პროცენტებთან დაკავშირებული პრობლემები: სტანდარტული გაანგარიშება პროპორციების გამოყენებით.

§ 125. პროპორციის ცნება.

პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა. აქ მოცემულია თანასწორობის მაგალითები, რომლებსაც პროპორციები ეწოდება:

შენიშვნა. პროპორციებში რაოდენობების სახელები არ არის მითითებული.

პროპორციები ჩვეულებრივ იკითხება შემდეგნაირად: 2 არის 1-ის მიმართ (ერთეული), როგორც 10 არის 5-ის მიმართ (პირველი პროპორცია). შეგიძლიათ სხვაგვარად წაიკითხოთ, მაგალითად: 2 არის იმდენჯერ მეტი 1-ზე, რამდენჯერ არის 10-ით მეტი 5-ზე. მესამე პროპორცია შეიძლება ასე წაიკითხოთ: - 0,5 არის იმდენჯერ ნაკლები 2-ზე, რამდენჯერ არის 0,75. 3-ზე ნაკლებია.

პროპორციაში შემავალი რიცხვები ეძახიან პროპორციის წევრები. ეს ნიშნავს, რომ პროპორცია შედგება ოთხი ტერმინისგან. პირველ და ბოლო წევრებს, ანუ კიდეებზე მდგარ წევრებს უწოდებენ უკიდურესი, და შუაში მდებარე პროპორციის ტერმინებს უწოდებენ საშუალოდწევრები. ეს ნიშნავს, რომ პირველ პროპორციაში რიცხვები 2 და 5 იქნება უკიდურესი წევრები, ხოლო რიცხვები 1 და 10 იქნება პროპორციის შუა რიცხვები.

§ 126. პროპორციის მთავარი თვისება.

განვიხილოთ პროპორცია:

ცალ-ცალკე გავამრავლოთ მისი უკიდურესი და საშუალო ტერმინები. უკიდურესობების ნამრავლია 6 4 = 24, შუა რიცხვების ნამრავლი არის 3 8 = 24.

განვიხილოთ სხვა პროპორცია: 10: 5 = 12: 6. აქაც ცალ-ცალკე გავამრავლოთ უკიდურესი და შუა რიცხვები.

უკიდურესი 10 6 = 60 ნამრავლი, შუა 5 12 = 60 ნამრავლი.

პროპორციის მთავარი თვისება: პროპორციის უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის მისი შუა წევრთა ნამრავლს.

IN ზოგადი ხედიპროპორციის ძირითადი თვისება იწერება შემდეგნაირად: რეკლამა = ძვ .

მოდით შევამოწმოთ რამდენიმე პროპორციით:

1) 12: 4 = 30: 10.

ეს პროპორცია სწორია, რადგან თანაფარდობები, საიდანაც იგი შედგება. ამავდროულად, პროპორციის უკიდურესი წევრთა ნამრავლის (12 10) და მისი შუა წევრთა ნამრავლის (4 30) ნამრავლის აღებით დავინახავთ, რომ ისინი ერთმანეთის ტოლია, ე.ი.

12 10 = 4 30.

2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6

პროპორცია სწორია, რომლის შემოწმება მარტივია პირველი და მეორე შეფარდების გამარტივებით. პროპორციის ძირითადი თვისება მიიღებს ფორმას:

1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20

ძნელი არ არის იმის გადამოწმება, რომ თუ დავწერთ ტოლობას, რომელშიც მარცხენა მხარეს არის ორი რიცხვის ნამრავლი, ხოლო მარჯვენა მხარეს ორი სხვა რიცხვის ნამრავლი, მაშინ პროპორცია შეიძლება გაკეთდეს ამ ოთხი რიცხვიდან.

მოდით გვქონდეს ტოლობა, რომელიც მოიცავს ოთხ რიცხვს გამრავლებულ წყვილებში:

ეს ოთხი რიცხვი შეიძლება იყოს პროპორციის წევრი, რომლის დაწერა არ არის რთული, თუ პირველ ნამრავლს ავიღებთ უკიდურესი წევრების ნამრავლად, ხოლო მეორეს, როგორც შუა რიცხვების ნამრავლს. გამოქვეყნებული თანასწორობა შეიძლება შედგენილი იყოს, მაგალითად, შემდეგ პროპორციულად:

ზოგადად, თანასწორობიდან რეკლამა = ძვ შემდეგი პროპორციების მიღება შესაძლებელია:

გააკეთეთ შემდეგი სავარჯიშო თავად. ორი წყვილი რიცხვის ნამრავლის გათვალისწინებით დაწერეთ თითოეული ტოლობის შესაბამისი პროპორცია:

ა) 1 6 = 2 3;

ბ) 2 15 = ბ 5.

§ 127. პროპორციის უცნობი პირობების გამოთვლა.

პროპორციის ძირითადი თვისება საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პროპორციის რომელიმე პირობა, თუ ის უცნობია. ავიღოთ პროპორცია:

X : 4 = 15: 3.

ამ პროპორციით ერთი უკიდურესი წევრი უცნობია. ჩვენ ვიცით, რომ ნებისმიერი პროპორციით უკიდურესი წევრთა ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს. ამის საფუძველზე შეგვიძლია დავწეროთ:

x 3 = 4 15.

