Най-малко често срещани множествени примери. Намиране на най-малкото общо кратно: методи, примери за намиране на LCM

Нека разгледаме разрешаването на следния проблем. Стъпката на момчето е 75 см, а на момичето 60 см. Необходимо е да се намери най-малкото разстояние, на което двамата правят цял ​​брой крачки.

Решение.Целият път, който децата ще изминат, трябва да се дели на 60 и 70, тъй като всяко от тях трябва да направи цял брой стъпки. С други думи, отговорът трябва да е кратен както на 75, така и на 60.

Първо ще запишем всички кратни на числото 75. Получаваме:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Сега нека запишем числата, които ще бъдат кратни на 60. Получаваме:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Сега намираме числата, които са в двата реда.

• Общите кратни на числата биха били 300, 600 и т.н.

Най-малкото от тях е числото 300. В този случай ще се нарича най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Връщайки се към условието на задачата, най-малкото разстояние, на което момчетата ще направят цял ​​брой стъпки, ще бъде 300 см. Момчето ще измине този път за 4 стъпки, а момичето ще трябва да направи 5 стъпки.

Определяне на най-малкото общо кратно

• Най-малкото общо кратно на две естествени числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно както на a, така и на b.

За да намерите най-малкото общо кратно на две числа, не е необходимо да записвате всички кратни на тези числа подред.

Можете да използвате следния метод.

Как да намерим най-малкото общо кратно

Първо трябва да разложите тези числа на основни фактори.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Сега нека запишем всички множители, които са в разширението на първото число (2,2,3,5) и добавим към него всички липсващи множители от разширението на второто число (5).

В резултат на това получаваме поредица от прости числа: 2,2,3,5,5. Произведението на тези числа ще бъде най-малко общият множител за тези числа. 2*2*3*5*5 = 300.

Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно

• 1. Разделете числата на прости множители.
• 2. Запишете простите множители, които са част от един от тях.
• 3. Добавете към тези фактори всички, които са в експанзията на другите, но не и в избрания.
• 4. Намерете произведението на всички записани множители.

Този метод е универсален. Може да се използва за намиране на най-малкото общо кратно на произволен брой естествени числа.

На учениците се дават много задачи по математика. Сред тях много често има проблеми със следната формулировка: има две значения. Как да намерим най-малкото общо кратно на дадени числа? Необходимо е да можете да изпълнявате такива задачи, тъй като придобитите умения се използват за работа с дроби, когато различни знаменатели. В тази статия ще разгледаме как да намерим LOC и основните понятия.

Преди да намерите отговора на въпроса как да намерите LCM, трябва да дефинирате термина множествено. Най-често формулировката на тази концепция звучи така: кратно на определена стойност А е естествено число, което ще се дели на А без остатък. Така че за 4 кратните ще бъдат 8, 12, 16, 20, и така нататък до необходимия лимит.

В този случай броят на делителите за конкретна стойност може да бъде ограничен, но кратните са безкрайно много. Съществува и същата стойност за природни ценности. Това е показател, който се разделя на тях без остатък. След като разбрахме концепцията за най-малката стойност за определени показатели, нека да преминем към това как да я намерим.

Намиране на НОК

Най-малкото кратно на два или повече показателя е най-малкото естествено число, което се дели изцяло на всички посочени числа.

Има няколко начина да намерите такава стойност, разгледайте следните методи:

1. Ако числата са малки, запишете на един ред всички, които се делят на него. Продължете да правите това, докато не намерите нещо общо между тях. Писмено те се означават с буквата К. Например за 4 и 3 най-малкото кратно е 12.
2. Ако те са големи или трябва да намерите кратно на 3 или повече стойности, тогава трябва да използвате друга техника, която включва разлагане на числа на прости множители. Първо поставете най-големия от списъка, след това всички останали. Всеки от тях има свой собствен брой множители. Като пример, нека разложим 20 (2*2*5) и 50 (5*5*2). За по-малкия подчертайте факторите и ги добавете към най-големия. Резултатът ще бъде 100, което ще бъде най-малкото общо кратно на горните числа.
3. При намиране на 3 числа (16, 24 и 36) принципите са същите като при другите две. Нека разширим всеки от тях: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Само две двойки от разширението на числото 16 не бяха включени в разширението на най-голямото. Събираме ги и получаваме 144, което е най-малкият резултат за посочените по-рано числени стойности.

