ნატურალური რიცხვები. ბუნებრივი რიცხვის განსაზღვრა

მათემატიკაში არსებობს რიცხვების რამდენიმე სხვადასხვა ნაკრები: რეალური, რთული, მთელი რიცხვი, რაციონალური, ირაციონალური,... ყოველდღიური ცხოვრება ჩვენ ყველაზე ხშირად ვიყენებთ ნატურალურ რიცხვებს, რადგან მათ ვხვდებით დათვლისას და ძიებისას, ობიექტების რაოდენობის აღნიშვნისას.

რა რიცხვებს უწოდებენ ნატურალურ რიცხვებს?

ათი ციფრიდან შეგიძლიათ დაწეროთ კლასებისა და წოდებების აბსოლუტურად ნებისმიერი არსებული ჯამი. ბუნებრივ ფასეულობებად ითვლება რომლებიც გამოიყენება:

• ნებისმიერი საგნის დათვლისას (პირველი, მეორე, მესამე, ... მეხუთე, ... მეათე).
• ნივთების რაოდენობის მითითებისას (ერთი, ორი, სამი...)

N მნიშვნელობები ყოველთვის მთელი და დადებითია. არ არსებობს უდიდესი N, რადგან მთელი რიცხვების სიმრავლე შეუზღუდავია.

ყურადღება!ნატურალური რიცხვები მიიღება საგნების დათვლისას ან მათი რაოდენობის მითითებისას.

აბსოლუტურად ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიშალოს და წარმოადგინოს ციფრული ტერმინების სახით, მაგალითად: 8.346.809=8 მილიონი+346 ათასი+809 ერთეული.

ნაკრები N

ნაკრები N არის ნაკრებში რეალური, მთელი და დადებითი. კომპლექტების დიაგრამაზე ისინი ერთმანეთში იქნებოდნენ განლაგებული, რადგან ნატურალური სიმრავლე მათი ნაწილია.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო N-ით. ამ სიმრავლეს აქვს დასაწყისი, მაგრამ არა დასასრული.

ასევე არის გაფართოებული ნაკრები N, სადაც ნული შედის.

ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი

უმეტეს მათემატიკურ სკოლებში, N-ის ყველაზე მცირე მნიშვნელობა ერთეულად ითვლება, ვინაიდან ობიექტების არარსებობა სიცარიელედ ითვლება.

მაგრამ უცხოეთში მათემატიკის სკოლებიმაგალითად, ფრანგულად, ბუნებრივად ითვლება. სერიაში ნულის არსებობა აადვილებს მტკიცებულებას ზოგიერთი თეორემა.

N მნიშვნელობების სერიას, რომელიც შეიცავს ნულს, ეწოდება გაფართოებული და აღინიშნება სიმბოლო N0 (ნულოვანი ინდექსი).

ნატურალური რიცხვების სერია

N სერია არის ყველა N რიცხვის ნაკრების თანმიმდევრობა. ამ თანმიმდევრობას დასასრული არ აქვს.

ბუნებრივი სერიების თავისებურება ის არის, რომ შემდეგი რიცხვი ერთით განსხვავდება წინადან, ანუ გაიზრდება. მაგრამ მნიშვნელობები არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

ყურადღება!დათვლის გასაადვილებლად არის კლასები და კატეგორიები:

• ერთეულები (1, 2, 3),
• ათეულები (10, 20, 30),
• ასობით (100, 200, 300),
• ათასობით (1000, 2000, 3000),
• ათობით ათასი (30 000),
• ასობით ათასი (800.000),
• მილიონები (4000000) და ა.შ.

ყველა ნ

ყველა N არის რეალური, მთელი რიცხვი, არაუარყოფითი მნიშვნელობების სიმრავლეში. ისინი მათია განუყოფელი ნაწილი.

ეს ღირებულებები უსასრულობამდე მიდის, ისინი შეიძლება მიეკუთვნებოდეს მილიონების, მილიარდების, კვინტილიონების კლასებს და ა.შ.

მაგალითად:

• ხუთი ვაშლი, სამი კნუტი,
• ათი მანეთი, ოცდაათი ფანქარი,
• ასი კილოგრამი, სამასი წიგნი,
• მილიონი ვარსკვლავი, სამი მილიონი ადამიანი და ა.შ.