4-ზე 15-ზე გამრავლების შემდეგ, ჩვენ შეგვიძლია გადავიწეროთ ეს განტოლება შემდეგნაირად:

X 3 = 60.

განვიხილოთ ეს თანასწორობა. მასში პირველი ფაქტორი უცნობია, მეორე ფაქტორი ცნობილია და პროდუქტი ცნობილია. ვიცით, რომ უცნობი ფაქტორის საპოვნელად საკმარისია პროდუქტის სხვა (ცნობილ) ფაქტორზე გაყოფა. მერე გამოვა:

X = 60:3, ან X = 20.

შევამოწმოთ ნაპოვნი შედეგი 20 რიცხვის ნაცვლად X ამ პროპორციით:

პროპორცია სწორია.

მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა მოქმედებები უნდა შეგვესრულებინა პროპორციის უცნობი უკიდურესი წევრის გამოსათვლელად. პროპორციის ოთხი ტერმინიდან ჩვენთვის მხოლოდ უკიდურესი იყო უცნობი; ცნობილი იყო შუა ორი და მეორე უკიდურესი. პროპორციის უკიდურესი წევრის საპოვნელად, ჯერ გავამრავლეთ შუა რიცხვები (4 და 15), შემდეგ კი აღმოჩენილი ნამრავლი გავყავით ცნობილ უკიდურეს წევრზე. ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ მოქმედებები არ შეიცვლებოდა, პროპორციის სასურველი უკიდურესი ვადა რომ არ ყოფილიყო პირველ ადგილზე, არამედ ბოლოში. ავიღოთ პროპორცია:

70: 10 = 21: X .

ჩამოვწეროთ პროპორციის მთავარი თვისება: 70 X = 10 21.

10 და 21 რიცხვების გამრავლებით, ჩვენ ვწერთ ტოლობას შემდეგნაირად:

70 X = 210.

აქ ერთი ფაქტორი უცნობია მის გამოსათვლელად, საკმარისია პროდუქტის (210) გაყოფა სხვა კოეფიციენტზე (70);

X = 210: 70; X = 3.

ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ პროპორციის ყოველი უკიდურესი წევრი უდრის საშუალოების ნამრავლს გაყოფილი მეორე უკიდურესობაზე.

ახლა გადავიდეთ უცნობი საშუალო ვადის გამოთვლაზე. ავიღოთ პროპორცია:

30: X = 27: 9.

მოდით დავწეროთ პროპორციის მთავარი თვისება:

30 9 = X 27.

გამოვთვალოთ 30-ის ნამრავლი 9-ზე და გადავალაგოთ ბოლო ტოლობის ნაწილები:

X 27 = 270.

მოდი ვიპოვოთ უცნობი ფაქტორი:

X = 270:27, ან X = 10.

მოდით შევამოწმოთ ჩანაცვლებით:

30:10 = 27:9 პროპორცია სწორია.

ავიღოთ სხვა პროპორცია:

12: b = X : 8. დავწეროთ პროპორციის მთავარი თვისება:

12 . 8 = 6 X . 12-ისა და 8-ის გამრავლებით და ტოლობის ნაწილების გადალაგებით მივიღებთ:

6 X = 96. იპოვეთ უცნობი ფაქტორი:

X = 96:6, ან X = 16.

ამრიგად, პროპორციის თითოეული შუა წევრი უდრის მეორე შუაზე გაყოფილი უკიდურესობების ნამრავლს.

იპოვეთ შემდეგი პროპორციების უცნობი ტერმინები:

1) ა : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = x : 5;

2) 8: ბ = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .

ბოლო ორი წესი შეიძლება დაიწეროს ზოგადი ფორმით შემდეგნაირად:

1) თუ პროპორცია ასე გამოიყურება:

x: a = b: c , ეს

2) თუ პროპორცია ასე გამოიყურება:

a: x = b: c , ეს

§ 128. პროპორციის გამარტივება და მისი პირობების გადალაგება.

ამ განყოფილებაში ჩვენ გამოვიყვანთ წესებს, რომლებიც საშუალებას მოგვცემს გავამარტივოთ პროპორცია იმ შემთხვევაში, როდესაც ის მოიცავს დიდი რიცხვებიან წილადი ტერმინები. გარდაქმნები, რომლებიც არ არღვევენ პროპორციას, მოიცავს შემდეგს:

1. ნებისმიერი თანაფარდობის ორივე წევრის ერთდროული ზრდა ან შემცირება ერთსა და იმავე რაოდენობის ჯერ.

მაგალითი 40:10 = 60:15.

პირველი თანაფარდობის ორივე წევრის 3-ჯერ გამრავლებით, მივიღებთ:

120:30 = 60: 15.

პროპორცია არ დაირღვა.

მეორე თანაფარდობის ორივე წევრის 5-ჯერ შემცირება, მივიღებთ:

ისევ სწორი პროპორცია მივიღეთ.

2. ორივე წინა ან ორივე მომდევნო ტერმინის ერთდროული ზრდა ან შემცირება ერთსა და იმავე ოდენობით.

მაგალითი. 16:8 = 40:20.

გავაორმაგოთ ორივე ურთიერთობის წინა პირობა:

ჩვენ მივიღეთ სწორი პროპორცია.

მოდით შევამციროთ ორივე ურთიერთობის შემდეგი ტერმინები 4-ჯერ:

პროპორცია არ დაირღვა.