Сега знаем каква е общата техника за намиране на най-малката стойност за две, три или повече стойности. Има обаче и частни методи, помагащи за търсене на NOC, ако предишните не помогнат.

Как да намерите GCD и NOC.

Частни методи за намиране

Както при всеки математически раздел, има специални случаи за намиране на LCM, които помагат в конкретни ситуации:

• ако едно от числата се дели на останалите без остатък, тогава най-малкото кратно на тези числа е равно на него (НКМ на 60 и 15 е 15);
• относително простите числа нямат общи прости множители. Най-малката им стойност е равна на произведението на тези числа. Така за числата 7 и 8 ще бъде 56;
• същото правило работи и за други случаи, включително специални, за които може да се прочете в специализирана литература. Това трябва да включва и случаи на разлагане на съставни числа, които са тема на отделни статии и дори на кандидатски дисертации.

Специалните случаи са по-рядко срещани от стандартните примери. Но благодарение на тях можете да се научите да работите с фракции с различна степен на сложност. Това важи особено за дробите, където има неравни знаменатели.

Малко примери

Нека да разгледаме няколко примера, които ще ви помогнат да разберете принципа за намиране на най-малкото кратно:

1. Намерете LOC (35; 40). Първо разлагаме 35 = 5*7, след това 40 = 5*8. Добавете 8 към най-малкото число и вземете LOC 280.
2. НОК (45; 54). Разлагаме всеки от тях: 45 = 3*3*5 и 54 = 3*3*6. Добавяме числото 6 към 45. Получаваме LCM равно на 270.
3. Е, последният пример. Има 5 и 4. Няма прости кратни на тях, така че най-малкото общо кратно в този случай ще бъде тяхното произведение, което е равно на 20.

Благодарение на примерите можете да разберете как се намира NOC, какви са нюансите и какво е значението на такива манипулации.

Намирането на NOC е много по-лесно, отколкото може да изглежда първоначално. За да направите това, се използват както просто разширяване, така и умножение на прости стойности помежду си. Способността да се работи с този раздел от математиката помага при по-нататъшното изучаване на математически теми, особено на дроби в различна степентрудности.

Не забравяйте периодично да решавате примери различни методи, това развива логическия апарат и ви позволява да запомните множество термини. Научете как да намирате такъв степенен показател и ще можете да се справите добре с останалите математически раздели. Приятно учене на математика!

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете и запомните как да намерите най-малкото общо кратно.

Темата „Множество числа” се изучава в 5. клас на средното училище. Целта му е да подобри уменията за писмено и устно математическо пресмятане. В този урок се въвеждат нови понятия - „множество числа“ и „делители“, практикува се техниката за намиране на делители и кратни на естествено число и способността да се намира LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанието за него може да се приложи при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общия знаменател, като изчислите най-малкото общо кратно (LCM).

Кратно на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Самият той се счита за най-малкия. Кратното не може да бъде по-малко от самото число.

Трябва да докажете, че числото 125 е кратно на 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

Има специални случаи при изчисляване на LOC.

1. Ако трябва да намерите общо кратно на 2 числа (например 80 и 20), където едно от тях (80) се дели на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че техният LCM е произведението на тези две числа.

LCM(6, 7) = 42.

Нека разгледаме последния пример. 6 и 7 спрямо 42 са делители. Те делят кратно на число без остатък.

В този пример 6 и 7 са двойки фактори. Тяхното произведение е равно на най-кратното число (42).

Едно число се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

Друг пример включва определяне дали 9 е делител на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

Най-големият общ делителчисла аИ b, умножено по тяхното най-малко кратно, ще даде произведението на самите числа аИ b.

