Dowód

Najpierw narysujmy przekątną AC. Otrzymujemy dwa trójkąty: ABC i ADC.

Ponieważ ABCD jest równoległobokiem, prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

AD || BC \Strzałka w prawo \angle 1 = \angle 2 jak leżenie w poprzek.

AB || CD\Strzałka w prawo\kąt3 =\kąt 4 jak leżenie w poprzek.

Zatem \triangle ABC = \triangle ADC (według drugiego kryterium: i AC jest wspólne).

A zatem \triangle ABC = \triangle ADC, następnie AB = CD i AD = BC.

Udowodniony!

2. Przeciwne kąty są identyczne.

Dowód

Według dowodu właściwości 1 wiemy to \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Zatem suma kątów przeciwnych wynosi: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Biorąc pod uwagę, że \triangle ABC = \triangle ADC otrzymujemy \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Udowodniony!

3. Przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Dowód

Narysujmy kolejną przekątną.

Przez nieruchomość 1 wiemy, że przeciwne strony są identyczne: AB = CD. Jeszcze raz zwróć uwagę na leżące w poprzek równe kąty.

Zatem jasne jest, że \triangle AOB = \triangle COD zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów (dwa kąty i bok między nimi). Oznacza to, że BO = OD (naprzeciwko narożników \angle 2 i \angle 1) i AO = OC (naprzeciwko odpowiednio narożników \angle 3 i \angle 4).

Udowodniony!

Znaki równoległoboku

Jeśli w Twoim problemie występuje tylko jedna cecha, wówczas figura jest równoległobokiem i możesz wykorzystać wszystkie właściwości tej figury.

Dla lepszego zapamiętywania zwróć uwagę, że znak równoległoboku zareaguje następne pytanie — „jak się dowiedzieć?”. To znaczy, jak dowiedzieć się, że dana figura jest równoległobokiem.

1. Równoległobok to czworokąt, którego dwa boki są równe i równoległe.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD jest równoległobokiem.

Dowód

Przyjrzyjmy się bliżej. Dlaczego AD || PRZED CHRYSTUSEM?

\triangle ABC = \triangle ADC wg nieruchomość 1: AB = CD, AC - wspólne i \angle 1 = \angle 2 leżące poprzecznie z równoległymi AB i CD oraz sieczną AC.

Ale jeśli \triangle ABC = \triangle ADC , to \angle 3 = \angle 4 (leżą odpowiednio naprzeciw AB i CD). A zatem AD || BC (\angle 3 i \angle 4 - te leżące w poprzek też są równe).

Pierwszy znak jest prawidłowy.

2. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równe.

AB = CD, AD = BC \Strzałka w prawo ABCD jest równoległobokiem.

Dowód

Rozważmy ten znak. Narysujmy jeszcze raz przekątną AC.

Przez nieruchomość 1\trójkąt ABC = \trójkąt ACD .

Wynika z tego, że: \angle 1 = \angle 2 \Strzałka w prawo AD || przed Chrystusem I \angle 3 = \angle 4 \Strzałka w prawo AB || płyta CD, czyli ABCD jest równoległobokiem.

Drugi znak jest prawidłowy.

3. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe kąty są równe.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Strzałka w prawo ABCD- równoległobok.

Dowód

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(ponieważ ABCD jest czworokątem i \angle A = \angle C , \angle B = \angle D według warunku).

Okazuje się, że \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ale \alpha i \beta są jednostronne wewnętrzne w siecznej AB.

A fakt, że \alpha + \beta = 180^(\circ) oznacza również, że AD || przed Chrystusem

Co więcej, \alpha i \beta są jednostronne wewnętrznie w siecznej AD. A to oznacza AB || PŁYTA CD.

Trzeci znak jest prawidłowy.

4. Równoległobok to czworokąt, którego przekątne są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

AO = OC; BO = Równoległobok OD\Strzałka w prawo.

Dowód

BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 w pionie \Strzałka w prawo \triangle AOB = \triangle COD, \Strzałka w prawo \kąt 3 = \kąt 4 i \Rightarrow AB || PŁYTA CD.

Podobnie BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Strzałka w prawo \triangle AOD = \triangle BOC \Strzałka w prawo \angle 7 = \angle 8 i \Rightarrow AD || przed Chrystusem

Czwarty znak jest poprawny.