მიღებული ორი დასკვნა შეიძლება მოკლედ ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: პროპორცია არ დაირღვევა, თუ ერთდროულად გავზრდით ან შევამცირებთ პროპორციის რომელიმე უკიდურეს წევრს და რომელიმე შუას.

მაგალითად, 16:8 = 40:20 პროპორციის 1-ლი უკიდურესი და მე-2 შუა რიცხვების 4-ჯერ შემცირება, მივიღებთ:

3. პროპორციის ყველა პირობის ერთდროული ზრდა ან შემცირება ერთსა და იმავე ოდენობით. მაგალითი. 36:12 = 60:20. გავზარდოთ ოთხივე რიცხვი 2-ჯერ:

პროპორცია არ დაირღვა. შევამციროთ ოთხივე რიცხვი 4-ჯერ:

პროპორცია სწორია.

ჩამოთვლილი გარდაქმნები შესაძლებელს ხდის, პირველ რიგში, პროპორციების გამარტივებას და მეორეც, მათ გათავისუფლებას წილადი ტერმინებისგან. მოვიყვანოთ მაგალითები.

1) იყოს პროპორცია:

200: 25 = 56: x .

მასში პირველი თანაფარდობის წევრები შედარებით დიდი რიცხვია და თუ გვინდოდა ვიპოვოთ მნიშვნელობა X , მაშინ ამ ციფრებზე გამოთვლების გაკეთება მოგვიწევდა; მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ პროპორცია არ დაირღვევა, თუ თანაფარდობის ორივე წევრი იყოფა ერთ რიცხვზე. მოდით გავყოთ თითოეული მათგანი 25-ზე. პროპორცია მიიღებს ფორმას:

8:1 = 56: x .

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ უფრო მოსახერხებელი პროპორცია, საიდანაც X შეიძლება მოიძებნოს გონებაში:

2) ავიღოთ პროპორცია:

2: 1 / 2 = 20: 5.

ამ პროპორციაში არის წილადი ტერმინი (1/2), რომლისგანაც შეგიძლიათ თავის დაღწევა. ამისათვის თქვენ მოგიწევთ ამ ტერმინის გამრავლება, მაგალითად, 2-ზე. მაგრამ ჩვენ არ გვაქვს უფლება გავზარდოთ პროპორციის ერთი საშუალო წევრი; საჭიროა მასთან ერთად ერთ-ერთი უკიდურესი წევრის გაზრდა; მაშინ პროპორცია არ დაირღვევა (პირველი ორი პუნქტიდან გამომდინარე). მოდით გავზარდოთ პირველი უკიდურესი ტერმინები

(2 2) : (2 1/2) = 20:5, ან 4:1 = 20:5.

მოდით გავზარდოთ მეორე უკიდურესი წევრი:

2: (2 1/2) = 20: (2 5), ან 2: 1 = 20: 10.

მოდით შევხედოთ პროპორციების წილადებისგან გათავისუფლების კიდევ სამ მაგალითს.

მაგალითი 1. 1 / 4: 3 / 8 = 20:30.

მოდით მივიყვანოთ წილადები საერთო მნიშვნელთან:

2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.

გავამრავლოთ პირველი თანაფარდობის ორივე წევრი 8-ზე, მივიღებთ:

მაგალითი 2. 12: 15 / 14 = 16: 10 / 7. მოდით მივიყვანოთ წილადები საერთო მნიშვნელთან:

12: 15 / 14 = 16: 20 / 14

გავამრავლოთ ორივე მომდევნო წევრი 14-ზე, მივიღებთ: 12:15 = 16:20.

მაგალითი 3. 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6.

მოდით გავამრავლოთ პროპორციის ყველა წევრი 48-ზე:

24: 1 = 960: 40.

პრობლემების გადაჭრისას, რომლებშიც ხდება გარკვეული პროპორციები, ხშირად საჭიროა პროპორციის პირობების გადალაგება სხვადასხვა მიზნებისთვის. მოდით განვიხილოთ რომელი პერმუტაციებია ლეგალური, ანუ არ არღვევენ პროპორციებს. ავიღოთ პროპორცია:

3: 5 = 12: 20. (1)

მასში უკიდურესი ტერმინების გადალაგებით, ჩვენ ვიღებთ:

20: 5 = 12:3. (2)

ახლა მოდით გადავაწყოთ შუა ტერმინები:

3:12 = 5: 20. (3)

მოდით გადავაწყოთ ორივე უკიდურესი და საშუალო ტერმინები ერთდროულად:

20: 12 = 5: 3. (4)

ყველა ეს პროპორცია სწორია. ახლა პირველი მიმართება მეორის ადგილზე დავდოთ, მეორე კი პირველის ადგილზე. თქვენ მიიღებთ პროპორციას:

12: 20 = 3: 5. (5)

ამ პროპორციით ჩვენ გავაკეთებთ იგივე გადალაგებებს, რაც ადრე გავაკეთეთ, ანუ ჯერ გადავაწყობთ უკიდურეს ტერმინებს, შემდეგ შუა და ბოლოს ორივე უკიდურესობას და შუაში ერთდროულად. თქვენ მიიღებთ კიდევ სამ პროპორციას, რომელიც ასევე სამართლიანი იქნება:

5: 20 = 3: 12. (6)

12: 3 = 20: 5. (7)

5: 3 = 20: 12. (8)

ასე რომ, ერთი მოცემული პროპორციიდან, გადალაგებით, შეგიძლიათ მიიღოთ კიდევ 7 პროპორცია, რაც ამ ერთთან ერთად ქმნის 8 პროპორციას.