А именно: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Общи кратни за по-сложни числа се намират по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Разлагаме тези числа на прости множители и ги записваме като произведение на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Второ число: b=

Разделител за хилядниБез разделител за интервал „´

Резултат:

Най-голям общ делител gcd( а,b)=6

Най-малко общо кратно на LCM( а,b)=468

Нарича се най-голямото естествено число, което може да се дели без остатък на числата a и b най-голям общ делител(GCD) от тези числа. Означава се с gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Най-малко общо кратноНОК на две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. Означава се LCM(a,b) или lcm(a,b).

Целите числа a и b се наричат взаимно прости, ако нямат общи делители, различни от +1 и −1.

Най-голям общ делител

Нека са дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Изисква се да се намери общият делител на тези числа, т.е. намери такова число λ , който дели числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.

1) В тази статия думата номер ще се разбира като цяло число.

Позволявам а 1 ≥ а 2 и нека

Където м 1 , а 3 са някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от делението а 1 на а 2 трябва да е по-малко а 2).

Нека се преструваме, че λ разделя а 1 и а 2 тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Твърдение 2 от статията „Делимост на числата. Тест за делимост”). От това следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е общият делител а 2 и а 3. Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3 тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също се дели на λ . Следователно общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2. защото а 3 <а 2 ≤а 1, тогава можем да кажем, че решението на задачата за намиране на общия делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-простата задача за намиране на общия делител на числата а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠0, тогава можем да разделим а 2 на а 3. Тогава

,

Където м 1 и а 4 са някои цели числа, ( а 4 остатък от делението а 2 на а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 съвпада с общи делители на числа а 2 и а 3, а също и с общи делители а 1 и а 2. защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... са числа, които непрекъснато намаляват и тъй като между тях има краен брой цели числа а 2 и 0, след това на някаква стъпка н, остатък от делението а n на а n+1 ще бъде равно на нула ( а n+2 =0).

.

Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числа а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n+1. Обратното също е вярно, общи делители на числа а n и а n+1 също са делители на числа а n−1 и ан , .... , а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но общият делител на числата а n и а n+1 е число а n+1, защото а n и а n+1 се делят на а n+1 (запомнете това а n+2 =0). Следователно а n+1 също е делител на числа а 1 и а 2 .

Имайте предвид, че броят а n+1 е най-големият делител на числа а n и а n+1 , тъй като най-големият делител а n+1 е себе си а n+1. Ако а n+1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа са също общи делители на числа а 1 и а 2. Номер а n+1 се извиква най-голям общ делителчисла а 1 и а 2 .

Числа а 1 и а 2 може да бъде положително или отрицателно число. Ако едно от числата е равно на нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нула числа е недефиниран.

Горният алгоритъм се извиква Евклидов алгоритъмда се намери най-големият общ делител на две цели числа.

Пример за намиране на най-голям общ делител на две числа

Намерете най-големия общ делител на две числа 630 и 434.

• Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
• Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
• Стъпка 3. Разделете числото 196 на 42. Остатъкът е 28.
• Стъпка 4. Разделете числото 42 на 28. Остатъкът е 14.
• Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.

В стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на числата 630 и 434 е 14. Обърнете внимание, че числата 2 и 7 са делители и на числата 630 и 434.

Взаимопрости числа

Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези номера взаимно прости числа, без общ делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 взаимно прости числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числа λa 1 и а 2 също е общ делител на числа λ И а 2 .

Доказателство. Разгледайте алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числата а 1 и а 2 (виж по-горе).

.

От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n+1 е 1. Т.е а n+1 =1.

Нека умножим всички тези равенства по λ , Тогава

.

Нека общият делител а 1 λ И а 2 да δ . Тогава δ се включва като множител в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (вижте "Делимост на числата", твърдение 2). По-нататък δ се включва като множител в а 2 λ И м 2 а 3 λ , и следователно е фактор в а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Разсъждавайки така, ние сме убедени, че δ се включва като множител в а n−1 λ И м n−1 ан λ , и следователно в а n−1 λ −м n−1 ан λ =а n+1 λ . защото а n+1 =1, тогава δ се включва като множител в λ . Следователно броят δ е общият делител на числата λ И а 2 .

Нека разгледаме специални случаи на теорема 1.

Последица 1. Позволявам аИ ° СПростите числа са относителни b. След това техният продукт аке просто число по отношение на b.

