| e y = |f(|x|)|. Estas transformações nos ajudarão ao considerar o exemplo a seguir.

Exemplo 4.

Considere uma função da forma y = |2 – |1 – |x|||. A expressão da função contém "módulos aninhados".

Solução.

Vamos usar o método das transformações geométricas.

Vamos escrever uma cadeia de transformações sequenciais e fazer um desenho correspondente (Fig. 4):

y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ y = -|-|x| +1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Consideremos os casos em que as transformações de simetria e de translação paralela não são a técnica principal na construção de gráficos.

Exemplo 5.

Construa um gráfico de uma função da forma y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2.

Solução.

Antes de construir um gráfico, transformamos a fórmula que define a função e obtemos outra atribuição analítica da função (Fig. 5).

y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2 = (x– 2)(x + 2)/|x + 2|.

Vamos expandir o módulo no denominador:

Para x > -2, y = x – 2, e para x< -2, y = -(x – 2).

Domínio D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

Faixa de valores E(y) = (-4; +∞).

Os pontos em que o gráfico cruza o eixo de coordenadas: (0; -2) e (2; 0).

A função diminui para todo x a partir do intervalo (-∞; -2), aumenta para x de -2 a +∞.

Aqui tivemos que revelar o sinal do módulo e traçar a função para cada caso.

Exemplo 6.

Considere a função y = |x + 1| – |x – 2|.

Solução.

Expandindo o sinal de um módulo, é necessário considerar todas as combinações possíveis de sinais de expressões submodulares.

Existem quatro casos possíveis:

(x + 1 – x + 2 = 3, para x ≥ -1 e x ≥ 2;

(-x – 1 + x – 2 = -3, em x< -1 и x < 2;

(x + 1 + x – 2 = 2x - 1, para x ≥ -1 e x< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1, em x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

Então a função original ficará assim:

(3, para x ≥ 2;

y = (-3, em x< -1;

(2x – 1, com -1 ≤ x< 2.

Obtivemos uma função dada por partes, cujo gráfico é mostrado na Figura 6.

3. Algoritmo para construção de gráficos de funções da forma

y = a 1 |x – x 1 | + a 2 |x – x 2 | + … + a n |x – x n | + machado + b.

Tarefa.

Faça um gráfico da função y = |x| + |x – 1| + |x + 1| e encontre seu menor valor.

Solução:

Ainda tem dúvidas? Não sabe como representar graficamente uma função com módulo?
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Marina Erdnigoryeva

Este trabalhoé o resultado do estudo de um tema em uma aula optativa da 8ª série. Aqui são mostradas transformações geométricas de grafos e sua aplicação na construção de grafos com módulos. O conceito de módulo e suas propriedades é introduzido. Mostra como construir gráficos com módulos de várias maneiras: utilizando transformações e baseado no conceito de módulo O tema do projeto é um dos difíceis do curso de matemática, refere-se a questões consideradas em disciplinas optativas e é estudado em aulas com estudo aprofundado de matemática. Porém, tais tarefas são dadas na segunda parte do GIA, no Exame de Estado Unificado. Este trabalho irá ajudá-lo a entender como construir gráficos com módulos não apenas lineares, mas também de outras funções (quadrática, inversamente proporcional, etc.). O trabalho ajudará na preparação para o Exame Estadual e o Exame Estadual Unificado.

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Legendas dos slides:

Gráficos de uma função linear com módulos Trabalho de Erdnigoryaeva Marina, aluna do 8º ano do MCOU "Escola secundária Kamyshovskaya" Supervisor Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, professora de matemática do MCOU "Escola secundária Kamyshovskaya" p. Kamyshevo, 2013

Objetivo do projeto: Responder à questão de como construir gráficos funções lineares com módulos. Objetivos do projeto: Estudar literatura sobre este problema. Estudar transformações geométricas de gráficos e sua aplicação à construção de gráficos com módulos. Estude o conceito de módulo e suas propriedades. Aprenda a construir gráficos com módulos de diversas maneiras.

Proporcionalidade direta A proporcionalidade direta é uma função que pode ser especificada por uma fórmula da forma y=kx, onde x é uma variável independente, k é um número diferente de zero.

