За да разделите дроб на естествено число, трябва. Деление на дроб на естествено число
Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудната част от тези действия беше привеждането на дроби към общ знаменател.
Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека разгледаме най-простия случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.
За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.
За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.
Обозначаване:
От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.
В резултат на умножението може да възникне (и често възниква) редуцируема дроб - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.
По дефиниция имаме:
Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби
Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.
Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:
- Плюс с минус дава минус;
- Две отрицания правят положително.
Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато беше необходимо да се отървем от цялата част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:
- Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
- Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го извеждаме извън границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.
Задача. Намерете значението на израза:
Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:
Още веднъж напомням, че минусът, който се появява пред дроб с подчертана цяла част, се отнася именно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).
Също така имайте предвид отрицателни числа: При умножение се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.
Намаляване на дроби в движение
Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:
Задача. Намерете значението на израза:
По дефиниция имаме:
Във всички примери числата, които са били намалени и това, което е останало от тях, са маркирани в червено.
Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.
Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:
Не можете да направите това!
Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.
Просто няма други причини за намаляване на дробите, така че правилно решениепредишната задача изглежда така:
Правилно решение:
Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.
Умножение и деление на дроби.
внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)
Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Като напомняне, за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:
Например:
Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Тук няма нужда от него...
За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:
Например:
Ако срещнете умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и давай! Например:
В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:
Как мога да направя тази дроб да изглежда прилична? Да, много просто! Използвайте разделяне на две точки:
Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но е лесно да се направи грешка в триетажна част. Моля, обърнете внимание например:
В първия случай (израз вляво):
Във втория (израз вдясно):
Усещате ли разликата? 4 и 1/9!
Какво определя реда на разделяне? Или със скоби, или (както тук) с дължината на хоризонталните линии. Развийте окото си. И ако няма скоби или тирета, като:
след това разделете и умножете по ред, отляво надясно!
И също много проста и важна техника. В действия със степени ще ви бъде толкова полезно! Нека разделим едно на произволна дроб, например на 13/15:
Кадърът се обърна! И това винаги се случва. Когато разделите 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.
Това е всичко за операциите с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Забележка практически съвети, и ще има по-малко от тях (грешки)!
Практически съвети:
1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не са общи думи, не са добри пожелания! Това е крайна необходимост! Направете всички изчисления на Единния държавен изпит като пълноценна задача, фокусирана и ясна. По-добре е да напишете два допълнителни реда в черновата си, отколкото да се объркате, когато правите умствени изчисления.
2. В примери с различни видове дроби се преминава към обикновени дроби.
3. Намаляваме всички дроби, докато спрат.
4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме деление през две точки (следваме реда на разделяне!).
5. Разделете единица на дроб наум, като просто обърнете дробта.
Ето задачите, които определено трябва да изпълните. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите по тази тема и практически съвети. Преценете колко примера сте успели да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...
Запомнете – верният отговор е получено от втори (особено трети) път не се брои!Такъв е суровият живот.
Така, решаване в изпитен режим ! Това между другото вече е подготовка за Единния държавен изпит. Решаваме примера, проверяваме го, решаваме следващия. Решихме всичко - проверихме отново от първия до последния. Но само Тогававижте отговорите.
Изчисли:
Реши ли?
Ние търсим отговори, които отговарят на вашите. Нарочно ги записах безредно, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, написани с точка и запетая.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Сега правим изводи. Ако всичко се получи, радвам се за вас! Основните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не...
Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.
Ако харесвате този сайт...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)
Можете да се запознаете с функции и производни.
За да решите различни задачи от курсовете по математика и физика, трябва да разделите дроби. Това е много лесно да се направи, ако знаете определени правила за извършване на тази математическа операция.
Преди да преминем към формулирането на правилото за деление на дроби, нека си припомним някои математически термини:
- Горната част на дробта се нарича числител, а долната част се нарича знаменател.
