Wspólny dzielnik i wspólna wielokrotność. Metody znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, nok - to i wszystkie wyjaśnienia

Definicja. Największy liczba naturalna, przez który liczby a i b są dzielone bez reszty, nazywa się największy wspólny dzielnik (NWD) te liczby.

Znajdźmy największy wspólny dzielnik numery 24 i 35.
Dzielnikami liczby 24 są liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a dzielnikami liczby 35 są liczby 1, 5, 7, 35.
Widzimy, że liczby 24 i 35 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby nazywane są wzajemnie pierwsze.

Definicja. Nazywa się liczby naturalne wzajemnie pierwsze, jeśli ich największy wspólny dzielnik (NWD) wynosi 1.

Największy wspólny dzielnik (GCD) można znaleźć bez zapisywania wszystkich dzielników tych liczb.

Rozkładając liczby 48 i 36, otrzymujemy:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z czynników wchodzących w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb skreślamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby (tj. dwie dwójki).
Pozostałe czynniki to 2 * 2 * 3. Ich iloczyn to 12. Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36. Znaleziono także największy wspólny dzielnik trzech lub więcej liczb.

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik

2) spośród czynników wchodzących w skład rozwinięcia jednej z tych liczb skreślić te, które nie wchodzą w skład rozwinięcia innych liczb;
3) znajdź iloczyn pozostałych czynników.

Jeśli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich, to ta liczba jest podzielna największy wspólny dzielnik podane liczby.
Na przykład największym wspólnym dzielnikiem liczb 15, 45, 75 i 180 jest liczba 15, ponieważ wszystkie inne liczby są przez nią podzielne: 45, 75 i 180.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczby naturalne a i b to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością obu a i b. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) liczb 75 i 60 można znaleźć bez zapisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozłóżmy 75 i 60 na czynniki pierwsze: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Wypiszmy czynniki uwzględnione w rozwinięciu pierwszej z tych liczb i dodajmy do nich brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia drugiej liczby (czyli łączymy czynniki).
Otrzymujemy pięć czynników 2 * 2 * 3 * 5 * 5, których iloczyn wynosi 300. Ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.

Znajdują także najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb.

Do znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność kilka liczb naturalnych, potrzebujesz:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) zapisz czynniki składające się na rozwinięcie jednej z liczb;
3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn uzyskanych czynników.

Zauważ, że jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez wszystkie inne liczby, to liczba ta jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Na przykład najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 12, 15, 20 i 60 wynosi 60, ponieważ jest podzielna przez wszystkie te liczby.

Pitagoras (VI wiek p.n.e.) i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Liczbę równą sumie wszystkich jej dzielników (bez samej liczby) nazywali liczbą doskonałą. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) są idealne. Kolejne liczby doskonałe to 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty - 8128 - stał się znany w I wieku. N. mi. Piąty – 33 550 336 – odnaleziono w XV wieku. W 1983 roku znanych było już 27 liczb doskonałych. Ale naukowcy nadal nie wiedzą, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste, czy też istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że każda liczba jest albo pierwsza, albo można ją przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych, tj. liczby pierwsze są jak cegły, z których zbudowane są pozostałe liczby naturalne.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie – w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych – mniej. Ale im dalej posuniemy się w szeregu liczbowym, tym mniej popularne są liczby pierwsze. Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III w. p.n.e.) w swojej książce „Elementy”, która przez dwa tysiące lat była głównym podręcznikiem matematyki, udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, czyli za każdą liczbą pierwszą kryje się jeszcze większa liczba pierwsza.
Aby znaleźć liczby pierwsze, inny grecki matematyk z tego samego okresu, Eratostenes, wymyślił tę metodę. Zapisał wszystkie liczby od 1 do jakiejś liczby, po czym skreślił jedynkę, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, następnie przekreślił przez jedynkę wszystkie liczby występujące po 2 (liczby będące wielokrotnością 2, czyli 4, 6, 8 itd.). Pierwszą pozostałą liczbą po 2 było 3. Następnie po dwójce wszystkie liczby występujące po 3 (liczby będące wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.) zostały przekreślone. w końcu tylko liczby pierwsze pozostały nieskrzyżowane.