Vamos traçar a função y = x x 0 2 y 0 2

Transformação geométrica de gráficos Regra nº 1 O gráfico da função y = f (x) + k - uma função linear - é obtido pela transferência paralela do gráfico da função y = f (x) por + k unidades acima do O eixo y para k> 0 ou |- k| unidades abaixo do eixo O y em k

Vamos construir gráficos y=x+3 y=x-2

Regra nº 2 O gráfico da função y=kf(x) é obtido esticando o gráfico da função y = f (x) ao longo do eixo O y a vezes em a>1 e comprimindo-o ao longo do eixo O y a vezes às 0Slide 9

Vamos construir um gráfico y=x y= 2 x

Regra nº 3 O gráfico da função y = - f (x) é obtido exibindo simetricamente o gráfico y = f (x) em relação ao eixo O x

Regra nº 4 O gráfico da função y = f (- x) é obtido exibindo simetricamente o gráfico da função y = f (x) em relação ao eixo O y

Regra nº 5 O gráfico da função y=f(x+c) é obtido pela transferência paralela do gráfico da função y=f(x) ao longo do eixo O x para a direita, se c 0.

Vamos construir gráficos y=f(x) y=f(x+2)

Definição do módulo O módulo não é número negativo a é igual ao próprio número a; O módulo de um número negativo a é igual ao seu número positivo oposto -a. Ou, |a|=a, se a ≥0 |a|=-a, se a

Gráficos de funções lineares com módulos são construídos: usando transformações geométricas expandindo a definição de um módulo.

Regra nº 6 Gráfico da função y=|f(x)| é obtido da seguinte forma: a parte do gráfico y=f(x) situada acima do eixo O x é preservada; a parte situada sob o eixo O x é exibida simetricamente em relação ao eixo O x.

Faça um gráfico da função y=-2| x-3|+4 Construir y ₁=| x | Construímos y₂= |x - 3 | → translação paralela em +3 unidades ao longo do eixo do Boi (deslocamento para a direita) Construir y ₃ =+2|x-3| → esticar ao longo do eixo O y 2 vezes = 2 y₂ Construímos y ₄ =-2|x-3| → simetria sobre o eixo x = - y₃ Construímos y₅ =-2|x-3|+4 → translação paralela em +4 unidades ao longo do eixo O y (deslocamento para cima) = y ₄ +4

Gráfico da função y =-2|x-3|+4

Gráfico da função y= 3|x|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → alongando 3 vezes y₃=3|x| +2 = y₄+2 → aumentar 2 unidades

Regra nº 7 O gráfico da função y=f(| x |) é obtido a partir do gráfico da função y=f(x) da seguinte forma: Para x > 0, o gráfico da função é preservado, e o mesmo parte do gráfico é exibida simetricamente em relação ao eixo O y

Faça um gráfico da função y = || x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y₄= |y₃| Y=||x-1|-2|

Algoritmo para construir um gráfico da função y=│f(│x│)│ construir um gráfico da função y=f(│x│) . em seguida, deixe inalteradas todas as partes do gráfico construído que ficam acima do eixo x. as peças localizadas abaixo do eixo x são exibidas simetricamente em torno deste eixo.

S=|2|x|-3| Construção: a) y=2x-3 para x>0, b) y=-2x-3 para x Slide 26

Regra nº 8 Gráfico de Dependência | y|=f(x) é obtido a partir do gráfico da função y=f(x) se todos os pontos para os quais f(x) > 0 são preservados e também são transferidos simetricamente em relação ao eixo das abcissas.

Construa um conjunto de pontos no plano cujas coordenadas cartesianas x e y satisfaçam a equação |y|=||x-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| construímos dois gráficos 1) y=||x-1|-1| e 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → deslocar ao longo do eixo do Boi para a direita em 1 unidade y₃ = | x -1 |- 1= → deslocar 1 unidade para baixo y ₄ = || x-1|- 1| → simetria dos pontos do gráfico para os quais y₃ 0 em relação a O x

Gráfico da equação |y|=||x-1|-1| obtemos o seguinte: 1) construir um gráfico da função y=f(x) e deixar inalterada aquela parte onde y≥0 2) usando simetria em torno do eixo do Boi, construir outra parte do gráfico correspondente a y