ყველა ამ პროპორციის მართებულობის აღმოჩენა განსაკუთრებით ადვილია ასოებით წერისას. ზემოთ მიღებულ 8 პროპორციას აქვს ფორმა:

a: b = c: d; გ: დ = ა: ბ;

d: b = c: a; b:d = a:c;

a: c = b: d; c: a = d: b;

d: c = b: a; ბ: ა = დ: გ.

ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეულ ამ პროპორციებში მთავარი თვისება იღებს ფორმას:

რეკლამა = ძვ.

ამრიგად, ეს პერმუტაციები არ არღვევს პროპორციის სამართლიანობას და მათი გამოყენება შესაძლებელია საჭიროების შემთხვევაში.

პრობლემა 1. პრინტერის 300 ფურცლის სისქე არის 3,3 სმ. რა სისქის იქნება ერთი და იგივე ქაღალდის 500 ფურცელი?

გამოსავალი.მოდით x სმ იყოს 500 ფურცლის ქაღალდის დასტა. ერთი ფურცლის სისქის დასადგენად ორი გზა არსებობს:

3,3: 300 ან x : 500.

ვინაიდან ქაღალდის ფურცლები ერთნაირია, ეს ორი თანაფარდობა ტოლია. ჩვენ ვიღებთ პროპორციას ( შეხსენება: პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა):

x=(3.3 · 500): 300;

x=5.5. პასუხი:შეკვრა 500 ქაღალდის ფურცლებს აქვს სისქე 5,5 სმ.

ეს არის კლასიკური მსჯელობა და პრობლემის გადაჭრის დიზაინი. ასეთი ამოცანები ხშირად შედის ტესტის დავალებებიკურსდამთავრებულებისთვის, რომლებიც ჩვეულებრივ წერენ გამოსავალს ამ ფორმით:

ან გადაწყვეტენ ზეპირად, ასე მსჯელობენ: თუ 300 ფურცელს აქვს 3,3 სმ სისქე, მაშინ 100 ფურცელს აქვს სისქე 3-ჯერ ნაკლები. გავყოთ 3.3 3-ზე, მივიღოთ 1.1 სმ. ეს არის 100 ფურცლიანი ქაღალდის სისქე. მაშასადამე, 500 ფურცელს ექნება 5-ჯერ მეტი სისქე, ამიტომ 1,1 სმ-ს ვამრავლებთ 5-ზე და ვიღებთ პასუხს: 5,5 სმ.

რა თქმა უნდა, ეს გამართლებულია, რადგან კურსდამთავრებულთა და აპლიკანტთა ტესტირების დრო შეზღუდულია. თუმცა, ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვიმსჯელებთ და დავწერთ გამოსავალს ისე, როგორც ეს უნდა გაკეთდეს 6 კლასი.

დავალება 2.რამდენ წყალს შეიცავს 5 კგ საზამთრო, თუ ცნობილია, რომ საზამთრო 98% წყლისგან შედგება?

გამოსავალი.

საზამთროს მთლიანი მასა (5 კგ) არის 100%. წყალი იქნება x კგ ან 98%. არსებობს ორი გზა იმის დასადგენად, რამდენი კგ არის მასის 1%-ში.

5: 100 ან x : 98. ვიღებთ პროპორციას:

5: 100 = x : 98.

x=(5 · 98): 100;

x=4.9 პასუხი: 5 კგსაზამთრო შეიცავს წყალი 4.9 კგ.

21 ლიტრი ზეთის მასა 16,8 კგ. რამდენია 35 ლიტრი ზეთის მასა?

გამოსავალი.

35 ლიტრი ზეთის მასა იყოს x კგ. შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ 1 ლიტრი ზეთის მასა ორი გზით:

16,8: 21 ან x : 35. ვიღებთ პროპორციას:

16,8: 21=x : 35.

იპოვეთ პროპორციის შუა წევრი. ამისათვის ჩვენ ვამრავლებთ პროპორციის უკიდურეს პირობებს ( 16,8 და 35 ) და გავყოთ ცნობილ საშუალო წევრზე ( 21 ). წილადი შევამციროთ 7 .

გაამრავლე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 10 ისე, რომ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავდეს მხოლოდ ნატურალური რიცხვები. წილადს ვამცირებთ 5 (5 და 10) და შემდეგ 3 (168 და 3).

პასუხი: 35 ლიტრი ზეთი აქვს მასას 28 კგ.

მთელი მინდვრის 82%-ის გათენვის შემდეგ ჯერ კიდევ 9 ჰექტარი იყო დარჩენილი სახნავი. რა არის მთელი ველის ფართობი?

გამოსავალი.

მთელი ველის ფართობი იყოს x ჰექტარი, რაც არის 100%. სახნავად დარჩა 9 ჰექტარი, რაც მთლიანი მინდვრის 100% - 82% = 18%. ჩვენ შეგვიძლია გამოვხატოთ ველის ფართობის 1% ორი გზით. ეს:

X : 100 თუ 9 : 18. ჩვენ ვადგენთ პროპორციას:

X : 100 = 9: 18.

