Защо се нуждаем от средно геометрично? Средно геометрично на числата - формула и примери

За разлика от средното аритметично, средното геометрично ви позволява да оцените степента на промяна в дадена променлива във времето. Средната геометрична стойност е n-ти корен от произведението на n стойности (в Excel се използва функцията =SRGEOM):

G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Подобен параметър - средногеометричната стойност на нормата на печалба - се определя по формулата:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,

където R i е нормата на печалба за i-ти периодвреме.

Например, да предположим, че първоначалната инвестиция е 100 000 долара. До края на първата година тя спада до 50 000 долара, а до края на втората година се възстановява до първоначалното ниво от 100 000 долара -годишен период е равен на 0, тъй като първоначалната и крайната сума на средствата са равни една на друга. Въпреки това средноаритметичната стойност на годишните норми на възвръщаемост е = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 или 25%, тъй като нормата на възвръщаемост през първата година R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5, и във втория R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. В същото време средната геометрична стойност на нормата на печалба за две години е равна на: G = [(1-0,5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. По този начин средната геометрична отразява по-точно промяната (по-точно липсата на промени) в обема на инвестициите за период от две години, отколкото средноаритметичното.

Интересни факти. Първо, средното геометрично винаги ще бъде по-малко от средното аритметично на същите числа. С изключение на случая, когато всички взети числа са равни едно на друго. Второ, като разгледате свойствата на правоъгълен триъгълник, можете да разберете защо средната стойност се нарича геометрична. Височината на правоъгълен триъгълник, понижена до хипотенузата, е средната пропорционална стойност между проекциите на катетите върху хипотенузата, а всеки катет е средната пропорционална стойност между хипотенузата и неговата проекция върху хипотенузата. Това дава геометричен начин за конструиране на средното геометрично на два сегмента (дължини): трябва да конструирате окръжност върху сумата от тези два сегмента като диаметър, след това височината, възстановена от точката на тяхната връзка до пресечната точка с кръга ще даде желаната стойност:

Ориз. 4.

Второто важно свойство на числовите данни е тяхната вариация, която характеризира степента на дисперсия на данните. Две различни проби може да се различават както по средни стойности, така и по дисперсии.

Има пет оценки за вариация на данните:

интерквартилен диапазон,

дисперсия,

стандартно отклонение,

коефициентът на вариация.

Диапазонът е разликата между най-големия и най-малкия елемент на извадката:

Диапазон = X Max - X Min

Обхватът на извадката, съдържащ данни за средната годишна доходност на 15 взаимни фонда с много високо ниворискът може да се изчисли с помощта на подреден масив: Диапазон = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Това означава, че разликата между най-високата и най-ниската средна годишна доходност на много високорисковите фондове е 24,6%.

Обхватът измерва общото разпространение на данните. Въпреки че обхватът на извадката е много проста оценка на цялостното разпространение на данните, нейната слабост е, че не взема предвид точно как данните са разпределени между минималните и максималните елементи. Скала B показва, че ако извадката съдържа поне една екстремна стойност, обхватът на извадката е много неточна оценка на разпространението на данните.

Средните стойности в статистиката играят важна роля, защото... те ни позволяват да получим обща характеристика на анализираното явление. Най-често срещаната средна стойност е, разбира се, . Това се случва, когато се формира обобщаващ индикатор, използвайки сумата от елементи. Например масата на няколко ябълки, общите приходи за всеки ден от продажбите и т.н. Но това не винаги се случва. Понякога агрегатният показател се формира не в резултат на сумиране, а в резултат на други математически операции.

Помислете за следния пример. Месечната инфлация е промяната в нивото на цените за един месец спрямо предходния месец. Ако са известни нивата на инфлация за всеки месец, как да се получи годишната стойност? От статистическа гледна точка това е верижен индекс, така че правилният отговор е: чрез умножаване на месечните нива на инфлация. Тоест общата инфлация не е сбор, а продукт. Сега как можете да разберете средната инфлация за месец, ако има годишна стойност? Не, не дели на 12, а извади корен от 12 (степента зависи от броя на факторите). Като цяло, средната геометрична стойност се изчислява по формулата:

Тоест, това е коренът на произведението на първоначалните данни, където степента се определя от броя на факторите. Например средното геометрично на две числа е Корен квадратенот тяхната работа

от три числа - кубичен коренот работата

и т.н.