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, musisz najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.

Wielokrotność A jest liczbą naturalną, która dzieli się przez A bez reszty. Zatem liczby będące wielokrotnością 5 można uznać za 15, 20, 25 i tak dalej.

Liczba dzielników określonej liczby może być ograniczona, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba, którą można przez nie podzielić bez pozostawiania reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się przez wszystkie te liczby.

Aby znaleźć LOC, możesz skorzystać z kilku metod.

W przypadku małych liczb wygodnie jest zapisać wszystkie wielokrotności tych liczb w jednym wierszu, aż znajdziesz wśród nich coś wspólnego. Wielokrotności oznacza się wielką literą K.

Na przykład wielokrotności liczby 4 można zapisać w następujący sposób:

K. (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K. (6) = (12, 18, 24, ...)

Zatem widać, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Zapis ten wykonuje się w następujący sposób:

LCM(4, 6) = 24

Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej zastosować inną metodę obliczenia LCM.

Aby wykonać zadanie, należy rozłożyć podane liczby na czynniki pierwsze.

Najpierw musisz zapisać rozkład największej liczby na linii, a poniżej - resztę.

W rozwinięciu każdej liczby może być inna ilość mnożniki.

Na przykład, rozłóżmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.

Przy rozwinięciu mniejszej liczby należy zaznaczyć czynniki, których brakuje przy rozwinięciu pierwszej największej liczby, a następnie dodać je do niej. W przedstawionym przykładzie brakuje dwójki.

Teraz możesz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tak, praca czynniki pierwsze więcej a czynniki drugiej liczby, które nie zostały uwzględnione w rozwinięciu większej liczby, będą najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, należy je wszystkie rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.

Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Zatem tylko dwie dwójki z rozwinięcia szesnastu nie zostały uwzględnione w faktoryzacji większej liczby (jedna jest w rozwinięciu dwudziestu czterech).

Należy je zatem dodać do rozwinięcia większej liczby.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez inną, wówczas większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Na przykład LCM wynoszący dwanaście i dwadzieścia cztery to dwadzieścia cztery.

Jeśli konieczne jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb względnie pierwszych, które nie mają identycznych dzielników, wówczas ich LCM będzie równa ich iloczynowi.

Na przykład LCM (10, 11) = 110.

Kontynuujmy rozmowę o najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w rozdziale „LCM – najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady”. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech lub więcej liczb oraz przyjrzymy się pytaniu, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD

Ustaliliśmy już związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Teraz nauczmy się, jak określić LCM za pomocą GCD. Najpierw zastanówmy się, jak to zrobić dla liczb dodatnich.

Definicja 1

Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć poprzez największy wspólny dzielnik, korzystając ze wzoru LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Przykład 1

Musisz znaleźć LCM liczb 126 i 70.

Rozwiązanie

Weźmy a = 126, b = 70. Podstawmy wartości do wzoru na obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Znajduje gcd liczb 70 i 126. Do tego potrzebujemy algorytmu Euklidesa: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, zatem GCD (126 , 70) = 14 .

Obliczmy LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odpowiedź: LCM(126, 70) = 630.

Przykład 2

Znajdź liczbę 68 i 34.

Rozwiązanie

NWD w tym przypadku nie jest trudne do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Obliczmy najmniejszą wspólną wielokrotność korzystając ze wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpowiedź: LCM(68, 34) = 68.

W tym przykładzie zastosowaliśmy regułę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dodatnich liczb całkowitych a i b: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.

Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się teraz metodzie znajdowania LCM, która opiera się na rozłożeniu liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 2

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:

• tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
• wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z ich otrzymanych produktów;
• iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM podanych liczb.

Ta metoda znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozkładzie tych dwóch liczb. W tym przypadku gcd dwóch liczb jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w faktoryzacji tych dwóch liczb.