Miejska budżetowa instytucja oświatowa

Gimnazjum Savinskaya

Praca badawcza

Równoległobok i jego nowe właściwości

Ukończył: uczeń klasy 8B

Szkoła średnia MBOU Savinskaya

Kuzniecowa Swietłana, 14 lat

Kierownik: nauczyciel matematyki

Tulchevskaya N.A.

s. Savino

Region Iwanowo, Rosja

2016

I. Wprowadzenie ____________________________________________________strona 3

II. Z historii równoległoboku ____________________________________strona 4

III Dodatkowe właściwości równoległoboku ______________________________strona 4

IV. Dowód właściwości ______________________________________ strona 5

V. Rozwiązywanie problemów przy użyciu dodatkowych właściwości __________strona 8

VI. Zastosowanie właściwości równoległoboku w życiu ______strona 11

VII. Wniosek ______________________________________strona 12

VIII. Literatura __________________________________________________str. 13

Wstęp

"Wśród równych umysłów

Na równość innych warunków

ten, kto zna geometrię, jest lepszy”

(Blaise Pascal).

Studiując temat „Równoległobok” na lekcjach geometrii, przyjrzeliśmy się dwóm właściwościom równoległoboku i trzem cechom, ale kiedy zaczęliśmy rozwiązywać problemy, okazało się, że to nie wystarczy.

Miałem pytanie: czy równoległobok ma inne właściwości i w jaki sposób pomogą one w rozwiązywaniu problemów?

Postanowiłem przestudiować dodatkowe właściwości równoległoboku i pokazać, jak można je zastosować do rozwiązywania problemów.

Przedmiot badań : równoległobok

Przedmiot badań : właściwości równoległoboku
Cel pracy:

sformułowanie i dowód dodatkowych właściwości równoległoboku, których nie uczy się w szkole;

zastosowanie tych właściwości do rozwiązywania problemów.

Zadania:

Przestudiuj historię pojawienia się równoległoboku i historię rozwoju jego właściwości;

Znajdź dodatkową literaturę dotyczącą badanego zagadnienia;

Zbadaj dodatkowe właściwości równoległoboku i udowodnij je;

Pokaż zastosowanie tych właściwości do rozwiązywania problemów;

Rozważ zastosowanie właściwości równoległoboku w życiu.
Metody badawcze:

Praca z literaturą edukacyjną i popularnonaukową, zasobami Internetu;

Studium materiału teoretycznego;

Identyfikacja szeregu problemów, które można rozwiązać wykorzystując dodatkowe właściwości równoległoboku;

Obserwacja, porównanie, analiza, analogia.

Czas trwania badania : 3 miesiące: styczeń-marzec 2016

1. Z historii równoległoboku

W podręczniku do geometrii czytamy następującą definicję równoległoboku: Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.

Słowo „równoległobok” tłumaczy się jako „linie równoległe” (od greckich słów Parallelos - równoległy i gramowy - linia), termin ten wprowadził Euklides. W swojej książce Elementy Euklides udowodnił następujące właściwości równoległoboku: przeciwległe boki i kąty równoległoboku są równe, a przekątna przecina go na pół. Euklides nie wspomina o punkcie przecięcia równoległoboku. Dopiero pod koniec średniowiecza powstała pełna teoria równoległoboków. Dopiero w XVII wieku w podręcznikach pojawiły się twierdzenia o równoległobokach, które udowodniono za pomocą twierdzenia Euklidesa o właściwościach równoległoboku.

III Dodatkowe właściwości równoległoboku

W podręczniku geometrii podano tylko 2 właściwości równoległoboku:

Przeciwległe kąty i boki są równe

Przekątne równoległoboku przecinają się i są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

W różnych źródłach dotyczących geometrii można znaleźć następujące dodatkowe właściwości:

Suma sąsiednich kątów równoległoboku wynosi 180 0

Dwusieczna kąta równoległoboku odcina od niego trójkąt równoramienny;

Dwusieczne przeciwnych kątów równoległoboku leżą na liniach równoległych;

Dwusieczne sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym;

Kiedy dwusieczne wszystkich kątów równoległoboku przecinają się, tworzą prostokąt;

Odległości od przeciwległych rogów równoległoboku do tej samej przekątnej są równe.