Наистина ли. От теорема 1 акИ bимат същите общи делители като ° СИ b. Но числата ° СИ bотносително проста, т.е. имат един общ делител 1. Тогава акИ bсъщо имат един общ делител 1. Следователно акИ bвзаимно прости.

Последица 2. Позволявам аИ bвзаимно прости числа и нека bразделя ак. Тогава bразделя и к.

Наистина ли. От условието за одобрение акИ bимат общ делител b. По силата на теорема 1, bтрябва да е общ делител bИ к. Следователно bразделя к.

Следствие 1 може да се обобщи.

Последица 3. 1. Нека числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m са прости спрямо числото b. Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, произведението на тези числа е просто по отношение на числото b.

2. Нека имаме два реда числа

така че всяко число от първата серия е просто в отношението на всяко число от втората серия. След това продуктът

Трябва да намерите числа, които се делят на всяко от тези числа.

Ако едно число се дели на а 1, то има формата са 1 където снякакво число. Ако ре най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава

Където с 1 е някакво цяло число. Тогава

е най-малко общи кратни на числа а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 са относително прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 и а 2:

Трябва да намерим най-малкото общо кратно на тези числа.

От горното следва, че всяко кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числа ε И а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε И а 3 да ε 1 . След това кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числа ε 1 и а 4 . Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 да ε 2. Така открихме, че всички кратни на числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на определено число ε n, което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.

В специалния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m са относително прости, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Следваща, тъй като а 3 прости по отношение на числата а 1 , а 2 тогава а 3 просто число а 1 · а 2 (следствие 1). Означава най-малкото общо кратно на числата а 1 ,а 2 ,а 3 е число а 1 · а 2 · а 3. Разсъждавайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.

Изявление 1. Най-малко общо кратно на взаимно прости числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко едно от взаимно простите числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Но много естествени числа се делят и на други естествени числа.

Например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които числото се дели на цяло (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числата. Делител на естествено число а- е естествено число, което дели дадено число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два делителя композитен .

Моля, обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи множители. Тези числа са: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аИ b- това е числото, на което се делят без остатък и двете дадени числа аИ b.

Общи кратниняколко числа е число, което се дели на всяко от тези числа. Например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички общи кратни винаги има най-малкото, в този случай това е 90. Това число се нарича най-малкиятобщо кратно (CMM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е дефинирано.

Най-малко общо кратно (LCM). Имоти.

Комутативност:

Асоциативност:

По-специално, ако и са взаимно прости числа, тогава:

Най-малкото общо кратно на две цели числа мИ не делител на всички други общи кратни мИ н. Освен това, набор от общи кратни м, нсъвпада с множеството кратни на LCM( м, н).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции.

Така, Функция на Чебишев. И:

Това следва от определението и свойствата на функцията на Ландау g(n).

Какво следва от закона за разпределение на простите числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

НОК( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:

Където p 1 ,...,p k- различни прости числа и d 1 ,...,d kИ e 1 ,...,e k— неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нули, ако съответното просто число не е в разширението).

След това NOC ( а,b) се изчислява по формулата:

С други думи, разлагането на LCM съдържа всички прости множители, включени в поне едно от разлаганията на числа а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този множител.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

правило.За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:

- разлагат числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разлагане (произведението на факторите на най-големия брой от дадените) към факторите на желания продукт и след това добавете фактори от разлагането на други числа, които не се появяват в първото число или се появяват в него по-малко пъти;

— полученото произведение на прости множители ще бъде LCM на дадените числа.

Всеки две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат еднакви множители в разширението, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.

Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) се допълват с множител 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.

Простите множители на най-голямото число 30 се допълват с множителя 5 на числото 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това е възможно най-малкото произведение (150, 250, 300...), което е кратно на всички дадени числа.

Числата 2,3,11,37 са прости числа, така че техният LCM е равен на произведението на дадените числа.

правило. За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:

1) представя всяко число като произведение на неговите прости множители, например:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) запишете степените на всички прости множители:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разширения на тези числа;

5) умножете тези правомощия.

Пример. Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Записваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.