Przykład 3

Mamy dwie liczby 75 i 210. Możemy je rozłożyć na czynniki w następujący sposób: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Jeśli utworzysz iloczyn wszystkich czynników dwóch pierwotnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.

Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn w następującej postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 441 I 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Iloczyn wszystkich czynników biorących udział w rozkładzie tych liczb będzie miał postać: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. To jest liczba 7. Wykluczmy to z całkowitego produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpowiedź: LOC(441, 700) = 44100.

Podajmy inne sformułowanie metody znajdowania LCM poprzez rozkład liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 3

Wcześniej wykluczyliśmy z całkowitej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:

• Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
• dodaj do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
• otrzymujemy iloczyn, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.

Przykład 5

Wróćmy do liczb 75 i 210, dla których szukaliśmy LCM już w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3, 5 i 5 liczby 75 dodają brakujące czynniki 2 I 7 numery 210. Otrzymujemy: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.

Przykład 6

Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.

Rozwiązanie

Rozłóżmy liczby z warunku na proste czynniki: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmy do iloczynu czynniki 2, 2, 3 i 7 liczby 84 brakujące czynniki 2, 3, 3 i
3 numery 648. Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648.

Odpowiedź: LCM(84, 648) = 4536.

Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb

Niezależnie od tego z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszego działania zawsze będzie taki sam: znajdziemy po kolei LCM dwóch liczb. Istnieje twierdzenie dotyczące tego przypadku.

Twierdzenie 1

Załóżmy, że mamy liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k liczby te można znaleźć, obliczając kolejno m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k).

Przyjrzyjmy się teraz, jak twierdzenie można zastosować do rozwiązania konkretnych problemów.

Przykład 7

Musisz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140, 9, 54 i 250 .

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Zastosujmy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Otrzymujemy: NWD (140, 9) = 1, NWD (140, 9) = 140 · 9: NWD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Dlatego m 2 = 1260.

Obliczmy teraz według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Podczas obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.

Musimy tylko obliczyć m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Postępujemy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 = 94 500.

LCM czterech liczb z przykładowego warunku wynosi 94500.

Odpowiedź: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz wybrać inną drogę.

Definicja 4

Oferujemy następujący algorytm działań:

• rozkładamy wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
• do iloczynu czynników pierwszej liczby dodajemy brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
• do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie dodajemy brakujące czynniki trzeciej liczby itp.;
• wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.

Przykład 8

Musisz znaleźć LCM pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.

Rozwiązanie

Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Liczb pierwszych, czyli liczby 7, nie można rozłożyć na czynniki pierwsze. Liczby takie pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.

Weźmy teraz iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Czynniki te są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.

Kontynuujemy dodawanie brakujących mnożników. Przejdźmy do liczby 48, z iloczynu jej czynników pierwszych bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy czynnik pierwszy 7 z czwartej liczby oraz czynniki 11 i 13 z piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność z pięciu pierwotnych liczb.

Odpowiedź: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczby ujemne, liczby te należy najpierw zastąpić liczbami o przeciwnym znaku, a następnie przeprowadzić obliczenia, stosując powyższe algorytmy.

Przykład 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) i LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takie działania są dopuszczalne ze względu na to, że jeśli to zaakceptujemy A I - za– liczby przeciwne,
następnie zbiór wielokrotności liczby A dopasowuje zbiór wielokrotności liczby - za.

Przykład 10

Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 I − 45 .

Rozwiązanie

Zamieńmy liczby − 145 I − 45 do ich przeciwnych liczb 145 I 45 . Teraz korzystając z algorytmu obliczamy LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, wyznaczywszy wcześniej GCD za pomocą algorytmu Euklidesa.

Otrzymujemy, że LCM liczb wynosi - 145 i − 45 równa się 1 305 .

Odpowiedź: LCM (- 145, - 45) = 1305.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Drugi numer: b=

Separator tysięcy Bez separatora spacji „”.