Jeśli połączysz przeciwne wierzchołki równoległoboku ze środkami przeciwległych boków, otrzymasz kolejny równoległobok.

Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa dwukrotności sumy kwadratów jego sąsiednich boków.

Jeśli narysujesz wysokości pod dwoma przeciwległymi kątami w równoległoboku, otrzymasz prostokąt.

IV Dowód własności równoległoboku

Suma kątów sąsiednich równoległoboku wynosi 180 0

Dany:

ABCD – równoległobok

Udowodnić:

+
B=

Dowód:

A i
B – kąty wewnętrzne jednostronne o prostych równoległych BC AD i sieczna AB, co oznacza
+
B=

2

Dany: ABCD - równoległobok,

Dwusieczna AK
A.

Udowodnić: AVK – równoramienne

Dowód:

1)
1=
3 (leżący w poprzek w BC AD i sieczna AK ),

2)
2=
3, ponieważ AK jest dwusieczną,

oznacza 1=
2.

3) ABC - równoramienny, ponieważ 2 kąty w trójkącie są równe

. Dwusieczna kąta równoległoboku odcina od niego trójkąt równoramienny

3

Dany: ABCD jest równoległobokiem,

AK – dwusieczna A,

CP - dwusieczna C.

Udowodnić: AK ║ SR

Dowód:

1) 1=2, ponieważ AK jest dwusieczną

2) 4=5 ponieważ CP – dwusieczna

3) 3=1 (kąty leżące poprzecznie przy

BC ║ AD i sieczna AK),

4) A =C (z właściwości równoległoboku), co oznacza 2=3=4=5.

4) Z ustępów 3 i 4 wynika, że ​​1 = 4, a kąty te odpowiadają prostym AK i CP oraz siecznej BC,

oznacza to AK ║ CP (w oparciu o równoległość linii)

. Dwusieczne przeciwnych kątów równoległoboku leżą na prostych równoległych

Dwusieczne sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym

Dany: ABCD - równoległobok,

AK-dwusieczna A,

Dwusieczna DP D

Udowodnić: DP AK.

Dowód:

1) 1=2, ponieważ AK - dwusieczna

Niech 1=2=x, następnie A=2x,

2) 3=4, ponieważ D Р – dwusieczna

Niech 3=4=y, następnie D=2y

3) A + D =180 0, ponieważ suma kątów sąsiednich równoległoboku wynosi 180

2) Rozważ OD

Zatem 1+3=90 0
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Dwusieczne wszystkich kątów równoległoboku przy przecięciu tworzą prostokąt

Dany: ABCD - równoległobok, AK-dwusieczna A,

DP-dwusieczna D,

Dwusieczna CM C,

BF - dwusieczna B .

Udowodnić: KRNS - prostokąt

Dowód:

Bazując na poprzedniej właściwości 8=7=6=5=90 0 ,

oznacza, że ​​KRNS jest prostokątem.

Odległości od przeciwległych rogów równoległoboku do tej samej przekątnej są równe.

Dany: ABCD – równoległobok, AC – przekątna.

VK klimatyzacja, D.P. AC

Udowodnić: BC=DP

Dowód: 1) DCP = KAB, jako krzyże wewnętrzne leżące z AB ║ CD i sieczną AC.

2) AKB= CDP (wzdłuż boku i dwóch sąsiednich kątów AB=CD CD P=AB K).

A w równych trójkątach odpowiednie boki są równe, co oznacza DP=BK.

Jeśli połączysz przeciwne wierzchołki równoległoboku ze środkami przeciwległych boków, otrzymasz kolejny równoległobok.

Dany: Równoległobok ABCD.

Udowodnić: VKDP jest równoległobokiem.

Dowód:

1) BP=KD (AD=BC, punkty K i P

podziel te boki na pół)

2) BP ║ KD (leżą na AD PRZED CHRYSTUSEM)

Jeśli przeciwległe boki czworokąta są równe i równoległe, wówczas czworokąt jest równoległobokiem.

Jeśli narysujesz wysokości pod dwoma przeciwległymi kątami w równoległoboku, otrzymasz prostokąt.