თანმიმდევრობა ნ

სხვადასხვა მათემატიკურ სკოლაში შეგიძლიათ იპოვოთ ორი ინტერვალი, რომელსაც მიეკუთვნება N თანმიმდევრობა:

ნულიდან პლუს უსასრულობამდე, ბოლოების ჩათვლით, და ერთიდან პლუს უსასრულობამდე, ბოლოების ჩათვლით, ანუ ყველაფერი დადებითი მთელი რიცხვი პასუხები.

რიცხვების N ნაკრები შეიძლება იყოს ლუწი ან კენტი. განვიხილოთ უცნაურობის ცნება.

კენტი (ნებისმიერი კენტი რიცხვი მთავრდება 1, 3, 5, 7, 9 რიცხვებში.) ორს აქვს ნაშთი. მაგალითად, 7:2=3.5, 11:2=5.5, 23:2=11.5.

რას ნიშნავს თუნდაც N?

კლასების ნებისმიერი ლუწი ჯამი მთავრდება რიცხვებით: 0, 2, 4, 6, 8. როდესაც ლუწი N იყოფა 2-ზე, ნაშთი არ იქნება, ანუ შედეგი არის მთელი პასუხი. მაგალითად, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

მნიშვნელოვანი! N-ის რიცხვითი სერია არ შეიძლება შედგებოდეს მხოლოდ ლუწი ან კენტი მნიშვნელობებისაგან, რადგან ისინი უნდა მონაცვლეობდნენ: ლუწს ყოველთვის მოსდევს კენტი, შემდეგ ისევ ლუწი და ა.შ.

თვისებები ნ

ყველა სხვა კომპლექტის მსგავსად, N-საც აქვს თავისი, სპეციალური თვისებები. განვიხილოთ N სერიის თვისებები (არა გაფართოებული).

• მნიშვნელობა, რომელიც არის ყველაზე პატარა და რომელიც სხვას არ მოსდევს, არის ერთი.
• N წარმოადგენს თანმიმდევრობას, ანუ ერთს ბუნებრივი ღირებულება მეორეს მოსდევს(გარდა ერთისა - პირველია).
• როდესაც ჩვენ ვასრულებთ გამოთვლით ოპერაციებს N ციფრებისა და კლასების ჯამებზე (დამატება, გამრავლება), მაშინ პასუხი ყოველთვის ბუნებრივად გამოდისმნიშვნელობა.
• პერმუტაცია და კომბინაცია შეიძლება გამოყენებულ იქნას გამოთვლებში.
• ყოველი მომდევნო მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს წინაზე ნაკლები. ასევე N სერიაში მოქმედებს შემდეგი კანონი: თუ A რიცხვი B-ზე ნაკლებია, მაშინ რიცხვთა სერიებში ყოველთვის იქნება C, რომლის ტოლობაც მოქმედებს: A+C=B.
• თუ ავიღებთ ორ ბუნებრივ გამოსახულებას, მაგალითად A და B, მაშინ ერთ-ერთი გამონათქვამი მათთვის იქნება ჭეშმარიტი: A = B, A მეტია B-ზე, A ნაკლებია B-ზე.
• თუ A არის B-ზე ნაკლები, ხოლო B ნაკლებია C-ზე, მაშინ გამოდის, რომ რომ A არის C-ზე ნაკლები.
• თუ A ნაკლებია B-ზე, მაშინ გამოდის, რომ: თუ მათ დავუმატებთ ერთსა და იმავე გამოსახულებას (C), მაშინ A + C ნაკლებია B + C-ზე. ასევე მართალია, რომ თუ ეს მნიშვნელობები მრავლდება C-ზე, მაშინ AC ნაკლებია ვიდრე AB.
• თუ B მეტია A-ზე, მაგრამ ნაკლებია ვიდრე C, მაშინ: B-A ნაკლების-ა.

ყურადღება!ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი უტოლობა ასევე მოქმედებს საპირისპირო მიმართულებით.

რა ჰქვია გამრავლების კომპონენტებს?