ჩვენ ვპოულობთ პროპორციის უცნობ უკიდურეს ტერმინს. ამისათვის ჩვენ გავამრავლებთ პროპორციის საშუალო პირობებს ( 100 და 9 ) და გავყოთ ცნობილ უკიდურეს ტერმინზე ( 18 ). ჩვენ ვამცირებთ წილადს.

უპასუხე: მთელი ველის ფართობი 50 ჰექტარი.

გვერდი 1 1-დან 1

რიცხვის პროცენტის გამოთვლის შესაძლებლობა, როდესაც უნდა გაარკვიოთ დაგვიანებული საკომისიო, სესხზე ზედმეტად გადახდილი თანხა ან კომპანიის მოგება, თუ ცნობილია მისი ბრუნვა და მარკირება.

• როგორ მოვძებნოთ რიცხვი პროცენტის მიხედვით?

წესი. რიცხვის მითითებულ პროცენტზე საპოვნელად, მოცემული რიცხვი უნდა გაყოთ მოცემულ პროცენტულ მნიშვნელობაზე და შედეგი გაამრავლოთ 100-ზე.

ამ გამოთვლებით ჯერ განვსაზღვრავთ ამ რიცხვის რამდენ ერთეულს შეიცავს 1%, შემდეგ კი მთელ რიცხვში (100%).

მაგალითად:
რიცხვი, რომლის 23% არის 52, გვხვდება ასე:
52: 23 * 100 = 226.1

ეს ნიშნავს, რომ თუ რიცხვი 226.1 უდრის 100%-ს, მაშინ რიცხვი 52 უდრის ამ რიცხვის 23%-ს.

ჩვენ ვპოულობთ რიცხვს, რომლის 125% არის 240 შემდეგნაირად:
240: 125 * 100 = 192.

რიცხვის პროცენტულობით განსაზღვრისას გახსოვდეთ, რომ:

— თუ პროცენტი 100%-ზე ნაკლებია, მაშინ გამოთვლების შედეგად მიღებული რიცხვი აღემატება მითითებულ რაოდენობას (თუ 23%< 100%, то 226,1 > 52);
— თუ პროცენტი 100%-ზე მეტია, მაშინ გამოთვლის შედეგად მიღებული რიცხვი მითითებულ რიცხვზე ნაკლებია (თუ 125% > 100%, მაშინ 192< 240).

ამიტომ, რიცხვის პროცენტულობით გაანგარიშებისას, თვითკონტროლისთვის საჭიროა შეამოწმოთ:

- მდგომარეობაში მითითებული პროცენტი 100%-ზე მეტი ან ნაკლებია;
- გამოთვლის შედეგი არის მოცემულ რიცხვზე მეტი ან ნაკლები.

• როგორ გავარკვიოთ თანხის პროცენტი ზოგად შემთხვევაში?

ამის შემდეგ არის ორი ვარიანტი:

1. თუ გსურთ გაიგოთ, რამდენ პროცენტშია სხვა თანხა ორიგინალიდან, თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ იგი ადრე მიღებულ 1%-ზე.
2. თუ გჭირდებათ თანხა, რომელიც არის, ვთქვათ, ორიგინალის 27,5%, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 1% თანხა პროცენტის საჭირო ოდენობაზე.

• როგორ გამოვთვალოთ თანხის პროცენტი პროპორციის გამოყენებით?

ამისათვის თქვენ მოგიწევთ ცოდნის გამოყენება პროპორციების მეთოდის შესახებ, რომელიც ისწავლება სასკოლო მათემატიკის კურსის ფარგლებში. ეს ასე გამოიყურება:

დავუშვათ A არის ძირითადი თანხა 100%-ის ტოლი და B ოდენობა, რომლის ურთიერთობაც A-სთან პროცენტულად უნდა ვიცოდეთ. ჩვენ ვწერთ პროპორციას:

(X ამ შემთხვევაში არის პროცენტების რაოდენობა).

პროპორციების გაანგარიშების წესების მიხედვით, ვიღებთ შემდეგ ფორმულას:

X = 100 * V / A

თუ თქვენ გჭირდებათ იმის გარკვევა, თუ რამდენი იქნება B თანხა, თუ A თანხის პროცენტების რაოდენობა უკვე ცნობილია, ფორმულა სხვაგვარად გამოიყურება:

B = 100 * X / A

ახლა რჩება მხოლოდ ცნობილი რიცხვების ჩანაცვლება ფორმულაში - და თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ გამოთვლა.

• როგორ გამოვთვალოთ თანხის პროცენტი ცნობილი კოეფიციენტების გამოყენებით?

საბოლოოდ, შეგიძლიათ მეტი გამოიყენოთ მარტივი გზით. ამისათვის უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ 1% როგორც ათობითი არის 0.01. შესაბამისად, 20% არის 0,2; 48% - 0,48; 37,5% არის 0,375 და ა.შ. საკმარისია ორიგინალური თანხა გაამრავლოთ შესაბამის რიცხვზე - და შედეგი მიუთითებს პროცენტის ოდენობაზე.

გარდა ამისა, ზოგჯერ შეგიძლიათ გამოიყენოთ მარტივი წილადები. მაგალითად, 10% არის 0,1, ანუ 1/10, მაშასადამე, იმის გარკვევა, თუ რამდენია 10% მარტივია: თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ საწყისი თანხა 10-ზე.