Wynik:

Największy wspólny dzielnik gcd( A,B)=6

Najmniejsza wspólna wielokrotność LCM ( A,B)=468

Nazywa się największą liczbę naturalną, którą można podzielić bez reszty przez liczby a i b największy wspólny dzielnik(GCD) tych liczb. Oznaczone przez gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) lub hcf(a,b).

Najmniejsza wspólna wielokrotność LCM dwóch liczb całkowitych aib jest najmniejszą liczbą naturalną, która dzieli się przez aib bez reszty. Oznaczone jako LCM(a,b) lub lcm(a,b).

Nazywa się liczby całkowite a i b wzajemnie pierwsze, jeśli nie mają wspólnych dzielników innych niż +1 i -1.

Największy wspólny dzielnik

Niech zostaną podane dwie liczby dodatnie A 1 i A 2 1). Konieczne jest znalezienie wspólnego dzielnika tych liczb, tj. znajdź taką liczbę λ , który dzieli liczby A 1 i A 2 jednocześnie. Opiszmy algorytm.

1) W tym artykule liczba słów będzie rozumiana jako liczba całkowita.

Pozwalać A 1 ≥ A 2 i niech

Gdzie M 1 , A 3 to niektóre liczby całkowite, A 3 <A 2 (reszta z dzielenia A 1 os A 2 powinno być mniej A 2).

Załóżmy, że λ dzieli A 1 i A 2 wtedy λ dzieli M 1 A 2 i λ dzieli A 1 −M 1 A 2 =A 3 (Stwierdzenie 2 artykułu „Podzielność liczb. Test na podzielność”). Wynika z tego, że każdy wspólny dzielnik A 1 i A 2 jest wspólnym dzielnikiem A 2 i A 3. Odwrotna sytuacja jest również prawdą, jeśli λ wspólny dzielnik A 2 i A 3 wtedy M 1 A 2 i A 1 =M 1 A 2 +A 3 jest również podzielne przez λ . Dlatego wspólny dzielnik A 2 i A 3 jest także wspólnym dzielnikiem A 1 i A 2. Ponieważ A 3 <A 2 ≤A 1, to możemy powiedzieć, że jest to rozwiązanie problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb A 1 i A 2 zredukowano do prostszego problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb A 2 i A 3 .

Jeśli A 3 ≠0, to możemy dzielić A 2 włączone A 3. Następnie

,

Gdzie M 1 i A 4 to niektóre liczby całkowite, ( A 4 pozostałe z dzielenia A 2 włączone A 3 (A 4 <A 3)). Z podobnego rozumowania dochodzimy do wniosku, że wspólne dzielniki liczb A 3 i A 4 pokrywa się ze wspólnymi dzielnikami liczb A 2 i A 3, a także ze wspólnymi dzielnikami A 1 i A 2. Ponieważ A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... to liczby, które stale maleją, a pomiędzy nimi jest skończona liczba liczb całkowitych A 2 i 0, a potem w pewnym momencie N, reszta z dzielenia A n A n+1 będzie równe zero ( A n+2 =0).

.

Każdy wspólny dzielnik λ takty muzyczne A 1 i A 2 jest także dzielnikiem liczb A 2 i A 3 , A 3 i A 4 , .... A n i A n+1 . Odwrotna sytuacja jest również prawdą, wspólne dzielniki liczb A n i A n+1 są także dzielnikami liczb A n-1 i A N , .... , A 2 i A 3 , A 1 i A 2. Ale wspólny dzielnik liczb A n i A n+1 to liczba A n+1 , ponieważ A n i A n+1 jest podzielne przez A n+1 (pamiętaj o tym A n+2 =0). Stąd A n+1 jest także dzielnikiem liczb A 1 i A 2 .

Należy pamiętać, że liczba A n+1 to największy dzielnik liczb A n i A n+1 , ponieważ największy dzielnik A n+1 jest sobą A n+1 . Jeśli A n+1 można przedstawić jako iloczyn liczb całkowitych, wówczas liczby te są również wspólnymi dzielnikami liczb A 1 i A 2. Numer A nazywa się n+1 największy wspólny dzielnik takty muzyczne A 1 i A 2 .