ბევრ მარტივ და თუნდაც რთულ პრობლემაში პასუხის პოვნა დამოკიდებულია სტუდენტების უნარებზე

მეხუთე საუკუნეში ძვ.წ ძველი ბერძენი ფილოსოფოსიზენონ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია "აქილევსი და კუს" აპორია. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით უკან არის. იმ დროის განმავლობაში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას ნაბიჯს გარბის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი ვერასდროს დაეწია კუს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, ჰილბერტი... ყველა ასე თუ ისე განიხილავდა ზენონის აპორიას. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... დისკუსიები დღემდე გრძელდება სამეცნიერო საზოგადოებამ პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე მისვლა... საკითხის შესწავლაში ჩაერთო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები; ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა..."[ვიკიპედია, "ზენონის აპორია". ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რისგან შედგება მოტყუება.

მათემატიკური თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა რაოდენობიდან . ეს გადასვლა გულისხმობს განაცხადს მუდმივის ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციიდან გამომდინარე, ვაკეთებთ დროის მუდმივ ერთეულებს საპასუხო მნიშვნელობაზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრული გაჩერებაიმ მომენტში, როცა აქილევსი კუს აღწევს. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ ასწრებს კუს.

თუ ჩვენ ჩვეულ ლოგიკას შევაბრუნებთ, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი კუს უსასრულოდ სწრაფად დაეწევა“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ ორმხრივ ერთეულებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუს ასი ნაბიჯის გადადგმა იმავე მიმართულებით. პირველის ტოლი შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით დაცოცავს. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას "აქილევსი და კუს". ჯერ კიდევ გვიწევს ამ პრობლემის შესწავლა, გადახედვა და გადაჭრა. და გამოსავალი უნდა ვეძებოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. იმის დასადგენად, მოძრაობს თუ არა მანქანა, გჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული ერთი და იგივე წერტილიდან დროის სხვადასხვა წერტილში, მაგრამ თქვენ ვერ განსაზღვრავთ მათგან მანძილს. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, დაგჭირდებათ ორი ფოტო გადაღებული სივრცის სხვადასხვა წერტილიდან დროის ერთ მომენტში, მაგრამ მათგან ვერ განსაზღვრავთ მოძრაობის ფაქტს (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ ). რა მინდა აღვნიშნო განსაკუთრებული ყურადღება, არის ის, რომ ორი წერტილი დროში და ორი წერტილი სივრცეში არის სხვადასხვა რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი უზრუნველყოფენ სხვადასხვა შესაძლებლობებიკვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის ძალიან კარგად არის აღწერილი ვიკიპედიაში. ვნახოთ.

როგორც ხედავთ, „ნაკრებში არ შეიძლება იყოს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მრავალკომპლექტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ ასეთ აბსურდულ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომლებსაც არ აქვთ ინტელექტი სიტყვიდან "სრულიად". მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც ჩვეულებრივი ტრენერები და გვაქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის ქვეშ ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის გამოცდის დროს. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

არ აქვს მნიშვნელობა, როგორ იმალებიან მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, "იგონე, მე სახლში ვარ", უფრო სწორად, "მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს", არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვაძლევთ. ასე რომ, მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ ვითვლით მას მთელ თანხას და ვაწყობთ მას ჩვენს მაგიდაზე სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ვათავსებთ იმავე ნომინალის კუპიურებს. შემდეგ ჩვენ ვიღებთ თითო კუპიურას თითოეული წყობიდან და ვაძლევთ მათემატიკოსს „ხელფასის მათემატიკურ კომპლექტს“. მოდით ავუხსნათ მათემატიკოსს, რომ ის მიიღებს დარჩენილ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როცა დაამტკიცებს, რომ იდენტური ელემენტების გარეშე ნაკრები არ უდრის იდენტური ელემენტების სიმრავლეს. აქედან იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „ეს შეიძლება სხვებზეც გავრცელდეს, ჩემზე კი არა! შემდეგ ისინი დაიწყებენ ჩვენს დარწმუნებას, რომ ერთი და იგივე ნომინალის კუპიურებს განსხვავებული ნომრები აქვთ, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს ერთსა და იმავე ელემენტებად. კარგი, მოდით დავთვალოთ ხელფასები მონეტებში - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი დაიწყებს ფიზიკის გაბრაზებულ გახსენებას: არსებობს სხვადასხვა მონეტებზე სხვადასხვა რაოდენობითჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და თითოეული მონეტის ატომური განლაგება უნიკალურია...