Suma kwadratów przekątnych równoległoboku jest równa dwukrotności sumy kwadratów jego sąsiednich boków.

Dany: ABCD jest równoległobokiem. BD i AC to przekątne.

Udowodnić: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + reklama 2 )

Dowód: 1)ZAPYTAĆ: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa)

3) AC ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²

4) SC = BP = N(wysokość )

5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A DO 2 + H 2 +PD 2

6) Pozwalać D K=A P=x, Następnie C DOD : H 2 = płyta CD 2 - X 2 zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ płyta CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A DO 2 +PD 2

8) A DO=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+BD ² =2płyta CD 2 -2x 2 +(OGŁOSZENIE +x) 2 +(OGŁOSZENIE -X) 2 ,

AC²+ WD²=2 ZD²-2 X² +AD 2 +2AD X+ X 2 +AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ WD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Rozwiązywanie problemów przy użyciu tych właściwości

Punkt przecięcia dwusiecznych dwóch kątów równoległoboku sąsiadujących z jednym bokiem należy do strony przeciwnej. Najkrótszy bok równoległoboku to 5 . Znajdź jego większy bok.

Dany: ABCD jest równoległobokiem,

AK – dwusieczna
A,

D K – dwusieczna
D, AB=5

Znajdować: niedziela

decyzja

Rozwiązanie

Ponieważ AK - dwusieczna
A wtedy ABC to równoramienny.

Ponieważ D K – dwusieczna
D., zatem DCK - równoramienne

DC =CK= 5

Wtedy BC=VC+SC=5+5 = 10

Odpowiedź: 10

2. Znajdź obwód równoległoboku, jeśli dwusieczna jednego z jego kątów dzieli bok równoległoboku na odcinki o długości 7 cm i 14 cm.

1 przypadek

Dany:
A,

VK=14 cm, KS=7 cm

Znajdować: Równoległobok P

Rozwiązanie

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Ponieważ AK – dwusieczna
A wtedy ABC to równoramienny.

AB=BK= 14 cm

Wtedy P=2 (14+21) =70 (cm)

happening

Dany: ABCD jest równoległobokiem,

D K – dwusieczna
D

VK=14 cm, KS=7 cm

Znajdować: P równoległobok

Rozwiązanie

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

Ponieważ D K – dwusieczna
D., zatem DCK - równoramienne

DC =CK= 7

Wtedy P = 2 (21+7) = 56 (cm)

Odpowiedź: 70 cm lub 56 cm

3. Boki równoległoboku mają długości 10 cm i 3 cm Dwusieczne dwóch kątów przylegających do większego boku dzielą przeciwny bok na trzy odcinki. Znajdź te segmenty.

1 przypadek: dwusieczne przecinają się na zewnątrz równoległoboku

Dany: ABCD – równoległobok, AK – dwusieczna
A,

D K – dwusieczna
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Znajdować: VM, MN, NC

Rozwiązanie

Ponieważ AM - dwusieczna
AVM to równoramienny.

Ponieważ DN – dwusieczna
D., zatem DCN - równoramienny

DC=CN=3

Wtedy MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm

Przypadek 2: dwusieczne przecinają się wewnątrz równoległoboku

Ponieważ AN - dwusieczna
A wtedy ABN jest równoramienny.

AB=BN = 3 D

Kratkę przesuwną należy przesunąć na wymaganą odległość w drzwiach

Mechanizm równoległoboku- mechanizm czteroprętowy, którego ogniwa tworzą równoległobok. Służy do realizacji ruchu translacyjnego za pomocą mechanizmów przegubowych.

Równoległobok z łącznikiem stałym- jedno ogniwo jest nieruchome, drugie wykonuje ruch wahadłowy, pozostając równolegle do nieruchomego. Dwa równoległoboki połączone jeden za drugim dają łącznikowi końcowemu dwa stopnie swobody, pozostawiając je równolegle do łącznika stacjonarnego.

Przykłady: wycieraczki do szyb autobusowych, wózki widłowe, statywy, wieszaki, zawieszenia samochodowe.

