Wykres 3 x 1 2. Funkcje kwadratowe i sześcienne

Konstruowanie wykresów funkcji zawierających moduły sprawia zwykle uczniom duże trudności. Jednak wszystko nie jest takie złe. Wystarczy zapamiętać kilka algorytmów rozwiązywania takich problemów i można łatwo zbudować wykres nawet dla najbardziej pozornie złożona funkcja. Zastanówmy się, jakie to są algorytmy.

1. Wykreślenie wykresu funkcji y = |f(x)|

Należy pamiętać, że zbiór wartości funkcji y = |f(x)| : y ≥ 0. Zatem wykresy takich funkcji zawsze leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.

Rysowanie wykresu funkcji y = |f(x)| składa się z czterech prostych kroków.

1) Ostrożnie i starannie skonstruuj wykres funkcji y = f(x).

2) Pozostaw bez zmian wszystkie punkty na wykresie, które znajdują się powyżej lub na osi 0x.

3) Wyświetl część wykresu leżącą poniżej osi 0x symetrycznie względem osi 0x.

Przykład 1. Narysuj wykres funkcji y = |x 2 – 4x + 3|

1) Budujemy wykres funkcji y = x 2 – 4x + 3. Oczywiście wykresem tej funkcji jest parabola. Znajdźmy współrzędne wszystkich punktów przecięcia paraboli z osiami współrzędnych i współrzędnymi wierzchołka paraboli.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Dlatego parabola przecina oś 0x w punktach (3, 0) i (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Zatem parabola przecina oś 0y w punkcie (0, 3).

Współrzędne wierzchołka paraboli:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Dlatego punkt (2, -1) jest wierzchołkiem tej paraboli.

Na podstawie uzyskanych danych narysuj parabolę (ryc. 1)

2) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem osi 0x.

3) Otrzymujemy wykres oryginalnej funkcji ( Ryż. 2, zaznaczone linią przerywaną).

2. Wykres funkcji y = f(|x|)

Zauważ, że funkcje postaci y = f(|x|) są parzyste:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Oznacza to, że wykresy takich funkcji są symetryczne względem osi 0y.

Wykreślenie wykresu funkcji y = f(|x|) składa się z następującego prostego łańcucha działań.

1) Naszkicuj funkcję y = f(x).

2) Pozostaw tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.

3) Wyświetlić część wykresu określoną w pkt. (2) symetrycznie do osi 0y.

4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).

Przykład 2. Narysuj wykres funkcji y = x 2 – 4 · |x| + 3

Ponieważ x 2 = |x| 2, wówczas pierwotną funkcję można zapisać w następującej postaci: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Teraz możemy zastosować zaproponowany powyżej algorytm.

1) Starannie i starannie budujemy wykres funkcji y = x 2 – 4 x + 3 (patrz także Ryż. 1).

2) Pozostawiamy tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.

3) Wyświetl prawą stronę wykresu symetrycznie do osi 0y.

(ryc. 3).

Przykład 3. Narysuj wykres funkcji y = log 2 |x|

Stosujemy schemat podany powyżej.

1) Zbuduj wykres funkcji y = log 2 x (ryc. 4).

3. Wykreślenie funkcji y = |f(|x|)|

Zauważ, że funkcje postaci y = |f(|x|)| są również równe. Rzeczywiście, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), dlatego ich wykresy są symetryczne względem osi 0y. Zbiór wartości takich funkcji: y ≥ 0. Oznacza to, że wykresy takich funkcji leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.

Aby wykreślić funkcję y = |f(|x|)|, należy:

1) Ostrożnie skonstruuj wykres funkcji y = f(|x|).

2) Pozostaw bez zmian część wykresu znajdującą się powyżej lub na osi 0x.

3) Wyświetl część wykresu znajdującą się poniżej osi 0x symetrycznie względem osi 0x.

4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).

Przykład 4. Narysuj wykres funkcji y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Zauważ, że x 2 = |x| 2. Oznacza to, że zamiast pierwotnej funkcji y = -x 2 + 2|x| - 1

możesz użyć funkcji y = -|x| 2 + 2|x| – 1, gdyż ich wykresy są zbieżne.

Budujemy graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. W tym celu używamy algorytmu 2.

a) Naszkicuj funkcję y = -x 2 + 2x – 1 (ryc. 6).

b) Pozostawiamy tę część wykresu, która znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.

c) Wynikową część wykresu wyświetlamy symetrycznie do osi 0y.

d) Wynikowy wykres pokazano linią przerywaną na rysunku (ryc. 7).

2) Powyżej osi 0x nie ma punktów; punkty na osi 0x pozostawiamy bez zmian.

3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem 0x.

4) Wynikowy wykres pokazano na rysunku linią przerywaną (ryc. 8).

Przykład 5. Wykres funkcji y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Najpierw musisz wykreślić funkcję y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby to zrobić, wracamy do algorytmu 2.

a) Ostrożnie wykreśl funkcję y = (2x – 4) / (x + 3) (ryc. 9).