ასეთი ურთიერთობების სხვა მაგალითები იქნება:

1. 12.5% ​​- 1/8, ანუ თქვენ უნდა გაყოთ 8-ზე;
2. 20% - 1/5, ანუ თქვენ უნდა გაყოთ 5-ზე;
3. 25% - 1/4, ანუ გაყავით 4-ზე;
4. 50% - 1/2, ანუ საჭიროა მისი გაყოფა შუაზე;
5. 75% არის 3/4, ანუ თქვენ უნდა გაყოთ 4-ზე და გაამრავლოთ 3-ზე.

მართალია, ყველა არა მარტივი წილადებიმოსახერხებელი პროცენტის გამოსათვლელად. მაგალითად, 1/3 ზომით ახლოს არის 33%-თან, მაგრამ არა ზუსტად ტოლი: 1/3 არის 33.(3)% (ანუ წილადი უსასრულო სამეულით ათობითი წერტილის შემდეგ).

• როგორ გამოვაკლოთ პროცენტი თანხას კალკულატორის გამოყენების გარეშე?

თუ თქვენ გჭირდებათ უცნობი რიცხვის გამოკლება, რომელიც არის გარკვეული პროცენტი, უკვე ცნობილ რაოდენობას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მეთოდები:

1. გამოთვალეთ უცნობი რიცხვი ერთ-ერთი ზემოაღნიშნული მეთოდით და შემდეგ გამოაკლეთ იგი თავდაპირველს.
2. დაუყონებლივ გამოთვალეთ დარჩენილი თანხა. ამისათვის გამოაკელით 100%-დან იმ პროცენტების რაოდენობა, რომლებიც უნდა გამოკლდეს და მიღებული შედეგი გადააკეთოთ პროცენტიდან რიცხვში ზემოთ აღწერილი რომელიმე მეთოდის გამოყენებით.

მეორე მაგალითი უფრო მოსახერხებელია, ასე რომ, მოდით ილუსტრაციით. ვთქვათ, უნდა გავარკვიოთ რამდენი დაგვრჩენია, თუ 16%-ს გამოვაკლებთ 4779-ს. გაანგარიშება იქნება ასეთი:

1. 100-ს გამოვაკლებთ 16-ს (პროცენტის საერთო რაოდენობას ვიღებთ 84-ს).
2. ჩვენ ვიანგარიშებთ რამდენია 4779-დან 84% ვიღებთ 4014.36.

• როგორ გამოვთვალოთ (გამოვაკლოთ) პროცენტი თანხიდან კალკულატორით ხელში?

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი გამოთვლა უფრო ადვილია კალკულატორის გამოყენებით. ის შეიძლება იყოს ცალკე მოწყობილობის სახით ან სპეციალური პროგრამის სახით კომპიუტერზე, სმარტფონზე ან ჩვეულებრივ მობილურ ტელეფონზე (ამჟამად გამოყენებული უძველეს მოწყობილობებსაც კი ჩვეულებრივ აქვთ ეს ფუნქცია). მათი დახმარებით კითხვა როგორ გამოვთვალოთ პროცენტი თანხიდან,გამოსავალი ძალიან მარტივია:

1. თავდაპირველი თანხა გროვდება.
2. "-" ნიშანი დაჭერილია.
3. შეიყვანეთ პროცენტების რაოდენობა, რომლის გამოკლებაც გსურთ.
4. "%" ნიშანი დაჭერილია.
5. "=" ნიშანი დაჭერილია.

შედეგად, ეკრანზე ნაჩვენებია საჭირო ნომერი.

• როგორ გამოვაკლოთ პროცენტი თანხას ონლაინ კალკულატორის გამოყენებით?

და ბოლოს, ახლა არის საკმაოდ ბევრი საიტი ინტერნეტში, რომლებიც გთავაზობთ ონლაინ კალკულატორის ფუნქციას. ამ შემთხვევაში, თქვენ არც კი გჭირდებათ იცოდეთ როგორ გამოვთვალოთ თანხის პროცენტი: მომხმარებლის ყველა ოპერაცია მცირდება ფანჯრებში საჭირო ნომრების შეყვანამდე (ან სლაიდერების გადაადგილება მათ მისაღებად), რის შემდეგაც შედეგი დაუყოვნებლივ გამოჩნდება ეკრანზე.

ეს ფუნქცია განსაკუთრებით მოსახერხებელია მათთვის, ვინც ითვლის არა მხოლოდ აბსტრაქტულ პროცენტს, არამედ კონკრეტულ ზომას გადასახადის გამოქვითვაან სახელმწიფო გადასახადის ოდენობა. ფაქტია, რომ ამ შემთხვევაში გამოთვლები უფრო რთულია: თქვენ არა მხოლოდ პროცენტების პოვნა გჭირდებათ, არამედ მათ თანხის მუდმივი ნაწილის დამატებაც. ონლაინ კალკულატორი საშუალებას გაძლევთ თავიდან აიცილოთ ასეთი დამატებითი გამოთვლები. მთავარია აირჩიოთ საიტი, რომელიც იყენებს მონაცემებს, რომლებიც შეესაბამება მოქმედ კანონს.