Równoległobok ze stałym złączem- wykorzystuje się właściwość równoległoboku polegającą na zachowaniu stałego stosunku odległości pomiędzy trzema punktami. Przykład: pantograf rysunkowy – urządzenie do skalowania rysunków.

Romb- wszystkie ogniwa są tej samej długości, zbliżenie (skurczenie) pary przeciwległych zawiasów powoduje rozsunięcie się dwóch pozostałych zawiasów. Wszystkie linki działają w kompresji.

Przykłady - podnośnik samochodowy w kształcie rombu, pantograf tramwajowy.

Nożycowy Lub Mechanizm w kształcie litery X, znany również jako Nożyczki Norymberskie- wersja rombowa - dwa ogniwa połączone pośrodku zawiasem. Zaletami mechanizmu są zwartość i prostota, wadą jest obecność dwóch par ślizgowych. Dwa (lub więcej) takie mechanizmy połączone szeregowo tworzą diament(y) pośrodku. Stosowany w windach i zabawkach dla dzieci.

VII Wniosek

Kto uczy się matematyki od dzieciństwa?

rozwija uwagę, ćwiczy mózg,

własnej woli, kultywuje wytrwałość

i wytrwałości w osiąganiu celów

A. Markuszewicz

W trakcie pracy udowodniłem dodatkowe właściwości równoległoboku.

Byłem przekonany, że wykorzystując te właściwości, można szybciej rozwiązywać problemy.

Pokazałem, jak te właściwości są stosowane na przykładach rozwiązywania konkretnych problemów.

Dowiedziałem się wiele o równoległoboku, o którym nie ma w naszym podręczniku geometrii

O tym, że znajomość geometrii jest bardzo ważna w życiu przekonałam się poprzez przykłady zastosowania właściwości równoległoboku.

Cel mojej pracy badawczej został zrealizowany.

O wadze wiedzy matematycznej świadczy fakt, że ustanowiono nagrodę dla osoby, która opublikuje książkę o osobie, która całe życie przeżyła bez pomocy matematyki. Żadna osoba nie otrzymała jeszcze tej nagrody.

VIII Literatura

1. Pogorelov A.V. Geometria 7-9: podręcznik do kształcenia ogólnego. instytucje - M.: Edukacja, 2014

   Geometria L.S.Atanasyan i inni. Dodać. Rozdziały do ​​podręcznika dla klasy 8: podręcznik. podręcznik dla uczniów szkół i klas zaawansowanych. studiował matematykę. – M.: Vita-press, 2003

   Zasoby internetowe

   Materiały Wikipedii

Poziom pośredni

Równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat (2019)

1. Równoległobok

Słowo złożone „równoległobok”? A za nim kryje się bardzo prosta figura.

To znaczy, wzięliśmy dwie równoległe linie:

Przekroczone przez dwa kolejne:

A w środku jest równoległobok!

Jakie właściwości ma równoległobok?

Właściwości równoległoboku.

To znaczy, czego możesz użyć, jeśli problem ma równoległobok?

Poniższe twierdzenie odpowiada na to pytanie:

Narysujmy wszystko szczegółowo.

Co to znaczy pierwszy punkt twierdzenia? A faktem jest, że jeśli MASZ równoległobok, to na pewno go będziesz miał

Drugi punkt oznacza, że ​​jeśli istnieje równoległobok, to z pewnością:

No i wreszcie trzeci punkt oznacza, że ​​jeśli MASZ równoległobok, to koniecznie:

Czy widzisz, jaki jest ogromny wybór? Co zastosować w problemie? Spróbuj skupić się na pytaniu o problem lub po prostu wypróbuj wszystko po kolei - wystarczy jakiś „klucz”.

Zadajmy sobie teraz kolejne pytanie: jak rozpoznać równoległobok „na oko”? Co musi się stać z czworokątem, abyśmy mogli nadać mu „tytuł” ​​równoległoboku?

Na to pytanie odpowiada kilka znaków równoległoboku.

Znaki równoległoboku.

Uwaga! Zacznijmy.

Równoległobok.

Uwaga: jeśli w swoim problemie znalazłeś przynajmniej jeden znak, to na pewno masz równoległobok i możesz wykorzystać wszystkie właściwości równoległoboku.

2. Prostokąt

Myślę, że nie będzie to dla Ciebie żadna nowość

Pierwsze pytanie: czy prostokąt jest równoległobokiem?