Należy zauważyć, że ta funkcja jest ułamkowa i jej wykres jest hiperbolą. Aby wykreślić krzywą, należy najpierw znaleźć asymptoty wykresu. Poziomo – y = 2/1 (stosunek współczynników x w liczniku i mianowniku ułamka), pionowo – x = -3.

2) Tę część wykresu, która znajduje się powyżej osi 0x lub na niej, pozostawiamy bez zmian.

3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x będzie wyświetlana symetrycznie względem 0x.

4) Ostateczny wykres pokazano na rysunku (ryc. 11).

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Jak zbudować parabolę? Istnieje kilka sposobów rysowania wykresu funkcja kwadratowa. Każdy z nich ma swoje zalety i wady. Rozważmy dwa sposoby.

Zacznijmy od wykreślenia funkcji kwadratowej w postaci y=x²+bx+c i y= -x²+bx+c.

Przykład.

Naszkicuj funkcję y=x²+2x-3.

Rozwiązanie:

y=x²+2x-3 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z gałęziami skierowanymi w górę. Współrzędne wierzchołka paraboli

Z wierzchołka (-1;-4) budujemy wykres paraboli y=x² (jak od początku współrzędnych. Zamiast (0;0) - wierzchołek (-1;-4). Z (-1; -4) idziemy w prawo o 1 jednostkę i w górę o 1 jednostkę, następnie w lewo o 1 i w górę o 1, następnie: 2 - w prawo, 4 - w górę, 2 - w lewo, 3 - w górę; w lewo, 9 - w górę Jeśli te 7 punktów nie wystarczy, to 4 w prawo, 16 w górę itd.).

Wykres funkcji kwadratowej y= -x²+bx+c jest parabolą, której ramiona są skierowane w dół. Aby skonstruować graf, szukamy współrzędnych wierzchołka i na tej podstawie konstruujemy parabolę y= -x².

Przykład.

Naszkicuj funkcję y= -x²+2x+8.

Rozwiązanie:

y= -x²+2x+8 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z gałęziami skierowanymi w dół. Współrzędne wierzchołka paraboli

Z góry budujemy parabolę y= -x² (1 - w prawo, 1 - w dół; 1 - w lewo, 1 - w dół; 2 - w prawo, 4 - w dół; 2 - w lewo, 4 - w dół itd.):

Metoda ta pozwala szybko zbudować parabolę i nie nastręcza trudności, jeśli potrafi się wykreślić funkcje y=x² i y= -x². Wada: jeśli współrzędne wierzchołka są liczbami ułamkowymi, zbudowanie wykresu nie jest zbyt wygodne. Jeżeli chcesz znać dokładne wartości punktów przecięcia wykresu z osią Wółu będziesz musiał dodatkowo rozwiązać równanie x²+bx+c=0 (lub -x²+bx+c=0), nawet jeśli punkty te można bezpośrednio wyznaczyć na podstawie rysunku.

Innym sposobem konstruowania paraboli jest metoda punktowa, czyli można znaleźć na wykresie kilka punktów i przeciągnąć przez nie parabolę (biorąc pod uwagę, że prosta x=xₒ jest jej osią symetrii). Zwykle w tym celu przyjmują wierzchołek paraboli, punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych i 1-2 dodatkowe punkty.

Narysuj wykres funkcji y=x²+5x+4.

Rozwiązanie:

y=x²+5x+4 jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z gałęziami skierowanymi w górę. Współrzędne wierzchołka paraboli

oznacza to, że wierzchołkiem paraboli jest punkt (-2,5; -2,25).

Szuka . W punkcie przecięcia z osią Wołu y=0: x²+5x+4=0. Korzenie równanie kwadratowe x1=-1, x2=-4, czyli mamy na wykresie dwa punkty (-1; 0) i (-4; 0).

W punkcie przecięcia wykresu z osią Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Mamy punkt (0; 4).

Aby rozjaśnić wykres, możesz znaleźć dodatkowy punkt. Weźmy x=1, następnie y=1²+5∙1+4=10, czyli kolejnym punktem na wykresie jest (1; 10). Zaznaczamy te punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Biorąc pod uwagę symetrię paraboli względem prostej przechodzącej przez jej wierzchołek, zaznaczamy jeszcze dwa punkty: (-5; 6) i (-6; 10) i rysujemy przez nie parabolę:

Naszkicuj funkcję y= -x²-3x.

Rozwiązanie:

y= -x²-3x jest funkcją kwadratową. Wykres jest parabolą z gałęziami skierowanymi w dół. Współrzędne wierzchołka paraboli

Wierzchołek (-1,5; 2,25) jest pierwszym punktem paraboli.

W punktach przecięcia wykresu z osią x y=0, czyli rozwiązujemy równanie -x²-3x=0. Jego pierwiastki to x=0 i x=-3, czyli (0;0) i (-3;0) - kolejne dwa punkty na wykresie. Punkt (o; 0) jest jednocześnie punktem przecięcia paraboli z osią rzędnych.

Przy x=1 y=-1²-3∙1=-4, czyli (1; -4) to dodatkowy punkt do wykreślenia.