ონლაინ პროცენტის კალკულატორი:

calculator.ru - გაძლევთ საშუალებას განახორციელოთ სხვადასხვა გამოთვლები პროცენტებთან მუშაობისას;

mirurokov.ru - პროცენტის კალკულატორი;

ინფორმაციის წყარო:

• nsovetnik.ru - სტატია, თუ როგორ გამოვთვალოთ თანხის პროცენტი;

მათემატიკური თვალსაზრისით, პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა. ურთიერთდამოკიდებულება დამახასიათებელია პროპორციის ყველა ნაწილისთვის, ისევე როგორც მათი უცვლელი შედეგი. თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა შექმნათ პროპორცია პროპორციის თვისებებისა და ფორმულის გაცნობით. პროპორციების ამოხსნის პრინციპის გასაგებად, საკმარისი იქნება ერთი მაგალითის განხილვა. მხოლოდ პროპორციების უშუალო ამოხსნით შეგიძლიათ სწრაფად და მარტივად ისწავლოთ ეს უნარები. და ეს სტატია დაეხმარება მკითხველს ამაში.

პროპორციისა და ფორმულის თვისებები

1. პროპორციის შებრუნება. იმ შემთხვევაში, როდესაც მოცემული ტოლობა გამოიყურება 1a: 2b = 3c: 4d, ჩაწერეთ 2b: 1a = 4d: 3c. (და 1a, 2b, 3c და 4d არის მარტივი რიცხვები, გარდა 0).
2. პროპორციის მოცემული წევრების გამრავლება ჯვარედინად. პირდაპირი გამოთქმით ასე გამოიყურება: 1a: 2b = 3c: 4d და 1a4d = 2b3c ჩაწერა მისი ექვივალენტური იქნება. ამრიგად, ნებისმიერი პროპორციის უკიდურესი ნაწილების ნამრავლი (რიცხვები ტოლობის კიდეებზე) ყოველთვის ტოლია შუა ნაწილების ნამრავლის (ტოლობის შუაში მდებარე რიცხვები).
3. პროპორციის შედგენისას შეიძლება სასარგებლო იყოს მისი თვისება უკიდურესი და საშუალო ტერმინების გადალაგების შესახებ. თანასწორობის ფორმულა 1a: 2b = 3c: 4d შეიძლება გამოჩნდეს შემდეგი გზით:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (როდესაც პროპორციის შუა რიცხვები გადანაწილებულია).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (როდესაც პროპორციის უკიდურესი პუნქტები გადანაწილებულია).
4. მისი გაზრდისა და კლების თვისება შესანიშნავად ეხმარება პროპორციების ამოხსნაში. როდესაც 1a: 2b = 3c: 4d, ჩაწერეთ:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (თანაბრობა მზარდი პროპორციით).
   • (1a – 2b) : 2b = (3c – 4d) : 4d (თანაბრობა კლების პროპორციით).
5. თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ პროპორცია მიმატებით და გამოკლებით. როდესაც პროპორცია იწერება როგორც 1a:2b = 3c:4d, მაშინ:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (პროპორცია კეთდება მიმატებით).
   • (1a – 3c) : (2b – 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (პროპორცია გამოითვლება გამოკლებით).
6. ასევე, წილადი ან დიდი რიცხვების შემცველი პროპორციის ამოხსნისას შეგიძლიათ გაყოთ ან გაამრავლოთ მისი ორივე წევრი ერთი და იგივე რიცხვზე. მაგალითად, 70:40=320:60 პროპორციის კომპონენტები შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: 10*(7:4=32:6).
7. პროპორციების პროცენტებით ამოხსნის ვარიანტი ასე გამოიყურება. მაგალითად, ჩაწერეთ 30=100%, 12=x. ახლა თქვენ უნდა გაამრავლოთ შუა რიცხვები (12*100) და გაყოთ ცნობილ უკიდურესობაზე (30). ამრიგად, პასუხი არის: x=40%. ანალოგიურად, საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ცნობილი უკიდურესი ტერმინები და გაყოთ ისინი მოცემულ საშუალო რიცხვზე და მიიღოთ სასურველი შედეგი.

თუ გაინტერესებთ კონკრეტული პროპორციის ფორმულა, მაშინ უმარტივეს და ყველაზე გავრცელებულ ვერსიაში პროპორცია არის შემდეგი თანასწორობა (ფორმულა): a/b = c/d, რომელშიც a, b, c და d არის ოთხი არა- ნულოვანი რიცხვები.

ბოლო ვიდეო გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედეთ პროპორციების გამოყენებით პროცენტების შემცველი ამოცანების ამოხსნას. შემდეგ, პრობლემის პირობების მიხედვით, დაგვჭირდა ამა თუ იმ რაოდენობის მნიშვნელობის პოვნა.

ამჯერად საწყისი და საბოლოო მნიშვნელობები უკვე მოგვეცა. ამიტომ, პრობლემები მოგიწევთ პროცენტების პოვნას. უფრო ზუსტად, რამდენი პროცენტით შეიცვალა ესა თუ ის მნიშვნელობა. მოდი ვცადოთ.

დავალება. სპორტული ფეხსაცმელი 3200 მანეთი ღირს. ფასების ზრდის შემდეგ, მათ დაიწყეს 4000 რუბლის ღირებულება. რამდენ პროცენტით გაიზარდა სპორტული ფეხსაცმელი?

