Как се решава деление на дроби с различни знаменатели. Умножение на прости и смесени дроби с различни знаменатели

Можете да правите всичко с дроби, включително деление. Тази статия показва разделението обикновени дроби. Ще бъдат дадени определения и ще бъдат обсъдени примери. Нека се спрем подробно на разделянето на дроби на естествени числа и обратно. Ще бъде обсъдено деление на обикновена дроб със смесено число.

Деление на дроби

Делението е обратното на умножението. При разделянето неизвестният фактор се намира при известна творбаи друг фактор, където даденото му значение се запазва с обикновени дроби.

Ако е необходимо да разделите обикновена дроб a b на c d, тогава за да определите такова число, трябва да умножите по делителя c d, това в крайна сметка ще даде дивидент a b. Нека вземем число и го запишем a b · d c, където d c е обратното на c d числото. Равенствата могат да бъдат написани, като се използват свойствата на умножението, а именно: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, където изразът a b · d c е частното от деленето на a b на c d.

От тук получаваме и формулираме правилото за деление на обикновени дроби:

Определение 1

За да разделите обикновена дроб a b на c d, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.

Нека запишем правилото под формата на израз: a b: c d = a b · d c

Правилата за деление се свеждат до умножение. За да се придържате към него, трябва да имате добро разбиране за умножаване на дроби.

Нека да преминем към разглеждане на разделянето на обикновени дроби.

Пример 1

Разделете 9 7 на 5 3. Запишете резултата като дроб.

Решение

Числото 5 3 е реципрочната дроб 3 5. Необходимо е да се използва правилото за разделяне на обикновени дроби. Записваме този израз по следния начин: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Отговор: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Когато редуцирате дроби, отделете цялата част, ако числителят е по-голям от знаменателя.

Пример 2

Разделете 8 15: 24 65. Запишете отговора като дроб.

Решение

За да решите, трябва да преминете от деление към умножение. Нека го запишем в следния вид: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Необходимо е да се направи намаление и това се прави по следния начин: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Изберете цялата част и получете 13 9 = 1 4 9.

Отговор: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Деление на извънредна дроб на естествено число

Използваме правилото за деление на дроб на естествено число: за да разделите b на естествено число n, трябва само да умножите знаменателя по n. От тук получаваме израза: a b: n = a b · n.

Правилото за деление е следствие от правилото за умножение. Следователно презентацията естествено числопод формата на дроб ще даде равенство от този тип: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .

Помислете за това деление на дроб на число.

Пример 3

Разделете дробта 16 45 на числото 12.

Решение

Нека приложим правилото за деление на дроб на число. Получаваме израз от формата 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Нека намалим дробта. Получаваме 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Отговор: 16 45: 12 = 4 135 .

Деление на естествено число на дроб

Правилото за разделяне е подобно Оправилото за деление на естествено число на обикновена дроб: за да се раздели естествено число n на обикновена дроб a b, е необходимо числото n да се умножи по реципрочната стойност на дробта a b.

Въз основа на правилото имаме n: a b = n · b a и благодарение на правилото за умножаване на естествено число по обикновена дроб, получаваме нашия израз във формата n: a b = n · b a. Необходимо е да разгледаме това разделение с пример.

Пример 4

Разделете 25 на 15 28.

Решение

Трябва да преминем от деление към умножение. Нека го напишем под формата на израза 25: 15 28 = 25 · 28 15 = 25 · 28 15. Нека съкратим дробта и получим резултата под формата на дробта 46 2 3.

Отговор: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Деление на дроб на смесено число

Когато разделяте обикновена дроб на смесено число, можете лесно да започнете да разделяте обикновени дроби. Трябва да преобразувате смесено число в неправилна дроб.

Пример 5

Разделете дробта 35 16 на 3 1 8.

Решение

Тъй като 3 1 8 е смесено число, нека го представим като неправилна дроб. Тогава получаваме 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Сега нека разделим дроби. Получаваме 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Отговор: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Делението на смесено число се извършва по същия начин като обикновените числа.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Последния път научихме как да събираме и изваждаме дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на дроби“). Най-трудната част от тези действия беше привеждането на дроби към общ знаменател.

Сега е време да се занимаваме с умножение и деление. Добрата новина е, че тези операции са дори по-прости от събирането и изваждането. Първо, нека разгледаме най-простия случай, когато има две положителни дроби без отделена цяла част.

За да умножите две дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели поотделно. Първото число ще бъде числителят на новата дроб, а второто ще бъде знаменателят.

За да разделите две дроби, трябва да умножите първата дроб по „обърнатата“ втора дроб.