Konstruowanie paraboli z punktów jest metodą bardziej pracochłonną w porównaniu do pierwszej. Jeśli parabola nie przecina osi Wółu, potrzebnych będzie więcej dodatkowych punktów.

Zanim przystąpimy do konstruowania wykresów funkcji kwadratowych postaci y=ax²+bx+c, rozważmy konstrukcję wykresów funkcji za pomocą przekształceń geometrycznych. Najwygodniej jest też konstruować wykresy funkcji w postaci y=x²+c, korzystając z jednego z tych przekształceń – przesunięcia równoległego.

Kategoria: |

Przyjrzyjmy się, jak zbudować wykres za pomocą modułu.

Znajdźmy punkty, w których przejściu zmienia się znak modułów.
Każde wyrażenie pod modułem przyrównujemy do 0. Mamy dwa z nich x-3 i x+3.
x-3=0 i x+3=0
x=3 i x=-3

Nasza oś liczbowa zostanie podzielona na trzy przedziały (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞). W każdym przedziale należy określić znak wyrażeń modułowych.

1. Jest to bardzo łatwe do wykonania, rozważ pierwszy przedział (-∞;-3). Weźmy dowolną wartość z tego segmentu, na przykład -4, i podstawimy wartość x do każdego z równań modułowych.
x=-4
x-3=-4-3=-7 i x+3=-4+3=-1

Obydwa wyrażenia mają znaki ujemne, co oznacza, że ​​w równaniu przed znakiem modułu stawiamy minus, a zamiast znaku modułu stawiamy nawiasy i otrzymujemy żądane równanie na przedziale (-∞;-3).

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

Na przedziale (-∞;-3) uzyskano wykres funkcja liniowa(bezpośrednio) y=6

2. Rozważmy drugi przedział (-3;3). Zastanówmy się, jak będzie wyglądać równanie wykresu na tym segmencie. Weźmy dowolną liczbę od -3 do 3, na przykład 0. Zastąp 0 wartością x.
x=0
x-3=0-3=-3 i x+3=0+3=3

Pierwsze wyrażenie x-3 ma znak ujemny, a drugie wyrażenie x+3 ma znak dodatni. Dlatego przed wyrażeniem x-3 piszemy znak minus, a przed drugim wyrażeniem znak plus.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

Na przedziale (-3;3) otrzymaliśmy wykres funkcji liniowej (prosta) y=-2x

3. Rozważmy trzeci przedział (3;+∞). Weźmy dowolną wartość z tego segmentu, na przykład 5, i podstawimy wartość x do każdego z równań modułowych.

x=5
x-3=5-3=2 i x+3=5+3=8

Dla obu wyrażeń znaki okazały się dodatnie, co oznacza, że ​​przed znakiem modułu w równaniu stawiamy plus, a zamiast znaku modułu stawiamy nawiasy i otrzymujemy żądane równanie na przedziale (3;+ ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

Na przedziale (3;+∞) otrzymaliśmy wykres funkcji liniowej (prosta) у=-6

4. Podsumujmy teraz wykres y=|x-3|-|x+3|.
Na przedziale (-∞;-3) budujemy wykres funkcji liniowej (prostej) y=6.
Na przedziale (-3;3) budujemy wykres funkcji liniowej (prostej) y=-2x.
Aby skonstruować wykres y = -2x, wybieramy kilka punktów.
x=-3 y=-2*(-3)=6 wynikiem jest punkt (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 wynikiem jest punkt (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 wynikiem jest punkt (3;-6)
Na przedziale (3;+∞) budujemy wykres funkcji liniowej (prostej) у=-6.

5. Przeanalizujmy teraz wynik i odpowiedzmy na pytanie, znajdź wartość k, przy której prosta y=kx ma wykres y=|x-3|-|x+3| dana funkcja ma dokładnie jeden punkt wspólny.

Linia prosta y=kx dla dowolnej wartości k zawsze przechodzi przez punkt (0;0). Zatem możemy jedynie zmienić nachylenie tej prostej y=kx, a za nachylenie odpowiada współczynnik k.

Jeżeli k jest dowolną liczbą dodatnią, to prosta y=kx będzie miała jedno przecięcie z wykresem y=|x-3|-|x+3|. Ta opcja nam odpowiada.

Jeżeli k przyjmuje wartość (-2;0), to przecięcie prostej y=kx z wykresem y=|x-3|-|x+3| będą trzy. Ta opcja nam nie odpowiada.

Jeżeli k=-2, rozwiązań będzie wiele [-2;2], gdyż prosta y=kx będzie pokrywać się z wykresem y=|x-3|-|x+3| na tym obszarze. Ta opcja nam nie odpowiada.

Jeżeli k jest mniejsze niż -2, to prosta y=kx z wykresem y=|x-3|-|x+3| będzie miało jedno skrzyżowanie. Ta opcja nam odpowiada.

Jeżeli k=0, to przecięcie prostej y=kx z wykresem y=|x-3|-|x+3| będzie też taka opcja.

Odpowiedź: gdy k należy do przedziału (-∞;-2)U i rośnie w przedziale )