Ако всяко първоначално число се замени с тяхното средно геометрично, тогава продуктът ще даде същия резултат.

За да разберете по-добре какво е средно геометрично и как се различава от средното аритметично, разгледайте следната фигура. Има правоъгълен триъгълник, вписан в окръжност.

от прав ъгълмедианата е пропусната а(до средата на хипотенузата). Също така от прав ъгъл височината се понижава b, което е в точката Празделя хипотенузата на две части мИ н. защото Хипотенузата е диаметърът на описаната окръжност, а медианата е радиусът, тогава е очевидно, че дължината на медианата ае средноаритметичното на мИ н.

Нека изчислим колко е височината b. Поради сходството на триъгълниците ABPИ ГКППравенството е вярно

Тоест височината на правоъгълен триъгълник е средното геометрично на сегментите, на които той разделя хипотенузата. Такава ясна разлика.

В MS Excel средната геометрична стойност може да се намери с помощта на функцията SRGEOM.

Всичко е много просто: извикайте функцията, посочете диапазона и сте готови.

На практика този показател не се използва толкова често, колкото средното аритметично, но все пак се среща. Например, има това индекс на човешкото развитие, който се използва за сравнение на стандарта на живот в различни страни. Изчислява се като средно геометрично на няколко индекса.

Има и други средни стойности. За тях друг път.

Темата за средно аритметично и средно геометрично е включена в програмата по математика за 6-7 клас. Тъй като параграфът е доста лесен за разбиране, той се завършва бързо и до края учебна годинаучениците го забравят. Но са необходими познания по основни статистики полагане на Единния държавен изпит, както и за международни SAT изпити. Да и за Ежедневиеторазвитото аналитично мислене никога не вреди.

Как се изчислява средно аритметично и средно геометрично на числа

Да кажем, че има поредица от числа: 11, 4 и 3. Средната аритметична стойност е сумата от всички числа, разделена на броя на дадените числа. Тоест в случай на числата 11, 4, 3 отговорът ще бъде 6. Как се получава 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Знаменателят трябва да съдържа число, равно на броя на числата, чиято средна стойност трябва да се намери. Сборът се дели на 3, тъй като има три члена.

Сега трябва да намерим средното геометрично. Да кажем, че има поредица от числа: 4, 2 и 8.

Средната геометрична стойност на числата е произведението на всички дадени числа, разположени под корена със степен, равна на броя на дадените числа. Тоест, в случай на числа 4, 2 и 8, отговорът ще бъде 4. Ето как. оказа се:

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

И в двата варианта получихме цели отговори, тъй като за примера бяха взети специални числа. Това не винаги се случва. В повечето случаи отговорът трябва да бъде закръглен или оставен в основата. Например за числата 11, 7 и 20 средноаритметичното е ≈ 12,67, а средното геометрично е ∛1540. А за числата 6 и 5 отговорите ще бъдат съответно 5,5 и √30.

Възможно ли е средноаритметичното да стане равно на средното геометрично?

Разбира се, че може. Но само в два случая. Ако има поредица от числа, състояща се само от единици или нули. Прави впечатление също, че отговорът не зависи от броя им.

Доказателство с единици: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (средно аритметично).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(средногеометрично).

Доказателство с нули: (0 + 0) / 2=0 (средно аритметично).

√(0 × 0) = 0 (средно геометрично).

Друг вариант няма и не може да има.

Губи се при изчисляването на средната стойност.

Средно аритметично значениенабор от числа е равен на сумата от числа S, разделена на броя на тези числа. Тоест, оказва се, че средно аритметично значениее равно на: 19/4 = 4,75.

Забележка

Ако трябва да намерите средната геометрична стойност само за две числа, тогава нямате нужда от инженерен калкулатор: можете да извлечете втория корен (квадратен корен) на всяко число с помощта на най-обикновения калкулатор.

Полезен съвет

За разлика от средната аритметична, средната геометрична не се влияе толкова силно от големи отклонения и колебания между отделните стойности в набора от изследвани показатели.