ასე რომ, ჩვენ ვხსნით პროპორციით. პირველი ნაბიჯი - თავდაპირველი ფასი იყო 3200 რუბლი. აქედან გამომდინარე, 3200 რუბლი არის 100%.

გარდა ამისა, ჩვენ მოგვცეს საბოლოო ფასი - 4000 რუბლი. ეს უცნობი პროცენტია, მოდით დავარქვათ x. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

3200 — 100%
4000 - x%

ისე, პრობლემის მდგომარეობა ჩაწერილია. მოდით გავაკეთოთ პროპორცია:

მარცხნივ წილადი სრულყოფილად იშლება 100-ით: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. ალტერნატიულად, შეგიძლიათ შეამციროთ ის 4: 32: 4 = 8-ით; 40: 4 = 10. ვიღებთ შემდეგ პროპორციას:

გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს. ჩვენ ვიღებთ:

8 x = 100 10;
8x = 1000.

ეს არის საერთო წრფივი განტოლება. აქედან ვპოულობთ x:

x = 1000: 8 = 125

ასე რომ, მივიღეთ საბოლოო პროცენტი x = 125. მაგრამ არის თუ არა რიცხვი 125 პრობლემის გადაწყვეტა? არა, არავითარ შემთხვევაში! რადგან ამოცანა მოითხოვს იმის გარკვევას, რამდენ პროცენტით გაიზარდა სპორტული ფეხსაცმელი.

რამდენი პროცენტით - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ცვლილება:

∆ = 125 − 100 = 25

ჩვენ მივიღეთ 25% - ამით გაიზარდა საწყისი ფასი. ეს არის პასუხი: 25.

პრობლემა B2 პროცენტებზე No2

გადავიდეთ მეორე ამოცანაზე.

დავალება. პერანგი ღირდა 1800 მანეთი. ფასის შემცირების შემდეგ დაიწყო 1530 რუბლი. რამდენ პროცენტით შემცირდა მაისურის ფასი?

მოდით გადავთარგმნოთ პირობა მათემატიკური ენაზე. ორიგინალური ფასია 1800 რუბლი - ეს არის 100%. და საბოლოო ფასი არის 1,530 რუბლი - ჩვენ ვიცით, მაგრამ არ ვიცით, რამდენი პროცენტია ორიგინალური ღირებულებისა. ამიტომ მას x-ით აღვნიშნავთ. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ კონსტრუქციას:

1800 — 100%
1530 - x%

მიღებული ჩანაწერის საფუძველზე ვაკეთებთ პროპორციას:

შემდგომი გამოთვლების გასამარტივებლად, მოდით გავყოთ ამ განტოლების ორივე მხარე 100-ზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მარცხენა და მარჯვენა წილადების მრიცხველიდან ორ ნულს გადავკვეთთ. ჩვენ ვიღებთ:

ახლა ისევ გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება: უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის შუა წევრთა ნამრავლს.

18 x = 1530 1;
18x = 1530.

რჩება მხოლოდ x-ის პოვნა:

x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

მივიღეთ, რომ x = 85. მაგრამ, როგორც წინა ამოცანაში, ეს რიცხვი თავისთავად არ არის პასუხი. დავუბრუნდეთ ჩვენს მდგომარეობას. ახლა ვიცით, რომ შემცირების შემდეგ მიღებული ახალი ფასი არის ძველის 85%. ცვლილებების საპოვნელად კი საჭიროა ძველი ფასიდან, ე.ი. 100%, გამოკლება ახალი ფასი, ე.ი. 85%. ჩვენ ვიღებთ:

∆ = 100 − 85 = 15

ეს რიცხვი იქნება პასუხი: გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ზუსტად 15 და არავითარ შემთხვევაში 85. სულ ესაა! პრობლემა მოგვარებულია.

ყურადღებიანი მოსწავლეები ალბათ იკითხავენ: რატომ პირველ ამოცანში, სხვაობის პოვნისას, გამოვაკლეთ საწყის რიცხვი საბოლოო რიცხვს, ხოლო მეორე ამოცანში ზუსტად პირიქით: საწყის 100%-ს გამოვაკლეთ საბოლოო 85%?

მოდით ვიყოთ ნათელი ამ საკითხში. ფორმალურად, მათემატიკაში, რაოდენობის ცვლილება ყოველთვის არის განსხვავება საბოლოო მნიშვნელობასა და საწყის მნიშვნელობას შორის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მეორე პრობლემაში ჩვენ უნდა მივიღოთ არა 15, არამედ −15.

თუმცა ეს მინუსი არავითარ შემთხვევაში არ უნდა შედიოდეს პასუხში, რადგან ის უკვე გათვალისწინებულია თავდაპირველი პრობლემის პირობებში. პირდაპირ წერია ფასის შემცირებაზე. და ფასის 15%-ით შემცირება იგივეა, რაც −15%-ით ფასის ზრდა. ამიტომ პრობლემის გადაწყვეტაში და პასუხში საკმარისია უბრალოდ ჩაწეროთ 15 - ყოველგვარი მინუსების გარეშე.

ესე იგი, იმედია მოვაგვარეთ ეს. ამით დასრულდა ჩვენი დღევანდელი გაკვეთილი. ისევ გნახავ!