Faça um gráfico da função y =|x | − | 2 − x | . Solução. Aqui o sinal do módulo aparece em dois termos diferentes e deve ser removido. 1) Encontre as raízes das expressões submodulares: x=0, 2-x=0, x=2 2) Defina os sinais nos intervalos:

Gráfico de uma função

Conclusão O tema do projeto é um dos difíceis do curso de matemática, diz respeito a questões consideradas nas disciplinas optativas e é estudado nas aulas de aprofundamento do curso de matemática. No entanto, tais tarefas são definidas na segunda parte do GIA. Este trabalho irá ajudá-lo a entender como construir gráficos com módulos não apenas de funções lineares, mas também de outras funções (quadráticas, inversamente proporcionais, etc.). O trabalho ajudará na preparação para o Exame Estadual e o Exame Estadual Unificado e permitirá obter notas altas em matemática.

Literatura Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Matemática.” Livro didático da 6ª série Moscou. Editora “Mnemosyne”, 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. e outros. 8ª série: educacional. Um manual para alunos e turmas com estudo avançado de matemática. - Moscou. Iluminismo, 2009 Gaidukov I.I. “Valor absoluto.” Moscou. Iluminismo, 1968. Gursky I.P. “Funções e gráficos.” Moscou. Iluminismo, 1968. Yashchina N.V. Técnicas de construção de gráficos contendo módulos. Revista "Matemática na escola", nº 3, 1994 Enciclopédia infantil. Moscou. “Pedagogia”, 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Problemas de matemática. M., “Ciência”, 1993. Petrakov I.S. Clubes de matemática do 8º ao 10º ano. M., “Iluminismo”, 1987. Galitsky M.L. etc. Coleção de problemas de álgebra para as séries 8 a 9: Tutorial para alunos e turmas com estudo aprofundado de matemática. – 12ª edição. – M.: Educação, 2006. – 301 p. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Álgebra: Capítulos adicionais para o livro didático do 9º ano: Um livro didático para alunos de escolas e turmas com estudo aprofundado de matemática / Editado por G.V. – M.: Educação, 1997. – 224 p. Sadykina N. Construção de gráficos e dependências contendo o sinal do módulo / Matemática. - Não. – 2004. – pp. 19-21 .. Kostrikina N.P. “Problemas de aumento de dificuldade no curso de álgebra do 7º ao 9º ano”... Moscou: Educação, 2008.

Traçar gráficos de funções contendo o sinal do módulo.

Espero que você tenha estudado cuidadosamente o parágrafo 23 e entendido como a função de visualização difere da função. Agora vamos ver mais alguns exemplos que devem ajudá-lo na construção de gráficos.

Exemplo 1. Faça o gráfico de uma função

Temos uma função da forma , onde .

1. Primeiro, vamos construir um gráfico da função submodular, ou seja, a função . Para fazer isso, selecione a parte inteira desta fração. Deixe-me lembrar que isso pode ser feito de duas maneiras: dividindo o numerador pelo denominador “em uma coluna” ou escrevendo o numerador de forma que contenha uma expressão que seja múltipla do denominador. Vamos selecionar a peça inteira usando o segundo método.

Isso significa que a função submodular tem a forma . Isso significa que seu gráfico é uma hipérbole da forma, deslocada 1 unidade para a direita e 3 unidades para cima.

Vamos construir este gráfico.

2. Para obter o gráfico da função desejada, é necessário deixar inalterada a parte do gráfico construído da função acima do eixo do Boi e exibir a parte do gráfico abaixo do eixo do Boi simetricamente no semiplano superior. Vamos realizar essas transformações.

O cronograma foi criado.

A abscissa do ponto de intersecção do gráfico com o eixo do Boi pode ser calculada resolvendo a equação

y = 0, ou seja Nós entendemos isso.

Agora, usando o gráfico, você pode determinar todas as propriedades da função, encontrar o menor e valor mais alto funções em um intervalo, resolva problemas com um parâmetro.

Por exemplo, você pode responder à seguinte pergunta. “Em quais valores do parâmetro UM a equação tem exatamente uma solução?

Vamos desenhar linhas retas você =um no significados diferentes parâmetro UM. (Linhas retas vermelhas finas na imagem a seguir)

É claro que se um<0 , então o gráfico da função construída e a reta não possuem pontos comuns, o que significa que a equação não possui uma solução única.