- При деление числата се извикват по следния начин: дивидент: делител = частно
Как се делят дроби: прости дроби
За да разделите две прости дроби, умножете дивидента по реципрочната стойност на делителя. Тази дроб се нарича още обърната, защото се получава чрез размяна на числителя и знаменателя. Например:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Как се делят дроби: смесени дроби
Ако трябва да разделим смесени дроби, тогава всичко тук също е доста просто и ясно. Първо преобразуваме смесената дроб в обикновена неправилна дроб. За да направите това, умножете знаменателя на такава дроб с цяло число и добавете числителя към получения продукт. В резултат на това получихме нов числител смесена фракция, а знаменателят му ще остане непроменен. Освен това разделянето на дроби ще се извърши точно по същия начин като разделянето на прости дроби. Например:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Как да разделим дроб на число
За да се раздели проста дроб на число, последното трябва да се запише като дроб (неправилна). Това е много лесно да се направи: това число е написано на мястото на числителя, а знаменателят на такава дроб е равен на едно. Извършва се допълнително разделяне по обичайния начин. Нека да разгледаме това с пример:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Как да разделя десетични знаци
Често възрастен изпитва трудности при разделянето на цяло число или десетична дроб на десетична дроб без помощта на калкулатор.
И така, за да разделите десетични дроби, просто трябва да задраскате запетаята в делителя и да спрете да обръщате внимание на това. В делителя запетаята трябва да се премести надясно точно на толкова места, колкото е била в дробната част на делителя, като при необходимост се добавят нули. И след това извършват обичайното деление на цяло число. За да стане това по-ясно, разгледайте следния пример.
Обикновените дробни числа за първи път се срещат с учениците в 5-ти клас и ги придружават през целия им живот, тъй като в ежедневието често е необходимо да се разглежда или използва обект не като цяло, а на отделни части. Започнете да изучавате тази тема - споделя. Акциите са равни части, на които е разделен този или онзи обект. В края на краищата, не винаги е възможно да се изрази, например, дължината или цената на даден продукт като цяло число, трябва да се вземат предвид части или части от някаква мярка. Образувана от глагола „разделяне“ - разделяне на части и имаща арабски корени, самата дума „фракция“ възниква на руски език през 8 век.
Дробните изрази отдавна се смятат за най-трудния дял от математиката. През 17 век, когато се появяват първите учебници по математика, те се наричат „счупени числа“, което е много трудно за разбиране от хората.
Модерна визияпрости дробни остатъци, чиито части са разделени с хоризонтална линия, са били насърчавани за първи път от Фибоначи - Леонардо от Пиза. Неговите творби са датирани от 1202 г. Но целта на тази статия е просто и ясно да обясни на читателя как се умножават смесени дроби различни знаменатели.
Умножение на дроби с различни знаменатели
Първоначално си струва да се определи видове дроби:
- правилно;
- неправилно;
- смесен.
След това трябва да запомните как се умножават дробните числа същите знаменатели. Самото правило на този процес не е трудно да се формулира независимо: резултатът от умножаването на прости дроби с еднакви знаменатели е дробен израз, чийто числител е произведението на числителите, а знаменателят е произведението на знаменателите на тези дроби. . Тоест всъщност новият знаменател е квадрат на един от първоначално съществуващите.
При умножаване прости дроби с различни знаменателиза два или повече фактора правилото не се променя:
а/b * ° С/д = а*в / b*d.
Единствената разлика е, че образуваното число под дробната линия ще бъде продукт на различни числа и, естествено, не може да се нарече квадрат на един числов израз.
Струва си да разгледаме умножението на дроби с различни знаменатели, като използваме примери:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Примерите използват методи за намаляване на дробни изрази. Можете да намалите само числата на числителя с числата на знаменателя; съседните множители над или под дробната линия не могат да бъдат намалени.
Наред с простите дроби съществува понятието смесени дроби. Смесеното число се състои от цяло число и дробна част, т.е. това е сумата от тези числа:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Как работи умножението?
Дадени са няколко примера за разглеждане.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Примерът използва умножение на число по обикновена дробна част, правилото за това действие може да се запише като:
а* б/° С = а*б /° С.
Всъщност такъв продукт е сборът от еднакви дробни остатъци и броят на членовете показва това естествено число. Специален случай:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Има друго решение за умножаване на число с дробен остатък. Просто трябва да разделите знаменателя на това число:
д* д/f = д/е: г.