ახლა კი ყველაზე მეტი მაქვს საინტერესო კითხვა: სად არის ხაზი, რომლის მიღმაც მრავალსიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქ ტყუილთან ახლოსაც არ არის.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების არეები იგივეა - რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ თუ გადავხედავთ იმავე სტადიონების სახელებს, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთი და იგივე ნაკრები არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რომელია სწორი? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შარფისტი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტის ან მულტისეტის შესახებ. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არ წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ამიტომ არიან ისინი შამანები, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრების ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლის საშუალებითაც შესაძლებელი იქნება ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნა. ბოლოს და ბოლოს, რიცხვები არის გრაფიკული სიმბოლოები, რომლებითაც ჩვენ ვწერთ ციფრებს და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი, რომელიც წარმოადგენს ნებისმიერ რიცხვს“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანები ამას ადვილად ახერხებენ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. და მაშ, გვექნება ნომერი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ გრაფიკული რიცხვის სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთ მიღებულ სურათს ვჭრით რამდენიმე სურათად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ რიცხვებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ცალკეული გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. დაამატეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ ნასწავლი „ჭრის და კერვის კურსები“, რომლებსაც მათემატიკოსები იყენებენ. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკური თვალსაზრისით, არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, შიგნით სხვადასხვა სისტემებიგამოთვლაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია ნომრის მარჯვნივ. თან დიდი რაოდენობა 12345 არ მინდა ჩემი თავის მოტყუება, მოდით გადავხედოთ 26 ნომერს სტატიიდან შესახებ. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ შევხედავთ ყოველ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობი მეტრებში და სანტიმეტრებში რომ განსაზღვროთ, სრულიად განსხვავებულ შედეგებს მიიღებ.

ნული ერთნაირად გამოიყურება ყველა რიცხვთა სისტემაში და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ. კითხვა მათემატიკოსებისთვის: როგორ არის მითითებული მათემატიკაში რაღაც, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის არაფერი არსებობს რიცხვების გარდა? მე შემიძლია ეს დავუშვა შამანებს, მაგრამ არა მეცნიერებს. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე სიდიდის სხვადასხვა საზომი ერთეულებით ერთი და იგივე ქმედებები იწვევს სხვადასხვა შედეგებიმათი შედარების შემდეგ, ეს ნიშნავს, რომ მათემატიკასთან არაფერი აქვს საერთო.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს ხდება მაშინ, როდესაც მათემატიკური ოპერაციის შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის ზომაზე, გამოყენებულ საზომ ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ლაბორატორია სულთა არაფილური სიწმინდის შესასწავლად ზეცად ამაღლების დროს! ჰალო თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

მდედრობითი სქესის... ჰალო ზევით და ისარი ქვევით არის მამრობითი.

თუ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე გაბრწყინდება,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად იპოვნეთ უცნაური ხატი თქვენს მანქანაში:

პირადად მე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი გამონაყარ ადამიანში (ერთი სურათი) (კომპოზიცია რამდენიმე სურათისგან: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, ხარისხის აღნიშვნა). და მე არ მგონია, რომ ეს გოგო არის სულელი, რომელმაც არ იცის ფიზიკა. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის ძლიერი სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის თექვსმეტობითი აღნიშვნებით „მოცურავი კაცი“ ან რიცხვი „ოცდაექვსი“. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

ნატურალური რიცხვები ერთ-ერთი უძველესი მათემატიკური ცნებაა.

შორეულ წარსულში ადამიანებმა არ იცოდნენ რიცხვები და როცა სჭირდებოდათ საგნების დათვლა (ცხოველები, თევზები და ა.შ.), ამას სხვანაირად აკეთებდნენ ვიდრე ჩვენ ახლა.