Se 0< um<3 ou a>3, então direto você =um e o gráfico construído possuem dois pontos em comum, ou seja, a equação possui duas soluções.

Se uma = 0 ou uma = 3, então a equação tem exatamente uma solução, pois para esses valores UM a reta e o gráfico da função têm exatamente um ponto comum.

Exemplo 2. Faça um gráfico da função

Solução

Vamos primeiro construir um gráfico da função para valores não negativos de x. Se , então e então nossa função assume a forma , e a função desejada é uma função da forma .

O gráfico da função é o ramo da parábola “dirigido” para a esquerda, deslocado em 4 unidades certo. (Porque podemos imaginar ).

Vamos traçar esta função

e consideraremos apenas aquela parte que está localizada à direita do eixo Oy. Vamos apagar o resto.

Observe que calculamos o valor da ordenada do ponto do gráfico localizado no eixo das ordenadas. Para isso, basta calcular o valor da função em x = 0. No nosso caso, em x = 0 recebido y=2.

Agora vamos traçar a função em X< 0 . Para isso, construiremos uma reta simétrica àquela que já construímos em relação ao eixo Oy.

Assim, traçamos a função desejada.

Exemplo 3. Faça o gráfico de uma função

Esta não é mais uma tarefa fácil. Vemos que existem ambos os tipos de funções com um módulo: e, e. Vamos construir em ordem:

Primeiro, vamos construir um gráfico da função sem todos os módulos: depois adicionaremos um módulo a cada argumento. Obtemos uma função da forma, ou seja, Para construir tal gráfico, você precisa aplicar simetria em torno do eixo Oy. Vamos também adicionar um módulo externo. Finalmente obtemos a função desejada. Como esta função foi obtida da anterior através de um módulo externo, temos uma função da forma , o que significa que é necessário aplicar simetria em relação ao Boi.

Agora mais detalhes.

Esta é uma função linear fracionária; para construir um gráfico você precisa selecionar uma parte inteira, que é o que faremos.

Isso significa que o gráfico desta função é uma hipérbole da forma , deslocada 2 para a direita e 4 para baixo.

Vamos calcular as coordenadas dos pontos de intersecção com os eixos coordenados.

y = 0 em x = 0, o que significa que o gráfico passará pela origem.

2. Agora vamos construir um gráfico da função.

Para fazer isso, no gráfico original, primeiro apague aquela parte que está localizada à esquerda do eixo Oy:

e, em seguida, exibi-lo simetricamente em torno do eixo Oy. Observe que as assíntotas também são exibidas simetricamente!

Agora vamos construir o gráfico final da função: . Para fazer isso, deixaremos inalterada a parte do gráfico anterior acima do eixo do Boi e exibiremos simetricamente o que está abaixo do eixo do Boi no semiplano superior. Novamente, não esqueça que as assíntotas são exibidas junto com o gráfico!

O cronograma foi criado.

Exemplo 4: Usando várias transformações gráficas, represente graficamente a função

Algo completamente distorcido e complicado! Muitos módulos! Mas o X-quadrado não tem módulo!!! É impossível construir!

Um aluno médio da 8ª série que não está familiarizado com a técnica de plotagem de gráficos pode pensar desta forma ou algo parecido.

Mas não nós! Porque conhecemos DIFERENTES maneiras de transformar gráficos de funções e também conhecemos diferentes propriedades do módulo.

Então, vamos começar em ordem.

O primeiro problema é a falta de um módulo para X ao quadrado. Sem problemas. Nós sabemos disso. Multar. Isso significa que nossa função pode ser escrita como . Isso já é melhor porque parece.

Avançar. A função possui um módulo externo, então parece que você terá que usar as regras para representar graficamente uma função. Vejamos então o que é uma expressão submodular. Esta é uma função da forma . Se não fosse por -2, então a função conteria novamente um módulo externo e sabemos como representar graficamente a função usando simetrias. Sim! Mas se o construirmos, deslocando-o 2 unidades para baixo, conseguiremos o que procuramos!

Então, algo está começando a surgir. Vamos tentar criar um algoritmo para construir um gráfico.

5. E finalmente . Mapearemos tudo o que está abaixo do eixo do Boi simetricamente no semiplano superior.

Viva! O cronograma está pronto!

Boa sorte com a difícil tarefa de mapear!