Takty muzyczne A 1 i A 2 może być liczbą dodatnią lub ujemną. Jeżeli jedna z liczb jest równa zero, to największy wspólny dzielnik tych liczb będzie równy wartości bezwzględnej drugiej liczby. Największy wspólny dzielnik liczb zerowych jest nieokreślony.

Powyższy algorytm nazywa się Algorytm euklidesowy znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych.

Przykład znalezienia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb

Znajdź największy wspólny dzielnik dwóch liczb 630 i 434.

• Krok 1. Podziel liczbę 630 przez 434. Reszta to 196.
• Krok 2. Podziel liczbę 434 przez 196. Reszta to 42.
• Krok 3. Podziel liczbę 196 przez 42. Reszta to 28.
• Krok 4. Podziel liczbę 42 przez 28. Reszta to 14.
• Krok 5. Podziel liczbę 28 przez 14. Reszta to 0.

W kroku 5 reszta dzielenia wynosi 0. Zatem największym wspólnym dzielnikiem liczb 630 i 434 jest 14. Zauważ, że liczby 2 i 7 są również dzielnikami liczb 630 i 434.

Liczby względnie pierwsze

Definicja 1. Niech największy wspólny dzielnik liczb A 1 i A 2 równa się jeden. Następnie wywoływane są te liczby liczby względnie pierwsze, nie mający wspólnego dzielnika.

Twierdzenie 1. Jeśli A 1 i A 2 liczby względnie pierwsze i λ pewna liczba, a następnie dowolny wspólny dzielnik liczb λa 1 i A 2 jest także wspólnym dzielnikiem liczb λ I A 2 .

Dowód. Rozważmy algorytm Euklidesa służący do znajdowania największego wspólnego dzielnika liczb A 1 i A 2 (patrz wyżej).

.

Z warunków twierdzenia wynika, że ​​największy wspólny dzielnik liczb A 1 i A 2 i dlatego A n i A n+1 równa się 1. To znaczy A n+1 =1.

Pomnóżmy wszystkie te równości przez λ , Następnie

.

Niech wspólny dzielnik A 1 λ I A 2 tak δ . Następnie δ jest uwzględniany jako mnożnik w A 1 λ , M 1 A 2 λ i w A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (patrz „Podzielność liczb”, stwierdzenie 2). Następny δ jest uwzględniany jako mnożnik w A 2 λ I M 2 A 3 λ , a zatem jest czynnikiem A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .

Rozumując w ten sposób, jesteśmy o tym przekonani δ jest uwzględniany jako mnożnik w A n-1 λ I M n-1 A N λ , a zatem w A n-1 λ −M n-1 A N λ =A n+1 λ . Ponieważ A n+1 =1, zatem δ jest uwzględniany jako mnożnik w λ . Dlatego liczba δ jest wspólnym dzielnikiem liczb λ I A 2 .

Rozważmy szczególne przypadki twierdzenia 1.

Konsekwencja 1. Pozwalać A I C Liczby pierwsze są względne B. Potem ich produkt AC jest liczbą pierwszą względem B.

Naprawdę. Z twierdzenia 1 AC I B mają takie same wspólne dzielniki jak C I B. Ale liczby C I B stosunkowo proste, tj. mają jeden wspólny dzielnik 1. Następnie AC I B mają również jeden wspólny dzielnik 1. Dlatego AC I B wzajemnie proste.

Konsekwencja 2. Pozwalać A I B liczby względnie pierwsze i niech B dzieli ok. Następnie B dzieli i k.

Naprawdę. Od warunku zatwierdzenia ok I B mają wspólny dzielnik B. Na mocy Twierdzenia 1, B musi być wspólnym dzielnikiem B I k. Stąd B dzieli k.

Wniosek 1 można uogólnić.

Konsekwencja 3. 1. Niech liczby A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m są liczbą pierwszą w stosunku do liczby B. Następnie A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, iloczyn tych liczb jest liczbą pierwszą B.