източници:

• Онлайн калкулатор, който изчислява средната геометрична стойност
• формула за средна геометрична стойност

Средно аритметичностойността е една от характеристиките на набор от числа. Представлява число, което не може да бъде извън диапазона, определен от най-голямата и най-малката стойност в този набор от числа. Средно аритметичноаритметичната стойност е най-често използваният тип средна стойност.

Инструкции

Съберете всички числа в набора и ги разделете на броя членове, за да получите средното аритметично. В зависимост от конкретните условия на изчисление, понякога е по-лесно да разделите всяко от числата на броя на стойностите в набора и да сумирате резултата.

Използвайте, например, включени в операционната система Windows, ако не е възможно да изчислите средната аритметична стойност в главата си. Можете да го отворите чрез диалоговия прозорец за стартиране на програмата. За да направите това, натиснете горещите клавиши WIN + R или щракнете върху бутона Старт и изберете командата Изпълнение от главното меню. След това въведете calc в полето за въвеждане и натиснете Enter или щракнете върху бутона OK. Същото може да се направи и чрез главното меню - отворете го, отидете в секцията „Всички програми“ и в секцията „Стандарт“ и изберете реда „Калкулатор“.

Въведете последователно всички числа в набора, като натиснете клавиша Плюс след всяко от тях (с изключение на последното) или щракнете върху съответния бутон в интерфейса на калкулатора. Можете също така да въвеждате числа или от клавиатурата, или като щракнете върху съответните бутони на интерфейса.

Натиснете клавиша с наклонена черта или щракнете върху това в интерфейса на калкулатора, след като въведете последната зададена стойност и въведете броя на числата в последователността. След това натиснете знака за равенство и калкулаторът ще изчисли и ще покаже средното аритметично.

Можете да използвате редактор на таблици за същата цел. Microsoft Excel. В този случай стартирайте редактора и въведете всички стойности на поредицата от числа в съседните клетки. Ако след въвеждане на всяко число натиснете Enter или клавишите със стрелка надолу или надясно, редакторът сам ще премести фокуса на въвеждане в съседната клетка.

Щракнете върху клетката до последното въведено число, ако не искате да видите само средната стойност. Разгънете падащото меню с гръцката сигма (Σ) за командите за редактиране в раздела Начало. Изберете реда " Средно аритметично" и редакторът ще вмъкне желаната формула за изчисляване на средното аритметично в избраната клетка. Натиснете клавиша Enter и стойността ще бъде изчислена.

Средната аритметична стойност е една от мерките на централната тенденция, широко използвана в математиката и статистическите изчисления. Намирането на средната аритметична стойност за няколко стойности е много проста, но всяка задача има свои собствени нюанси, които просто е необходимо да знаете, за да извършите правилни изчисления.

Какво е средно аритметично

Средната аритметична стойност определя средната стойност за целия оригинален масив от числа. С други думи, от определен набор от числа се избира стойност, обща за всички елементи, чието математическо сравнение с всички елементи е приблизително равно. Средната аритметична се използва предимно при изготвянето на финансови и статистически отчети или за изчисляване на резултатите от подобни експерименти.

Как да намерим средното аритметично

Намирането на средната аритметична стойност за масив от числа трябва да започне с определяне на алгебричната сума на тези стойности. Например, ако масивът съдържа числата 23, 43, 10, 74 и 34, тогава тяхната алгебрична сума ще бъде равна на 184. При запис средноаритметичното се означава с буквата μ (mu) или x (x с a бар). След това алгебричната сума трябва да бъде разделена на броя на числата в масива. В разглеждания пример имаше пет числа, така че средното аритметично ще бъде равно на 184/5 и ще бъде 36,8.

Характеристики на работа с отрицателни числа

Ако масивът съдържа отрицателни числа, тогава средноаритметичната стойност се намира с помощта на подобен алгоритъм. Разликата съществува само при изчисляване в програмната среда или ако проблемът има допълнителни условия. В тези случаи намирането на средно аритметично на числа с различни знацисе свежда до три стъпки:

1. Намиране на общото средно аритметично по стандартния метод;
2. Намиране на средно аритметично на отрицателни числа.
3. Изчисляване на средно аритметично на положителни числа.