Обозначаване:

От определението следва, че деленето на дроби се свежда до умножение. За да „обърнете“ дроб, просто разменете числителя и знаменателя. Затова през целия урок ще разглеждаме основно умножението.

В резултат на умножението може да възникне редуцируема дроб (и често възниква) - тя, разбира се, трябва да бъде намалена. Ако след всички съкращения дробта се окаже неправилна, цялата част трябва да бъде маркирана. Но това, което определено няма да се случи с умножението, е редукция до общ знаменател: без кръстосани методи, най-големи множители и най-малко общи кратни.

По дефиниция имаме:

Умножение на дроби с цели части и отрицателни дроби

Ако дробите съдържат цяло число, те трябва да бъдат преобразувани в неправилни - и едва след това да се умножат според схемите, описани по-горе.

Ако има минус в числителя на дроб, в знаменателя или пред него, той може да бъде изваден от умножението или напълно премахнат съгласно следните правила:

1. Плюс с минус дава минус;
2. Две отрицания правят утвърдително.

Досега тези правила се срещаха само при събиране и изваждане на отрицателни дроби, когато беше необходимо да се отървем от цялата част. За една работа те могат да бъдат обобщени, за да „изгорят“ няколко недостатъка наведнъж:

1. Зачеркваме негативите по двойки, докато изчезнат напълно. В краен случай може да оцелее един минус - този, за който нямаше половинка;
2. Ако няма останали минуси, операцията е завършена - можете да започнете да умножавате. Ако последният минус не е зачеркнат, защото за него няма двойка, го изваждаме от границите на умножението. Резултатът е отрицателна дроб.

Задача. Намерете значението на израза:

Преобразуваме всички дроби в неправилни и след това премахваме минусите от умножението. Умножаваме останалото според обичайните правила. Получаваме:

Още веднъж напомням, че минусът, който се появява пред дроб с подчертана цяла част, се отнася именно за цялата дроб, а не само за цялата й част (това се отнася за последните два примера).

Също така имайте предвид отрицателни числа: При умножение се ограждат в скоби. Това се прави, за да се отделят минусите от знаците за умножение и да се направи цялата нотация по-точна.

Намаляване на дроби в движение

Умножението е много трудоемка операция. Числата тук се оказват доста големи и за да опростите проблема, можете да опитате да намалите фракцията допълнително преди умножение. Наистина, по същество числителите и знаменателите на дробите са обикновени множители и следователно могат да бъдат намалени, като се използва основното свойство на дроб. Разгледайте примерите:

Задача. Намерете значението на израза:

По дефиниция имаме:

Във всички примери с червено са отбелязани числата, които са били намалени и това, което е останало от тях.

Моля, обърнете внимание: в първия случай множителите бяха напълно намалени. На тяхно място остават единици, които най-общо казано не е необходимо да се изписват. Във втория пример не беше възможно да се постигне пълно намаление, но общият размер на изчисленията все пак намаля.

Никога обаче не използвайте тази техника, когато събирате и изваждате дроби! Да, понякога има подобни числа, които просто искате да намалите. Ето вижте:

Не можете да направите това!

Грешката възниква, защото при събиране числителят на дроб произвежда сума, а не произведение на числа. Следователно е невъзможно да се приложи основното свойство на дроб, тъй като това свойство се занимава конкретно с умножението на числа.

Просто няма други причини за намаляване на дробите, така че правилно решениепредишната задача изглежда така:

Правилно решение:

Както можете да видите, правилният отговор се оказа не толкова красив. Като цяло, бъдете внимателни.

Появява се разделяне. В тази статия ще говорим за деление на обикновени дроби. Първо ще дадем правило за деление на обикновени дроби и ще разгледаме примери за деление на дроби. След това ще се съсредоточим върху разделянето на обикновена дроб на естествено число и числата на дроб. И накрая, нека да разгледаме как да разделим обикновена дроб на смесено число.

Навигация в страницата.

Деление на обикновена дроб на обикновена дроб

Известно е, че делението е действие, обратно на умножението (виж връзката между деление и умножение). Тоест разделянето включва намиране на неизвестен фактор, когато продуктът и друг фактор са известни. Същото значение на делението се запазва и при деленето на обикновени дроби.

Нека да разгледаме примери за разделяне на обикновени дроби.

Обърнете внимание, че не трябва да забравяме намаляването на дроби и отделянето на цялата част от неправилна дроб.

Деление на дроб на естествено число

Ще го дадем веднага правило за деление на дроб на естествено число: за да разделите дробта a/b на естествено число n, трябва да оставите числителя същия и да умножите знаменателя по n, т.е.