Oczywiście, że tak! W końcu ma - pamiętasz, nasz znak 3?

I stąd oczywiście wynika, że ​​w prostokącie, jak w każdym równoległoboku, przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Ale prostokąt ma również jedną charakterystyczną właściwość.

Własność prostokąta

Dlaczego ta właściwość jest wyjątkowa? Ponieważ żaden inny równoległobok nie ma równych przekątnych. Sformułujmy to jaśniej.

Uwaga: aby czworokąt stał się prostokątem, musi najpierw stać się równoległobokiem, a następnie wykazać równość przekątnych.

3. Diament

I znowu pytanie: czy romb jest równoległobokiem czy nie?

Z pełnym prawym - równoległobok, ponieważ ma i (pamiętaj o naszej funkcji 2).

I znowu, ponieważ romb jest równoległobokiem, musi mieć wszystkie właściwości równoległoboku. Oznacza to, że w rombie przeciwległe kąty są równe, przeciwległe boki są równoległe, a przekątne przecinają się w punkcie przecięcia.

Właściwości rombu

Spójrz na zdjęcie:

Podobnie jak w przypadku prostokąta, właściwości te są charakterystyczne, czyli dla każdej z tych właściwości możemy stwierdzić, że nie jest to tylko równoległobok, ale romb.

Znaki diamentu

I znowu zwróć uwagę: musi istnieć nie tylko czworokąt, którego przekątne są prostopadłe, ale równoległobok. Upewniać się:

Nie, oczywiście, chociaż jego przekątne są prostopadłe, a przekątna jest dwusieczną kątów i. Ale...przekątne nie są dzielone na pół przez punkt przecięcia, a zatem - NIE jest to równoległobok, a zatem NIE jest to romb.

Oznacza to, że kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem. Zobaczmy, co się stanie.

Czy jest jasne dlaczego? - romb jest dwusieczną kąta A, która jest równa. Oznacza to, że dzieli się (i także) na dwa kąty wzdłuż.

Cóż, to całkiem jasne: przekątne prostokąta są równe; Przekątne rombu są prostopadłe i ogólnie rzecz biorąc, równoległobok przekątnych jest podzielony na pół przez punkt przecięcia.

POZIOM ŚREDNI

Właściwości czworokątów. Równoległobok

Właściwości równoległoboku

Uwaga! Słowa " właściwości równoległoboku„Mam to na myśli, jeśli w twoim zadaniu Jest równoległobok, wówczas można zastosować wszystkie poniższe.

Twierdzenie o własnościach równoległoboku.

W dowolnym równoległoboku:

Innymi słowy, zrozumiemy, dlaczego to wszystko jest prawdą DOWODNIMY twierdzenie.

Dlaczego więc 1) jest prawdą?

Jeżeli jest to równoległobok, to:

• leżą na krzyż
• leżą jak krzyże.

Oznacza to (zgodnie z kryterium II: i - ogólnym.)

Cóż, to wszystko, to wszystko! - udowodniono.

Ale przy okazji! Udowodniliśmy również 2)!

Dlaczego? Ale (spójrz na zdjęcie), to znaczy właśnie dlatego.

Zostały tylko 3).

Aby to zrobić, musisz jeszcze narysować drugą przekątną.

I teraz to widzimy - zgodnie z charakterystyką II (kąty i bok „pomiędzy nimi”).

Właściwości sprawdzone! Przejdźmy do znaków.

Znaki równoległoboku

Przypomnijmy, że znak równoległoboku odpowiada na pytanie „skąd wiesz?”, że figura jest równoległobokiem.

W ikonach wygląda to tak:

Dlaczego? Byłoby miło zrozumieć dlaczego – to wystarczy. Ale spójrz:

Cóż, odkryliśmy dlaczego znak 1 jest prawdziwy.

Cóż, jest jeszcze łatwiej! Narysujmy jeszcze raz przekątną.

Co oznacza:

I To także łatwe. Ale...inny!

Oznacza, . Wow! Ale także - jednostronny wewnętrzny z sieczną!

Zatem fakt, że to oznacza.

A jeśli spojrzysz z drugiej strony, to - wewnętrzna jednostronna z sieczną! I dlatego.