Отговорите за всяко действие се пишат разделени със запетаи.

Естествени и десетични дроби

Ако масив от числа е представен с десетични дроби, решението се извършва по метода за изчисляване на средната аритметична стойност на цели числа, но резултатът се редуцира според изискванията на задачата за точност на отговора.

При работа с естествени дробите трябва да бъдат сведени до общ знаменател, който се умножава по броя на числата в масива. Числителят на отговора ще бъде сумата от дадените числители на оригиналните дробни елементи.

• Инженерен калкулатор.

Инструкции

Имайте предвид, че по принцип средното геометрично на числата се намира чрез умножаване на тези числа и вземане на корена на степента от тях, което съответства на броя на числата. Например, ако трябва да намерите средното геометрично на пет числа, тогава ще трябва да извлечете корена на степента от продукта.

За да намерите средното геометрично на две числа, използвайте основното правило. Намерете техния продукт, след това извадете корен квадратен от него, тъй като числото е две, което съответства на степента на корена. Например, за да намерите средното геометрично на числата 16 и 4, намерете произведението им 16 4=64. От полученото число извадете корен квадратен √64=8. Това ще бъде желаната стойност. Моля, имайте предвид, че средноаритметичната стойност на тези две числа е по-голяма и равна на 10. Ако не е извлечен целият корен, закръглете резултата до необходимия ред.

За да намерите средното геометрично на повече от две числа, използвайте и основното правило. За да направите това, намерете произведението на всички числа, за които трябва да намерите средната геометрична стойност. От получения продукт извлечете корена на степента, равна на броя на числата. Например, за да намерите средното геометрично на числата 2, 4 и 64, намерете произведението им. 2 4 64=512. Тъй като трябва да намерите резултата от средното геометрично на три числа, вземете третия корен от продукта. Трудно е да направите това устно, затова използвайте инженерен калкулатор. За тази цел има бутон "x^y". Наберете номер 512, натиснете бутона "x^y", след това наберете номер 3 и натиснете бутона "1/x", за да намерите стойността на 1/3, натиснете бутона "=". Получаваме резултата от повишаване на 512 на степен 1/3, което съответства на корен трети. Вземете 512^1/3=8. Това е средното геометрично на числата 2,4 и 64.

С помощта на инженерен калкулатор можете да намерите средната геометрична стойност по друг начин. Намерете бутона за регистрация на клавиатурата. След това вземете логаритъм за всяко от числата, намерете тяхната сума и я разделете на броя на числата. Вземете антилогаритъм от полученото число. Това ще бъде средното геометрично на числата. Например, за да намерите средното геометрично на същите числа 2, 4 и 64, изпълнете набор от операции на калкулатора. Наберете номер 2, след това натиснете бутона log, натиснете бутона "+", наберете номер 4 и натиснете отново log и "+", наберете 64, натиснете log и "=". Резултатът ще бъде число, равно на сумата от десетичните логаритми на числата 2, 4 и 64. Разделете полученото число на 3, тъй като това е броят на числата, за които се търси средната геометрична стойност. От резултата вземете антилогаритъм, като превключите бутона за регистър и използвате същия ключ за регистрация. Резултатът ще бъде числото 8, това е желаната средна геометрична стойност.

Прилага се средно геометричнов случаите, когато отделните стойности на дадена характеристика представляват стойности на относителна динамика, конструирани под формата на верижни стойности, като съотношение към предишното ниво на всяко ниво в серия от динамика, т.е. характеризира средния коефициент на растеж.

Модата и медианата много често се изчисляват в статистическите задачи и те са допълнителни към средните характеристики на съвкупността и се използват в математическата статистика за анализ на вида на реда на разпределение, който може да бъде нормален, асиметричен, симетричен и т.н.

Точно като медианата, стойностите на характеристика, която разделя съвкупността на четири равни части, се изчисляват - квартели, на пет части - квинтелина десет равни части - забавя, на сто равни части - проценти. Използването на разпределението на разглежданите характеристики в статистиката при анализиране на вариационни серии ни позволява да характеризираме изследваната популация по-задълбочено и подробно.