საგნების რაოდენობა შეადარეს სხეულის ნაწილებს, მაგალითად, ხელზე თითებით და თქვეს: „იმდენი კაკალი მაქვს, რამდენი თითი მაქვს ხელზე“.

დროთა განმავლობაში ხალხი მიხვდა, რომ ხუთი თხილი, ხუთი თხა და ხუთი კურდღელი აქვს საერთო საკუთრება- მათი რიცხვი ხუთია.

გახსოვდეს!

ნატურალური რიცხვები- ეს არის რიცხვები, დაწყებული 1-დან, მიღებული ობიექტების დათვლით.

1, 2, 3, 4, 5…

ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი — 1 .

ყველაზე დიდი ბუნებრივი რიცხვიარ არსებობს.

დათვლისას რიცხვი ნული არ გამოიყენება. ამიტომ ნული არ ითვლება ნატურალურ რიცხვად.

ადამიანებმა რიცხვების წერა გაცილებით გვიან ისწავლეს, ვიდრე დათვლა. უპირველეს ყოვლისა, მათ დაიწყეს ერთი ჯოხით გამოსახვა, შემდეგ ორი ჯოხით - ნომერი 2, სამით - ნომერი 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

შემდეგ გამოჩნდა სპეციალური ნიშნები რიცხვების აღსანიშნავად - თანამედროვე ნომრების წინამორბედები. რიცხვები, რომლებსაც ჩვენ ვიყენებთ რიცხვების დასაწერად, წარმოიშვა ინდოეთში დაახლოებით 1500 წლის წინ. არაბებმა ისინი ევროპაში ჩამოიყვანეს, რის გამოც ეძახიან არაბული ციფრები.

სულ ათი რიცხვია: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ამ რიცხვების გამოყენებით შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი.

გახსოვდეს!

ნატურალური სერიაარის ყველა ნატურალური რიცხვის მიმდევრობა:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

ბუნებრივ სერიაში თითოეული რიცხვი წინაზე მეტია 1-ით.

ბუნებრივი რიგი უსასრულოა, მასში უდიდესი ბუნებრივი რიცხვი არ არის.

დათვლის სისტემას, რომელსაც ჩვენ ვიყენებთ, ეწოდება ათობითი პოზიციური.

ათწილადი, რადგან თითოეული ციფრის 10 ერთეული ქმნის ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრის 1 ერთეულს. პოზიციური, რადგან ციფრის მნიშვნელობა დამოკიდებულია მის ადგილს რიცხვთა ჩანაწერში, ანუ ციფრზე, რომელშიც ის წერია.

მნიშვნელოვანი!

მილიარდის შემდეგ კლასები დასახელებულია რიცხვების ლათინური სახელების მიხედვით. ყოველი მომდევნო ერთეული შეიცავს ათას წინა ერთეულს.

• 1,000 მილიარდი = 1,000,000,000,000 = 1 ტრილიონი („სამი“ ლათინურად ნიშნავს „სამი“)
• 1,000 ტრილიონი = 1,000,000,000,000,000 = 1 კვადრილიონი („quadra“ ლათინურად ნიშნავს „ოთხს“)
• 1,000 კვადრილონი = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 კვინტილიონი („quinta“ ლათინური ნიშნავს „ხუთს“)

თუმცა, ფიზიკოსებმა აღმოაჩინეს რიცხვი, რომელიც აღემატება ყველა ატომის (მატერიის უმცირესი ნაწილაკების) რაოდენობას მთელ სამყაროში.

ამ ნომერმა მიიღო სპეციალური სახელი - გუგოლი. Googol არის რიცხვი 100 ნულით.

ნატურალური რიცხვები და მათი თვისებები

ბუნებრივი რიცხვები გამოიყენება ცხოვრებაში ობიექტების დასათვლელად. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის ჩაწერისას გამოიყენება რიცხვები $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

ნატურალური რიცხვების თანმიმდევრობა, ყოველი შემდეგი რიცხვი, რომელშიც 1$ მეტია წინაზე, ქმნის ბუნებრივ სერიას, რომელიც იწყება ერთით (რადგან ერთი ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვია) და არ აქვს უმაღლესი ღირებულება, ე.ი. უსასრულო.