Widzisz jakie to wspaniałe?!

I znowu proste:

Dokładnie to samo i.

Uwaga: jeśli znalazłeś co najmniej jeden znak równoległoboku w twoim problemie, to masz Dokładnie równoległobok i możesz go użyć wszyscy właściwości równoległoboku.

Dla pełnej przejrzystości spójrz na diagram:

Właściwości czworokątów. Prostokąt.

Właściwości prostokąta:

Punkt 1) jest dość oczywisty - wszak znak 3 () jest po prostu spełniony

I punkt 2) - bardzo ważne. Udowodnijmy to

Oznacza to z dwóch stron (i - ogólnie).

Cóż, skoro trójkąty są równe, to ich przeciwprostokątne również są równe.

Udowodniłem to!

I wyobraźcie sobie, że równość przekątnych jest charakterystyczną właściwością prostokąta wśród wszystkich równoległoboków. Oznacza to, że to stwierdzenie jest prawdziwe^

Rozumiemy dlaczego?

Oznacza to (co oznacza kąty równoległoboku). Ale pamiętajmy jeszcze raz, że jest to równoległobok, a zatem.

Oznacza, . Cóż, oczywiście, wynika, że ​​każdy z nich! W końcu muszą dać w sumie!

Udowodnili więc, że jeśli równoległobok nagle (!) przekątne okazują się równe, a potem to dokładnie prostokąt.

Ale! Uważać na! mówimy o równoległoboki! Nie byle kogo czworokąt o równych przekątnych jest prostokątem, a tylko równoległobok!

Właściwości czworokątów. Romb

I znowu pytanie: czy romb jest równoległobokiem czy nie?

Z pełnym prawym - równoległobok, ponieważ ma (Pamiętaj o naszej funkcji 2).

I znowu, ponieważ romb jest równoległobokiem, musi mieć wszystkie właściwości równoległoboku. Oznacza to, że w rombie przeciwległe kąty są równe, przeciwległe boki są równoległe, a przekątne przecinają się w punkcie przecięcia.

Ale są też specjalne właściwości. Sformułujmy to.

Właściwości rombu

Dlaczego? Cóż, ponieważ romb jest równoległobokiem, wówczas jego przekątne są podzielone na pół.

Dlaczego? Tak, właśnie dlatego!

Innymi słowy, przekątne okazały się dwusiecznymi narożników rombu.

Podobnie jak w przypadku prostokąta, właściwości te są charakterystyczny, każdy z nich jest także znakiem rombu.

Znaki diamentu.

Dlaczego to jest? I spójrz,

To znaczy Zarówno Te trójkąty są równoramienne.

Aby czworokąt był rombem, musi najpierw „stać się” równoległobokiem, a następnie wykazywać cechę 1 lub cechę 2.

Właściwości czworokątów. Kwadrat

Oznacza to, że kwadrat jest jednocześnie prostokątem i rombem. Zobaczmy, co się stanie.

Czy jest jasne dlaczego? Kwadrat - romb - jest dwusieczną kąta równego. Oznacza to, że dzieli się (i także) na dwa kąty wzdłuż.

Cóż, to całkiem jasne: przekątne prostokąta są równe; Przekątne rombu są prostopadłe i ogólnie rzecz biorąc, równoległobok przekątnych jest podzielony na pół przez punkt przecięcia.

Dlaczego? Cóż, zastosujmy twierdzenie Pitagorasa do...

PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY

Właściwości równoległoboku:

1. Przeciwne strony są równe: , .
2. Kąty przeciwne są równe: , .
3. Kąty po jednej stronie sumują się do: , .
4. Przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia: .

Właściwości prostokąta:

1. Przekątne prostokąta są równe: .
2. Prostokąt jest równoległobokiem (w przypadku prostokąta spełnione są wszystkie właściwości równoległoboku).

Właściwości rombu:

1. Przekątne rombu są prostopadłe: .
2. Przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów: ; ; ; .
3. Romb jest równoległobokiem (w przypadku rombu spełnione są wszystkie właściwości równoległoboku).

Właściwości kwadratu:

Kwadrat jest jednocześnie rombem i prostokątem, zatem dla kwadratu spełnione są wszystkie właściwości prostokąta i rombu. Taj.