2. Miejmy dwa rzędy liczb

tak, że każda liczba z pierwszego szeregu jest liczbą pierwszą w stosunku do każdej liczby z drugiego szeregu. Następnie produkt

Musisz znaleźć liczby podzielne przez każdą z tych liczb.

Jeśli liczba jest podzielna przez A 1, to ma postać sa 1 gdzie S jakiś numer. Jeśli Q jest największym wspólnym dzielnikiem liczb A 1 i A 2, zatem

Gdzie S 1 to pewna liczba całkowita. Następnie

Jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 i A 2 .

A 1 i A 2 są względnie pierwsze, to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 i A 2:

Musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Z powyższego wynika, że ​​dowolna wielokrotność liczb A 1 , A 2 , A 3 musi być wielokrotnością liczb ε I A 3 i z powrotem. Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε I A 3 tak ε 1. Następnie wielokrotności liczb A 1 , A 2 , A 3 , A Liczba 4 musi być wielokrotnością liczb ε 1 i A 4. Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε 1 i A 4 tak ε 2. W ten sposób dowiedzieliśmy się, że wszystkie wielokrotności liczb A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m pokrywają się z wielokrotnościami pewnej liczby ε n, co nazywa się najmniejszą wspólną wielokrotnością danych liczb.

W szczególnym przypadku, gdy liczby A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m są względnie pierwsze, to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb A 1 , A 2, jak pokazano powyżej, ma postać (3). Następny, od A 3 liczby pierwsze w odniesieniu do liczb A 1 , A 2 wtedy A 3 liczba pierwsza A 1 · A 2 (wniosek 1). Oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność liczb A 1 ,A 2 ,A 3 to liczba A 1 · A 2 · A 3. Rozumując w podobny sposób, dochodzimy do następujących stwierdzeń.

Oświadczenie 1. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb względnie pierwszych A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m jest równe ich iloczynowi A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

Oświadczenie 2. Dowolna liczba, która jest podzielna przez każdą z liczb stosunkowo pierwszych A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m jest również podzielne przez ich iloczyn A 1 · A 2 · A 3 ··· A M.

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność to kluczowe pojęcia arytmetyczne, dzięki którym praca z ułamkami nie wymaga wysiłku. LCM i są najczęściej używane do znalezienia wspólnego mianownika kilku ułamków.

Podstawowe pojęcia

Dzielnik liczby całkowitej X to inna liczba całkowita Y, przez którą X jest dzielone bez pozostawiania reszty. Na przykład dzielnik liczby 4 to 2, a 36 to 4, 6, 9. Wielokrotność liczby całkowitej X to liczba Y, która dzieli się przez X bez reszty. Na przykład 3 jest wielokrotnością 15, a 6 jest wielokrotnością 12.

Dla każdej pary liczb możemy znaleźć ich wspólne dzielniki i wielokrotności. Na przykład dla liczb 6 i 9 wspólna wielokrotność wynosi 18, a wspólny dzielnik wynosi 3. Oczywiście pary mogą mieć kilka dzielników i wielokrotności, dlatego w obliczeniach używany jest największy dzielnik GCD i najmniejsza wielokrotność LCM.

Najmniejszy dzielnik nie ma znaczenia, ponieważ dla dowolnej liczby jest zawsze jeden. Największa wielokrotność również jest bez znaczenia, ponieważ ciąg wielokrotności zmierza do nieskończoności.

Znalezienie gcd

Istnieje wiele metod znajdowania największego wspólnego dzielnika, z których najbardziej znane to:

• sekwencyjne wyliczanie dzielników, wybieranie wspólnych dla pary i poszukiwanie największego z nich;
• rozkład liczb na czynniki niepodzielne;
• algorytm euklidesowy;
• algorytm binarny.

Obecnie w placówkach oświatowych najpopularniejszymi metodami są rozkład na czynniki pierwsze i algorytm Euklidesa. To drugie z kolei wykorzystuje się przy rozwiązywaniu równań diofantyny: poszukiwanie NWD jest wymagane, aby sprawdzić równanie pod kątem możliwości rozwiązania w liczbach całkowitych.