Това правило за деление следва пряко от правилото за деление на обикновени дроби. Наистина, представянето на естествено число като дроб води до следните равенства .

Нека да разгледаме примера за деление на дроб на число.

Пример.

Разделете дробта 16/45 на естественото число 12.

Решение.

Според правилото за деление на дроб на число имаме . Да направим съкращението: . Това разделение е завършено.

Отговор:

.

Деление на естествено число на дроб

Правилото за деление на дроби е подобно правило за деление на естествено число на дроб: за да разделите естествено число n на обикновена дроб a/b, трябва да умножите числото n по реципрочната стойност на дробта a/b.

Съгласно посоченото правило, , а правилото за умножаване на естествено число с обикновена дроб позволява то да бъде пренаписано във формата .

Нека разгледаме един пример.

Пример.

Разделете естественото число 25 на дробта 15/28.

Решение.

Нека преминем от деление към умножение, имаме . След като намалим и изберем цялата част, получаваме .

Отговор:

.

Деление на дроб на смесено число

Деление на дроб на смесено числолесно се свежда до деление на обикновени дроби. За да направите това, достатъчно е да извършите

Съдържание на урока

Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида събиране на дроби:

1. Събиране на дроби с еднакви знаменатели
2. Събиране на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим събирането на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:

Пример 2.Добавете дроби и .

Отговорът се оказа неправилна дроб. Когато дойде краят на задачата, обичайно е да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част от нея. В нашия случай цялата част се изолира лесно - две делено на две е равно на едно:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пица към пицата, получавате една цяла пица:

Пример 3. Добавете дроби и .

Отново събираме числителите и оставяме знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, получавате пица:

Пример 4.Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.

Както можете да видите, няма нищо сложно в събирането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Събиране на дроби с различни знаменатели

Сега нека научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на дробите трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например дроби могат да се добавят, защото имат същите знаменатели.

Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същ (общ) знаменател.

Има няколко начина за намаляване на дробите до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като другите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.

Същността на този метод е, че първо се търси LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб, за да се получи първият допълнителен фактор. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител.

След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.

Пример 1. Нека съберем дробите и

Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега да се върнем към дробите и . Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и вземете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен фактор. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над фракцията и запишете допълнителния фактор, намерен над нея:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен множител. Записваме го до втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:

Сега имаме всичко готово за добавяне. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители:

Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Това завършва примера. Оказва се да добавите .

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пица към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:

Намаляването на дроби до един и същи (общ) знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дробите и до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).

Първият чертеж представлява дроб (четири части от шест), а вторият чертеж представлява дроб (три части от шест). Добавяйки тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова подчертахме цялата й част. В резултат на това получихме (една цяла пица и още една шеста пица).

Моля, имайте предвид, че сме описали този примертвърде подробно. IN образователни институцииНе е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни множители по вашите числители и знаменатели. Докато сме в училище, ще трябва да напишем този пример, както следва:

Но има и друга страна на монетата. Ако не си водите подробни бележки в първите етапи на изучаване на математика, тогава започват да се появяват въпроси от този сорт. „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.

За да улесните добавянето на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

1. Намерете LCM на знаменателите на дробите;
2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители;
4. Съберете дроби с еднакви знаменатели;
5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата й част;

Пример 2.Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите, дадени по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите

Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб

Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го над първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен множител 4. Записваме го над втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го над третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители

Умножаваме числителите и знаменателите по техните допълнителни множители:

Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Всичко, което остава, е да съберем тези дроби. Добавете го:

Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се премества на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на новия ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава изберете цялата част от нея

Нашият отговор се оказа неправилна дроб. Трябва да подчертаем цяла част от него. Подчертаваме:

Получихме отговор

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида изваждане на дроби:

1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, но да оставите знаменателя същия.

Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 2.Намерете стойността на израза.

Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Този пример се решава по абсолютно същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
2. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да подчертаете цялата част от нея.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например, можете да извадите дроб от дроб, защото дробите имат еднакви знаменатели. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същ (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Тогава LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва над първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва над втората дроб.

След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1.Намерете значението на израза:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Първо намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега да се върнем към дробите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Напишете четири над първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:

Сега сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека вземем този пример до края:

Получихме отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако изрежете пица от пица, ще получите пица

Това е подробната версия на решението. Ако бяхме в училище, щяхме да решаваме този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на дробите до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица, но този път ще бъдат разделени на равни части (намалени до същия знаменател):

Първата снимка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като изрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.

Пример 2.Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.

Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на всяка дроб.