ნული არ ითვლება ნატურალურ რიცხვად.

მემკვიდრეობითი ურთიერთობის თვისებები

ნატურალური რიცხვების ყველა თვისება და მათზე მოქმედებები გამომდინარეობს მემკვიდრეობითი ურთიერთობების ოთხი თვისებიდან, რომლებიც ჩამოყალიბდა 1891 წელს დ. პეანოს მიერ:

ერთი არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც არცერთ ბუნებრივ რიცხვს არ მოსდევს.

თითოეულ ნატურალურ რიცხვს მოსდევს ერთი და მხოლოდ ერთი რიცხვი

$1$-ის გარდა ყოველი ბუნებრივი რიცხვი მიჰყვება ერთ და მხოლოდ ერთ ნატურალურ რიცხვს

ნატურალური რიცხვების ქვესიმრავლე, რომელიც შეიცავს რიცხვს $1$ და თითოეულ რიცხვთან ერთად მის შემდეგ რიცხვს შეიცავს ყველა ნატურალურ რიცხვს.

თუ ნატურალური რიცხვის ჩანაწერი შედგება ერთი ციფრისგან, მას უწოდებენ ერთნიშნა (მაგალითად, $2,6.9$ და ა.შ.), თუ ჩანაწერი შედგება ორი ციფრისგან, მას ორნიშნა (მაგალითად, $12). ,18,45$) და ა.შ. ანალოგიით. ორნიშნა, სამნიშნა, ოთხნიშნა და ა.შ. მათემატიკაში რიცხვებს მრავალმნიშვნელოვანს უწოდებენ.

ნატურალური რიცხვების შეკრების თვისება

კომუტაციური თვისება: $a+b=b+a$

თანხა არ იცვლება ტერმინების გადაკეთებისას

კომბინირებული თვისება: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

რიცხვს ორი რიცხვის ჯამის დასამატებლად, ჯერ შეგიძლიათ დაამატოთ პირველი წევრი, შემდეგ კი მიღებულ ჯამს დაუმატოთ მეორე წევრი.

ნულის მიმატებით რიცხვს არ ცვლის და თუ რომელიმე რიცხვს დაუმატებთ ნულს, მიიღებთ დამატებულ რიცხვს.

გამოკლების თვისებები

რიცხვიდან ჯამის გამოკლების თვისება $a-(b+c) =a-b-c$ თუ $b+c ≤ a$

რიცხვს ჯამის გამოკლების მიზნით, შეგიძლიათ ჯერ გამოაკლოთ პირველი წევრი ამ რიცხვს, შემდეგ კი მეორე წევრი, შედეგად სხვაობას.

რიცხვის გამოკლების თვისება ჯამიდან $(a+b) -c=a+(b-c)$ თუ $c ≤ b$

ჯამს რომ გამოვაკლოთ რიცხვი, შეგიძლიათ გამოაკლოთ იგი ერთ წევრს და მიღებულ განსხვავებას დაუმატოთ მეორე წევრი.

თუ რიცხვს გამოაკლებ ნულს, რიცხვი არ შეიცვლება

თუ მას გამოაკლებთ თავად რიცხვს, მიიღებთ ნულს

გამრავლების თვისებები

კომუნიკაბელური $a\cdot b=b\cdot a$

ორი რიცხვის ნამრავლი არ იცვლება ფაქტორების გადალაგებისას

კავშირები $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

რიცხვის გასამრავლებლად ორი რიცხვის ნამრავლზე, შეგიძლიათ ჯერ გაამრავლოთ ის პირველ ფაქტორზე, შემდეგ კი მიღებული ნამრავლი გაამრავლოთ მეორე ფაქტორზე.