Znalezienie NOC

Najmniejszą wspólną wielokrotność wyznacza się także poprzez kolejne wyliczenie lub rozkład na czynniki niepodzielne. Ponadto łatwo jest znaleźć LCM, jeśli został już wyznaczony największy dzielnik. Dla liczb X i Y LCM i GCD są powiązane następującą zależnością:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Na przykład, jeśli GCM(15,18) = 3, to LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbardziej oczywistym przykładem użycia LCM jest znalezienie wspólnego mianownika, który jest najmniejszą wspólną wielokrotnością dane ułamki.

Liczby względnie pierwsze

Jeśli para liczb nie ma wspólnych dzielników, wówczas taką parę nazywamy względnie pierwszą. Współczynnik gcd dla takich par jest zawsze równy jeden, a na podstawie połączenia między dzielnikami i wielokrotnościami, gcd dla par względnie pierwszych jest równy ich iloczynowi. Na przykład liczby 25 i 28 są względnie pierwsze, ponieważ nie mają wspólnych dzielników, a LCM(25, 28) = 700, co odpowiada ich iloczynowi. Każde dwie niepodzielne liczby zawsze będą względnie pierwsze.

Wspólny dzielnik i kalkulator wielokrotny

Za pomocą naszego kalkulatora możesz obliczyć GCD i LCM dla dowolnej liczby liczb do wyboru. Zadania dotyczące obliczania wspólnych dzielników i wielokrotności znajdują się w arytmetyce w piątej i szóstej klasie, ale GCD i LCM są kluczowymi pojęciami w matematyce i są wykorzystywane w teorii liczb, planimetrii i algebrze komunikacyjnej.

Przykłady z życia wzięte

Wspólny mianownik ułamków

Najmniejsza wspólna wielokrotność jest używana przy znajdowaniu wspólnego mianownika kilku ułamków. Załóżmy, że w zadaniu arytmetycznym musisz zsumować 5 ułamków:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Aby dodać ułamki, wyrażenie należy sprowadzić do wspólnego mianownika, co sprowadza się do problemu znalezienia LCM. Aby to zrobić, wybierz 5 liczb w kalkulatorze i wprowadź wartości mianowników w odpowiednich komórkach. Program obliczy LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz dla każdego ułamka należy obliczyć dodatkowe współczynniki, które definiuje się jako stosunek LCM do mianownika. Zatem dodatkowe mnożniki będą wyglądać następująco:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Następnie mnożymy wszystkie ułamki przez odpowiedni dodatkowy współczynnik i otrzymujemy:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Możemy łatwo zsumować takie ułamki i otrzymać wynik 159/360. Zmniejszamy ułamek o 3 i widzimy ostateczną odpowiedź - 53/120.

Rozwiązywanie liniowych równań diofantyny

Liniowe równania diofantyny są wyrażeniami w postaci ax + by = d. Jeśli stosunek d / gcd(a, b) jest liczbą całkowitą, wówczas równanie można rozwiązać w liczbach całkowitych. Sprawdźmy kilka równań, aby zobaczyć, czy mają rozwiązanie w postaci liczb całkowitych. Najpierw sprawdźmy równanie 150x + 8y = 37. Używając kalkulatora, znajdujemy GCD (150,8) = 2. Podziel 37/2 = 18,5. Liczba nie jest liczbą całkowitą, dlatego równanie nie ma pierwiastków całkowitych.

Sprawdźmy równanie 1320x + 1760y = 10120. Użyj kalkulatora, aby znaleźć NWD(1320, 1760) = 440. Podziel 10120/440 = 23. W rezultacie otrzymamy liczbę całkowitą, zatem równanie diofantyny można rozwiązać przy użyciu współczynników całkowitych .

Wniosek

GCD i LCM odgrywają dużą rolę w teorii liczb, a same pojęcia są szeroko stosowane w wielu różnych obszarach matematyki. Skorzystaj z naszego kalkulatora, aby obliczyć największe dzielniki i najmniejsze wielokrotności dowolnej liczby liczb.