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го над първата дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го над втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го над третата дроб:

Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:

Отговорът се оказа обикновена дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-просто. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.

За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (НОД) на числата 20 и 30.

И така, намираме gcd на числата 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения gcd, тоест на 10

Получихме отговор

Умножение на дроб по число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дадения дроб по това число и да оставите знаменателя същия.

Пример 1. Умножете дроб по числото 1.

Умножете числителя на дробта по числото 1

Записът може да се разбира като отнемащ половин 1 път. Например, ако вземете пица веднъж, ще получите пица

От законите на умножението знаем, че ако умножаемото и множителят се разменят, произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:

Тази нотация може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на дробта по 4

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете 4 пици, ще получите две цели пици

И ако разменим множителя и множителя, получаваме израза . То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да подчертаете цялата част от нея.

Пример 1.Намерете стойността на израза.

Получихме отговор. Препоръчително е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:

Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:

Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три части:

Ще направим пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:

Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:

С други думи, говорим за пица с еднакъв размер. Следователно стойността на израза е

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът се оказа обикновена дроб, но би било добре да бъде съкратен. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-голямата общ делител(GCD) номера 105 и 450.

И така, нека намерим gcd на числата 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на gcd, който намерихме сега, тоест на 15

Представяне на цяло число като дроб

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . Това няма да промени значението на пет, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаем, е равно на пет:

Реципрочни числа

Сега ще се запознаем с една много интересна тема по математика. Нарича се "обратни числа".

Определение. Обратно на номера е число, което, когато се умножи поа дава едно.

Нека заместим в това определение вместо променливата аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратно на номер 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава едно.

Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че е възможно. Нека си представим пет като дроб:

След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само с главата надолу:

Какво ще се случи в резултат на това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:

Това означава, че обратното на числото 5 е числото , тъй като когато умножите 5 по, получавате едно.

Реципрочната стойност на число може да се намери и за всяко друго цяло число.

Можете също така да намерите реципрочната стойност на всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.

Деление на дроб на число

Да кажем, че имаме половин пица:

Нека го разделим поравно между две. Колко пица ще получи всеки човек?

Вижда се, че след разделянето на половината пица се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.

Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Реципрочните числа ви позволяват да замените делението с умножение.

За да разделите дроб на число, трябва да умножите дробта по обратното на делителя.

Използвайки това правило, ще запишем разделянето на нашата половина от пица на две части.

И така, трябва да разделите дроба на числото 2. Тук дивидентът е дробта, а делителят е числото 2.

За да разделите дроб на числото 2, трябва да умножите тази дроб по реципрочната стойност на делителя 2. Реципрочната стойност на делителя 2 е дробта. Така че трябва да умножите по

За да решите различни задачи от курсовете по математика и физика, трябва да разделите дроби. Това е много лесно да се направи, ако знаете определени правила за извършване на тази математическа операция.

Преди да преминем към формулирането на правилото за деление на дроби, нека си припомним някои математически термини:

1. Горната част на дробта се нарича числител, а долната част се нарича знаменател.
2. При деление числата се извикват по следния начин: дивидент: делител = частно

Как се делят дроби: прости дроби

За да разделите две прости дроби, умножете дивидента по реципрочната стойност на делителя. Тази дроб се нарича още обърната, защото се получава чрез размяна на числителя и знаменателя. Например:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Как се делят дроби: смесени дроби

Ако трябва да разделим смесени дроби, тогава всичко тук също е доста просто и ясно. Първо преобразуваме смесената дроб в обикновена неправилна дроб. За да направите това, умножете знаменателя на такава дроб с цяло число и добавете числителя към получения продукт. В резултат на това получихме нов числител на смесената дроб, но знаменателят й ще остане непроменен. Освен това разделянето на дроби ще се извърши точно по същия начин като разделянето на прости дроби. Например:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Как да разделим дроб на число

За да се разделят проста дробкъм число, последното трябва да се запише като дроб (неправилно). Това е много лесно да се направи: това число е написано на мястото на числителя, а знаменателят на такава дроб е равен на едно. Извършва се допълнително разделяне по обичайния начин. Нека да разгледаме това с пример:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Как да разделим десетични знаци

Често възрастен изпитва трудности при разделянето на цяло число или десетична дроб на десетична дроб без помощта на калкулатор.

И така, за да разделите десетични дроби, просто трябва да задраскате запетаята в делителя и да спрете да обръщате внимание на това. В делителя запетаята трябва да се премести надясно точно на толкова места, колкото е била в дробната част на делителя, като при необходимост се добавят нули. И след това извършват обичайното деление на цяло число. За да стане това по-ясно, разгледайте следния пример.