ერთზე გამრავლებისას ნამრავლი არ იცვლება $m\cdot 1=m$

ნულზე გამრავლებისას ნამრავლი არის ნული

როდესაც პროდუქტის აღნიშვნაში არ არის ფრჩხილები, გამრავლება ხდება მარცხნიდან მარჯვნივ

გამრავლების თვისებები შეკრებასთან და გამოკლებასთან მიმართებაში

შეკრების მიმართ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

ჯამის რიცხვზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ თითოეული წევრი გაამრავლოთ ამ რიცხვზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია

მაგალითად, $5(x+y)=5x+5y$

გამრავლების გამანაწილებელი თვისება გამოკლებასთან მიმართებაში

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

იმისათვის, რომ სხვაობა გავამრავლოთ რიცხვზე, გავამრავლოთ minuend და subtrahend ამ რიცხვზე და გამოვაკლოთ მეორე პირველ ნამრავლს.

მაგალითად, $5(x-y)=5x-5y$

ნატურალური რიცხვების შედარება

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის $a$ და $b$, სამი მიმართულებიდან მხოლოდ ერთი შეიძლება დაკმაყოფილდეს: $a=b$, $a

რიცხვი, რომელიც უფრო ადრე ჩნდება ბუნებრივ სერიებში, ითვლება უფრო მცირე, ხოლო რიცხვი, რომელიც გამოჩნდება უფრო დიდი. ნული ნაკლებია ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვზე.

მაგალითი 1

შეადარეთ რიცხვები $a$ და $555$, თუ ცნობილია, რომ არსებობს გარკვეული რიცხვი $b$ და მოქმედებს შემდეგი მიმართებები: $a

გამოსავალი: მითითებულ ქონებაზე დაყრდნობით, რადგან $a პირობით

ნატურალური რიცხვების ნებისმიერ ქვეჯგუფში, რომელიც შეიცავს მინიმუმ ერთ რიცხვს, არის უმცირესი რიცხვი

მათემატიკაში ქვესიმრავლე არის სიმრავლის ნაწილი. ნათქვამია, რომ სიმრავლე არის მეორის ქვესიმრავლე, თუ ქვესიმრავლის თითოეული ელემენტი ასევე არის უფრო დიდი სიმრავლის ელემენტი

ხშირად რიცხვების შესადარებლად პოულობენ მათ განსხვავებას და ადარებენ ნულს. თუ სხვაობა $0$-ზე მეტია, მაგრამ პირველი რიცხვი მეტია მეორეზე, თუ სხვაობა $0$-ზე ნაკლებია, მაშინ პირველი რიცხვი ნაკლებია მეორეზე.

ნატურალური რიცხვების დამრგვალება

როდესაც სრული სიზუსტე არ არის საჭირო ან შეუძლებელია, რიცხვები მრგვალდება, ანუ ისინი ჩანაცვლებულია ახლო რიცხვებით, ბოლოში ნულებით.

ნატურალური რიცხვები მრგვალდება ათეულებად, ასეულებად, ათასამდე და ა.შ.

რიცხვის ათეულებად დამრგვალებისას მას ცვლის მთელი ათეულებისაგან შემდგარი უახლოესი რიცხვით; ასეთ რიცხვს აქვს ციფრი $0$ ერთეულების ადგილზე

რიცხვის უახლოეს ასეულამდე დამრგვალებისას ის იცვლება მთელი ასეულებისგან შემდგარი უახლოესი რიცხვით; ასეთ რიცხვს უნდა ჰქონდეს ციფრი $0$ ათეულებში და ერთეულებში. და ა.შ.

ციფრებს, რომლებზეც ეს დამრგვალებულია, მითითებული ციფრების სიზუსტით უწოდებენ რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობას, მაგალითად, თუ თქვენ დაარგებთ რიცხვს $564$ ათეულამდე, აღმოვაჩენთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაამრგვალოთ იგი და მიიღოთ $560$, ან. ჭარბით და მიიღეთ $570$.

ნატურალური რიცხვების დამრგვალების წესი

თუ იმ ციფრის მარჯვნივ, რომელზეც მრგვალდება რიცხვი, არის ციფრი $5$ ან $5$-ზე მეტი ციფრი, მაშინ ამ ციფრის ციფრს ემატება $1$; წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს მაჩვენებელი უცვლელი რჩება

ყველა ციფრი, რომელიც მდებარეობს იმ ციფრის მარჯვნივ, რომელზეც მრგვალდება რიცხვი, იცვლება ნულებით