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami. Pole równoległoboku jest równe iloczynowi jego podstawy (a) i wysokości (h). Jego pole można również wyznaczyć poprzez dwa boki i kąt oraz poprzez przekątne.

Właściwości równoległoboku

1. Przeciwne strony są identyczne.

Najpierw narysujmy przekątną \(AC\) . Otrzymujemy dwa trójkąty: \(ABC\) i \(ADC\).

Ponieważ \(ABCD\) jest równoległobokiem, prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

\(AD || BC \Strzałka w prawo \kąt 1 = \kąt 2\) jak leżenie w poprzek.

\(AB || CD \Strzałka w prawo \kąt3 = \kąt 4\) jak leżenie w poprzek.

Dlatego (zgodnie z drugim kryterium: i \(AC\) jest powszechne).

A to oznacza \(\trójkąt ABC = \trójkąt ADC\), następnie \(AB = CD\) i \(AD = BC\) .

2. Przeciwne kąty są identyczne.

Według dowodu właściwości 1 wiemy to \(\kąt 1 = \kąt 2, \kąt 3 = \kąt 4\). Zatem suma kątów przeciwnych wynosi: \(\kąt 1 + \kąt 3 = \kąt 2 + \kąt 4\). W danych okolicznościach \(\trójkąt ABC = \trójkąt ADC\) otrzymujemy \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .

3. Przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Przez nieruchomość 1 wiemy, że przeciwne strony są identyczne: \(AB = CD\) . Jeszcze raz zwróć uwagę na leżące w poprzek równe kąty.

Zatem jest jasne, że \(\trójkąt AOB = \trójkąt COD\) zgodnie z drugim znakiem równości trójkątów (dwa kąty i bok między nimi). Oznacza to, że \(BO = OD\) (naprzeciwko kątów \(\kąt 2\) i \(\kąt 1\) ) i \(AO = OC\) (naprzeciwko kątów \(\kąt 3\) i \(odpowiednio \kąt 4\).

Znaki równoległoboku

Jeśli w Twoim problemie występuje tylko jedna cecha, wówczas figura jest równoległobokiem i możesz wykorzystać wszystkie właściwości tej figury.

Dla lepszego zapamiętywania zwróć uwagę, że znak równoległoboku odpowie na następujące pytanie: „jak się dowiedzieć?”. To znaczy, jak dowiedzieć się, że dana figura jest równoległobokiem.

1. Równoległobok to czworokąt, którego dwa boki są równe i równoległe.

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Strzałka w prawo ABCD\)- równoległobok.

Przyjrzyjmy się bliżej. Dlaczego \(AD || BC \)?

\(\trójkąt ABC = \trójkąt ADC\) Przez nieruchomość 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) leżą poprzecznie, gdy \(AB \) i \(CD \) oraz sieczna \(AC \) są równoległe.

Ale jeśli \(\trójkąt ABC = \trójkąt ADC\), następnie \(\angle 3 = \angle 4 \) (leżą naprzeciwko \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) i \(\angle 4 \) - te leżące w poprzek również są równe).

Pierwszy znak jest prawidłowy.

2. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równe.

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Strzałka w prawo ABCD \) jest równoległobokiem.

Rozważmy ten znak. Narysujmy ponownie przekątną \(AC\).

Przez nieruchomość 1\(\trójkąt ABC = \trójkąt ACD\).

Wynika z tego, że: \(\kąt 1 = \kąt 2 \Strzałka w prawo AD || BC \) I \(\kąt 3 = \kąt 4 \Strzałka w prawo AB || CD \), to znaczy \(ABCD\) jest równoległobokiem.

Drugi znak jest prawidłowy.

3. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe kąty są równe.

\(\kąt A = \kąt C\) , \(\kąt B = \kąt D \Strzałka w prawo ABCD\)- równoległobok.

\(2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) \)(ponieważ \(\kąt A = \kąt C\) , \(\kąt B = \kąt D\) według warunku).

Okazuje się, \(\alfa + \beta = 180^(\circ) \). Ale \(\alpha \) i \(\beta \) są wewnętrzne jednostronne w siecznej \(AB \) .