Тази техника е полезна за използване, когато знаменателят е разделен на естествено число без остатък или, както се казва, на цяло число.
Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби и получете продукта по описания по-горе начин:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Този пример включва начин за представяне на смесена дроб като неправилна дроб и може също да бъде представена като обща формула:
а b° С = а*б+ c / c, където знаменателят на новата дроб се формира чрез умножаване на цялата част със знаменателя и добавянето му с числителя на първоначалния дробен остатък, а знаменателят остава същият.
Този процес работи и в обратна посока. За да разделите цялата част и дробния остатък, трябва да разделите числителя на неправилна дроб на нейния знаменател с помощта на „ъгъл“.
Умножение неправилни дроби произведени по общоприет начин. Когато пишете под една дробна линия, трябва да намалите дробите, ако е необходимо, за да намалите числата с помощта на този метод и да улесните изчисляването на резултата.
В интернет има много помощници за решаване дори на сложни математически задачи различни вариациипрограми. Достатъчен брой такива услуги предлагат своята помощ при броене на умножение на дроби с различни числав знаменатели – т. нар. онлайн калкулатори за пресмятане на дроби. Те могат не само да умножават, но и да извършват всички други прости аритметични операции обикновени дробии смесени числа. Лесно е да работите с него; попълнете съответните полета на страницата на уебсайта, изберете знака на математическата операция и щракнете върху „изчисли“. Програмата изчислява автоматично.
Темата за аритметичните действия с дроби е актуална за цялото обучение на учениците от средните и средните класове. В гимназията вече не разглеждат най-простите видове, но цели дробни изрази, но знанията за правилата за трансформация и изчисления, получени по-рано, се прилагат в оригиналния им вид. Добре усвоените основни знания дават пълна увереност в успешно решениенай-трудните задачи.
В заключение има смисъл да цитираме думите на Лев Николаевич Толстой, който пише: „Човекът е част. Не е във властта на човек да увеличи своя числител - своите заслуги - но всеки може да намали своя знаменател - своето мнение за себе си, и с това намаляване да се доближи до своето съвършенство.
Дробта е една или повече части от цяло, обикновено приемана за единица (1). Както при естествените числа, можете да извършвате всички основни аритметични операции (събиране, изваждане, деление, умножение), за това трябва да знаете характеристиките на работата с дроби и да правите разлика между техните видове. Има няколко вида дроби: десетични и обикновени или прости. Всеки тип дроби има своите специфики, но след като разберете задълбочено как да боравите с тях, ще можете да решавате всякакви примери с дроби, тъй като ще знаете основните принципи за извършване на аритметични изчисления с дроби. Нека да разгледаме примери как да разделим дроб на цяло число с помощта на различни видоведроби.
Как да разделим проста дроб на естествено число?Обикновените или прости дроби са дроби, които са записани под формата на съотношение на числа, в които дивидентът (числителят) е посочен в горната част на дробта, а делителят (знаменателят) на дробта е посочен в долната част. Как да разделим такава дроб на цяло число? Нека да разгледаме един пример! Да кажем, че трябва да разделим 8/12 на 2.
За да направим това, трябва да извършим редица действия:
Така, ако сме изправени пред задачата да разделим дроб на цяло число, диаграмата на решението ще изглежда така: 
По подобен начин можете да разделите всяка обикновена (проста) дроб на цяло число.
Как да разделя десетична запетая на цяло число?
Десетичната дроб е дроб, която се получава чрез разделяне на единица на десет, хиляда и т.н. Аритметичните операции с десетични знаци са доста прости.
Нека да разгледаме пример как да разделим дроб на цяло число. Да кажем, че трябва да разделим десетичната дроб 0,925 на естественото число 5.
За да обобщим, нека се спрем на две основни точки, които са важни при извършване на операцията за деление на десетични дроби на цяло число: - за разделяне на десетична дроб на естествено число се използва дълго деление;
- Запетая се поставя в частното, когато е завършено делението на цялата част от дивидента.